1、专题 15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如 与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上， 重点说明求解此类问题的方法 规律. 一、 与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面： 一是用向量的数量积解决有关角的问题； 二是用向量的坐标表示解决共线问题 (1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a(x1，y1)，b(x2， y2)，再用向量数量积的坐标公式 cos x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2
2、2y 2 2求角 (2)当a，b不共线时，有a，b为：直角ab0；钝角ab0(且a，b不同向) (3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键 二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建 不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极(最) 值等. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2020 上海高三专题练习)设 1 F， 2 F为曲线 22 1: 1 62 xy C的焦点，P是曲线 2 2 2: 1 3 x Cy与 1 C的一个交点，则 12 12 | PF PF PFPF 的值为( ) A 1 4 B 1 3 C 2 3
3、 D 1 3 【答案】B 【详解】设点P为曲线 2 C与 1 C在第一象限内的交点，由曲线 22 1: 1 62 xy C的方程可得 1 20F ，、 2 2 0F， 再由椭圆的定义可得： 12 2 6PFPF， 又因曲线 2 2 2: 1 3 x Cy 的焦点和曲线 1 C 的焦点相同，再由双曲线的定义可得： 12 2 3PFPF， 1 63PF ， 2 63PF ， 12 PFF中，由余弦定理可得： 22 2 12 63634 1 cos 3 26363 FPF ，所以 12 12 12 cos | 1 3| PF PF FPF PFPF . 例 2(2020 江苏南京市 高三)光线从椭圆
4、的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另 一个焦点； 光线从双曲线的一个焦点发出， 被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出. 如图， 一个光学装置由有公共焦点 12 ,F F的椭圆 与双曲线 构成， 现一光线从左焦点1 F发 出，依次经过 与 反射，又回到了点1, F历时 1 t秒；若将装置中的 去掉，此光线从点1 F 发出， 经 两次反射后又回到了点 1, F历时 2 t秒； 若 21 6 ,tt则 与 的离心率之比为( ) A1: 2 B1：2 C2：3 D3：4 【答案】C 【详解】设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a，在左图中，由椭圆定义可得： 121 2BFB
5、Fa，由双曲线定义可得： 212 2AFAFa，得： 1112 22AFABBFaa， 1 ABF的周长为： 12 22aa；在右图中，光线从椭圆的一 个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线CD过 2 F， 1 CDF的周长为 1 4a，又两次时间分别为 1 t， 2 t，且 21 6tt，光线速度相同， 112 21 221 46 taa ta ， 1 2 3 2 a a ，椭圆与双曲线焦点相同， 12 cc， 1 112 2 21 2 2 3 c eaa c ea a 例 3.(2020 浙江温州中学高三)设点M是长方体 1111 ABCDABC D的棱AD的中点， 1 4A
6、AAD，5AB，点P在面 11 BCC B上，若平面 1 D PM分别与平面ABCD和平面 11 BCC B所成的锐二面角相等，则P点的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.一条线段 D.一段圆弧 【答案】C 【解析】设P在平面ABCD的投影为 1 P，平面 1 D PM与平面ABCD所成的锐二面角为 则 1 1 cos MDP D PM S S ，M在平面 11 BCC B的投影为BC中点 1 M， 平面 1 D PM与面 11 BCC B所 成的锐二面角为 ，则 1 1 cos CPM D PM S S ，故 11 11 MDPCPM D PMD PM SS SS 即 1
