1、2019-2020 学年湖南省长沙市初中联盟四校中考数学模拟试卷（学年湖南省长沙市初中联盟四校中考数学模拟试卷（4 月份）月份） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 2 现实世界中， 对称现象无处不在， 中国的方块字中有些也具有对称性， 下列美术字是轴对称图形的是 （ ） A B C D 3随着科技的发展，中国经济正由“中国制造”向“中国创造”转型，除华为外，中国的另一个科技巨头 已经崛起，这个科技巨头是全球无人机市场唯一的“垄断者”大疆，在无人机领域，大疆已有 4600 多
2、项专利申请，是无人机领域当之无愧的“领头羊” ，将 4600 用科学记数法表示为（ ） A4.6103 B46102 C4.6102 D0.46104 4下列等式成立的是（ ） A2+2 B （a2b3）2a4b6 C （2a2+a）a2a D5x2y2x2y3 5为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理欲反映学生感兴趣的各类 图书所占百分比，最适合的统计图是（ ） A条形统计图 B频数直方图 C折线统计图 D扇形统计图 6如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ） A180 B360 C540 D720 7某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：
3、人数（人） 3 17 13 7 时间（小时） 7 8 9 10 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A17，8.5 B17，9 C8，9 D8，8.5 8我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数” 如图， 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩 子自出生后的天数是（ ） A84 B336 C510 D1326 9已知 m，n 是方程 x2+2x10 的两个实数根，则 m22n+2015 的值是（ ） A2021 B2020 C2019 D2018 10如图，正比例函数 y
4、kx 与反比例函数 y的图象相交于 A、C 两点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 点 B，连接 BC，则ABC 的面积等于（ ） A8 B6 C4 D2 11如图，在ABC 中，AC2，BC4，D 为 BC 边上的一点，且CADB若ADC 的面积为 a， 则ABD 的面积为（ ） A2a Ba C3a Da 12二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，且当 x 时，与其对应的函数值 y0，有下列结论： （1）abc0； （2）2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c t 的两个根； （3）0m+n，其中，正确结论的
5、个数是（ ） x 2 1 0 1 2 y ax2+bx+c t m 2 2 n A3 B2 C1 D0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13因式分解：2a28 14若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为 15毛泽东在沁园春雪中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗小红将 这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是三 国以后的人物的概率是 16中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱如图，若在象棋棋盘上建立平面直角 坐标系，使“帅”
6、位于点（0，2） ， “马”位于点（4，2） ，则“卒”位于点 17如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方向航行，航行一 段时间后到达哨所北偏东 60方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 米 （精确到 1 米，参考数据：1.414，1.732） 18七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板” 由边长为 4的正方形 ABCD 可以制作一副 如图 1 所示的七巧板， 现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的 “拼搏兔” 造型 （其中点 Q、 R 分别与图 2 中的点 E、G 重合，点 P 在边 EH 上） ，
7、则“拼搏兔”所在正方形 EFGH 的边长是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 20 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中，x3 21 （8 分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数 学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查， 大致可分为四种： A 白开水， B 瓶装矿泉水， C碳酸饮料，D非碳酸饮料根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列 问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，
8、价格如下表） ，则该班同学每天用于饮品的 人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3） 为了养成良好的生活习惯， 班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部 （其中有两位班长记为 A， B， 其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求 出恰好抽到 2 名班长的概率 22 （8 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2
