1、广东省广州市天河区部分学校广东省广州市天河区部分学校 2020 年年中考数学模拟试卷（中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、 选择题 （本题有一、 选择题 （本题有 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 满分分， 满分 30 分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的 ）分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的 ） 1如图，表示互为相反数的两个点是（ ） AM 与 Q BN 与 P CM 与 P DN 与 Q 2下列图形绕某点旋转 90后，不能与原来图形重合的是（ ） A B C D 3样本数据 3，5，n，6，8 的众数是 8，则这组数的中位数是（ ） A3 B5
2、 C6 D8 4下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B C D （2a2）38a6 5一元二次方程 x212x+3 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D只有一个实数根 6O 是ABC 的外接圆，则点 O 是ABC 的（ ） A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 7计算（x3y2）2，得到的结果是（ ） Axy Bx7 y4 Cx7 y Dx5 y6 8已知关于 x 的方程的解是 x2，则代数式的值为（ ） A B0 C D2 9在同一平面直角坐标系中，函数 yx+k 与 y（k 为常数，且
3、 k0）的图象大致是（ ） A B C D 10 如图， AC 是O 的直径， 弦 BDAO 于 E， 连接 BC， 过点 O 作 OFBC 于 F， 若 BD8cm， AE2cm， 则 OF 的长度是（ ） A3cm Bcm C2.5cm Dcm 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 11如图，四边形 ABCD 中，ABCD，B60，则C 12分解因式：a34a 13当二次函数 yx2+4x6 有最大值时，x 14一个圆锥的底面半径等于 2，母线长为 6，则该圆锥的侧面积等于 15在 RtABC 中，C90，sinB，若
4、斜边上的高 CD2，则 AC 16如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于点 E，BC 交O 于点 D，CDBD，C70现给出以下四 个结论：A45；ACAB；CEAB2BD2 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）x+y3 17 （9 分）解方程组： 18 （9 分）如图，ABED，EFAD，BCAD，垂足分别为 F，C，AFDC求证：BCFE 19 （10 分）某校为了解初三 300 名学生每天做家庭作业的时间情况，从中随机抽取 50 名学
5、生进行抽样调 查，按做作业的时间 t（单位：小时） ，将学生分成四类：A 类（0t1） ；B 类（1t2） ；C 类（2t 3） ；D 类（3t4） ；绘制成尚不完整的条形统计图如图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，并估计初三学生做作业时间为 D 类的学生共有多少人？ （2）抽样调查的 A 类学生中有 3 名男生和 1 名女生，若从中任选 2 人，求这 2 人均是男生的概率 20 （10 分）甲、乙工厂参与生产 330 万个口罩，甲工厂生产了 120 万个后，剩下的由乙工厂完成，已知乙 工厂比甲工厂多生产 2 天若甲、乙工厂平均每天生产口罩的数量之比为 4：5，求乙工厂平均
6、每天生产 口罩的数量 21 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2，BC3 （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹 作ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E （2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长 22 （12 分）一次函数 ykx+b（k0）的图象经过点 A（2，6） ，且与反比例函数 y的图象交于点 B（a，4） （1）求一次函数的解析式； （2）将直线 AB 向上平移 10 个单位后得到直线 l：y1k1x+b1（k10） ，l 与反比例函数 y2的图象相 交，求使 y1y2成立的 x 的取值范围 23 （12 分）一次
7、函数 yx 的图象与二次函数 yax24ax+c（a0）的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与这个二次函数图象的对称轴交于点 C，设二次函数图象的顶点为 D （1）求点 C 的坐标； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，且ACD 的面积等于 3，求此二次函数的解析式； （3）若 CDAC，且ACD 的面积等于 10，请直接写出满足条件的点 D 的坐标 24 （14 分）如图，E 为圆 O 上的一点，C 为劣弧 EB 的中点CD 切O 于点 C，交O 的直径 AB 的延长 线于点 D延长线段 AE 和线段 BC，使之交于点 F （1）求证：AFB 和CEF 都是等腰三
8、角形； （2）若 BD1，CD2，求 EF 的长 25 （14 分）如图 1，已知正方形 ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在 直线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：DGBE； （2）连接 FC，求 tanFCN 的值； （3）如图 2，将图 1 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB3，BC8，E 是线段 BC 上一动点（不含端 点 B，C） ，以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上当点 E 由 B 向 C 运动时，判断 tanFCN 的值是否为定值？若是，求出该定值
