1、专题 14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考 查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决 椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待 定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质； 四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组 联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直 线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年
2、高考题及各地模拟题的基础上， 重点说明求解存在性和探索性 问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不 存在 (2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别 2.解决存在性问题的一些技巧： (1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条 件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. (2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所
3、以通常以该要素作 为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. (3)核心变量的求法： 直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变 量的方程(组)，运用方程思想求解. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020新高考全国卷)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 例 2(2021 江苏无锡市 高三)已知椭圆 22 22 :10,0 xy Cab ab 过点
4、(2, 1) ，离心率为 3 2 ，抛物线 2 16yx 的准线 l 交 x 轴于点 A，过点 A 作直线交椭圆 C 于 M，N (1)求椭圆 C 的标准方程和点 A 的坐标； (2)若 M 是线段 AN 的中点，求直线MN的方程； (3)设 P，Q 是直线 l 上关于 x 轴对称的两点，问：直线 PM 于 QN 的交点是否在一条定直线 上？请说明你的理由 7 (4) 6 yx . 例 3(2021 上海高三)如图，已知圆 2 22 1: (0) 2 r xyrr 和双曲线 2 2 2 2 :1(0) y xb b ，记 1 与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B，又记 1 与 2 在第
5、一、第四象限的公共点分别为C、D. (1)若2r =，且B恰为2 的左焦点，求 2 的两条渐近线的方程； (2)若2r =，且 ( , 5)ACADm，求实数m的值； (3)若B恰为 2 的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得2.019PAPC. 例 4 (2020 湖北武汉高三)设O为坐标原点， 动点M在椭圆E: 22 1 42 xy 上， 过点M作 x轴的垂线，垂足为N，点P满足 2NPNM . (1)求点P的轨迹方程； (2)设()1,0A，在x轴上是否存在一定点B，使2BPAP总成立？若存在，求出B点坐 标；若不存在，说明理由. 例 5(2020 河北邯郸高三)设椭圆 22 1
6、 22 :10 xy Cab ab 的左顶点A在抛物线 2 2: 8Cyx的准线上，F是椭圆 1 C的右焦点，且椭圆 1 C的焦距为 2，过点F且斜率不为 0 的直线l与椭圆 1 C交于D，E两点，直线AD和AE分别与直线4x交于点M，N (1)求椭圆 1 C的方程； (2) 22 MFNF是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 例 6.(广东省华南师范大学附属中学高三)已知椭圆的离心率为 ， 且点在椭圆 上 (1)求椭圆 的方程； (2)过点任作一条直线 ， 与椭圆 交于不同于 点的 ， 两点， 与直线 交于 点，记直线、的斜率分别为、试探究 与的关系，并证明你的结论 例
7、7(2020 上海市南洋模范中学高三)已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的右焦点 为 F(1，0)，且点 3 (1, ) 2 P在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过椭圆 22 1 2 2 :1 5 3 xy C a b 上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 22 4 : 3 O xy的两条切线， 切点分别为 M，N(M，N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 m，n， 证明： 22 11 3mn 为定值； (3)若 12 ,P P是椭圆 22 2 22 3 :1 xy C ab 上不同的两点， 12 PPx轴，圆 E 过 12
8、,P P且椭圆 2 C上 任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆 2 C是否存在过左焦点 1 F的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 例 8.(江西省新余市第四中学)已知 为椭圆的右焦点，点 在 上，且轴. (1)求 的方程； (2)过 的直线 交 于两点，交直线于点判定直线的斜率是否构成等 差数列？请说明理由. 例 9.(2020云南师大附中高三)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ， 短袖 长为 4. (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线l过点(2,0)且与椭圆C相交于不同的两点A、B，直线
9、6x与x轴交于点D,E是 直线6x上异于D的任意一点， 当 0AE DE 时， 直线BE是否恒过x轴上的定点？若过， 求出定点坐标，若不过，请说明理由. 例 10.(2020 湖南衡阳市八中高三)已知椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左右顶点为A，B，点P，Q为 椭圆上异于A，B的两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为 12 ,k k，且 21 4kk ()求证：BPBQ； ()设APQ，BPQ的面积分别为 1 S， 2 S，判断 1 2 S S 是否为定值，若是求出这个定值， 若不是请说明理由 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 海南高三专题练习)已知椭圆 22 22 :10 xy Ca