7、1 MDPCPM SS 得到 11 11 2 5,5 22 C Mh h ，即P到直线 11 C M的距离为定值，故P在与 11 C M平行的 直线上，又点P在面 11 BCC B上，故轨迹为一条线段. 例 4.(2020 广州市天河中学)(多选)已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1. xy N mn ：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为 一个正六边形的顶点，下列结论正确的是( ) 参考数据(21.414, 3 1.74) A椭圆的离心率31e B双曲线的离心率2e C椭圆上不存在点 A 使得 12 0AF AF
8、 D双曲线上存在不同的四个点 Bi(i=1,2,3,4),使得 12ii BFBF 【答案】ABD 【详解】如图，不妨设1c，双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 在第一象限的交点坐标为 13 , 22 P ， 由正六边形的性质， 可得 12 PFPF， 21 60PF F, 21 1,|3PFPF ， 椭圆 M 的长轴长 31 2 a , 222 3 1 2 bac ,bc ,当A为椭圆的上顶点时 21 F AF为钝角， 12 0AF AF,故 C 错误；椭圆 M 离心率 1 4 31 3+1 e ，故 A 正 确；双曲线 N 的渐近线方程为3yx,3 n m ，又 222 4mnc ,1,3
9、mn, 双曲线 N 的离心率为 2 2 c e m ,故 B 正确；以 12 FF为直径作圆，显然与双曲线 N 有四 个不同的交点，这四个点关于 12 FF所张的角为直角，故 D 正确. 例 5.(2020四川石室中学高三)设双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右顶点为 , ,A B P是双曲线上不同于,A B的一点，设直线,AP BP的斜率分别为 ,m n，则当 2 323 lnln 3 b mnmnmn a 取得最小值时，双曲线 C 的离心率为( ) A. 31 2 B. 5 2 C.3 D.5 【答案】D 【解析】由双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab
10、 ，则 (,0),( ,0)AaB a ，设 00 (,)P xy，则 22 00 22 1 xy ab ， 可得 22 22 0 0 2 () xa yb a ， 则 00 00 , yy mn xaxa ， 所以 22 0 222 0 yb mn xaa ， 所以 222 222 22 323 lnln323ln 33 bbbbb mnmnmn aaaaa 2 3 2 2 3( )26ln 3 bbbb aaaa ，设0 b t a ，则 32 2 ( )326ln 3 f ttttt， 则 322 2 62436(2)(23) ( )324 ttttt f ttt ttt ，当(0,2)
11、t时， 0ft ， f t单调递减；当(2,)t时， 0ft ， f t单调递增， 所以当2t 时， 函数 f t取得最小值， 即当 2 323 lnln 3 b mnmnmn a 取得最 小值时，2 b a ，所以双曲线的离心率为 222 22 15 cabb e aaa ，故选 D 例 6(2020 全国高三专题练习)已知点 P 在曲线 C： 2 1 2 yx上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与直线l垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OPOQ， 则点 P 的纵坐标为_ 【答案】1 【详解】依据题意直作出图象，如下： 设 00 ,P x y， 11
12、 ,Q x y,则： 2 00 1 2 yx， 2 11 1 2 yx.因为 2 1 2 yxx ，所以曲线 C 在点 P 处的切线斜率为： 0 0 x x kyx ， 又过点 P 且与直线l垂直的直线与曲线 C 的另一 交点为 Q，所以 0 0 x 且 1 PQ kk ，所以 0 1 PQ k x ，所以直线PQ的方程为： 00 0 1 yyxx x 联立直线与抛物线方程可得： 2 00 0 1 2 1 yx yyxx x ， 整理得： 22 0 0 111 10 22 xxx x .所以 2 010 2xxx ，又因为 OPOQ，所以 1 OPOQ kk ,即： 10 10 1 yy xx
13、 ，整理得： 01 4xx .所以 2 0 24x ，解得： 2 0 2x 所以 2 00 1 1 2 yx，所以点 P 的纵坐标为1。 例 7(2020 上海浦东新区 高三一模)已知椭圆 1: C 2 2 1 4 x y， 1 F、 2 F为 1 C的左、右焦点. (1)求椭圆 1 C的焦距； (2)点 2 ( 2 ,) 2 Q为椭圆 1 C一点，与OQ平行的直线l与椭圆 1 C交于两点 A、B，若QAB 面积为1，求直线l的方程； (3)已知椭圆 1 C与双曲线 22 2 1:Cxy在第一象限的交点为(,) MM M xy， 椭圆 1 C和双曲 线 2 C上满足| | M xx的所有点(
