1、2021 年年北京市朝阳区二校北京市朝阳区二校中考数学段考试卷（中考数学段考试卷（4 月份）月份） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.请将正确请将正确 选项填涂在答题卡相应的位置选项填涂在答题卡相应的位置. 1KN95 型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染 病“KN95” 表示此类型的口罩能过滤空气中 95%的粒径约为 0.0000003m 的非油性颗粒 其中， 0.0000003 用科学记数法表示为（ ） A
2、310 6 B310 7 C0.310 6 D0.310 7 2函数中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 3如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A B C D 4如图，数轴上两点 M，N 所对应的实数分别为 m，n，则 mn 的结果可能是（ ） A1 B1 C2 D3 5下列各式由左到右是分解因式的是（ ） Ax2+6x9（x+3） （x3）+6x B （x+2） （x2）x24 Cx22xyy2（xy） 2 Dx28x+16（x4） 2 6如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ） A B C D 7小聪在用直
3、尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：AOB 求作：AOB，使AOBAOB 作法： （1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点 D； （4）过点 D画射线 OB，则AOBAOB 小聪作法正确的理由是（ ） A由 SSS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB B由 SAS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB C由 ASA 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB D由“等边对等角”可
4、得AOBAOB 8如图所示，将一根长 2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ） A正比例函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9请写出一个比小的正整数 10用一个 a 的值说明命题“如果 a21，那么 a1”是错误的，这个值可以是 a 11如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线的交点，则ABC 与BCD 的大小关系为： ABC BCD（填“” ， “”或“” ） 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，1） ，B（2，2） ，双曲线 y与线
5、段 AB 有公共点，则 k 的取 值范围是 13如图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块 形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积 是 （用含 a，b 的式子表示） 14某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图 该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号） 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是 2； 掷一枚硬币，正面朝上； 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 15不等式组的解集是 16如图，
6、一次函数 yax+b 与 ycx+d 的图象交于点 P下列结论中，所有正确结论的序号是 b0；ac0；当 x1 时，ax+bcx+d；a+bc+d；cd 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-25 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 26 题题 7 分，第分，第 27 题题 8 分，第分，第 28 题题 8 分）分） 17 （5 分）计算： （） 1+2cos45+| 1|（3.14）0 18 （5 分）如图，AD 是ACE 的角平分线，BABC，BDAE 求证：CE 19 （5 分）已知 3x2x10，求代数式（2x+5） （2x5）+2x（x1）的值 20 （
7、5 分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使直线 PQ直线 l 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 A，连接 PA； 作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，线段 PA 于点 B，O； 以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线 MN 于另一点 Q； 作直线 PQ，所以直线 PQ 为所求作的直线 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：直线 MN 是 PA 的垂直平分线， PO ，POQAOB90 O
8、QOB， POQAOB PQl（ ） （填推理的依据） 21 （5 分）已知关于 x 的方程 mx2+nx20（m0） （1）求证：当 nm2 时，方程总有两个实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的 m，n 的值，并求此时方程的根 22 （5 分）2020 年 3 月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级 600 名学生居家减压方式 情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查将居家减压方式分为 A（享受美食） 、B（交 流谈心） 、C（室内体育活动） 、D（听音乐）和 E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最 常用的减压方式他们将收集的