9、；若不是，请说明理由 2020 年广东省广州市天河区部分学校中考数学模拟试卷（年广东省广州市天河区部分学校中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题有一、 选择题 （本题有 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 3 分， 满分分， 满分 30 分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的 ）分， 每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的 ） 1如图，表示互为相反数的两个点是（ ） AM 与 Q BN 与 P CM 与 P DN 与 Q 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：2 和2 互为相反数，此
10、时对应字母为 M 与 P 故选：C 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反 数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆 2下列图形绕某点旋转 90后，不能与原来图形重合的是（ ） A B C D 【分析】根据旋转对称图形的概念作答 【解答】解：A、绕它的中心旋转 90能与原图形重合，故本选项不合题意； B、绕它的中心旋转 90能与原图形重合，故本选项不合题意； C、绕它的中心旋转 90能与原图形重合，故本选项不合题意； D、绕它的中心旋转 120才能与原图形重合，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本
11、题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于 360） 后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形 3样本数据 3，5，n，6，8 的众数是 8，则这组数的中位数是（ ） A3 B5 C6 D8 【分析】先根据众数的概念得出 n8，再将数据从小到大排列，利用中位数的概念求解可得 【解答】解：数据 3，5，n，6，8 的众数是 8， n8， 则这组数据为 3，5，6，8，8， 所以这组数据的中位数为 6， 故选：C 【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将 一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
12、个数是奇数，则处于中间位置的数就是 这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 4下列运算正确的是（ ） A （a+b）2a2+b2 B C D （2a2）38a6 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、 （a+b）2a2+2ab+b2，故此选项错误； B、，无法化简，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、 （2a2）38a6，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式的性质、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是 解题关键 5一元二次方程 x212x+3 根的情况是（
13、） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D只有一个实数根 【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断 【解答】解：方程化为 x22x40， （2）24（4） 200， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根 6O 是ABC 的外接圆，则点 O 是ABC 的（ ） A三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高的交点 【
14、分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答 案 【解答】解：O 是ABC 的外接圆， 点 O 是ABC 的三条边的垂直平分线的交点 故选：A 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确把握外心的定义是解题关键 7计算（x3y2）2，得到的结果是（ ） Axy Bx7 y4 Cx7 y Dx5 y6 【分析】直接利用分式的乘法运算法则化简得出答案 【解答】解： （x3y2）2 x6y4 x7y 故选：C 【点评】此题主要考查了分式的乘法运算，正确化简分式是解题关键 8已知关于 x 的方程的解是 x2，则代数式的值为（ ） A B0 C D2 【
15、分析】先把 x2 代入方程得 3a4b0，再把通分得到，然后利用整 体代入的方法计算 【解答】解：把 x2 代入方程得， 3a64b6， 3a4b0， 0 故选：B 【点评】本题考查了一元一次方程：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等 9在同一平面直角坐标系中，函数 yx+k 与 y（k 为常数，且 k0）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以 解决 【解答】解：函数 yx+k 与 y（k 为常数，且 k0） ， 当 k0 时，yx+k 经过第一、二、四象限，y经过第一、三象限，故选项 A、B 错误， 当