14、, )x y组成曲线C若点N是曲线C上一动点，求 12 NF NF的取值范围 【答案】(1)2 3；(2) 1 1 2 yx；(3) 4 5, 【详解】(1)由椭圆 1 C的方程知： 22 3cab ，即焦距为22 3c . (2)设 1 : 2 l yxm，代入 22 44xy得 22 2220 xmxm， 由 222 481840mmm 得|2m ， 2 1212 2 ,22 xxm x xm ， 所以 222 12 5 1|2 2105 2 ABkxxmm ，所以 Q 到直线l的距离 | 5 2 m d ，由 2 1 | |21 2 QAB SdABmm，得1m，所以 1 :1 2 l
15、yx (3)由 22 22 44 1 xy xy 解得 2 10 5 15 5 M M x y ，设,N x y是曲线C上一点，又 1( 3 ,0)F ， 2( 3,0) F， 1 3,NFxy ， 2 3,NFxy， 22 12 2 10 3, (|) 5 NF NFxyx， 当N在曲线 22 44(| |) M xyxx上时， 2 12 1 3NF NFy ， 当 15 5 y 时， 12 min 4 5 NF NF ，当0y 时， 12 max 1NF NF ，所以 12 4 ,1 5 NF NF ； 当N在曲线 22 1(| |) M xyxx上时， 2 12 22NF NFy； 当
16、15 5 y 时， 12 min 4 5 NF NF ， 12 4 , 5 NF NF ； 综上， 12 4 , 5 NF NF . 例 8(2020 上海市七宝中学高三)已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点(3, 2)M，且右焦点为 (2,0)F. (1)求双曲线C的方程； (2)过点F的直线l与双曲线C的右支交于 ,A B两点，交y轴于点P，若 ， ，求证：mn为定值. (3)在(2)的条件下，若点Q是点P关于原点O的对称点，求证：三角形QAB的面积 23 10 QAB S； 【答案】(1) 2 2 1 3 x y；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【详解】(1)由题意，
17、双曲线 22 22 :1 xy C ab 过点(3, 2)M，且右焦点为 (2,0)F.可得 22 92 1 ab 且2c ，又由 222 cab，解得 22 3,1ab，所以双曲线C的方程为 2 2 1 3 x y； (2)设 1122 ,A x yB x y，由题意得直线l的斜率存在，所以设直线:(2)l yk x，所以 (0, 2 )Pk， 由 2 2 1 3 (2) x y yk x ，得 2222 (31)121230kxk xk， 所以 22 1212 22 12123 , 3131 kk xxx x kk ，由，可得 1122 (2),(2)xmxxnx ， 所以 121221
18、1212 (2)(2) 22(2)(2) xxxxxx mn xxxx 1212 1212 2()2 42() xxx x xxx x 22 222 242(123)6 6 4(31)241231 k kkk ，所以6mn，为定值. (3)由(2)知 (0, 2 )Pk ，可得(0,2 )Qk， 则 1212 1 2 2 QABQPBQPA SSSPQxxk xx， 所以 2 2 222 12121 2 4()44 QAB Skxxkxxx x 2 22422 22 222 2 12123144(4812)(31) 444 3131 31 kkkkk kk kk k 222 2 22 22 1
19、212(1) 448 3131 kkk k kk ， 因为直线l与双曲线C的右支交于,A B两点， 所以 22 1212 22 12123 0,0 3131 kk xxx x kk ， 可得 2 31 0tk ，所以 22 2 222 2 11 1 (1)48 (1)(4)33 4848 9 31 QAB tt kktt S tt k 2 2 22 48544845192 15 13 9998 tt tttt ，因为0t ，所以10 t ，所以 22 2192 15192516 33 98983 QAB S t ，所以 4 323 2.31 310 QAB S，证毕. 例 9(2020 沙坪坝
20、区 重庆八中高三)动点 P 在圆 x2y22 上，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足 为 H，点 E 满足2PHEH，设点 E 的轨迹为曲线 C1. (1)求 C1的方程； (2)已知抛物线 C2：x24y 的焦点 F，设过点 F 的动直线 l 与曲线 C2交于 A，B 两点，分别 以 A，B 为切点作曲线 C2的两条切线 l1，l2，设 l1，l2相交于点 G，直线 FG 交曲线 C1于 M， N 两点. 求证：ABMN；求AN MB的最小值. 【答案】(1) 2 2 1 2 y x ；(2)证明见解析； 5. 【详解】 (1)设 00 (),()E xy P xy， ， 则 0 ( 0)Hy
