1、专题 13 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考 查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决 椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待 定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质； 四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组 联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直 线、存在性和探索性问题等. 本专题在分
2、析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解定点、定值、定 直线问题. 一、定点问题 1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y视作常 数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的 系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就 是直线或曲线所过的定点 2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研 究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊 情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 二、定值问题 1.解析几何中的
3、定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜 率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始 终是一个确定的值常见定值问题的处理方法： (1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示 (2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得 到一个常数. 2. 定值问题的处理技巧： (1)对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直线等)求出定值，进而给 后面一般情况的处理提供一个方向. (2)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢 (3)巧妙利用
4、变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算 三、定直线问题 定直线问题是证明动点在 定直线上， 其实质是求动点的轨迹方程， 所以所用的方法即为 求 轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等 【压轴典例】【压轴典例】 1(2021 上海高三专题练习)若 AB 是过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中心的一条弦，M 是椭 圆上任意一点，且 AMBM 与两坐标轴均不平行，kAM k BM分别表示直线 AMBM 的斜率， 则 kAM kBM=( ) A 2 2 c a B 2 2 b a C 2 2 c b D 2 2 a b 2(2020 江苏镇江市 高三期中
5、)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章 “勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称 “勾”“股”“弦”， 且“勾 2+股2=弦2”， 设直线l 交抛物线 2 1 4 yx于A，B两点， 若OA，OB 恰好是Rt OABV 的“勾”“股”(O为坐标原点)，则此直线l恒过定点( ) A 1 ,0 4 B 1 ,0 2 C0,2 D0,4 3 (2020 全国高三专题练习)已知O为坐标原点， 过点 (1)P a ， 作两条直线分别与抛物线C： 2 4xy相切于点A、B，AB的中点为M，则下列结论错误的是( ) A直线AB过定点(0 ) 2，； BPM的斜
6、率不存在； Cy轴上存在一点N，使得直线NA与直线NB关于 y轴对称； DA、B两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值. 4.(2020全国卷高考文科T21)已知A,B分别为椭圆E: +y 2=1(a1)的左、右顶点,G 为 E的上顶点,=8,P为直线x=6 上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交 点为D. (1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点. 5.(2020新高考全国卷)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为,且过点A(2,1). (1)求C的方程; (2)点M,N在C上,且AMAN,ADMN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值. 6.(2020北京高考T
7、20)已知椭圆C: + =1 过A(-2,-1),且a=2b. (1)求椭圆C的方程; (2)过点B(-4,0)作直线l与C交于M,N,MA与NA与x=-4 交于P,Q,求. 7(2021 河南新乡市 高三一模)已知动点P到点(6,0)的距离与到直线 4 6 x 3 的距 离之比为 3 2 . (1)求动点P的轨迹C的标准方程； (2)过点( 4,0)A 的直线l交C于M，N两点，已知点 ( 2, 1)B ，直线BM，BN分别交 x轴于点E，F.试问在x轴上是否存在一点G，使得 0BE GFGE BF ？若存在，求 出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 例 8.(2019全国高考真题)已知曲线
8、 2 :, 2 x C yD，为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的 两条切线，切点分别为,A B. (1)证明：直线AB过定点： (2)若以 5 0, 2 E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 例 9(2019全国高考真题)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB =4，M过点A，B 且与直线x+2=0 相切 (1)若A在直线x+y=0 上，求M的半径 (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并说明理由 例 10.(2019全国高考真题(理)已知曲线C：y= 2 2 x ，D为直线y= 1 2 上的动点，过D作C 的两条切线，切点分别为A，B. (
