1、专题 12 圆锥曲线中的最值、范围问题 【压轴综述】【压轴综述】 圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题， 本专题在分析研究近几年高考题 及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题 (2)两种解法 几何法， 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义， 则考虑利用图形性质来解 决； 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常
2、用基本不等式法、配方法及导数法求解 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的 5 种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的 等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参 数的取值范围 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上， 重点说明利用代数 方法求解最值、范围问题. 【压轴典例】【压轴典例】 例
3、1.(2020 全国卷文科 T9)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C: - =1 的两条渐近线分别交于 D,E 两点.若ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选 B. 双曲线 C: - =1的两条渐近线方程为 y= x,将 x=a 与双曲线 渐近线方程联立,令 D 和 E 坐标分别为 D(a,b),E(a,-b),所以ODE 的面积为 ab=8,所以 c 2=a2+b22ab=16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,所以 c4,则焦距 2c 的最小值为 8. 例 2.(2020 全国卷理科 T8)设 O 为坐标原点,直
4、线 x=a 与双曲线 C: - =1 的两条渐近线分别交于 D,E 两点.若ODE 的面积为 8,则 C 的焦距的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】选 B. 双曲线 C: - =1的两条渐近线方程为 y= x,将 x=a 与双曲线 渐近线方程联立,令 D 和 E 坐标分别为 D(a,b),E(a,-b),所以ODE 的面积为 ab=8,所以 c 2=a2+b22ab=16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,所以 c4,则焦距 2c 的最小值为 8. 例 3.(2020 山东高考模拟)已知 (0,3)A ，若点P是抛物线 2 8xy上任意一点，点Q是圆 22 (2)
5、1xy上任意一点，则 2 |PA PQ 的最小值为( ) A4 34 B2 2 1 C2 3 2 D4 2 1 【答案】A 【解析】设点，由于点P是抛物线上任意一点，则 2 000 8(0)xyy， 点 (0,3)A ，则 2 2222 000000 (3)8(3)29PAxyyyyy，由于点Q是圆 22 (2)1xy上任意一点，所以要使 2 |PA PQ 的值最小，则PQ的值要最大，即点P到圆 心的距离加上圆的半径为PQ的最大值，则 222 00000 max (2)18(2)13PQxyyyy ， 22 00 2 00 0 000 ()4() 12|12933 3) 3 ( 3 2 4 3
6、 yyyyP P y yyQy A ， 00 00 33 3(3 1212 ()2 ( ) )4 3yy yy ，经检验满足条件， 2 |PA PQ 的最小值 为4 34， 例 4.(2020浙江高考T21)如图,已知椭圆C1： +y 2=1,抛物线 C2：y 2=2px(p0),点 A是椭 圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物 线C2于M(B,M不同于A). ()若p=,求抛物线C2的焦点坐标; ()若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值. 【解析】()由题意得,抛物线C2的焦点坐标为F. ()设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3
7、),C(-x1,-y1),则OMBC, kAMkOM=kABkBC=- , 则kAMkOM= = = =- +y3y1+8p 2=0,若 y3存在,则=-32p 20. 由于 +2px1=1x1=-2p+,于是=2px1=-4p 2+2p , 故-4p 2+2p 32p 2 18pp.于是p的最大值为, 此时x1=,y1=,即在A时取得. 例 5.(2020江苏高考T18)在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E: + =1 的左、右焦点分别 为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B. (1)求AF1F2的周长; (2)在x轴上任取一点P,直线AP