21、， ， 由2P HE H， 得 00 (0)2()xxyy， ， 则 0 2xx， 0 yy，代入 22 2xy，可得 1 C的方程为 2 2 1 2 y x ， 即曲线 C1的方程为 2 2 1 2 y x . (2)()证明：由题意可设 AB 的方程为 1ykx，联立方程组 2 1 4 ykx xy ，整理得 2 440 xkx，设 11 ()A xy， ， 22 ()B xy， ，则 1212 4 ,4xxk x x ， 由 2 1 4 yx，可得 1 2 yx ，所以 1 l， 2 l的方程分别为 2 11 11 24 yx xx， 2 22 11 24 yx xx ， 故 1212
22、24 xxx x G ， ，即 (21)Gk ， ， 当0k 时， (01)G， ，则直线 FG 的方程为0 x，而 AB 的方程为1y ， 所以FGAB，即ABMN； 当0k 时， 1 MNFG kk k ，从而AB MN. ()当0k 时，AB 的方程为 1y ，MN 的方程为 0 x， 不妨设 ( 2 1)A ，(2 1)B ， ，(02)M，(02)N，则5ANMB ； 当0k 时，设 MN 的方程为 1 1yx k ，代入 2 2 1 2 y x ，整理得 2222 (21)4220kyk yk，设 33 ()M xy， 44 ()N xy，则 22 3434 22 422 , 21
23、21 kk yyy y kk ， 所以() ()AN MBAFFNMFFBAF MFAF FBFN MFFN FB 22 1234 (1)(1)1|1|1|1|AF FBFN MFyyk yk y 2 12123434 () 1 (1)|() 1|y yyyky yyy 22 212 123434 ()3(1)|()1| 16 x x k xxky yyy 22 2222 222 2241 44(1)144(1) 212121 kk kkkk kkk . 令 2 21tk，1t ，则 15 2 22 ANMBt t ，设 15 ( )2 22 f tt t ，则( )f t在(1 )，上 单调
24、递增，所以 1515 225 2222 AN MBt t ， 综合可知：当0k 时，AN MB 的最小值为 5. 例 10(2020 浙江省东阳中学高三)如图，A为椭圆 2 2 1 2 x y的下顶点，过点A的直线l交 抛物线 2 2(0)xpy p于,B C两点，C是AB的中点. (1) 求证:点C的纵坐标是定值； (2)过点C作与直线l倾斜角互补的直线 l 交椭圆于,M N两点.问：p为何值时，BMN的 面积最大？并求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)当 9 14 p 时，面积最大值为 3 2 4 . 【详解】(1)易知0, 1A，不妨设 2 , 2 t B t p ，则 2
25、 2 2 , 4 ttp C p ，代入抛物线方程得 2 2 2 2 24 ttp p p ，得 2 4tp， 421 42 C pp y p ， 故点 C 的纵坐标为定值. (2)点 C 是 AB 的中点， BMNAMN SS，设直线l的斜率为k，则 1 1 3 2 2 k t t ， 所以直线 l 的斜率为 3 k t ，直线 l 的方程为 13 22 t yx t ，即 3 2yx t ， 不妨记 3 m t ，则:2lymx ，代入椭圆方程并整理得 22 21860mxmx ， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，则 1212 22 86 , 2121 m xxx x mm
26、2 22 12 2 23 1| 2 21, 21 m MNmxxm m 点A到直线 l 的距离 2 3 1 d m ， 所以 2 2 2 2 2322 3 2 4 214 23 23 133 2 AMN m S m m Nd m M ，当且仅当 2 2 4 23 23 m m 时取等号，解得 2 7 2 m ，所以 2 2 918 7 t m ，从而 2 9 414 t p 故当 9 14 p 时，BMN的面积最大. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 湖北武汉市 华中师大一附中)如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦 点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为 1
27、F， 2 F，M 是它们的一个公 共点，且 12 60FMF，设它们的离心率分别为 1 e， 2 e，则 12 min e e ( ) A1 B 3 2 C2 D 6 4 【答案】B 【详解】设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，双曲线的实半轴为 1 a，半焦距为c，由余弦定 理得 222 1212 FFMFMF 1212 2cosMF MFFMF， 则有 22 12 443caMF MF， 22 112 44caMF MF，消去 12 MF MF，可得 222 1 43caa，则有 2 22 1 31 4 ee 1 2 3 2 e e ，即 1 2 3 2 e e，当且仅当 21 3ee时取等号，