9、数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1、表 2 和表 3 表 1：小莹抽取 60 名男生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 4 6 37 8 5 表 2：小静随机抽取 10 名学生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 2 1 3 3 1 表 3：小新随机抽取 60 名学生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 6 5 26 13 10 根据以上材料，回答下列问题： （1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方 式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之
10、处 （2） 根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级 600 名学生中利 用室内体育活动方式进行减压的人数 23 （5 分）截止到 2020 年 11 月 23 日，全国 832 个国家级贫困县全部脱贫摘帽某单位党支部在“精准扶 贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格 贵 10 元， 用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵 的价格 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+1（k0）与函数 y（x0）的图象 G 交 于点 A（1，
11、2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k，m 的值； （2）点 P 为图象 G 上一点，过点 P 作 x 轴的平行线 PQ 交直线 l 于点 Q，作直线 PA 交 x 轴于点 C，若 SAPQ：SACB1：4，求点 P 的坐标 25 （5 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，连接 BC 交O 于点 D，点 E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F （1）求证：ACCF； （2）若 AB4，AC3，求BAE 的正切值 26 （7 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx22mx+m23 与 y 轴交于点 A，过 A 作 ABx 轴与直线 x 4 交于 B 点 （1）抛物
12、线的对称轴为 x （用含 m 的代数式表示） ； （2）当抛物线经过点 A，B 时，求此时抛物线的表达式； （3）记抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G（包含 A，B 两点） ，点 P（m，0）是 x 轴上一动点，过 P 作 PDx 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD1，求 m 的取值范围 27 （8 分）如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，ACP（060） ，点 A 关于射线 CP 的 对称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE （1）依题意补全图形； （2）求DBC 的大小（用含 的代数式表示） ； （3）直接写出AEB 的度数； （
13、4）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明 28 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，定义如下：点 M 与点 N 的“直角距离”为|x1x2|+|y1y2|，记作 dMN 例如：点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN|17|+|52|9 （1）已知点 P1（1，0） ，P2（，） ，P3（，） ，P4（，） ，则在这四个点中，与 原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 ； （2）如图，已知点 A（1，0） ，B（0，1） ，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离” 都等于 1 若点
14、 P 与原点 O 的“直角距离”dOP1请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全； （3）已知直线 ykx+2，点 C（t，0）是 x 轴上的一个动点 当 t3 时，若直线 ykx+2 上存在点 D，满足 dCD1，求 k 的取值范围； 当 k2 时，直线 ykx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F若线段 EF 上任意一点 H 都满足 1dCH 4，直接写出 t 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
15、请将正确请将正确 选项填涂在答题卡相应的位置选项填涂在答题卡相应的位置. 1KN95 型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染 病“KN95” 表示此类型的口罩能过滤空气中 95%的粒径约为 0.0000003m 的非油性颗粒 其中， 0.0000003 用科学记数法表示为（ ） A310 6 B310 7 C0.310 6 D0.310 7 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个 不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000003 用科学记数法表示为：310 7 故选
