1、石城县石城县 2 2021021 年九年级学生数学竞赛试题年九年级学生数学竞赛试题 （考试时间：120 分钟 满分:120 分） 2021 年 4 月 一、选择题（本题共 6 小题，每小题 5 分共 30 分，在每小题给出的 4 个选项中，只有一个项符合 题目要求） 1.下图中的长方体是由下面 A、B、C、D的四个小几何体拼成的，那么图中第四部分对应的几何体 是( ). A. B. C. D. 2.小颖用 4 张长为 a、 宽为( )的长方形纸片， 按如图的方式拼成一个边长为( + ) 的正方形， 图中空白部分的面积为1，阴影部分的面积为2.若 = 2，则1、2之间的数量关系为 ( ) A.
2、1= 3 22 B. 1= 22 C. 1= 5 22 D. 1= 32 3.如图， 中， = 90， = 4， = 8， 绕点 O逆时针旋转到 处，此时线段与 BO的交点 E 为 BO 的中点，则线段的长度为( ). A. 35 B. 125 5 C. 95 5 D. 165 5 4.如图，(1,1)，(1,4)，(5,4)，点 P是 边上一动点，连接 OP，以 OP 为斜边在 OP 的右上方作直角三角形，其中 = 90， = 30，当点 P在 的三条边上运动一周 时，点 Q 运动的路径长为( ). A. 4 B. 6 C. 43 D. 63 5. 满足方程 22 419151xxyy的整数
3、对()x y，有（ ）. A0 对 B2 对 C4 对 D6 对 6. 如图，正方形 ABCD和正方形 CGFE 的顶点 C，D，E 在同一条直线上，顶点 B，C，G在同一条 直线上O是 EG的中点，的平分线 GH过点 D，交 BE 于点 H，连接 FH 交 EG于点 M，连 （第 6 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） 接.以下四个结论： ； ； = 2 1； = 2 2，其 中正确的结论是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 7. 若(2020 )(2019 ) = 2021，则(2020 )2+ ( 2019)2=
4、_ 8.在平面内有 n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 n个点构成的点 集称为爱尔特希点集如图，是由五个点 A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集(它们为正五边形 的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则的度数是_ 9. 如图各图形是由大小相同的黑点组成， 图1中有2个点， 图2中有7个点， 图3中有 14个点， ， 按此 规律，第 10个图中黑点的个数是_ _ 10.如图， 在 中， = 3， 将 平移 5个单位长度得到 111， 点 P、 Q分 别是 AB、 11的 中点，PQ的最小值等于_. 11.如图，点 A 是双曲线 = 9 在第二象限分支上的一个动点，连接
5、 AO 并延长交另一分支于点 B， 以 AB为底作等腰 ，且 = 120，点 C 在第一象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也 不断变化，但点 C 始终在双曲线 = 上运动，则 k 的值为_ 12.如图，矩形 ABCD 中，E是 AB上一点，连接 DE，将 沿 DE 翻折，恰好使点 A 落在 BC 边 的中点 F 处，在 DF 上取点 O，以 O为圆心，OF长为半径作半圆与 CD相切于点.若 = 4，则 图中阴影部分的面积为_ （第 8 题） （第 9 题） （第 10 题） （第 11 题） （第 12 题） 三、解答题（本题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分，解答应写出必要的
6、文字说明，证明过程和演 算步骤） 13. (1)已知关于 x的方程2 (2 1) + 2= 0有两个实根1，2，且满足： 12 |1| |2| = 2，求实数 k 的值； (2)已知 0，且 + = 6，求(+ ) 3的值 14. 如图，I 是ABC 的内心，IHAB 于 H，HEBC 于 E，AFBC 于 F，D 为 HE 与 BI 交点求证：BAC=2DFE 15. 如图，在 中，弦 AB与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD的延长线上有一点 P，满足 = .过点 P作 ，交 OA的延长线于点 N，连接 DN 交 AP于点 H (1)求证：BP 是 的切线； (2)如果 = 5， = 4，求