8、与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值; (3)设点M在椭圆E上,记OAB与MAB的面积分别是S1,S2,若S2=3S1,求M的坐标. 【解析】(1)AF1F2的周长=2a+2c=6. (2)由椭圆方程得A,设点P(t,0),则直线AP方程为y=(x-t), 令x= =4 得yQ=,即Q,=, =t 2-4t=(t-2)2-4-4,即 的最小值为-4. (3)设O到直线AB的距离为d1,M到直线AB的距离为d2, 若S2=3S1,则 |AB|d2= |AB|d13,即d2=3d1, 由题意可得直线AB的方程为y= (x+1),即 3x-4y+3=0,所以d1= ,d2=. 由题意得,M点应为与
9、直线AB平行且距离为 的直线与椭圆的交点, 设平行于AB的直线l为 3x-4y+m=0,与直线AB的距离为 ,所以= ,即m=-6 或 12. 当m=-6 时,直线l为 3x-4y-6=0,即y= (x-2), 联立,可得(x-2)(7x+2)=0,即,或, 所以M(2,0)或.当m=12 时,直线l为 3x-4y+12=0,即y= (x+4), 联立,可得x 2+18x+24=0,b0)的离 心率为 2 2 ,椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2. ()求椭圆 C 的方程； ()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O
10、的对称点, N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与N 分别相切于点 E,F,求EDF 的最小值. 【答案】() 22 1 42 xy .(II) 3 . 【解析】()由椭圆的离心率为 2 2 ，得 222 2()aab，又当1y 时， 2 22 2 a xa b ， 得 2 2 2 2 a a b ，所以 22 4,2ab，因此椭圆方程为 22 1 42 xy . ()设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，联立方程 22 24 ykxm xy ，得 222 (21)4240kxkmxm， 由得 22 42mk .(*)且 12 2 4 21 km xx
11、k ，因此 12 2 2 21 m yy k ， 所以 22 2 (,) 21 21 kmm D kk ，又(0,)Nm， 所以 2 22 22 2 ()() 2121 kmm NDm kk 整理得 224 2 22 4(1 3) (21) mkk ND k ，因为 NFm，所以 2 422 22222 4(31)83 1 (21)(21) NDkkk kk NF .令 2 83,3tkt， 故 2 1 21 4 t k ，所以 2 22 1616 11 1 (1) 2 NDt t NF t t . 令 1 yt t ，所以 2 1 1y t .当3t 时， 0y , 从而 1 yt t 在3
12、,)上单调递增，因此 110 3 t t ，等号当且仅当3t 时成立，此时 0k ，所以 2 2 1 34 ND NF ，由(*)得 22m 且0m.故 1 2 NF ND ， 设2EDF，则 1 sin 2 NF ND ，所以的最小值为 6 ， 从而EDF的最小值为 3 ，此时直线l的斜率是0. 综上所述：当0k ，(2,0)(0,2)m 时，EDF取到最小值 3 . 例 10.(2018 浙江高考真题)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上 ()设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y
13、 轴； ()若 P 是半椭圆 x2+ 2 4 y =1(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围 【答案】()证明见解析；() 15 10 6 2, 4 . 【解析】()设 00 ,P x y， 2 11 1 , 4 Ayy ， 2 22 1 , 4 Byy 因为 PA，PB的中点在抛物线上， 所以 1 y， 2 y为方程 2 2 0 0 1 4 4 22 yx yy ，即 22 000 280yy yxy的两个不同的 实数根所以 120 2yyy因此，PM垂直于y轴 ()由()可知 120 2 1200 2, 8, yyy y yxy 所以 222 12000 13 3 84 PMyyxyx