16、：B 2函数中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于 0，求出即可 【解答】解：有意义的条件是：x30 x3 故选：B 3如图是由 4 个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】从上面看该几何体所得到的图形即为该几何体的俯视图 【解答】解：从上面看该几何体，选项 B 的图形符合题意， 故选：B 4如图，数轴上两点 M，N 所对应的实数分别为 m，n，则 mn 的结果可能是（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得2n10m1，mn 的结
17、 果可能是 2 【解答】解：M，N 所对应的实数分别为 m，n， 2n10m1， mn 的结果可能是 2 故选：C 5下列各式由左到右是分解因式的是（ ） Ax2+6x9（x+3） （x3）+6x B （x+2） （x2）x24 Cx22xyy2（xy） 2 Dx28x+16（x4） 2 【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可 【解答】解：A等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； B等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； C等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
18、 故选：D 6如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 和 互余的摆放方式是（ ） A B C D 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可 【解答】解：A 与 互余，故本选项正确； B，故本选项错误； C，故本选项错误； D 与 互补，故本选项错误， 故选：A 7小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知：AOB 求作：AOB，使AOBAOB 作法： （1）如图，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）
19、步中所画的弧相交于点 D； （4）过点 D画射线 OB，则AOBAOB 小聪作法正确的理由是（ ） A由 SSS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB B由 SAS 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB C由 ASA 可得OCDOCD，进而可证AOBAOB D由“等边对等角”可得AOBAOB 【分析】先利用作法得到 ODOCODOC，CDCD，然后根据全等三角形的判定方法对 各选项进行判断 【解答】解：由作图得 ODOCODOC，CDCD， 则根据“SSS”可判断CODCOD 故选：A 8如图所示，将一根长 2m 的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（ ） A正比例
20、函数关系 B一次函数关系 C二次函数关系 D反比例函数关系 【分析】设矩形的一边长为 xm，则另一边的长为（22x）m，令矩形的面积为 ym2，由题意可列出 y 关于 x 的函数关系式，化简即可得出答案 【解答】解：设矩形的一边长为 xm，则另一边的长为（22x）m，令矩形的面积为 ym2，由题意得： yx（22x） x（1x） x2+x， 矩形的面积与其一边满足的函数关系是 yx2+x，即满足二次函数关系 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9请写出一个比小的正整数 答案不唯一；例如：3 【分析】直接利用估算无理数的方法得出一个符合题意的
21、答案 【解答】解：写出一个比小的正整数：答案不唯一；例如 3 故答案为：答案不唯一；例如 3 10 用一个 a 的值说明命题 “如果 a21， 那么 a1” 是错误的， 这个值可以是 a 2 （答案不唯一） 【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可 【解答】解：当 a2 时，a241，而21， 命题“若 a21，那么 a1”是假命题， 故答案为：2（答案不唯一） 11如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线的交点，则ABC 与BCD 的大小关系为： ABC BCD（填“” ， “”或“” ） 【分析】连接 AC，BD，根据勾股定理得到 AC2BC2BD222+125，AB2CD2
22、32+1210，求得 AC2+BC2AB2，BD2+BC2CD2，于是得到ABCBCD45，进而得到结论 【解答】解：连接 AC，BD， 根据勾股定理得到 AC2BC2BD222+125，AB2CD232+1210， AC2+BC2AB2，BD2+BC2CD2， ABC 和BCD 都是等腰直角三角形， ABCBCD45 故答案为： 12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，1） ，B（2，2） ，双曲线 y与线段 AB 有公共点，则 k 的取 值范围是 1k4 【分析】求得 A 和 B 分别在双曲线上时对应的 k 的值，则 k 的范围即可求解 【解答】解：当（1，1）在 y上时，k1，
23、当（2，2）在 y的图象上时，k4 则双曲线 y与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围是 1k4 故答案是：1k4 13如图（1）是一个长为 2a，宽为 2b（ab）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块 形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是 （a b）2 （用含 a，b 的式子表示） 【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为 a，b，然后根据图（2）中大正方形的面积减去四个小 长方形的面积表示出中空部分面积即可 【解答】解：中间空白部分的面积是： （a+b）24ab a2+2ab+b24ab a22ab+b2 （ab）2