9、1)证明：直线AB过定点： (2)若以E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的 面积. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 上海高三专题练习)已知 1 F， 2 F是双曲线 22 1 169 xy 的焦点，PQ是过焦点 1 F的 弦，且PQ的倾斜角为60，那么 22 |PFQFPQ的值为( ) A16 B12 C8 D随变化而变化 2(2021 安徽高三一模)已知 F1F2为双曲线 22 22 xy ab =1(a0，b0)的左右焦点，过 F2作倾 斜角为 60 的直线 l 交双曲线右支于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，则 12 AFF
10、 的内切圆半径 r1 与 12 BFF的内切圆半径 r2之比 1 2 r r 为_. 3(2020 全国高三其他模拟)已知双曲线 2 2 :1 3 y C x 的右焦点为F，过点F的直线l与 双曲线相交于P、Q两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M，则MF _ 4(2020 仙居县文元横溪中学高三)已知双曲线 2 2 1 2 y x ，点 1 ,0A ，在双曲线上任取 两点P、Q满足APAQ，则直线PQ恒过定点_； 5(2020 哈尔滨市第一中学校高三)已知抛物线 2 2(0)ypx p，过定点 ( ,0)M p 作一弦 PQ，则22 11 MPMQ _ 6(2021 四川高三月考)已知点A的坐
11、标为2,0，点B的坐标为2,0，点P满足 8PA PBPAPB ，记点P的轨迹为E (1)证明 PAPB为定值，并写曲线E的方程； (2)设直线1ykxkR与曲线E交于C，D两点，在 y轴上是否存在定点Q，使得对 任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在， 说明理由 7(2021 江苏盐城市 高三一模)设 F 为椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点，过点2,0的直线与椭 圆 C 交于,A B两点. (1)若点 B 为椭圆 C 的上顶点，求直线AF的方程； (2)设直线,AF BF的斜率分别为 1 k， 22 0kk ，求证： 1 2 k k 为定值. 8
12、(2021 河南高三月考)已知点2,0A ，2,0B，动点,S x y满足直线AS与BS的斜 率之积为 3 4 ，记动点S的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么样的曲线； (2)设M，N是曲线C上的两个动点，直线AM 与NB交于点P，90MAN. 求证：点P在定直线上； 求证：直线NB与直线MB的斜率之积为定值. 9(2021 山东威海市 高三期末)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 , 2 A B分 别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于,P Q(异于,A B)两点，当 PQx 轴时，APQ的面积为 9 2 . (1)求C的
13、标准方程; (2)设直线AP与直线BQ交于点M，求证:点M在定直线上. 10(2021 山东淄博市 高三一模)已知 1 A， 2 A是椭圆E： 22 22 10 yx ab ab 长轴的两 个端点，点1,2M在椭圆E上，直线 1 MA， 2 MA的斜率之积等于4 . (1)求椭圆E的标准方程； (2)设0m，直线l方程为 ym ，若过点0,Fm的直线与椭圆E相交于A，B两点， 直线MA，MB与l的交点分别为H，G，线段GH的中点为N.判断是否存在正数m使直 线MN的斜率为定值，并说明理由. 11.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点 1 F与抛物线 2 4yx的焦点重合，
14、原点到 过点,0 ,0,A aBb的直线距离是 2 21 7 (1)求椭圆C的方程 (2)设动直线: l ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P， 过 1 F作 1 PF的垂线与直线l交 于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程 12(2019北京高考真题)已知抛物线C：x 2=2py 经过点(2，1) ()求抛物线C的方程及其准线方程； ()设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 y=1 分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 13(2020 湖北高考模拟)已知动点P到直线:2l x 的距离比到定点(1,0
15、)F的距离多 1. (1)求动点P的轨迹E的方程 (2)若A为(1)中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线 OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标. 14(2020贵州高三开学考试)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 1( 3,0)F ，且C经 过点 1 ( 3, ) 2 P. (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D， 直线l：y kxm 与C交于A、B两点(l不经过D点)， 且ADBD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标. 15(2020江西高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知1,2 ,1,0QF，动点P满 足PQ OFPF (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)过点F的直线与E交于,A B两点， 记直线,QA QB的斜率分别为 12 ,k k， 求证： 12 kk为 定值.
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