1、2021 年北京市石景山区高考数学一模试卷年北京市石景山区高考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 A1，3，5，Bx|x2160，则 AB（ ） A1，3 B3，5 C1，3，5 D（0，4） 2下列函数中，是奇函数且最小正周期 T 的是（ ） A Bf（x）x3 Cf（x）2sinxcosx Df（x）sinx 3复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，1） B（，0） C（0，+） D（1，+） 4一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ） A B C D 5“直线 l 垂直于平面 内无
2、数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 7过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则|AB|（ ） A1 B2 C3 D4 8“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121，3443 等那么在四位数中，回 文数共有（ ） A81 个 B90 个 C100 个 D900 个 9已知，若|f（x）|ax 在 x1，1上恒成立，则实数 a 的取值范围是
3、（ ） A（10，+） B1，0 C0，1 D1，0） 10瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线 被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点 B（1，3），点 C （4，2），且其“欧拉线”与圆 M：（xa）2+（ya+3）2r2相切则圆 M 上的点到直线 xy+3 0 的距离的最小值为（ ） A B C D6 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分）. 11双曲线的离心率为 12已知函数 f（x）|lnx|，若，cf（2），则 a，b，c 从小到大排序为 13如图，如果每个横行上两数字之和相等，
4、每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全 相等的 a11，a12，a21，a22的值a11 ，a12 ，a21 ，a22 14在锐角ABC 中，a3，c5，a2bsinA，则 B ，b 15海水受日月的引力，会发生潮汐现象在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回 海洋某兴趣小组通过 AI 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深 y（单位： 米）随时间 x（单位：小时）的变化规律为 y0.8sinx+2（R），其中 0 x；然后，假设某虚 拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为 0.5 米，满载时吃水深度为 2 米，卸货过程中，随着货 物卸载，吃
5、水深度以每小时 0.4 米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有 0.4 米的安全间隙 在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是 若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留 4 个小时； 若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留 4 个小时； 若 1，货船于 x1 时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大； 若 1，货船于 x1 时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或
6、证明过程 16如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为正方形，面 ABFE面 CDEFEF，ADED，CDEA （）求证：CD平面 ABFE； （）若 EFED，CD2EF2，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的大小 17已知有限数列an共有 30 项an（nN*，n30），其中前 20 项成公差为 d 的等差数列，后 11 项成 公比为 q 的等比数列，记数列的前 n 项和为 Sn从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作 为已知，求： （）d，q 的值； （）数列中的最大项 条件：a24，S530，a2120； 条件：S30，a2036，a229； 条件：S148，a2
7、120，a24160 18某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取 8 家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查调查结果如下： 门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店 8 线下 日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标； 否 则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标 若某门店的日营业
8、总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于 30 万元，则称该门店的日 营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标 （各门店的营业额之间互不影响） （）从 8 个样本门店中随机抽取 3 个，求抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率； （）若从该地区众多门店中随机抽取 3 个门店，记随机变量 X 表示抽到的日营业总额达标的门店个 数以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求 X 的分布列和数学 期望； （）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 1和 2，线下日营业额和线上日营业额的样 本方差分别记为 S12和 S22试判断 1和 2的大小