10、b ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F，且 12 4 2FF ，设A是C上一点，且 1 17 3 b AF ， 2 3 b AF . (1)求椭圆C的方程； (2)若不与y轴垂直的直线l过点 10B ,，交椭圆C于E，F两点，试判断在x轴的负半轴 上是否存在一点T，使得直线TE与TF斜率之积为定值？若存在，求出点T的坐标；若不 存在，请说明理由. 2(2020 全国高三专题练习)如图，O为坐标原点，抛物线 2 1: 2(0)Cypx p的焦点是 椭圆 22 2 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点，A为椭圆 2 C的右顶点， 椭圆 2 C的长轴8AB， 离心率 1 2 e (1
11、)求抛物线 1 C和椭圆 2 C的方程； (2)过A点作直线l交 1 C于,C D两点，射线OC，OD分别交 2 C于,E F两点，记OEF和 OCD的面积分别为 1 S和 2 S，问是否存在直线l，使得 12 :3:13SS ？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由 3(2020 江苏徐州市 高三)在离心率为3，且经过点(3，4)；一条准线方程为 x4， 且焦距为 2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线 l 存在，求出 l 的方程；若问题中的直线 l 不存在，说明理由 问题：已知曲线 C：mx2ny21(m，n0)的焦点在 x 轴上，_，是否存在过点 P(1，1
12、)的直线 l，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P 为线段 AB 的中点？ 注：若选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 4(2020 湖南省汨罗市第二中学高三)已知点F是椭圆 2 2 2 1(0) 1 x ya a 的右焦点，点 ( ,0)M m，(0, )Nn分别是x轴，y轴上的动点，且满足 0MN NF .若点P满足 2OMONPO (O为坐标原点) ()求点P的轨迹C的方程； ()设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线 xa 分别 交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由 5(2020 江苏省如皋中学高三)已知椭圆C： 2 2 1
13、 2 x y. (1)曲线D： 3 yx与C相交于A，B两点，H为C上异于A，B的点，若直线HA的斜 率为 1，求直线HB的斜率； (2)若C的左焦点为F，右顶点为E，直线l： 4x.过F的直线 l 与C相交于P，Q(P在 第一象限)两点，与l相交于M，是否存在 l 使PFE的面积等于MPE的面积与 QFE 的面积之和.若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 6.(2020 江西省苏州高三)已知椭圆 ： 的离心率为，短轴为. 点满足. (1)求椭圆 的方程； (2)设 为坐标原点，过点 的动直线 与椭圆交于点 、 ，是否存在常数 使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
14、由. 7(2020 陕西咸阳市 高三二模)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 1, 2 ，且其离心 率为 1 2 ，过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M，N两点. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请 说明理由. 8(2020 辽宁朝阳市 高三月考)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率是 1 2 ，且椭 圆C经过点 3 3, 2 A ，.过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于,M N两点. (1)求椭圆C的标准方程 (2)若过点F的直线 1 l与直线l垂直，且
15、交椭圆C于,P Q两点.是否存在直线l，使得四边形 MPNQ的面积最小？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 9(2020 天津高三专题练习)已知椭圆 22 2 :1 2 xy C a 过点 (2,1)P ()求椭圆C的方程，并求其离心率； ()过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上(点A不在直线l上)，直 线PA关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B设O为坐标原点，判断直线AB与直线 OP的位置关系，并说明理由 10(2018 届江西省重点中学协作体第二次联考)已知椭圆 ： 的离 心率为，短轴为.点满足. (1)求椭圆 的方程； (2)设 为坐标原点，过点 的动直
16、线 与椭圆交于点 、 ，是否存在常数 使得 为定值？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 11. (2018 届山东省威海市二模)已知椭圆 ：的左右焦点分别为， 且离心率为 ，点为椭圆上一动点，面积的最大值为. (1)求椭圆 的标准方程； (2)设分别为椭圆的左右顶点，过点 作 轴的垂线 ， 为 上异于点 的一点，以为 直径作圆 .若过点的直线 (异于 轴)与圆 相切于点 ，且 与直线相交于点 ，试判 断是否为定值，并说明理由. 12(2019云南师大附中高三)已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 6 3 ，短 轴长为 4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知
17、不经过点P(0，2)的直线l： 0,xmyn mnR 交椭圆C于A，B两点，M在AB 上满足 1 2 PMPAPB且2ABPM，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过， 请说明理由. 13.(2020 河北省衡水中学高三)已知椭圆 C：的离心率为，分 别为椭圆 的左、右顶点，点满足. (1)求椭圆 的方程； (2)设直线 经过点 且与 交于不同的两点， 试问： 在 x 轴上是否存在点 ,使得直线 与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点 的坐标及定值，若不存在，请说明理由. 14(2020 陕西省汉中市汉中中学)已知椭圆，直线 不过原点 且 不平行于坐标轴， 与 交于 、 两点，线段的中点为 (1)证明:直线的斜率与 的斜率的乘积为定值； (2)若 过点，延长线段与 交于点 ，四边形能否为平行四边形？若能，求 的斜率；若不能，说明理由 15(2019黑龙江高三)已知圆C经过( 2,0),(1, 3)AB两点，且圆心C在直线 1: lyx 上 (1)求圆C的方程； (2)已知过点(1,2)P的直线 2 l与圆C相交截得的弦长为2 3，求直线 2 l的方程； (3)已知点(1,1)M，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动点Q， 都有 QN QM 为定值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由
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