28、故 mi 1 n 2 3 2 e e . 2(2020 全国高三专题练习)设O、F分别是抛物线 2 4yx的顶点和焦点，点P在抛物线 上，若 10OP FP ，则FP ( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B 【详解】1,0F，设 2 , 4 y Py ， 22 ,1,01, 44 yy FPPyFy ，因为 10OP FP ， 22 ,1,10 44 yy yy ， 42 121600,yy 2 8,2 2yy ， 2 1,1, 2 2 4 y FPy ，3FP 3(2020 湖南长沙市 长郡中学高三)已知双曲线 2 2 2 1 (0) x ya a 的离心率为 2 3 3 ，抛物 线 2
29、 2(0)ypxp的焦点与双曲线的右焦点F重合，其准线与双曲线交于点 ,0 ,2 M M N yMFFQ，点R在x轴上.若|RNRQ最大，则点R的坐标为( ) A(6,0) B(8,0) C(9,0) D(10,0) 【答案】D 【详解】因为双曲线 2 2 2 1(0) x ya a 的离心率为 2 3 3 ,即 2 3 3 c a ,又 22 1ac ,所以 3,2ac,即 (2 0)F，,因此抛物线的准线方程为 2x,联立 2 2 133 ( 2,),( 2,) 3 33 2 x y MN x ,设 ( , )Q x y,由 2MFFQ可得 2( 2)22 3 (4,) 3 6 020 3
30、 x Q y ,结合下图可知,当R点运动到 R ,即 ,N Q R三点共线 时,|RNRQ 最大, 设此时( ,0)R r ,则有 /NQ QR,即 333 636 10 424 r r ,此 (10,0)R, 4(2020 浙江高三期中)已知 1 F、 2 F为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且 12 3 FPF ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A4 3 B 2 3 3 C 4 3 3 D2 3 【答案】C 【详解】设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a 12 ()aa，半焦距为c， 椭圆和 双曲线的离心率分别为 1 e和 2 e， 11 |P
31、Fr， 22 |PFr，由椭圆和双曲线的定义可知， 121 2rra， 122 2rra ，因为 12 3 FPF ，由余弦定理得 222 121 2 42cos 3 crrrr 22 121 2 rrrr，所以 222 121 211 2 4()343crrrrarr，且 222 121 221 2 4()4crrrrarr，所以 2222 12 443(44)acca，即 222 12 34aac，则 2 22 1 31 4 ee ，由柯西不等式得 2 22 1212 113113 (1)()(1) 33eeee ， 所以 12 1144 3 4 33ee ，当且仅当 1 3 3 e ，
32、2 3e 时，等号成立. 5(2020 全国高三专题练习)已知双曲线 22 22 1 xy ab (0a，0b)的渐近线与圆 2 2 21xy相切，且过双曲线的右焦点 2 F与 x 轴垂直的直线 l 与双曲线交于点 A，B， AOB的面积为4 3，则双曲线的实轴的长为( ) A6 3 B3 3 C6 2 D3 2 【答案】C 【详解】设双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0ab)的渐近线方程为ykx ，圆 2 2 21xy的 圆心坐标为(2,0)，半径为1，可得 2 2 1 1 k k ，解得 3 3 k ，所以渐近线方程为 3 3 yx ，即 3 3 b a ，即3ab=，将x c
33、代入双曲线的方程，得 22 22 1 cy ab ，整理 得 2 b y a ，所以 2 2b AB a ，又由 AOB的面积为4 3，即 2 1 2 4 3 2 AOB b Sc a ， 即联立方程组 2 222 3 2 8 3 ba b c a cab ，解得3 2,6ab，所以双曲线的实轴的长为2 6 2a . 6(2020 湖北高二月考)已知 1 F， 2 F是双曲线： 22 1 169 xy 的左、右焦点，点P为双曲 线上异于顶点的点，直线l分别与以 1 PF， 2 PF为直径的圆相切于A，B两点，若直线l 与 12 FF的夹角为0 2 ，则cos_. 【答案】 3 5 【详解】 根
34、据题意如图所示， 12 ,O O分别为两个圆的圆心，则 12 OO为 12 PFF的中位线， 过 2 O作切线AB的平行线 2 DO， 则 21 DO O， 由双曲线定义可得，4,3,5abc， 12 10FF ， 12 8PFPF，在 21 VRt DO O中， 12 1112 12 121212 11 4 22 sin= 111 5 222 PFPF DOAOADAOBO OO FFFFFF ，所以 3 cos 5 7(2020 全国高三专题练习)已知椭圆 22 1 22 :1 xy C ab (0ab)与双曲线 2 2 2: 1 4 y Cx 有公共的焦点， 2 C的一条渐近线与以 1