16、 k0 时，yx+k 经过第二、三、四象限，y经过第二、四象限，故选项 D 正确，选项 C 错误， 故选：D 【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和 反比例函数的性质解答 10 如图， AC 是O 的直径， 弦 BDAO 于 E， 连接 BC， 过点 O 作 OFBC 于 F， 若 BD8cm， AE2cm， 则 OF 的长度是（ ） A3cm Bcm C2.5cm Dcm 【分析】根据垂径定理得出 AB 的长，进而利用中位线定理得出 OF 即可 【解答】解：连接 AB，OB， AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，BD8cm，AE2cm
17、， 在 RtABE 中，AE2+BE2AB2， 即 AB， OAOC，OBOC，OFBC， BFFC， OF 故选：D 【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 11如图，四边形 ABCD 中，ABCD，B60，则C 120 【分析】根据平行线性质求出C 即可 【解答】解：ABCD，B60， C120 故答案为：120 【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：两条平行线被第三条直线所截，同 位角相等，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，两条平行
18、线被第三条直线所截，同旁内角 互补 12分解因式：a34a a（a+2） （a2） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（a24） a（a+2） （a2） 故答案为：a（a+2） （a2） 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13当二次函数 yx2+4x6 有最大值时，x 2 【分析】把二次函数整理成顶点式形式，然后解答即可 【解答】解：yx2+4x6， （x24x+4）+46， （x2）22， 当 x2 时，二次函数取得最大值 故答案为：2 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式更方便
19、求解 14一个圆锥的底面半径等于 2，母线长为 6，则该圆锥的侧面积等于 12 【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半依此公式计算即可解决问题 【解答】解：圆锥的侧面积64212 故答案为：12 【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键 15在 RtABC 中，C90，sinB，若斜边上的高 CD2，则 AC 【分析】首先证明ACDB，推出，设 AD3k，AC5k，则 CD4k2，求出 k 即可解决 问题 【解答】解：如图， CDAB， CDB90， ACB90， ACD+DCB90，B+DCB90， ACDB， sinACDsinB， ，设
20、AD3k，AC5k，则 CD4k2， k， AC， 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考 常考题型 16如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于点 E，BC 交O 于点 D，CDBD，C70现给出以下四 个结论：A45；ACAB；CEAB2BD2 其中正确结论的序号是 【分析】连接 AD、BE，DE，如图，根据圆周角定理得ADB90，则 ADBC，加上 CDBD，根 据等腰三角形的判定即可得到 ABAC；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出BAC 40；由 AB 为直径得到AEB90，则ABE50，根据圆周角定理可判断
21、；接着证明 CEDCBA，利用相似比得到 CECACDCB，然后利用等线段代换即可得到 CECA2BD2 【解答】解：连接 AD、BE，DE，如图， AB 为直径， ADB90， ADBC， 而 CDBD， ABAC，所以正确； C70， ABCC70， BAC40，所以错误； AB 为直径， AEB90， ABE50， ，所以错误； CEDCBA， 而C 公共， CEDCBA， ， CECACDCB， CECABD2BD2BD2，所以正确 故答案为 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角
22、，90的圆周角所对的弦是直径也考查 了相似三角形的判定与性质 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 9 小题，共小题，共 102 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤 ）x+y3 17 （9 分）解方程组： 【分析】利用加减消元法解答即可 【解答】解：， 2 得：2x+2y6， 得：y1， 把 y1 代入得：x+13， 解得 x2， 原方程组的解为： 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，二元一次方程组的基本解法有代入消元法与加减消元法 18 （9 分）如图，ABED，EFAD，BCAD，垂足分别为 F，C，AFDC求证：BCFE 【
23、分析】由条件可得 ACDF，证明 RtABCRtDEF（HL） ，可得出结论 【解答】证明：AFDC， ACDF， 又EFAD，BCAD，ABED， RtABCRtDEF（HL） ， BCFE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 19 （10 分）某校为了解初三 300 名学生每天做家庭作业的时间情况，从中随机抽取 50 名学生进行抽样调 查，按做作业的时间 t（单位：小时） ，将学生分成四类：A 类（0t1） ；B 类（1t2） ；C 类（2t 3） ；D 类（3t4） ；绘制成尚不完整的条形统计图如图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全