9、，求菱形 ABCD 的周长 23 （9 分）2020 年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加 入生产口罩的大军中来，长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂 房每天生产数量的 1.5 倍，两厂房各加工 6000 箱口罩，甲厂房比乙厂房少用 5 天 （1）求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩； （2）已知甲、乙两厂房生产这种口罩每天的生产费分别是 1500 元和 1200 元，现有 30000 箱口罩的生产 任务，甲厂房单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙厂房单独完成如果总生产费不超过 78000 元，那么甲厂房至少生产了多少
10、天？ 24 （9 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 分别交 AB、BC 于点 M、N，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 P （1）求证：CAB2BCP； （2）若O 的直径为 5，sinBCP，求ABC 内切圆的半径； （3）在（2）的条件下，求ACP 的周长 25 （10 分）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和 接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标 系中，对“隔离直线”给出如下定义： 点 P（x1，y1）是图形 G1上的任意一点，点 Q（x2，y
11、2）是图形 G2上的任意一点，若存在直线 l：ykx+b （k0）满足 y1kx1+b 且 y2kx2+b，则称直线 l：ykx+b（k0）是图形 G1与 G2的“隔离直线” 例 如：如图 1，直线 l：yx4 是函数 y（x0）的图象与正方形 OABC 的一条“隔离直线” （1）在直线 y13x，y24x1，y32x+3 中，是图 1 函数 y（x0）的图象与正方形 OABC 的 “隔离直线”的为 ； （2）如图 2，第一象限的等腰直角三角形 EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D 的坐标是（， 1） ，EDF 与O 的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式； （3）正方
12、形 A1B1C1D1的一边在 y 轴上，其它三边都在 y 轴的右侧，点 M（1，t）是此正方形的中心若 存在直线 y2x+b 是函数 yx22x3（0 x4）的图象与正方形 A1B1C1D1的“隔离直线” ，求 t 的取 值范围 26 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a0） （1）已知抛物线的对称轴为 x3，若抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标比为 1：2，求这两个交点的坐 标； （2）已知抛物线的顶点为 C，抛物线与 x 轴交点分别为 A、B，若ABC 为等边三角形，求证：b24ac 12； （3） 已知当 x1 时， y 随 x 的增大而增大， 且抛物线
13、与直线 yax+c 相切于点 D， 若 OD2恒 成立，求 c 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 13 的绝对值是（ ） A3 B3 C D 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去 掉这个绝对值的符号 【解答】解：3 的绝对值是 3 故选：A 2 现实世界中， 对称现象无处不在， 中国的方块字中有些也具有对称性， 下列美术字是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形定义判断即可 【解答】解：四个汉
14、字中，可以看作轴对称图形的是， 故选：D 3随着科技的发展，中国经济正由“中国制造”向“中国创造”转型，除华为外，中国的另一个科技巨头 已经崛起，这个科技巨头是全球无人机市场唯一的“垄断者”大疆，在无人机领域，大疆已有 4600 多项专利申请，是无人机领域当之无愧的“领头羊” ，将 4600 用科学记数法表示为（ ） A4.6103 B46102 C4.6102 D0.46104 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数
15、的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：46004.6103 故选：A 4下列等式成立的是（ ） A2+2 B （a2b3）2a4b6 C （2a2+a）a2a D5x2y2x2y3 【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算 法则分别化简得出答案 【解答】解：A、2+，无法计算，故此选项错误； B、 （a2b3）2a4b6，正确； C、 （2a2+a）a2a+1，故此选项错误； D、故 5x2y2x2y3x2y，此选项错误； 故选：B 5为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理欲反映学生感兴趣的各类 图书所占百分比，最
16、适合的统计图是（ ） A条形统计图 B频数直方图 C折线统计图 D扇形统计图 【分析】根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图 【解答】解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图 故选：D 6如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ） A180 B360 C540 D720 【分析】根据多边形内角和公式（n2）180即可求出结果 【解答】解：黑色正五边形的内角和为： （52）180540， 故选：C 7某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数（人） 3 17 13 7 时间（小时） 7 8 9 10 那么该班 40 名同
17、学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A17，8.5 B17，9 C8，9 D8，8.5 【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8； 由统计表可知，处于 20，21 两个数的平均数就是中位数， 这组数据的中位数为8.5； 故选：D 8我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数” 如图， 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩 子自出生后的天数是（ ） A84 B336 C510 D1326 【分析】类比于现在我们的十进制“