7、 PN 的值； (3)如果 = ，求证： = 16.已知 0abc ，且0 bccaab abc ， 求证： 222222 0 bcbccacaabab b cc aa b 17. 定义：如图，若两条抛物线关于直线 = 成轴对称，当 时，取顶点 = 左侧的抛物线的 部分；当 时，取顶点在 = 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关 于直线 = 的一对伴随抛物线 例如： 抛物线 = ( + 1)2( 0)与抛物线 = ( 1)2( 0) 就是关于直线 = 0(轴)的一对伴随抛物线 （第 14 题） （第 15 题） (1)求抛物线 = ( + 1)2+ 3( 1.5)关于直线 =
8、1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式 (2)设抛物线 = 2 22 + 2( 0, 4)交 y轴于点 A，交直线 = 4于点 B 求直线 AB平行于 x轴时的 m 的值 求是直角时抛物线 = 2 22 + 2关于直线 = 4的“伴随抛物线”的顶点横坐标 已知点 C、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，直接写出抛物线 = 2 22 + 2及其关于直线 = 4的 “伴随抛物线”与矩形 OACD 不同的边有四个公共点时 m 的取值范围 18.如图 1，P 为平分线 OC 上一点，以 P 为顶点的两边分别与射线 OM 和 ON 交于 A、 B两点， 如果在绕点P旋转时始终满足 = 2， 我
9、们就把叫做的关联角 (1)如图 2，P 为平分线 OC 上一点，过 P作 于 B， 于 P，那么 _的关联角(填“是”或“不是”) (2)如图 3，如果 = 60， = 2，是的关联角，连接 AB，求 的面积和的度数； 如果 = (0 0)图象上一个动点，过点 C的直线 CD分别交 x 轴和 y 轴于 A， B 两点，且满足 = 2，求出的关联角的顶点 P的坐标 （第 17 题） （第 18 题） 石城县石城县 2021 年九年级学生数学竞赛试题年九年级学生数学竞赛试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题： 1. A; 2.B; 3. B; 4 D.; 5.C ; 6.A. 二、
10、填空题： 7. 4043； 8.18； 9.119； 10. 7 2 ； 11. 3； 12. 2 3 9 三、解答题： 13. 解：13.解：(1)根据题意得= (2 1)2 42 0， 解得 1 4；1 分 (2)1+ 2= 2 1，12= 2， 1 4， 1+ 2= 2 1 0，而12= 2 0， 1 0，2 0，2 分 12 |1| |2| = 2， 1 2+ 1+ 2= 2，3 分 即2+ (2 1) = 2，整理得2+ 2 3 = 0， 解得1= 3，2= 1，4 分 而 1 4， = 3；5 分 (2) + = 6， 2+ 2= 6，6 分 ( + )2= 8， ( )2= (
11、+ )2 4 = 4，7 分 (+ ) 2 = (+)2 ()2 = 2， + = 2，8 分 0， + 0， + 0， + = 2 9 分 (+ ) 3 = 22 答：(+ ) 3的值为2210 分 14. 证明：如图，连结 IA，1 分 I 是ABC 的内心， EBD=HIB，BAC=2IAH 2 分 IHBH，DEBE， RtEBDRtHBI 3 分 BEDE BHIH 5 分 又 AFBC， HEAF，6 分 BEEF BHHA 7 分 DEEF IHHA 8 分 RtDEFRtIHA 9 分 DFE=IAH，BAC=2DFE 10 分 15.(1)证明：如图，连接 BC，OB1 分
12、是直径， = 90， = ， = ， = ， = ， = ， = = 90，2 分 ， 是 的切线3 分 (2)解： ， = ， = ， = ， ()， = = 90， = 90， = 2 2= 52 42= 3，4 分 = ， = ， ， = ， 5 = 3 5， = 25 3 ，5 分 ， = = 90， = ， 4 = 3 25 3 ， = 100 9 6 分 (3)证明： = ， = ， = + ， = + ， + = 90， + = 90， = ， = ， = = ， ， = ，7 分 = ， = = 90， ，8 分 = ， = ， = = ，9 分 = 10 分 16.解： ()