24、条形统计图，并估计初三学生做作业时间为 D 类的学生共有多少人？ （2）抽样调查的 A 类学生中有 3 名男生和 1 名女生，若从中任选 2 人，求这 2 人均是男生的概率 【分析】 （1）由抽取的 50 人减去 A，B，C 类的人数即可求出 D 类人数，进而可补全条形统计图；由总 人数 300 人乘以 D 类所占的百分比即可估计初三学生做作业时间为 D 类的学生共有得人数； （2） 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的 2 名学生中均是男生的情 况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）由题意可知 D 类的人数为：50413258（人） ，补全条形统计图
25、如下： 估计初三学生做作业时间为 D 类的学生共有30048 人； （2）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，选出的 2 名学生中均是男生有 6 种情况； P（两个男生） 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查条形统计图 20 （10 分）甲、乙工厂参与生产 330 万个口罩，甲工厂生产了 120 万个后，剩下的由乙工厂完成，已知乙 工厂比甲工厂多生产 2 天若甲、乙工厂平均每天生产口罩的数量之比为 4：5，求乙工厂平均每天生产 口罩的数量
26、【分析】设甲工厂平均每天生产口罩 4x 万个，则乙工厂平均每天生产口罩 5x 万个，根据工作时间工 作总量工作效率，结合乙工厂比甲工厂多生产 2 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可 得出 x 的值，再将其代入 5x 中即可求出结论 【解答】解：设甲工厂平均每天生产口罩 4x 万个，则乙工厂平均每天生产口罩 5x 万个， 依题意得：2， 解得：x6， 经检验，x6 是原方程的解，且符合题意， 5x30 答：乙工厂平均每天生产口罩 30 万个 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 21 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC2
27、，BC3 （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹 作ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E （2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长 【分析】 （1）利用基本作图，先画出 CD 平分ACB，然后作 DEBC 于 E； （2）利用 CD 平分ACB 得到BCD45，再判断CDE 为等腰直角三角形，所以 DECE，然后 证明BDEBAC，从而利用相似比计算出 DE 【解答】解： （1）如图，DE 为所作； （2）CD 平分ACB， BCDACB45， DEBC， CDE 为等腰直角三角形， DECE， DEAC， BDEBAC， ，即， DE 【点评
28、】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 22 （12 分）一次函数 ykx+b（k0）的图象经过点 A（2，6） ，且与反比例函数 y的图象交于点 B（a，4） （1）求一次函数的解析式； （2）将直线 AB 向上平移 10 个单位后得到直线 l：y1k1x+b1（k10） ，l 与反比例函数 y2的图象相 交，求使 y1y2成立的 x 的取值范围 【分析】 （1）根据点 B 的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出
29、点 B 的坐标，根据点 A、B 的坐标利用待定系数法即可求出直线 AB 的解析式； （2）根据“上加下减”找出直线 l 的解析式，联立直线 l 和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找 出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使 y1y2成立的 x 的取值范围 【解答】解： （1）反比例函数 y的图象过点 B（a，4） ， 4，解得：a3， 点 B 的坐标为（3，4） 将 A（2，6） 、B（3，4）代入 ykx+b 中， ，解得：， 一次函数的解析式为 y2x2 （2）直线 AB 向上平移 10 个单位后得到直线 l 的解析式为：y12x+8 联立直线 l 和反比例函数
30、解析式成方程组， ，解得：， 直线 l 与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2） 画出函数图象，如图所示 观察函数图象可知：当 0 x1 或 x3 时，反比例函数图象在直线 l 的上方， 使 y1y2成立的 x 的取值范围为 0 x1 或 x3 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法 求一次函数解析式以及解方程组，解题的关键是： （1）根据点 A、B 的坐标利用待定系数法求出直线 AB 的解析式； （2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两函数图象的交点坐标 23 （12 分）一次函数 yx 的图象与二次函数 yax24ax
31、+c（a0）的图象交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与这个二次函数图象的对称轴交于点 C，设二次函数图象的顶点为 D （1）求点 C 的坐标； （2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，且ACD 的面积等于 3，求此二次函数的解析式； （3）若 CDAC，且ACD 的面积等于 10，请直接写出满足条件的点 D 的坐标 【分析】 （1）先求得二次函数 yax24ax+c 的对称轴，则可知点 C 的横坐标，将其代入 yx 即可求 得点 C 的纵坐标； （2）先用 c 和 a 表示出点 D 的坐标，根据点 C 的坐标为（2，） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，可得 c 4a，