14、， 2 1200 2 24yyyx 因此， PAB 的面积 3 2 2 1200 13 2 4 24 PAB SPMyyyx 因为 2 2 0 00 1(0) 4 y xx，所以 22 0000 44444,5yxxx 因此， PAB 面积的取值范围是 15 10 6 2, 4 【压轴训练】【压轴训练】 1 (2021 盐城市伍佑中学高三期末)已知P是圆 22 :(2)(2)1Cxy上一动点， 过点P 作抛物线 2 8xy的两条切线，切点分别为 ,A B，则直线AB斜率的最大值为( ) A 1 4 B 3 4 C 3 8 D 1 2 【答案】B 【详解】由题意可知，PA、PB的斜率都存在，分别
15、设为 12 ,k k，切点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 设( , )P m n，过点P的抛物线的切线为()yk xmn=-+，联立 2 () 8 yk xmn xy 得 2 8880 xkxkmn，因为 2 6432320kkmn ，即 2 20kkmn； 所以 1212 , 22 mn kkk k ，又由 2 8xy得 4 x y，所以 11 4xk ， 2 21 11 2 8 x yk， 22 4xk ， 2 21 22 2 8 x yk，所以 22 212121 2121 22 4424 AB yykkkkm k xxkk ，因为点( , )P m n满足 22
16、221xy，所以13m，因此 13 444 m ，即直线AB斜率的最大值为 3 4 . 2(2021 安徽高三开学考试)已知抛物线 2 :2C ypx的焦点F与双曲线 22 1621xy的 右焦点重合，斜率为k的直线l与C的两个交点为A，B.若4AFBF，则k的取值 范围是( ) A 1515 , 55 B 1515 ,00, 55 C 1515 , 33 D 1515 ,00, 33 【答案】A 【详解】双曲线的标准方程是 22 1 11 162 xy ，其右焦点是 3 ,0 4 .所以 3 24 p ， 3 2 p ，抛 物线C是 2 3yx，设直线方程为y kxb ， 1122 ( ,)
17、, (,)A x yB xy，由 2 3 ykxb yx 消去y， 得 222 230k xkbxb，因此 12 2 23kb xx k ，由 2 22 2340kbk b 得，129kb， 3 4 kb .因为4AFBF，所以 12 3 4 2 xx，即 12 5 2 xx.，即 2 235 2 kb k ，解得 2 65 4 k b k .代入 3 4 kb 得到， 2 653 44 k k k ， 15 5 k 或 15 5 k . 3(2020 全国高三专题练习)已知双曲线 2 2 :1 x Cy m 的离心率为 6 2 ，过点(2,0)P的直 线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且A
18、OB为钝角(其中O为坐标原点)，则直线l斜 率的取值范围是( ) A 22 (,0)(0,) 22 B 5 ( 5 ，0) (0 ， 5 ) 5 C 22 (,)(,) 22 D 55 (,)(,) 55 【答案】A 【详解】由题意双曲线 2 2 :1 x Cy m 的离心率为 6 2 ，得 16 2 m m ，解得2m， 双曲线 2 2 :1 2 x Cy， 设直线: 2l xty ， 与双曲线C联立得： 22 (2)420tyty， 设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y ，则 12 2 2 2 y y t ， 12 2 2 4 yy t t 2 2 121212 2
19、28 2 ()4 2 t x xt y yt yy t ，又因为AOB为钝角，则 0OA OB ，所以 121 2 0y yx x，即 2 22 228 0 22 t tt 得出 2 20t ，即 2 2t ，所以直线l的斜率 2 2 11 2 k t ，又且,A O B三点不可能共线，则必有0k ，即直线l斜率的取值范围是 22 (,0)(0,) 22 ， 4(2020 安徽高三月考)已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程为 3 2 yx，P为双曲线上一个动点， 1 F， 2 F为其左，右焦点， 12 PF PF的最小值为3， 则此双曲线的焦距为( ). A2
20、B4 C2 5 D2 7 【答案】D 【详解】设 00 (,)P xy， 12 (,0),( ,0)FcF c，则 2222 12000000000 (,) (,)()()PF PFcxycxycxcxyxyc ， 22 00 xy表示P到原点距离的平方，当P为双曲线顶点时取得最小值，所以 22 12 min PF PFac ，即 22 3ac ， 2 3b ，3b ，双曲线的一条渐近线为 3 2 yx，则 3 2 b a ，所以2a，437c ，焦距为2 7 5 (2020 山东高三专题练习)在同一直角坐标系下， 已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的离心率为 2，双