9、，以及 S12和 S22的大小（结论不要求证明） 19已知椭圆的右焦点为 F（1，0），且经过点 A（2，0）和点 B（2，0） （）求椭圆 C 的方程； （）M 和 N 是椭圆 C 上两个不同的点，四边形 AMBN 是平行四边形，直线 AM、AN 分别交 y 轴于点 P 和点 Q，求四边形 APFQ 面积的最小值 20已知函数 （）当 a1 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （）已知 f（x）1 对任意 xR 恒成立，求 a 的值 21 由 m 个正整数构成的有限集 Ma1， a2， a3， ， am （其中 a1a2a3am） ， 记 P （M） a1+a2+ +am，特别规定 P
10、（）0，若集合 M 满足：对任意的正整数 kP（M），都存在集合 M 的两个子集 A， B，使得 kP（A）P（B）成立，则称集合 M 为“满集” （）分别判断集合 M11，2与 M22，3是否为“满集”，请说明理由； （）若集合 M 为“满集”，求 a1的值； （）若 a1，a2，a3，am是首项为 1 公比为 2 的等比数列，判断集合 M 是否为“满集”，并说明理 由 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 A1，3，5，Bx|x2160，则 AB（ ） A1，3 B3，5 C1，3，5 D（0，4） 解：因为 Bx|x2160 x|4x4， 又集
11、合 A1，3，5， 所以 AB1，3 故选：A 2下列函数中，是奇函数且最小正周期 T 的是（ ） A Bf（x）x3 Cf（x）2sinxcosx Df（x）sinx 解：由于函数 f（x）不是周期函数，故排除 A； 由于 f（x）x3不是周期函数，故排除 B； 由于 f（x）2sinxcosxsin2x 为奇函数，且是周期函数，周期为，故 C 满足条件； 由于 f（x）sinx 是奇函数，且周期为 2，故 D 错误， 故选：C 3复数在复平面上对应的点位于第一象限，则实数 a 的取值范围是（ ） A（，1） B（，0） C（0，+） D（1，+） 解：复数a+i 在复平面上对应的点（a，1
12、）位于第一象限， 则实数 a 的取值范围是（ 0，+）， 故选：C 4一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ） A B C D 解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确； 几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确 故选：B 5“直线 l 垂直于平面 内无数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：若直线 l 垂直于平面 ，则直线 l 垂直于平面 内无数条直线成立，即必要性成立， 反之若直线 l 垂直于平面 内无数条直线，则无法
13、判断直线 l 垂直于平面 ，即充分性不成立， 即“直线 l 垂直于平面 内无数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ”的必要不充分条件， 故选：B 6已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 解：菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60， a2，aacos60， 则（） 故选：D 7过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则|AB|（ ） A1 B2 C3 D4 解：F 是线段 AB 的中点，由抛物线的对称性，可知，ABx 轴， 抛物线 y24x，可得 p2， 所以|AB|2p4 故选：D 8“回文
14、数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数如 22，121，3443 等那么在四位数中，回 文数共有（ ） A81 个 B90 个 C100 个 D900 个 解：4 位回文数只需排列前两位数字，后面数字即可确定， 又因为第一位不能为 0，因此第一位有 9 种排法，第二位有 10 种排法， 所以共有 91090 种排法， 故选：B 9已知，若|f（x）|ax 在 x1，1上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A（10，+） B1，0 C0，1 D1，0） 解：函数的图象如图： |f（x）|的图象如图： 因为|f（x）|ax 在 x1，1上恒成立， 所以 yax 的图象应在 y|f（x）|
15、的图象的下方， 故须斜率为负，或为 0 当斜率为负时，排除答案 A，C； 当 a0，y0 满足要求，排除 D 故选：B 10瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线 被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点 B（1，3），点 C （4，2），且其“欧拉线”与圆 M：（xa）2+（ya+3）2r2相切则圆 M 上的点到直线 xy+3 0 的距离的最小值为（ ） A B C D6 解：ABAC4， BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一， 即ABC 的“欧拉线“是 BC 的垂直平分线， B（1，3），C（4，2）
16、， kBC 1，中点为（，）， BC 垂直平分线所在的直线方程为 y1（x），即 xy10， “欧拉线“与直线 xy+30 平行， 圆 M 上的点到直线 xy+30 的距离的最小值为此平行线间的距离 d2 故选：A 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11双曲线的离心率为 解：因为双曲线，所以 a4，b3，所以 c， 所以双曲线的离心率为：e 故答案为： 12已知函数 f（x）|lnx|，若，cf（2），则 a，b，c 从小到大排序为 cba 解：，c|ln2|ln2， ln2ln4ln8， cba 故答案为：cba 13如图，如果每个横行上两
17、数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全 相等的 a11，a12，a21，a22的值a11 1 ，a12 2 ，a21 2 ，a22 1（答案不唯一） 解：由题意知 a11+a12a21+a22，a11+a21a12+a22， 则两式相减得 a12a21a21a12， 即 a12a21，a11a22， 则不妨取 a12a212，a11a221， 故答案为：1，2，2，1答案不唯一 14在锐角ABC 中，a3，c5，a2bsinA，则 B ，b 解：因为 a2bsinA， 所以由正弦定理可得 sinA2sinBsinA， 因为 sinA0， 所以 sinB， 因为 B