32、CD3，设点 A 到对称轴的距离为 h，根据ACD 的面积等于 3，可得关于 h 的方程，求 得 h 的值，则可得 c 的值，然后可求得 a 的值，则可得此二次函数的解析式； （3）过点 A 作 AHCD 于点 H，则可得 tanCAH 及 cosCAH 的值，设 CDACx（x0） ，则 AH ACx，根据ACD 的面积等于 10，可得关于 x 的方程，解得 x 的值，结合点 C 的坐标，可得点 D 的坐标 【解答】解： （1）二次函数 yax24ax+c 的对称轴为直线 x2， 当 x2 时，yx2， 点 C 的坐标为（2，） ； （2）二次函数图象的顶点为 D，对称轴为直线 x2， D（
33、2，c4a） ， 点 C 的坐标为（2，） ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称， c4a，CD3， 设点 A 到对称轴的距离为 h， ACD 的面积等于 3， CDh3， 3h3， h2 此时点 A 在原点，c0， 将 c0 代入 c4a，得 a， 此二次函数的解析式为 yx2x； （3）如图，过点 A 作 AHCD 于点 H， 则 tanCAH， cosCAH， 设 CDACx（x0） ，则 AHACx， ACD 的面积等于 10， CDAHxx10， x0， x5， 点 C 的坐标为（2，） ； 点 D 的坐标为（2，）或（2，） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数与一次函数
34、的交点、抛物线的顶点坐标、平面直角 坐标系中三角形的面积计算及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关函数的性质及三角形的面积计算是 解题的关键 24 （14 分）如图，E 为圆 O 上的一点，C 为劣弧 EB 的中点CD 切O 于点 C，交O 的直径 AB 的延长 线于点 D延长线段 AE 和线段 BC，使之交于点 F （1）求证：AFB 和CEF 都是等腰三角形； （2）若 BD1，CD2，求 EF 的长 【分析】 （1）连接 OC，如图，利用圆周角定理得到EACBAC，ACB90，则可证明ACF ACB，所以FABC，BCCF，利用得到 CECB，则 CECF，于是可判断ABF 和 CEF 都
35、为等腰三角形； （2）连接 BE 交 OC 于 H，如图，利于切线的性质得 OCCD，设O 的半径为 r，则 OCOBr，利 用勾股定理得到 r2+22（r+1）2，解得 r，再根据垂径定理得到 OCBE，则 BHCD，利用平行 线分线段成比例定理计算出 CH，然后证明 CH 为BEF 的中位线，从而得到 EF 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， C 为劣弧 EB 的中点 EACBAC， AB 为直径， ACB90， FACBAC，ACAC，ACFACB， ACFACB， FABC，BCCF， ABF 为等腰三角形， ， CECB， CECF， CEF 为等腰三角形； （2）解：连
36、接 BE 交 OC 于 H，如图， CD 切O 于点 C OCCD， 设O 的半径为 r，则 OCOBr， 在 RtOCD 中，r2+22（r+1）2，解得 r， C 为劣弧 EB 的中点， OCBE， BHEH， BHCD， ，即，解得 CH， CFCB，HEHB， CH 为BEF 的中位线， EF2CH 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径、若出现圆的切线，必连过切点的半 径，构造定理图，得出垂直关系也考查了垂径定理和等腰三角形的判定与性质 25 （14 分）如图 1，已知正方形 ABCD，E 是线段 BC 上一点，N 是线段 BC 延长线上一点，以 AE 为边在 直
37、线 BC 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：DGBE； （2）连接 FC，求 tanFCN 的值； （3）如图 2，将图 1 中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB3，BC8，E 是线段 BC 上一动点（不含端 点 B，C） ，以 AE 为边在直线 BC 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上当点 E 由 B 向 C 运动时，判断 tanFCN 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】 （1）证BAEGAD 即可得； （2）过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90，证BAEMEF 得 FMBE，EM AB，结合 BE+
38、ECAB，EMEC+CM 知 CMFM，从而得出答案； （3） 证DAGMEF， BAEMEF 得 EMADBC8， 再设 BEa， 则 EMEC+CM BCBE+EC，从而知 CMBEa，FM，根据 tanFCN可得答案 【解答】解： （1）如图 1， 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 中， BADEAG90，ABAD，AEAG， BAEGAD， BAEGAD（SAS） ， DGBE； （2）如图 1，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90， BAE+AEBFEM+AEB90， 即BAEFEM， 又 AEEF， BAEMEF（ASA） ， FMBE，EMAB， 又 BE+ECAB，EMEC+CM， CMFM， 在 RtFCM 中，tanFCN1； （3）如图 2，过点 F 作 FMBN 于 M，则BAEFFME90， BAE+AEBFEM+AEB90， 即BAEFEM， 同理可证GADFEM， 又 AGEF， DAGMEF，BAEMEF， EMADBC8， 设 BEa，则 EMEC+CMBCBE+EC， CMBEa， ， FM， tanFCN，即 tanFCN 的值为定值 【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形、正方形的性质、全等三角形与相似三角形 的判定与性质、正切函数的定义等知识点
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