21、曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为 2，函数 sin 2 6 yx 的 图象向右平移 3 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 AB长度的最小值为( ) A2 B 3 C 2 D1 【答案】D 【详解】因为离心率为 2，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C方程为 22 22 1(0) yx a aa 所以 2ca ，故焦点为(0,2 )a，渐近线y x ，取(0, 2 )a到0 xy的距离为 2， 得 22 2 2 11 a ，解得2ab所以双曲线方程为 22 1 44 yx 函数sin(2) 6 yx 的 图象向右平移 3 单位后得到曲线D的方程为： sin2()s
22、in(2)cos2 362 yxxx 同一坐标系做出曲线C、D的图象： 由图可知， 当B点为cos2xy 与y轴的交点(0, 1)，A点为双曲线的下顶点(0, 2)时， |AB最小为 1 6(2021 福建漳州市 高三其他模拟)(多选)已知双曲线 1 C： 22 11 22 11 10,0 xy ab ab 的一 条渐近线的方程为3yx，且过点 3 1, 2 ，椭圆 2 C： 22 22 1 xy ab 的焦距与双曲线 1 C的焦 距相同，且椭圆 2 C的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F的直线交 2 C于A，B两点，若点 1 1,Ay，则下列说法中正确的有( ) A双曲线 1 C
23、的离心率为 2 B双曲线 1 C的实轴长为 1 2 C点B的横坐标的取值范围为 2, 1 D点B的横坐标的取值范围为3, 1 【答案】AD 【详解】双曲线 1 C： 22 11 22 11 10,0 xy ab ab 的一条渐近线的方程为 3yx，则可设 双曲线 1 C的方程为 2 2 3 y x，过点 3 1, 2 ， 3 1 4 ，解得 1 4 ，双曲线 1 C的 方程为 22 4 41 3 xy， 即 22 1 13 44 xy ， 可知双曲线 1 C的离心率 1 2 1 2 e ， 实轴的长为 1， 故选项 A 正确，选项 B 错误；由 13 1 44 可知椭圆 2 C： 22 22
24、1 xy ab 的焦点 1 1,0F ， 2 1,0F，不妨设 11 1,0Ayy ，代入 22 22 1 xy ab 得 2 1 22 1 1 y ab ， 2 1 b y a ，直线 AB的方程为 2 (1) 2 b yx a ，联立 2 22 22 (1) 2 1 b yx a xy ab ，消去y并整理得 2222 321310axaxa ，根据韦达定理可得 2 2 1 31 3 B a a x ，可得 2 22 318 3 33 B a x aa .又 2 1a ， 2 34a ， 2 8 12 3a ，31 B x ， 故选项 C 错误，选项 D 正确. 7(2020 浙江高三月考
25、)已知P是椭圆 22 22 11 1 xy ab ( 11 0ab)和双曲线 22 22 22 1 xy ab ( 22 0,0ab)的一个交点， 12 ,FF是椭圆和双曲线的公共焦点， 12 ,e e分别为 椭圆和双曲线的离心率，若 12 3 FPF ，则 12 e e的最小值为_ 【答案】 3 2 . 【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，那么 12 PFPF， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c，根据椭圆与双曲线的定义， 有： 121 2PFPFa， 122 2PFPFa，解得 112 PFaa， 212 PFaa， 在 12 FPF中，由余弦定理，
26、可得： 222 121212 2cos 3 FFPFPFPF PF ， 即 222 12121212 4()()()()caaaaaaaa，整理得 222 12 43caa，所以 22 12 11 34 ee ， 又 22 121 2 112 3 3 eeee ，所以 1 2 3 2 e e. 8(2020 河北高三月考)已知P是离心率为 2 的双曲线 2 2 10 y xm m 右支上一点，则 该双曲线的渐近线方程为_，P到直线1ymx的距离与P到点2,0F 的距离 之和的最小值为_. 【答案】3yx 4 52 5 【解析】离心率为 2 的双曲线 2 2 10 y xm m ，可得 1 2
27、1 m ，解得 m3，双曲线 方程为：x2 2 1 3 y ，故双曲线的渐近线方程为：y3x ；双曲线的焦点坐标( 2，0)， PFPF2，PF+PD2+PF+PD，显然 PDF 三点共线，并且 PF 垂直直线 y2x 时， P 到直线 y2x 的距离与 P 到点 F(2，0)的距离之和的最小值： 2 2 4 1 2 2 4 5 5 9 (2021 安徽高三一模)已知动圆P与x轴相切且与圆 2 2 24xy相外切， 圆心P在x 轴的上方，P点的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知 2(4 )E， 过点(0 )4，作直线交曲线C于,A B两点， 分别以,A B为切点作曲线C的切 线相交