24、， 故答案为： （ab）2 14某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图 该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号） 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是 2； 掷一枚硬币，正面朝上； 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 【分析】根据统计图可知，试验结果在 0.33 附近波动，即其概率 P，计算三个选项的概率，约为者 即为正确答案 【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在 0.33，即左右， 中向上一面的点数是 2 的概率为，不符合题意； 中掷一枚硬币，正面朝上的概率
25、为，不符合题意； 中从中任取一球是红球的概率为，符合题意， 故答案为： 15不等式组的解集是 3x1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 1x4，得：x3， 解不等式1，得：x1， 则不等式组的解集为3x1， 故答案为：3x1 16 如图， 一次函数 yax+b 与 ycx+d 的图象交于点 P 下列结论中， 所有正确结论的序号是 b0；ac0；当 x1 时，ax+bcx+d；a+bc+d；cd 【分析】根据函数的图象以及一次函数的性质判断即可 【解答】解：由图象可知一次函数 yax+b 的
26、图象经过一、二、四象限， a0，b0，故错误； 由图象可知一次函数 ycx+d 的图象经过一、二、三象限， c0，d0， ac0，故正确； 由图象可知，当 x1 时，ax+bcx+d，故错误； 一次函数 yax+b 与 ycx+d 的图象交于点 P，且 P 的横坐标为 1， a+bc+d，故正确； 函数 ycx+d 与 x 轴的交点为（，0） ，且1，c0， cd，故正确， 故答案为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-25 题，每小题题，每小题 5 分，第分，第 26 题题 7 分，第分，第 27 题题 8 分，第分，第 28 题题 8 分）分） 17 （5 分）
27、计算： （） 1+2cos45+| 1|（3.14）0 【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（） 1+2cos45+| 1|（3.14 ）0的值是多少即可 【解答】解： （） 1+2cos45+| 1|（3.14）0 2+2+11 2+2 2 18 （5 分）如图，AD 是ACE 的角平分线，BABC，BDAE 求证：CE 【分析】根据平行线的性质得到ADBDAE，BDCE，即可得到BADADB，根据等角对 等边得到 ABBD，进而得到 BCBD，从而证得CBDCE 【解答】证明：AD 是ACE 的角平分线， DACDAE， BDAE ADBDAE，BDCE， BADAD
28、B， ABBD， BABC， BCBD， CBDC， CE 19 （5 分）已知 3x2x10，求代数式（2x+5） （2x5）+2x（x1）的值 【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代 入求值即可 【解答】解：原式4x225+2x22x6x22x25， 3x2x10， 3x2x1 原式2（3x2x）25212523 20 （5 分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使直线 PQ直线 l 作法：如图 2， 在直线 l 上取一点 A，连接 P
29、A； 作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，线段 PA 于点 B，O； 以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交直线 MN 于另一点 Q； 作直线 PQ，所以直线 PQ 为所求作的直线 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明： 证明：直线 MN 是 PA 的垂直平分线， PO AO ，POQAOB90 OQOB， POQAOB QPO BAO PQl（ 内错角相等，两直线平行 ） （填推理的依据） 【分析】 （1）根据作法画出对应的几何图形； （2）利用线段垂直平分线的性质得到 POAO，POQAOB90则判断PO
30、QAOB，从而 得到QPOBAO，然后根据平行线的判定得到结论 【解答】解： （1）如图 2，PQ 为所作； （2）直线 MN 是 PA 的垂直平分线， POAO，POQAOB90， OQOB， POQAOB， QPOBAO， PQl（内错角相等，两直线平行） 故答案为 AO，QPO，BAO内错角相等，两直线平行 21 （5 分）已知关于 x 的方程 mx2+nx20（m0） （1）求证：当 nm2 时，方程总有两个实数根； （2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的 m，n 的值，并求此时方程的根 【分析】 （1）根据根的判别式符号进行判断； （2）根据判别式以及一元二次方程的
31、解法即可求出答案 【解答】 （1）证明：（m2）24m（2）m2+4m+4（m+2）20， 方程总有两个实数根； （2）由题意可知，m0n24m（2）n2+8m0， 即：n28m 以下答案不唯一，如： 当 n4，m2 时，方程为 x22x+10 解得 x1x21 22 （5 分）2020 年 3 月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级 600 名学生居家减压方式 情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查将居家减压方式分为 A（享受美食） 、B（交 流谈心） 、C（室内体育活动） 、D（听音乐）和 E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最 常用的减压方式他们将收
