1、20202020- -20212021学年学年八年级数学八年级数学省实杯学科素养竞赛省实杯学科素养竞赛 第一试第一试 一、填空题 1、（4 分）边长为整数、周长为 20 的三角形的个数为 2、（4 分）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在ABC 外的 A处，折痕为 DE 如果A ，CEA ，BDA ，则，三者之间的等量关系是 3、（4 分）如图，在坐标系 xOy 中， A(2,1)、B(4,1)、C(1, 3)与ABC 与ABD 全等 则点 D （异于点 C）坐标为 4、（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 4，一个以点 A 为顶点的 45角绕点 A 旋转，角的两边分
2、别与边 BC 、DC 的 延长线交于点 E 、 F ， 连结 EF 设 CE a ， CF b ， 如图， 当 AEF 是直角三角形时， 求 a 、 b 的值 5、（4 分）如图，等边ABC 中， AB 2 ， D 为 ABC 内一点，且 DA DB ， E 为 ABC 外一点， BE AB 且 EBD CBD ，连接 DE 、CE ，则下列结论： DAC DBC ； BE AC ； DEB 30 ；若 EC / / AD ， 则 SEBC 1，其中正确的有 二、解答题 6、（15 分）若 a b 10 ， ab 6 ，求： （1） a2b ab2 的值； （2） a2 b2 的值 (3) a
3、4 b4 的值 7、（15 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(0, 2)，点 P 是 x 轴负半轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧 作等边三角形 APQ 当点 P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为 B （1）直接写点 B 到 x 轴的距离 ； （2）连接OQ ，当OQ / AB 时，求 P 点的坐标 （3）当点 P 在 x 轴负半轴上运动(P 不与O 重合）时，求 OQ 的最小距离 8、 （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，图形G 的 投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于 x 轴， y 轴，图形 G 的顶点在矩形的边上或内部， 且矩形的面积最小，设矩形的较长的边与较短
4、的边 的比为 k ，我们称常数 k 为图形G 的投影比如图 1，矩形 ABCD 为 DEF 的投影矩形，其投影比 k BC AB （1）如图 2，若点 A(1, 3) ， B(3, 6) ，则OAB 投影比 k 的值为 ； （2）已知点 M (2, 0) ，点N (2,1) ，且MPN 投影比k 4 ，则 P 点坐标可能是 （填写序号）； 3 (1, 3)； (2, 2) ； (3, 3) ； (6, 5) （3）已知点 E(3, 2)，在直线 y 2x 上有一点 F (5, a) 和一动点 P(m, n) 且 m 3 ，是否存在这样的 m ，使得PEF 的投 影比 k 为定值？若存在，请求出
5、 m 的范围及定值 k ；若不存在，请说明理由 9、（15 分）平行线分线段成比例是九年级图形的相似这一章的预备定理。定理内容为：三条平行线截两条直 线，所得的对应线段成比例已知（如图） 求证： 请给出证明。（温馨提示：该定理为相似三角形的预备定理，不可用相似三角形知识证明） A D B C 第二试第二试 10、（10 分）已知 a 1, k 0, 且 a4 ka = 1 k. (1) 证明: k(a + 1) 0； (2) 若 a4 ka = 1 k = c 0, 证明: c a2. 11、 （15 分）已知 D 为锐角 ABC 内一点, 满足 DA = DC, ADC = 2DBC, SBDC = 5 11. BC = 10, 求 AB 的 长. 12、（15 分） (1) 先从 1, 2, , 2021 中选出 n 个数, 再从这 n 个数中任选两个数 a, b, 均有 a b. 求 n 的最大值; (2) 先从 1, 2, , 2021 中选出 n 个数, 再从这 n 个数中任选两个数 a, b, 均有 a 2b. 求 n 的最大值.
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