28、于D，当ABE的面积 1 S与ABD的面积 2 S之比 1 2 S S 取最大值时，求直线AB的 方程. 【答案】(1) 2 80 xy x；(2)40 xy. 【详解】(1)由题意知，P到点(0，2)的距离等于它到直线2y 的距离，由抛物线的定义 知，圆心P的轨迹是以(0，2)为焦点， 2y 为准线的抛物线(除去坐标原点)，则C的方 程为： 2 80 xy x. (2)由题意知，4,2E在曲线C上，直线AB的斜率存在， 设AB方程为4ykx，因为直线AB不经过E点，所以 1 2 k .由 2 4, 8 ykx xy 可得 2 8320 xkx，设 1122 ,A x yB x y则 1212
29、 8 ,32,xxk x x 以A为切点的切线方程为 1 11 , 4 x yyxx即 2 11 48 xx yx，同理以B为切点的切线为 2 22 48 xx yx，由 2 11 2 22 48 48 xx yx xx yx ，故两式做差整理得： 22 1212 4488 xxxx x ，所以 12 4 2 xx xk ，两式求和整理得： 2 22 121 2 112122 2 28 4848 x x xx x xxxx xx x y ， 故4y ，所以交点4 , 4Dk ， 设E到AB的距离为 1, d D到AB的距离为 2 d， 则 2 11 22 22 2 424 21 1 44424
30、 1 k kSd k Sdkk k ，设210 ,kt t 则 1 2 2 , 9 2 S S t t 当3t ， 即1k 时， 1 2 S S 取最大值，直线AB的方程为 40.xy 10 (2021 浙江绍兴市 高三)如图， 过抛物线 2 :4C xy的焦点 F 作直线 l 交 C 于 11 ,A x y， 22 ,B x y两点， 其中| |4|BFAFBF， 设直线 12 ,l l分别与抛物线相切于点 A， B，1 2 ,l l 交于点 P. (1)若 1 4x ，求切线 1 l的方程； (2)过 F 作 y 轴的垂线交 2 l于点 M，若有且仅有一条直线 l 使得 FPA FMB S
31、 t S ，求 t 的取值范围. 【答案】(1)240yx (2) 20 3 t 或 3 2 2t 【详解】(1)当 1 4x 时， 2 44y，则4y ，即4,4A，由 2 1 4 yx，得 1 2 yx 所以切线 1 l的斜率为 1 42 2 ，所以切线 1 l的方程为424yx，即240yx (2)抛物线 2 :4C xy的焦点 F0,1， 设 1122 ,A x yB x y ，设直线 l 的方程为 1ykx ，由 2 1 4 ykx xy ，得 2 440 xkx，所以 1212 4 ,4xxk x x，则 22 12 12 1 44 xx yy ，由| | |4|BFAFBF ，可
32、得 212 4xxx，又 12 4x x ， 则 1 11 416 x xx ，可得 1 24x，则 1 14y ，又 11 ,A x y由(1)可得切线 1 l的斜率为 1 1 2 x，所以切线 1 l的方程为 111 1 2 yyxxx 同理切线 2 l的方程为 222 1 2 yyxxx，由切线 1 l， 2 l的方程联立解得 12 ,1 2 xx xy ，所以1 P y 设直线MF交切线 1 l于点N，设 34 ,1 ,1N xM x，将1y 分别代入切线 1 l， 2 l的方程 可得 12 34 12 2222 , yy xx xx 由 11 1 12 FPAP FPNP PASyy
33、y SPNy , 22 11 12 FMB FMPP MBSyy SPMy 21 312 41212 122 221 FPN FMP FNxySxyx SFMxxyxy ， 所以 22 1111 1 22 22111 2 1 21 12 111141 1 111 1 1 1 FPA FMB yyyySy t Syyx y y x xyyy 由 1 14y，设 1 10,3ym 所以 2 11 1 112322 3 1 yymmmm m ymmm ， 由对勾函数的单调性可知函 数 2 3f mm m 在0, 2 上单调递减， 在2,3 上单调递增.又有且仅有一条直线 l 使得 FPA FMB S
34、 t S ,即 1 y的值只有一个， 所以 3tf或 2tf， 即 20 3 t 或 3 2 2t 11(2021 辽宁丹东市 高三)已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点( 2,1) 和点 6 1, 2 . (1)求C的方程； (2)已知 0 0yt，点 0 ,A t y 在C上，A关于y轴、坐标原点的对称点分别为B、D，AE 垂直于x轴，垂足为E，直线DE与y轴、C分别交于点F、G，直线BF交C于点M， 直线DF的斜率为k，直线BF的斜率 k . 将 k 表示为k的函数；求直线GM斜率的最小值. 【答案】(1) 22 1 42 xy ；(2) 3kk ， 1 0, 2 k ； 6