13、()()bccaabbc bcac caab ab abcabc 222 ()()()a bca cbbc bc abc 2 分 2 ()()bcaa bcbc abc () =0 bc ab ac abc ） 4 分 0ab 或0b c 或0ab ， 即ab或bc 或ac . 6 分 不妨设ab，代入所要证等式左边，得： 左边= 2222422222 2 +212bcb cbccbbbcbc b cc bbb cbb c 8 分 又0abc且ab 20bc =右边9 分 如果bc 或a c ，结论同样成立，所以所证等式成立. 10 分 17.解：(1) 抛物线 = ( + 1)2+ 3( 1
14、.5)的顶点坐标(1,3)， (1,3)关于直线 = 1.5的对称点坐标为(4,3)1 分 “伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为： = ( 4)2+ 3( 1.5)； 2 分 (2) 抛物线 = 2 22 + 2( 0, 4)交 y 轴于点 A， 点(0,2)，3 分 直线 AB 平行于 x 轴，抛物线交直线 = 4于点 B 点(4,2)，4 分 2 = 16 82+ 2， = 0(舍去)， = 2， = 2；5 分 如图 1 和图 2， = 90， 点 B 在 x 轴上， 点 B 的坐标是(4,0)， 把(4,0)代入 = 2 22 + 2中，得 16 82+ 2 = 0， 解得， = 2
15、+5 2 或25 2 ，6 分 = 2 22 + 2的顶点横坐标为： = 22 2 = ， 即抛物线 = 2 22 + 2的顶点横坐标为2+5 2 或25 2 ，7 分 则抛物线 = 2 22 + 2关于直线 = 4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为： 4 + (4 2+5 2 ) = 145 2 ，或4 + (4 25 2 ) = 14+5 2 ， “伴随抛物线”的顶点横坐标为145 2 或14+5 2 ；8 分 2+5 2 .10 分 如图 3 和图 4， 点 C、 D 的坐标分别为(8,2)、 (8,0)， (0,2)， 抛物线 = 2 22 + 2及其关于直线 = 4的 “伴随抛物线”与矩
16、形 OACD 不同的边有四个公共点， 点 B 在 x 轴下方， 设(4,)，则 0， 把(4,)代入 = 2 22 + 2中，得 = 16 82+ 2， = 16 82+ 2 0， 由二次函数 = 16 82+ 2图象可知， 当 0时，若 0，则 0时，若 2+5 2 故 2+5 2 18.解：(1)是;1 分 (2)如图，过点 A 作 ， 是的关联角， = 2， = 2= 4，2 分 在 中， = 90， sin = ， = ， = 1 2 = 1 2 60 = 1 2 2 3 2 = 3，3 分 2= ， = ， 点 P 为的平分线上一点， = = 1 2 = 30，4 分 ， = ， =
17、 + = + = 180 30 = 150，5 分 由有，= 1 2 = 1 2 2 ；6 分 (3) 过点 C 的直线 CD 分别交 x 轴和 y 轴于 A，B 两点，且满足 = 2， 只有点 A 在 x 轴正半轴， 当点 B 在 y 轴负半轴时，点 A 只能在 x 轴正半轴即：点 P 只能在第四象限， 设(,0)，(0,)( 0, 0)， 2= 22， 22= 1， = 2 2 或 = 2 2 (舍)， 点( 2 2 , 2 2 )8 分 当点 B 在 y 轴正半轴，由于 = 2，所以，点 A 只能在 x 轴正半轴上， 设(,0)，(0,)( 0, 0) 点(2 3 , 3)， 2 3 3 = 2， = 9， 的关联角 2= = = 9， = 3， 点 P 在的平分线上，即：点 P 在第一象限，设(,)，( 0) 2= 22， 22= 9， = 32 2 或 = 32 2 (舍) 即：点(32 2 , 32 2 )， 综上所述，( 2 2 , 2 2 )或(32 2 , 32 2 ).10 分
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