35、C的长轴为直径的圆相交于,A B两点.若 1 C恰好将线 段AB三等分，则 2 b=_. 【答案】 1 2 【详解】 圆的直径2ABa，,C D为三等分点， 不妨设双曲线的一条渐近线方程为2yx， 点,2C mm， 由题意可知 3 a OC ， 且点C在椭圆上， 所以 2 2 2 22 22 2 9 4 1 a mm mm ab ， 消去m， 得 2 22 14 1 45 a ab ，故 22 11ab ，又双曲线和椭圆有公共的焦点，所以 22 145ab ，所以 2 1 2 b . 8(2020 北京高三专题练习)在直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1 xy ab ( 00ab，)的离
36、 心率2e，其渐近线与圆 22 (2)4xy 交x轴上方于A B ，两点，有下列三个结论： | | |OA OBOA OB ；| |OA OB 存在最大值； | | 6OA OB 则正确结论的序号为_. 【答案】 【详解】 2 1 ( )23 cbb e aaa ，60AOB， 对，根据向量加法的平行四边形法则，结合60AOB，可得| | |OA OBOA OB 成 立， 故正确； 对，| | |OA OBAB ， 由于60AOB，AOB没有最大值，|AB 没有最大值，故错误；对，当60AOB时，| | 2 2cos302 3OAOB， 2 1 |1212236 2 OA OBOA OB ，又
37、 60AOB， 2 |36OA OB ， | | 6OA OB ，故正确； 9(2020 云南师大附中高三)边长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，点M为上底面 1111 DCBA的中心，N为下底面ABCD内一点，且直线MN与底面ABCD所成线面角的正 切值为2，则点N的轨迹围成的封闭图象的面积为_. 【答案】 【解析】如下图所示， 由题意知，M在底面ABCD内的投影为底面ABCD的中心O，连接ON，则MNO即 为直线MN与底面ABCD所成的角，所以，tan2 OM MNO ON ，则 1 2 ON ，所以N 的轨迹是以底面ABCD的中心O为圆心，以 1 2 为半径的圆，因此，N的轨
38、迹围成的封闭 图象的面积为 2 1 24 S ，故答案为： 4 . 10 (2019江苏高考真题)在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动 点，则点P到直线x+y=0 的距离的最小值是_. 【答案】4. 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.由， 得， 即切点， 则切点Q到直线的距离为 11(2020山东淄博高三)已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，准线为l.若位于 x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且1 AF AF BF ，则 抛物线C的标准方程为_. 【答案】 2 2yx 【解析】如图所示，设(0) 2 AFO ，过点B作
39、BBl 于点 B ， 由抛物线的定义知，BFBB ，FCp ，ABBAFO； 在Rt ABB中，cos BBBF ABAB ，cosBFAB，从而 (1 cos )AFBFABAB； 又1 AF AF BF ， 所以 (1cos) 1 cos AB AF AB ， 即 1cos 1 cos AF ，所以 1 cos AF ；在Rt AFC中，cos CFp AFAF ， cospAF，所以 1 cos1 cos p ，所以抛物线C的标准方程为 2 2yx 12(2020 全国高三月考)设椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx的准线上，F是椭圆
40、1 C的右焦点，且椭圆 1 C的焦距为 2，过点F且斜率不为 0 的直线l与椭圆 1 C交于D，E两点，直线AD和AE分别与直线4x交于点M，N (1)求椭圆 1 C的方程； (2) 22 MFNF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2)存在，36 【详解】 (1)由题意， 抛物线 2 2: 8Cyx的准线为2x， 椭圆左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx 的准线上，所以2,0A ，2a，椭圆 1 C的焦距为 2，所以22c ，所以1c，所以 222 3bac，所以椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xy (2) 22 MFNF
41、存在最小值为 36，理由如下： 设4,Mm，4,Nn， 00 ,D x y， 直线4x与x轴交点为4,0P， 易知0m，0n ， 直线AM的方程为2 6 m yx， 联立得 22 2 6 1 43 m yx xy ，整理得 2222 27441080mxm xm， 则 2 222 44 2741080mmm 成立， 由 2 0 2 4108 2 27 m x m ，解得 2 0 2 542 27 m x m ， 所以 00 2 18 2 627 mm yx m ，所以 2 22 54218 , 2727 mm D mm ， 当3m 时， 2 2 542 1 27 m m ，即DEx轴， 由椭圆