35、 2 . 【详解】 (1)设椭圆的方程为 22 1 xy mn ， 根据题意可得 21 1 16 1 2 mn mn ， 解得4m，2n， 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy (2)()根据题意可得 0 (,)Bt y ， 0 (,)Dty ， 0 2 DF y kk t ， ， 直线DF的方程为 0 () 2 y yxt t ， 令0 x，得 0 2 y y ，即 0 (0,) 2 y F， 0 0 0 3 2 2 BF y y y kk tt ， 得 1 3 k k ，即3kk ()不妨设(0, )Fm，设直线DE的方程为ykxm ，直线BF的方程为3ykxm ， 联立 22 1 42
36、 ykxm xy ，得 222 (1 2)4240kxkmxm，所以 2 2 24 12 DG m x x k ， 即 2 2 2(2) (21) G D m x kx ，所以 2 2 2(2) (21) GG D m ykxmkm kx ， 同理可得 2 2 2(2) (181) M B m x kx ， 2 2 6 (2) (181) M B k m ym kx ， 则 2222 2222 2(2)2(2)32(2) (181)(21)(181)(21) MG BDD mmkm xx kxkxkkx ， 2222 2222 6 (2)2 (2)8 (61)(2) (181)(21)(181
37、)(21) MG BDD k mk mkkm yymm kxkxkkx ， 所以 2 6111 (6) 44 MG GM MG yyk k xxkk k ，由 0 0yt，点 0 ( ,)A t y ，所以0k ， 所以 1 62 6k k ，当且仅当 6 6 k 时，取等号，所以直线GM的斜率的最小值为 6 2 12(2021 南京市中华中学高三期末)已知离心率为 6 3 的椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过 点 (3,1)P (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P关于x轴的对称点为Q，过点P斜率为1 k， 2 k的两条动直线与椭圆C的另一交点 分别为M、N (M、N皆
38、异于点Q)若 12 1 3 k k ，求QMN的面积S最大值 【答案】(1) 22 1 124 xy ；(2)3. 【详解】(1)由条件可知 6 3 c a ，则 222 22 21 1 33 bac aa ，即 22 3ab=，椭圆方程为 22 22 1 3 xy bb ，代入点 3,1P ，得 2 4b ， 2 12a ，所以椭圆方程是 22 1 124 xy ； (2)设过点 3,1P 的直线PM的方程： 1 31ykx，与椭圆方程联立， 得 2222 11111 1 3618271890kxkkxkk， 2 11 2 1 27189 3 1 3 M kk x k ， 得 2 11 2
39、1 963 1 3 M kk x k ， 同理 2 22 2 2 963 1 3 N kk x k ， 因为 12 1 3 k k ， 所以 2 11 2 1 963 1 3 N kk x k ， 2 11 1 2 1 361 31 1 3 M kk ykx k 2 11 2 11 3611 31 31 3 NN kk yx kk ， 1 3 MN MN MN yy k xx ,直线MN的方程为 22 1111 22 11 3619631 1 331 3 kkkk yx kk ，整 理为： 1 2 1 24 30 1 3 k xy k ， 由题意可知点3, 1Q,点Q到直线MN的距离 1 2
40、1 24 1 3 10 k k d ， 2 1 2 1 186110 1 931 3 MN k MNxx k ， 3 11 2 2 1 72241 2 1 3 QMN kk SMNd k ， 设函数 3 2 2 7224 1 3 xx g x x ，函数 g x是奇函数，所以直线考查0 x时，函数的最大值， 2 2232 4 2 21624 3172242 31 6 1 3 xxxxxx g x x 整理为 2 3 2 24 91 1 3 x gx x ， 当 1 0, 3 x 时， 0g x ， g x单调递增，当 1 3 x 时， 0gx， g x单调递减， 所以当 1 3 x 时， g
41、x取得最大值 1 3 3 g ，所以QMN面积的最大值是3. 13(2021 长沙市 湖南师大附中高三)已知椭圆C过点 2 1, 2 ，且与曲线 22 1 2 xy有共 同的焦点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆的右焦点 2 F作直线l与椭圆C交于,A B两点，设 2 F A 2 F B，若2, 1 ， 点2,0T，求TA TB的取值范围. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2) 13 2 2, 8 . 【详解】(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得1c，设椭圆C的标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则 22 1 1 2 1 ab 又 22 1ab，解得 2 1