18、满十进一” ，可以表示满七进一的数为：千位上的数73+百位上的 数72+十位上的数7+个位上的数 【解答】解：173+372+27+6510， 故选：C 9已知 m，n 是方程 x2+2x10 的两个实数根，则 m22n+2015 的值是（ ） A2021 B2020 C2019 D2018 【分析】 根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 m2+2m1， m+n2， 将其代入 m22n+2015 （m2+2m）2（m+n）+2015 中即可求出结论 【解答】解：m，n 是方程 x2+2x10 的两个实数根， m2+2m1，m+n2， m22n+2015（m2+2m）2（m+n）+2015
19、1+4+20152020 故选：B 10如图，正比例函数 ykx 与反比例函数 y的图象相交于 A、C 两点，过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 点 B，连接 BC，则ABC 的面积等于（ ） A8 B6 C4 D2 【分析】由于点 A、C 位于反比例函数图象上且关于原点对称，则 SOBASOBC，再根据反比例函数系 数 k 的几何意义作答即可 【解答】解：点 A、C 位于反比例函数图象上且关于原点对称， A、C 两点到 x 轴的距离相等， SOBASOBC， SOBA|k|42， SOBC2 SABCSOBA+SOBC4 故选：C 11如图，在ABC 中，AC2，BC4，D 为 BC 边
20、上的一点，且CADB若ADC 的面积为 a， 则ABD 的面积为（ ） A2a Ba C3a Da 【分析】证明ACDBCA，根据相似三角形的性质求出BCA 的面积为 4a，计算即可 【解答】解：CADB，ACDBCA， ACDBCA， （）2，即， 解得，BCA 的面积为 4a， ABD 的面积为：4aa3a， 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，且当 x 时，与其对应的函数值 y0，有下列结论： （1）abc0； （2）2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c t 的两个根； （3）0m+n，其中，正
21、确结论的个数是（ ） x 2 1 0 1 2 y t m 2 2 n ax2+bx+c A3 B2 C1 D0 【分析】当 x0 时，c2，当 x1 时，a+b0，得 ba，进而 abc 的正负号； 计算 x2 时或 x3 时，yt，从而确定此小题的正误； 根据表格求得 m、n，进而得 m+n4a4，由 x时，y0，得 a 的取值范围，进而得 m+n 的取 值范围，从而判断正误 【解答】解：当 x0 时，c2， 当 x1 时，a+b22， a+b0， ba， ab0， abc0， 正确； yax2+bx+cxax2ax2， x是对称轴， x2 时 y4a+2a26a2t， x3 时，y9a3a
22、26a2t， 2 和 3 是关于 x 的方程 ax2+bx+ct 的两个根； 正确； ma+a2，n4a2a2， mn2a2， m+n4a4， 当 x时，y0， a， m+n， 错误； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13因式分解：2a28 2（a+2） （a2） 【分析】首先提取公因式 2，进而利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：2a282（a24）2（a+2） （a2） 故答案为：2（a+2） （a2） 14若扇形的圆心角为 90，半径为 6，则该扇形的弧长为 3 【分析】根据弧长公式计算 【解答】解：
23、该扇形的弧长3 故答案为：3 15毛泽东在沁园春雪中提到五位历史名人：秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗小红将 这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上小哲从中随机抽取一张，卡片上介绍的人物是三 国以后的人物的概率是 【分析】先找出三国以后的人物，然后依据概率公式计算即可 【解答】解：在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗 5 五人中，三国以后的人物的 3 人 在上述 5 人中随机抽取一张，所有抽到的人物为三国以后的人物的概率， 故答案为 16中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱如图，若在象棋棋盘上建立平面直角 坐标系，使“帅”位于点（0，2） ， “马”位于
24、点（4，2） ，则“卒”位于点 （1，1） 【分析】直接利用“帅”位于点（0，2） ，可得原点的位置，进而得出“卒”的坐标 【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“卒”位于（1，1） 故答案为： （1，1） 17如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方向航行，航行一 段时间后到达哨所北偏东 60方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 566 米 （精确到 1 米，参考数据：1.414，1.732） 【分析】通过解直角OAC 求得 OC 的长度，然后通过解直角OBC 求得 OB 的长度即可 【解答】解：如图，设线段 AB 交 y 轴于
25、 C， 在直角OAC 中，ACOCAO45，则 ACOC OA400 米， OCOAcos45400200（米） 在直角OBC 中，COB60，OC200米， OB400566（米） 故答案是：566 18七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板” 由边长为 4的正方形 ABCD 可以制作一副 如图 1 所示的七巧板， 现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的 “拼搏兔” 造型 （其中点 Q、 R 分别与图 2 中的点 E、 G 重合， 点 P 在边 EH 上） ， 则 “拼搏兔” 所在正方形 EFGH 的边长是 4 【分析】如图 2 中，连接 EG，GMEN 交 EN