32、集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表 1、表 2 和表 3 表 1：小莹抽取 60 名男生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 4 6 37 8 5 表 2：小静随机抽取 10 名学生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 2 1 3 3 1 表 3：小新随机抽取 60 名学生居家减压方式统计表（单位：人） 减压方式 A B C D E 人数 6 5 26 13 10 根据以上材料，回答下列问题： （1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方 式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不
33、足之处 （2） 根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级 600 名学生中利 用室内体育活动方式进行减压的人数 【分析】 （1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行判断； （2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体 600 人的是采取室内体育锻炼减 缓压力的人数 【解答】解： （1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同 学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造 成偏差 （2）600260（人） ， 答：该校九年级 600 名学生中
34、利用室内体育活动方式进行减压的大约有 260 人 23 （5 分）截止到 2020 年 11 月 23 日，全国 832 个国家级贫困县全部脱贫摘帽某单位党支部在“精准扶 贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格 贵 10 元， 用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵 的价格 【分析】设每棵甲种树苗的价格为 x 元，则每棵乙种树苗的价格为（x+10）元根据用 480 元购买乙种 树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程，进而可以解得答案 【解答】解：设每棵甲种树苗的价格
35、为 x 元，则每棵乙种树苗的价格为（x+10）元 根据题意得， 解得，x30； 经检验 x30 为原方程的解，且符合题意， 每棵乙种树苗的价格为：30+1040（元） ， 答：每棵甲种树苗的价格为 30 元，则每棵乙种树苗的价格为 40 元 24 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：ykx+1（k0）与函数 y（x0）的图象 G 交 于点 A（1，2） ，与 x 轴交于点 B （1）求 k，m 的值； （2）点 P 为图象 G 上一点，过点 P 作 x 轴的平行线 PQ 交直线 l 于点 Q，作直线 PA 交 x 轴于点 C，若 SAPQ：SACB1：4，求点 P 的坐标
36、【分析】 （1）根据待定系数法求得即可； （2）分两种情况讨论，通过证得APQACB，从而得到，即可求得 P 点的坐标 【解答】解： （1）将点 A（1，2）代入 ykx+1（k0）中，得 k+12， k1， 将点 A（1，2）代入 y（x0）中得 m2； （2）当点 P 在点 A 下方时， 过点 A 作 AGx 轴，交直线 PQ 于点 H， PQ 平行于 x 轴， APQACB， ， ， 点 A（1，2） ， 点 P 纵坐标为 1 m2， P 点坐标为（2，1） 当点 P 在点 A 上方时， 过点 A 作 AGx 轴，交直线 PQ 于点 H PQ 平行于 x 轴， APQACB （）2， ，
37、 点 A（1，2） ， P 点纵坐标为 3 代入得， P 点坐标为， P 点坐标为（2，1）或（，3） 25 （5 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，连接 BC 交O 于点 D，点 E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F （1）求证：ACCF； （2）若 AB4，AC3，求BAE 的正切值 【分析】 （1）连接 BE，若要证明 ACCF，则只要证明CAEEFBAFC 即可； （2）易证得 BF2，根据 cosABC，可求出 BD 的长，进而得到 AD 和 DF 的长，然后 根据 tanBAEtanDAE 求得即可 【解答】 （1）证明：连接 BE， CA 是O 的切线，
38、 CAB90， AB 是直径， AEB90， E 是弧 BD 的中点， ， BAEDBE， CAEEFBAFC， ACCF； （2）解：在 RtABC 中，AB4，AC3， BC5 ACCF3， BFBCCF2 AB 是直径， ADB90， cosABC， BD， AD，DFBDBF tanBAEtanDAE 26 （7 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx22mx+m23 与 y 轴交于点 A，过 A 作 ABx 轴与直线 x 4 交于 B 点 （1）抛物线的对称轴为 x m （用含 m 的代数式表示） ； （2）当抛物线经过点 A，B 时，求此时抛物线的表达式； （3）记抛物线在线
39、段 AB 下方的部分图象为 G（包含 A，B 两点） ，点 P（m，0）是 x 轴上一动点，过 P 作 PDx 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD1，求 m 的取值范围 【分析】利用二次函数对称轴和顶点即可求解（1） （2）问； （3）求出函数与 x 轴两个交点，求出 D（m，3） ，由于 CD1，所有 C 要在 x 轴上方的 G 区域，结 合图象，即可求出 m 的范围 【解答】解： （1）根据抛物线的对称轴 x，代入得到 xm； 故答案为 m； （2）yx22mx+m23（xm）23， 抛物线顶点坐标为（m，3） 抛物线经过点 A，B 时，且 ABx 轴， 抛物线对