18、为锐角， 所以 B， 因为 a3，c5， 由余弦定理 b2a2+c22accosB27+252 7， 所以 b 故答案为：， 15海水受日月的引力，会发生潮汐现象在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回 海洋某兴趣小组通过 AI 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深 y（单位： 米）随时间 x（单位：小时）的变化规律为 y0.8sinx+2（R），其中 0 x；然后，假设某虚 拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为 0.5 米，满载时吃水深度为 2 米，卸货过程中，随着货 物卸载，吃水深度以每小时 0.4 米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之
19、间至少要有 0.4 米的安全间隙 在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是 若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留 4 个小时； 若，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留 4 个小时； 若 1，货船于 x1 时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大； 若 1，货船于 x1 时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大 解：对于，货船在港口全程不卸货，则吃水恒为 2 米， 所以船离海底为 y20.8sinxf1（x）， 当 f1（x）0.4 时， ，则，解得 1x5， 所以最多停留时间为 514 小时，故选项正确；
20、 对于，货船进入港口后，立即进行货物卸载， 则吃水深度为 h220.4x 且 20.4x0.5，解得 ， 此时船离海底， 所以， 所以 f2（x）在 上单调递增，且当 x1 时，f2（1）0.80.4， 由， 此段时间都可以停靠， 又 f2（1）0.80.4，所以 6154，故选项错误； 对于和，货船于 x1 时进入港口后，立即进行货物卸载， 则吃水深度 h320.4（x1），1x， 所以 f3（x）0.8sinx+0.4（x1），则 f3（x）0.8cosx+0.40，解得 ， 当时，f3（x）0，则 f3（x）单调递增， 当时，f3（x）0，则 f3（x）单调递减， 所以当时，f3（x）取
21、得最大值， 所以船底离海底的距离最大，故选项错误，选项正确 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为正方形，面 ABFE面 CDEFEF，ADED，CDEA （）求证：CD平面 ABFE； （）若 EFED，CD2EF2，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的大小 【解答】（）证明：在五面体 ABCDEF 中， 因为面 ABCD 是正方形， 所以 CDAB 又因为 AB平面 ABFE，CD平面 ABFE， 所以 CD平面 A
22、BFE （）解：因为面 ABCD 是正方形，所以 CDAD 又因为 CDAE 又 ADAEA， 所以 CD平面 ADE 又因为 DE平面 ADE， 所以 CDDE 因为面 ABCD 是正方形， 所以 CDAD 又因为 ADDE， 所以以点 D 为坐标原点，DA，DC，DE 分别为 x，y，z 轴， 如图建立空间直角坐标系 因为 CD2EF2，EFED，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0， 0，1） 由（）CD平面 ABFE，CD平面 CDEF， 平面 CDEF平面 ABFEEF， 所以 CDEF 所以 可得 F（0，1，1） 由题意知平面 ADE 的
23、法向量为 设平面 BCF 的法向量为 由得 令 y1，得 z1，x0，所以 设平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角为 cos 所以平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角为 17已知有限数列an共有 30 项an（nN*，n30），其中前 20 项成公差为 d 的等差数列，后 11 项成 公比为 q 的等比数列，记数列的前 n 项和为 Sn从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作 为已知，求： （）d，q 的值； （）数列中的最大项 条件：a24，S530，a2120； 条件：S30，a2036，a229； 条件：S148，a2120，a24160 【解答】当选择条件时： 解：（）因为
24、an的前 20 项成等差数列，a24，S530， 所以 解得 所以 a202+19240 因为数列an后 11 项成公比为 q 的等比数列， 所以 综上， （）an的前 20 项成等差数列，d0 所以前 20 项为递增数列 即：前 20 项的最大项为 a2040 数列an的后 11 项成等比数列， ， 所以后 11 项是递减数列 即：后 11 项的最大项为 a2040 综上，数列an的最大项为第 20 项，其值为 40 当选择条件时： 解：（）因为an的前 20 项成等差数列，S30，a2036， 所以 所以 因为数列an后 11 项成公比为 q 的等比数列，a2036，又因为 a229， 所
25、以 综上， （）an的前 20 项成等差数列，d0 所以前 20 项为递减数列 前 20 项的最大项为 a12 因为 i当时， ， 所以当 20n30 时，an0 此时，数列an的最大项为第 1 项，其值为 2； 当时， 后 11 项的最大项为 a2118 此时，数列an的最大项为第 21 项，其值为 18 综上，当时，数列an的最大项为第 1 项，其值为 2； 当时，数列an的最大项为第 21 项，其值为 18 当选择条件时： 解：（）因为数列an后 11 项成公比为 q 的等比数列，a2120，a24160， 所以， 解得 q2 所以 又因为an的前 20 项成等差数列，S1a148， 所