26、 的延长线于 M，利用勾股定理解决问题即可 【解答】解：如图 2 中，连接 EG，作 GMEN 交 EN 的延长线于 M 在 RtEMG 中，GM4，EM2+2+4+412， EG4， EH4， 故答案为 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19 （6 分）计算： 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式12+3+1 11+3+1 4 20 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中，x3 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原
27、式（） ， 当 x3 时， 原式 21 （8 分）如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数 学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查， 大致可分为四种： A 白开水， B 瓶装矿泉水， C碳酸饮料，D非碳酸饮料根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列 问题 （1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表） ，则该班同学每天用于饮品的 人均花费是多少元？ 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 平均价格（元/瓶） 0 2 3 4 （3） 为了养成良
28、好的生活习惯， 班主任决定在饮用白开水的 5 名班委干部 （其中有两位班长记为 A， B， 其余三位记为 C，D，E）中随机抽取 2 名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求 出恰好抽到 2 名班长的概率 【分析】 （1）由 B 饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出 C 的人数即可补全图形； （2）根据加权平均数的定义计算可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得 【解答】解： （1）这个班级的学生人数为 1530%50（人） ， 选择 C 饮品的人数为 50（10+15+5）20（人） ， 补全
29、图形如下： （2）2.2（元） ， 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是 2.2 元； （3）画树状图如下： 由树状图知共有 20 种等可能结果，其中恰好抽到 2 名班长的有 2 种结果， 所以恰好抽到 2 名班长的概率为 22 （8 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 EHFG，EHFG，得到GFHEHF，求得BFGDHE，根 据菱形的性质得到 ADBC，得到GBFED
30、H，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接 EG，根据菱形的性质得到 ADBC，ADBC，求得 AEBG，AEBG，得到四边形 ABGE 是平行四边形，得到 ABEG，于是得到结论 【解答】解： （1）四边形 EFGH 是矩形， EHFG，EHFG， GFHEHF， BFG180GFH，DHE180EHF， BFGDHE， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC， GBFEDH， BGFDEH（AAS） ， BGDE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC， E 为 AD 中点， AEED， BGDE， AEBG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形，
31、 ABEG， EGFH2， AB2， 菱形 ABCD 的周长8 23 （9 分）2020 年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加 入生产口罩的大军中来，长沙某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂 房每天生产数量的 1.5 倍，两厂房各加工 6000 箱口罩，甲厂房比乙厂房少用 5 天 （1）求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩； （2）已知甲、乙两厂房生产这种口罩每天的生产费分别是 1500 元和 1200 元，现有 30000 箱口罩的生产 任务，甲厂房单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙厂房单独完成如果总生产费不超过 78
32、000 元，那么甲厂房至少生产了多少天？ 【分析】 （1）设乙厂房每天生产 x 箱口罩，则甲厂房每天生产 1.5x 箱口罩，根据工作时间工作总量 工作效率结合两厂房各加工 6000 箱口罩时甲厂房比乙厂房少用 5 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之 经检验后即可得出结论； （2）设甲厂房生产了 m 天，则乙厂房生产了天，根据总生产费每天生产费工作时间 结合总生产费不超过 78000 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设乙厂房每天生产 x 箱口罩，则甲厂房每天生产 1.5x 箱口罩， 依题意，得：5， 解得：x400， 经检验，x400
33、是原分式方程的解，且符合题意， 1.5x600 答：甲厂房每天生产 600 箱口罩，乙厂房每天生产 400 箱口罩 （2）设甲厂房生产了 m 天，则乙厂房生产了天， 依题意，得：1500m+120078000， 解得：m40 答：甲厂房至少生产了 40 天 24 （9 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 分别交 AB、BC 于点 M、N，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 P （1）求证：CAB2BCP； （2）若O 的直径为 5，sinBCP，求ABC 内切圆的半径； （3）在（2）的条件下，求ACP 的周长 【分析】 （1）证明 AN 平分BAC，
34、则NAC+ACBPCB+ACB90，NACBCP，即可证 明； （2）在 RtNAC 中，AC5，NCACsinNAC；而 SABCBCAN2210，而 S ABC（AB+AC+BC） r（5+5+2）10，即可求解； （3）求出 sinBAC，设 PC4m，则 AP5m，则 AC3m5，解得 m，即可求解 【解答】解： （1）如图，连接 AN， AC 为直径， ANBC， ABAC， AN 平分BAC， PC 是圆的切线， ACP90， NAC+ACBPCB+ACB90， NACBCP， 即BAC2BCP； （2）由（1）知，AN 平分BAC，则NACBCP， 故 sinNACsinBCP，