42、b 或 2 1 ( 2 b 舍去)，所 认 22 12.ab 故椭圆C的标准方程为 2 2 1. 2 x y (2)由题意设直线l的方程为 1.xmy将直线l的方程代入 2 2 1 2 x y中，得 22 2210mymy 设 112212 ,0,A x yB x yy y 可得 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ，将上面两式式平方除以式，得 2 12 2 21 4 2. 2 yym yym 因为 22 ,F AF B所以 1 2 , y y 且0. 则 22 12 22 21 414 22, 22 yymm yymm 由 2 2 511114 2, 12200
43、, 2222 m m 所以 2 2 0 7 m，因为 1122 2,2,TAxyTBxy 所以 1212 4,TA TBxxyy又 12 2 2 2 m yy m ，所以 2 1212 2 41 42 2 m xxm yy m ，故 22 2 1212 |4TATBxxyy 22 222 2 22222 2222 1611622828 4288 16 2 2222 mmm m m mmmm 令 2 1 2 t m ，因为 2 2 0 7 m， 所以 2 711 1622m ， 即 71 , 16 2 t ， 所以 2 22 717 |828168 42 TATBttt . 而 71 , 16
44、2 t 所以 2 169 |4,. 32 TATB 所以 14(2021 安徽高三期末)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点 4 2 1, 3 P ，离心率为 5 3 . (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与圆 22 :1O xy相切，且与椭圆C交于M，N两点，Q为椭圆C上一个动点 (点O，Q分别位于直线l两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值. 【答案】(1) 22 1 94 xy ；(2)最大值为4 2. 【详解】(1)因为椭圆C过点 4 2 1, 3 P ，所以 22 132 1 9ab ，因为离心率为 5 3 ，所以 5 3 c a ，又 222 abc，所以得 2
45、2 1 94 xy ； (2)(i)当MN斜率存在时，设MN与圆O的切线为y kxn，要使四边形OMQN的面积 最大， 则Q到MN距离要最大， 此时过Q点MN的平行线必与椭圆C相切， 设为y kxm ， 易得Q到MN距离与O到MN距离之和等于O到直线y kxm 的距离，设O到直线 ykxm 的距离记为d，则 2 1 m d k ，联立 22 , 1, 94 ykxn xy ，消去y得 222 9418940kxknxn ，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 12 2 18 94 kn xx k ， 2 12 2 94 94 n x x k ，所以 222 2 12 2 12 194
46、 1 94 kkn MNkxx k ，因为 ykxn 与圆O相切， 所以 2 1 1 n k ， 因为y kxm 与椭圆相切， 所以 22 94km ， 222 2 2 1112 194 2294 1 OMNQMNOMQN mkkn SSSMNd k k 四边形 222 2 22 2 3 8 9483 666 4 9494 9 knk k kk k ，可得 OMQN S四边形 随k的增大而增大，即 4 2 OMQN S 四边形 . (ii)当MN斜率不存在时，不妨取 4 2 1, 3 M ， 4 2 1, 3 N ，此时3,0Q， 4 2 OMQN S 四边形 .综上所得四边形OMQN的面积的最大值为4 2. 15(2019 湖南长沙一中高三月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P 为椭圆 C 上一点，且 2 PF垂直于x 轴，连结 1 PF并延长交椭圆于另一点Q，设 1 PQFQ (1)若点P的坐标为 3 1, 2 ，求椭圆C的方程; (2)若34，求椭圆C的离心率的取值范围 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2) 53 , 53 【解析】 (1) 2 PF垂直于x轴，且点P的坐标为 3 1, 2 2
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