26、以 综上，d2，q2 （）an的前 20 项成等差数列，d0 所以前 20 项为递减数列 前20项 的 最 大 项 为a1 48 an 的 后11项 成 等 比 数 列 ， 而a20 10 ， q 2 ， ， 所以后 11 项为递增数列 后 11 项的最大项为 a3010240， 综上，数列an的最大项为第 30 项，其值为 10240 18某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取 8 家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查调查结果如下： 门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店
27、8 线下 日营业 额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上 日营业 额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标； 否 则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标 若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于 30 万元，则称该门店的日 营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标 （各门店的营业额之间互不影响） （）从 8 个样本门店中随机抽取 3 个，求抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率； （）若从该地区众多门店中
28、随机抽取 3 个门店，记随机变量 X 表示抽到的日营业总额达标的门店个 数以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求 X 的分布列和数学 期望； （）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 1和 2，线下日营业额和线上日营业额的样 本方差分别记为 S12和 S22试判断 1和 2的大小，以及 S12和 S22的大小（结论不要求证明） 解：（）设“抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标”为事件 A， 由题意知，8 个样本门店中线下日营业额达标的有 3 家， 所以 所以抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率为 （）由题意，8 个样本门店中线下日营业总额达标
29、的有 4 家， 所以从该地区众多门店中任选 1 个门店，日营业总额达标的概率为 依 题 意 ， 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0 ， 1 ， 2 ， 3.； ； 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 其数学期望 （） 19已知椭圆的右焦点为 F（1，0），且经过点 A（2，0）和点 B（2，0） （）求椭圆 C 的方程； （）M 和 N 是椭圆 C 上两个不同的点，四边形 AMBN 是平行四边形，直线 AM、AN 分别交 y 轴于点 P 和点 Q，求四边形 APFQ 面积的最小值 解：（）由已知 a2，c1， 所以 b2a2c23 所以椭圆 C 的方程为
30、 （）因为四边形 AMBN 是平行四边形， 所以 AB 与 MN 的中点重合，所以 M、N 关于原点对称 设 M（x1，y1），则 N（x1，y1）（x12 且 y10） ， 直线 AM 的方程为， 令 x0，得，即， 又， 直线 AN 的方程为， 令 x0，得，即 四边形 APFQ 面积为， ， 因为点 M 在椭圆上， 所以， 所以 所以 所以当时， 所以四边形 APFQ 面积的最小值为 20已知函数 （）当 a1 时，求 f（x）在 x0 处的切线方程； （）已知 f（x）1 对任意 xR 恒成立，求 a 的值 解：（）当 a1 时， 所以 f（0）1，f（0）2 切线 l 的斜率为 kf
31、（0）2 所以 f（x）在 x0 处的切线方程为 y2x+1 （）依题意，f（x）1 对任意 xR 恒成立， 当 a0 时，由于 ex0，则 f（x）0 恒成立， 所以 f（x）在 R 内单调递减， 因为 f（0）1， 故当 x0 时，f（x）1，不符合题意 当 a0 时，令 f（x）0，得 当 a0 时，因为 f（0）1，那么 x，f（x），f（x）的变化情况如下表： x f（x） 0 + f（x） 单调递减 极小值 单调递增 所以结合 f（x）的单调性知：当 x0 时，f（x）1，不符合题意 当 a0 时，x，f（x），f（x）的变化情况如下表： x f（x） + 0 f（x） 单调递增
32、极大值 单调递减 当 0a1 时，因为 f（0）1， 所以结合 f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意 当 a1 时，因为 f（0）1， 所以结合 f（x）的单调性知当时，f（x）1，不符合题意 当 a1 时，由 f（x）的单调性可知，f（x）maxf（0）1，所以符合题意 综上，a1 21 由 m 个正整数构成的有限集 Ma1， a2， a3， ， am （其中 a1a2a3am） ， 记 P （M） a1+a2+ +am，特别规定 P（）0，若集合 M 满足：对任意的正整数 kP（M），都存在集合 M 的两个子集 A， B，使得 kP（A）P（B）成立，则称集合 M 为“满集” （
33、）分别判断集合 M11，2与 M22，3是否为“满集”，请说明理由； （）若集合 M 为“满集”，求 a1的值； （）若 a1，a2，a3，am是首项为 1 公比为 2 的等比数列，判断集合 M 是否为“满集”，并说明理 由 解：（）M1是满集，M2不是满集 P（M1）3，且 M1的子集为，1，2，1，2k1，kP（1）P（）， k2，kP（2）P（），k3，kP（1，2）P（） 所以 M1是满集； P（M2）5，且 M2的子集为，2，3，2，3， k4 时，不存在集合 M 的两个子集 A、B，使得 4P（A）P（B）成立， 所以 M2不是满集 （）设 k0P（M），因为集合 M 为“满集”对任意的正整数 kP（M）， 都存在集合 M 的两个子集 A、B，使得 kP（A）P（B）成立 则 k01P（A）P（B），且 P（B）0，所以 P（A）k 0或 P（A）k01 当 P（A）k0时，P（B）1，此时 a11； 当 P（A）k01 时，P（B）0，因为 a1a2a3am， 所以 a2+a3+am为最大 k01，此时 a11 综上 a11 （）集合 M 是满集 由题意知集合 M1，2，4，2m1， 对任意的正整数 k2m1，根据二进制可知， k （0isi1m） 取 A ，B 即 kP（A）P（B），所以集合 M 为“满集”
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