42、的对称性可得3n ，即3MPFPNP， 又因为3PF ，90MPFNPF， 所以45MFPNFP，90MFN ， 此时 222 36MFNFMN， 当3m 时，3n ，直线FD的斜率 2 22 2 18 0 6 27 5429 1 27 FD m m m k mm m ，同理 2 6 9 FE n k n ， 因为DE过点F，所以 22 66 99 mn mn ，所以9mn， 3,FMm，3,FNn， 90FM FNmn 所以90MFN， 222 MFNFMN，3m 且3n ， 所以22 96MNMPNPmnmn， 222 36MFNFMN， 综上可知， 22 MFNF的最小值为 36 13
43、(2020 江苏南京市 高三)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 长轴是短轴的 2倍，点(2，1)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线 l 与圆 O： 22 2xy相切，切点在第一象限，与椭圆 C 相交于 P，Q 两点. 求证：以 PQ 为直径的圆经过原点 O； 若 OPQ 的面积为 6 3 , 5 求直线 l 的方程. 【答案】(1) 22 1 63 xy ； (2)证明见解析，26yx 或 23 42 yx . 【详解】(1)由题意椭圆 C 长轴是短轴的 2倍，点(2，1)在椭圆 C 上， 可得 222 22 2 4
44、1 1 ab abc ab ，解得 2 6a ， 2 3b ，所以椭圆C的方程为 22 1 63 xy . (2)因为切点在第一象限，直线的斜率存在，不妨设直线PQ的方程为y kxm ，即 0kxym ，且0k ，0m，因为直线与圆相切，所以 2 | 2 1 m k ，即 22 22mk，联立 22 0 26 kxym xy ，得 222 (12)4260kxkmxm， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y ，则有 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 26 1 2 m x x k ， 所以 22 12121212 ()()()y ykxm kxmk x x
45、km xxm 2222222 2 222 2646 1 21 21 2 k mkk mmk m kkk ， 所以 22222 1212 222 2663(2)6 0 1 21 21 2 mmkmk OPOQx xy y kkk ， 所以OPOQ，即90POQ，即以PQ为直径的圆过原点O. 由可得 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 26 1 2 m x x k ， 22 22mk， 所以，点O到直线PQ的距离为 2，可得 22 2 12 2 1416 3 2 21 25 OPQ kk S k ，解得 2 2k ，或 2 1 8 k ， 当 2 2k 时， 2 8m ，当 2
46、1 8 k 时， 2 9 4 m ，所以 2k ，6m ，或 2 4 k ， 3 2 m ，则直线方程为26yx 或 23 42 yx . 14(2020 黑龙江哈尔滨市 哈尔滨三中)已知椭圆C的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)， 并且经过点 53 , 22 ，A，B是椭圆C上的不同两点，且以AB为直径的圆经过原点O. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在原点的圆恒与直线AB相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说 明理由； (3)求|OAOB的最小值. 【答案】(1) 22 1 106 xy ；(2)存在， 22 15 4 xy；(3) 30. 【详解】(1)由题意，
47、设椭圆的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，根据题意，可得 222 22 2 259 1 44 c abc ab ，解得 22 10,6ab，所以椭圆的标准方程为 22 1 106 xy . (2)当直线AB的斜率不存在时，设AB的方程为x m ，代入椭圆的方程，可得 22 1 106 my ，解得 2 2 606 10 m y ，要使得以AB为直径的圆经过原点O，则 2 2 606 10 m m ，解得 15 2 m ，即直线AB的方程为 15 2 x . 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y kxm ， 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 联立方程组 22 1
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