40、称轴为 xm2 抛物线的表达式为 yx24x+1； （3）yx22mx+m23 与 y 轴交于点 A（0，m23） ，顶点（m，3） ， PDx 轴， D（m，3） ， CD1， 3m232， 1m1， 抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G， m0， 0m1 27 （8 分）如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，ACP（060） ，点 A 关于射线 CP 的 对称点为点 D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE （1）依题意补全图形； （2）求DBC 的大小（用含 的代数式表示） ； （3）直接写出AEB 的度数； （4）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证
41、明 【分析】 （1）根据题意画出图形即可； （2）连接 CD根据线段 AC 和 DC 关于射线 CP 的对称，可得 ACDC，ACEDCE根据 ABC 是等边三角形，即可表示DBC 的大小； （3）在 BE 上取点 F，使FCE60，连接 CD，设 AD 与 CP 交于点 H，根据已知条件证明CBF CAE（ASA） ，可得 CFCE，得CEF 是等边三角形，进而可得AEB 的度数； （4）根据CBFCAE，可得 BFAEDE，根据CEF 是等边三角形，进而可得线段 AE，BD，CE 之间的数量关系 【解答】解： （1）依题意补全图形如下： （2）连接 CD 线段 AC 和 DC 关于射线 C
42、P 的对称， ACDC，ACEDCE ABC 是等边三角形， ACBC，ACB60 BCDC，BCD60+2 （3）AEB60理由如下： 如图，在 BE 上取点 F，使FCE60，连接 CD，设 AD 与 CP 交于点 H， ABC 是等边三角形， ACBC，ACB60 ACBACFFCEACF， BCFACE， 点 A 和点 D 关于射线 CP 的对称， PC 是 AD 的垂直平分线， ACDC，AEDE，ACEDCE CADCDA，EADEDA， CAECDE， BCACDC， CBFCDE， CBFCAE， 在CBF 和CAE 中， ， CBFCAE（ASA） ， CFCE， FCE60
43、， CEF 是等边三角形， CEF60， AEHDEHCEF60， AEB180AEHCEF180606060； （4）结论：BD2AE+CE理由如下： 由（1）知，AEDE， CBFCAE， BFAE， BFAEDE， CEF 是等边三角形， CEEF， BDBF+FE+EDCE+2AE 28 （8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，定义如下：点 M 与点 N 的“直角距离”为|x1x2|+|y1y2|，记作 dMN 例如：点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN|17|+|52|9 （1）已知点 P1（1，0） ，P2（，）
44、 ，P3（，） ，P4（，） ，则在这四个点中，与 原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 P1，P4 ； （2）如图，已知点 A（1，0） ，B（0，1） ，根据定义可知线段 AB 上的任意一点与原点 O 的“直角距离” 都等于 1 若点 P 与原点 O 的“直角距离”dOP1请在图中将所有满足条件的点 P 组成的图形补全； （3）已知直线 ykx+2，点 C（t，0）是 x 轴上的一个动点 当 t3 时，若直线 ykx+2 上存在点 D，满足 dCD1，求 k 的取值范围； 当 k2 时，直线 ykx+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F若线段 EF 上任意一点 H 都满足 1dCH
45、 4，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得|x|+|y|1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点 C 的坐标为（3，0） ，根据 dCD1，并由（2）可得：点 D 在正方形 EFMN 边上，如图 2，通过观察图 2 可得：k 的最大值是过点 E 的直线，k 的最小值是过 F，M 的直线，代入可 得结论； 根据 k2 可得直线 EF 的解析式为：y2x+2，计算点 E 和 F 的坐标，设 H（m，2m+2） ，根据 点 H 在线段 EF 上， 可得 0m1， 根据 “直角距
46、离” 的定义列式得 dCH|tm|+|2m+2|tm|2m+2， 列不等式后分两种情况进行讨论可得结论 【解答】解： （1）点 P1（1，0） ，P2（，） ，P3（，） ，P4（，） ， |1|+01，|+|2，|+|，|+|1， 与原点 O 的“直角距离”等于 1 的点是 P1，P4； 故答案为：P1，P4； （2）设 P（x，y） ， 点 P 与原点 O 的“直角距离”dOP1， |x|+|y|1， 当 x0，y0 时，x+y1，即 yx+1， 当 x0，y0 时，xy1，即 yx1， 当 x0，y0 时，x+y1，即 yx+1， 当 x0，y0 时，xy1，即 yx1， 如图 1 所示
47、， （3）当 t3 时，点 C 的坐标为（3，0） ， 由（2）可得：dCD1，则点 D 在正方形 EFMN 边上，如图 2， F（2，0） ，E（3，1） ，M（3，1） ，N（4，0） ， 又点 D 在直线 ykx+2，又直线 ykx+2 过点（0，2） ， 由图 2 可知：当直线 ykx+b 过点 E 时，通过观察图 2 可得：k 的最大值是过点 E 的直线，k 的最小值是 过 F，M 的直线， 把点 E 的坐标（3，1）代入 ykx+2 中，3k+21，k， 把点 F 的坐标（2，0）代入 ykx+2 中，2k+20，k1， 故 k 的取值范围是：1k； 当 k2 时，直线的解析式为：y2x+2， 当 x0 时，y2，当 y0 时，x1， E（1，0） ，F（0，2） ， 设 H（m，2m+2） （0m1） ， dCH|tm|+|2m+2|tm|2m+2， 1dCH4，即 1|tm|2m+24， 又 02m+22， 即1|mt|4， 当 tm 时，有1mt4， 0m1， 4t2， 又 tm， 4t1， 当 tm 时，有1tm4， 0m1， 1t5， 又 tm， 1t5， 综上，t 的取值范围为：4t5
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