35、则 tanNAC， 在 RtNAC 中，AC5， NCACsinNAC5，同理 AN2， 则 BC2NC2； SABCBCAN2210， 设ABC 内切圆的半径为 r， 则 SABC（AB+AC+BC） r（5+5+2） r10， 解得：r； 故ABC 内切圆的半径为； （3）在ABC 中，设 AC 边长的高为 h， 则 SABCACh5h10，解得：h4， sinBAC， 在 RtACP 中， sinBAC， 设 PC4m，则 AP5m， 则 AC3m5，解得 m， ACP 的周长3m+4m+5m12m20 25 （10 分）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制
36、，其中对感染者和 接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标 系中，对“隔离直线”给出如下定义： 点 P（x1，y1）是图形 G1上的任意一点，点 Q（x2，y2）是图形 G2上的任意一点，若存在直线 l：ykx+b （k0）满足 y1kx1+b 且 y2kx2+b，则称直线 l：ykx+b（k0）是图形 G1与 G2的“隔离直线” 例 如：如图 1，直线 l：yx4 是函数 y（x0）的图象与正方形 OABC 的一条“隔离直线” （1）在直线 y13x，y24x1，y32x+3 中，是图 1 函数 y（x0）的图象与正方形 OABC 的 “隔离
37、直线”的为 y13x ； （2）如图 2，第一象限的等腰直角三角形 EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 D 的坐标是（， 1） ，EDF 与O 的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式； （3）正方形 A1B1C1D1的一边在 y 轴上，其它三边都在 y 轴的右侧，点 M（1，t）是此正方形的中心若 存在直线 y2x+b 是函数 yx22x3（0 x4）的图象与正方形 A1B1C1D1的“隔离直线” ，求 t 的取 值范围 【分析】 （1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线 y（x0）及正方形 ABCD 最多有一个公共 点的的直线为 y13x； （2）先作出以原点 O 为
38、圆心且经过EDF 的顶点 D 的圆，再过点 D 作O 的切线，求出该直线的解析 式即可； （3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情 形，数形结合，分类讨论，求出 t 的取值范围 【解答】解： （1）根据“隔离直线”定义可知，直线 y13x 是双曲线 y（x0）与正方形 OABC 的“隔离直线” ， 故答案为：y13x （2）如图 1，连接 OD，以 O 为圆心，OD 长为半径作O，作 DGx 轴于点 G，过点 D 作O 的切线， 则 MDOD D（，1） ， OD2， 直线 MD 是EDF 与O 的“隔离直线” tanDOG， DOG30，
39、DMO90MODDOG30， OM2OD4， M（0，4） ， 设直线 MD 的解析式为 ymx+4，则m+41，解得 m， EDF 与O 的“隔离直线”是 yx+4 （3）由，得 x24xb30， 直线与抛物线有唯一公共点， 0， 16+4b+120， 解得 b7， 此时的“隔离直线”为 y2x7 当正方形 A1B1C1D1在直线 y2x7 下方，如图 2， 由顶点 A1（0，t+1）不能在直线 y2x7 上方，得 t+17 解得 t8； 当正方形 A1B1C1D1在直线 y2x7 上方，如图 3 对于抛物线 yx22x3，当 x0 时，y3；当 x4 时，y5， 直线 y2x3 恰好经过点
40、（0，3）和点（4，5） ； 对于直线 y2x3，当 x2 时，y1， 由 C1（2，t1）不能在直线 y2x3 下方，得 t11， 解得 t2 综上所述，t8 或 t2 26 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 为常数，且 a0） （1）已知抛物线的对称轴为 x3，若抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标比为 1：2，求这两个交点的坐 标； （2）已知抛物线的顶点为 C，抛物线与 x 轴交点分别为 A、B，若ABC 为等边三角形，求证：b24ac 12； （3） 已知当 x1 时， y 随 x 的增大而增大， 且抛物线与直线 yax+c 相切于点 D， 若 OD2恒 成立，求
41、 c 的取值范围 【分析】 （1）设这两个交点的横坐标为 x1，x2，根据题意可求得这两个交点的坐标； （2）根据题意得：C（，） ，AB，由于ABC 为等边三角形，根据等边三角 形高与边长的关系即可证得结论； （3）根据抛物线的性质可得：，可得：b2a0，由于抛物线 yax2+bx+c 与直线 yax +c 相切于点 D，可知 ax2+（ba）x+0，有两个相等实数根，可求得 ba2，进而可求得点 D 坐标，由勾股定理得 OD2+（1+c）2+（1c）+（c1）2，令 t，得 OD22t2+2 （1c）t+（c1）2，根据该抛物线开口向上，且顶点横坐标为，OD2恒成立，进行分类讨论 即可 【
42、解答】解： （1）设这两个交点的横坐标为 x1，x2， 根据题意，得：， 解得：， 这两个交点的坐标为（2，0） ， （4，0） ； （2）由题意得：C（，） ，AB， ABC 为等边三角形， |， b24ac12 或 b24ac0（舍去） ， b24ac12； （3）由题意得：抛物线在 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 抛物线开口向上， ， b2a0， 抛物线 yax2+bx+c 与直线 yax+c 相切于点 D， 联立方程组，得：， 整理，得：ax2+（ba）x+0， （ba）240， ba2 或 ba2（舍去） ， a+22a0， 0a2， x1x2， D（，1+c） ， OD2+（1+c）2+（1c） +（c1）2， 令 t，则 t， OD22t2+2（1c）t+（c1）2， 由于该抛物线开口向上，且顶点横坐标为，OD2恒成立， 若，即 c2，当 t时，ODmin28， 解得：c5 或 c3， c5； 若，即 c2，当 t时，ODmin2（c）2+8， 解得：c或 c， c， 综上所述，c5 或 c
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