1、专题 11 圆锥曲线的几何性质与应用 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题， 围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题， 逐渐呈现 “多样化” ， 即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向 量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中， 圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型， 也是历年高考考查的热 点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量 或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式使问题获解 1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数, ,a b c的比例关系(只需找 出其中两个参数的
2、关系即可)，方法通常有两个方向： (1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)， 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距. 从而可求解 (2)利用坐标运算： 如果题目中的条件难以发掘几何关系， 那么可考虑将点的坐标用, ,a b c进 行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： (1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有 要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点” ，则可考虑该点坐标用, ,a b c表示，且点坐标的范 围就是
3、求离心率范围的突破口 (2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的 值域即可 (3)通过一些不等关系得到关于, ,a b c的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：0,1e， 双曲线：1,+e 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法. 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷理科T11)设双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 离心率为.P 是 C 上一点,且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4,则 a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选
4、A.设 PF1=m,PF2=n,mn,= mn=4,m-n=2a,m 2+n2=4c2,e= = ,所以 a=1. 例 2.(2020北京高考T7)设抛物线的顶点为 O,焦点为 F,准线为 l,P 是抛物线上异于 O 的 一点,过 P 作 PQl 于 Q,则线段 FQ 的垂直平分线 ( ) A.经过点 O B.经过点 P C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP 【解析】选 B.因为点 P 在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以 FQ 的垂直平分线经过点 P. 例 3.(2020全国卷高考理科T4)已知 A 为抛物线 C:y 2=2px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦 点的距离为 12
5、,到 y 轴的距离为 9,则 p= ( ) A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】选 C.设抛物线的焦点为 F,由抛物线的定义知|AF|=xA+ =12,即 12=9+ ,解得 p=6. 例 4.(2020 全国卷高考文科 T11)设 F1,F2是双曲线 C:x 2- =1 的两个焦点,O 为坐标原点, 点 P 在 C 上且|OP|=2,则PF1F2的面积为 ( ) A. B.3 C. D.2 【解析】选 B.由已知,不妨设 F1(-2,0),F2(2,0),则 a=1,c=2,因为|OP|=2= |F1F2|,所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上,即F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角
6、三角形,故|PF1| 2+|PF 2| 2=|F 1F2| 2, 即|PF1| 2+|PF 2| 2=16,又|PF 1|-|PF2|=2a=2, 所以 4=|PF1|-|PF2| 2=|PF 1| 2+|PF 2| 2-2|PF 1|PF2|=16-2|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=6, 所以= |PF1|PF2|=3. 例 5.(2020 全国卷文科 T7 理科 T5)设 O 为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:y 2=2px(p0) 交于 D,E 两点,若 ODOE,则 C 的焦点坐标为 ( ) A. B. C.(1,0) D.(2,0) 【解析】选 B. 因为直线 x=
7、2 与抛物线 y 2=2px(p0)交于 D,E 两点,且 ODOE,根据抛物线的 对称性可以确定DOx=EOx= ,所以 D,代入抛物线方程 4=4p,求得 p=1,所以其焦点坐 标为. 例 6.(2020天津高考T7)设双曲线 C 的方程为 - =1(a0,b0),过抛物线 y 2=4x 的焦点 和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方 程为 ( ) A. - =1 B.x 2- =1 C. -y2=1 D.x 2-y2=1 【解析】 选 D.由题可知,抛物线的焦点为(1,0),所以直线 l 的方程为 x+ =1,即直线的斜
8、率为 -b,又双曲线的渐近线的方程为 y= x,所以-b=- ,-b =-1,因为 a0,b0,解得 a=1,b=1. 所以双曲线 C 的方程为 x 2-y2=1. 例 7.(2019全国高考真题)设F为双曲线C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，O为坐标 原点，以OF为直径的圆与圆x 2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为( ) A 2 B3 C2 D5 【答案】A 【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴，又|PQOFc， |, 2 c PAPA为以OF为直径的圆的半径，A为圆心| 2 c OA , 2 2 c c P ，又P 点在
9、圆 222 xya上， 22 2 44 cc a，即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e 例 8.(2020全国卷高考理科T15)已知 F 为双曲线 C: - =1(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3,则 C 的离心率为 . 【解析】依题可得,=3,而=,=c-a,即=3,变形得 c 2-a2=3ac-3a2,化简可 得,e 2-3e+2=0,解得 e=2 或 e=1(舍去). 例 9.(2020全国卷文科T14)设双曲线 C: - =1 (a0,b0)的一条渐近线为 y=x,则 C 的离心率为 . 【解
10、析】由双曲线方程 - =1 可得其焦点在 x 轴上,因为其一条渐近线为 y=x, 所以 =,e= =. 例 10.(2019全国高考真题(理)已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若 1 FAAB， 12 0FB F B， 则C的离心率为_ 【答案】2. 【解析】如图， 由 1 ,FAAB得 1 .F AAB又 12, OFOF得 OA 是三角形 12 FF B的中位线，即 22 / /,2.BFOA BFOA由 12 0FB F B ，得 121 ,FBF B OAF A则 1 OBOF有
11、1 AOBAOF，又 OA 与 OB 都是渐近线，得 21, BOFAOF又 21 BOFAOBAOF， 得 0 21 60 ,BOFAOFBOA 又渐近线 OB 的斜 率为 0 tan603 b a ，所以该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa 例 11. (2019浙江高考真题)已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴 的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是 _. 【答案】15 【解析】方法 1：由题意可知|=|2OFOM |=c=，由中位线定理可得 1 2| 4PFOM， 设( , )P x y
12、可得 22 (2)16xy，联立方程 22 1 95 xy ，可解得 321 , 22 xx (舍)， 点P在椭圆上且在x轴的上方，求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k 方法 2：焦半径公式应用 由题意可知|2OF |=|OM |=c=，由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，即 3 4 2 pp aexx ，求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 例 12.(2019全国高考真题(理)设 12 FF，为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点，M为C上 一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形，则M的坐标为_.
13、【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc ， 112 28MFFFc 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ，又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x ( 0 3x 舍去)，M的坐标为 3, 15 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 浙江高三学业考试)如图，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为 , ,F A B分别为 椭圆的上下顶点，P是椭圆
14、上一点，/ /,| |APBFAFPB，记椭圆的离心率为e，则 2 e ( ) A 2 2 B 171 8 C 1 2 D 151 8 【答案】B 【详解】0,0BbF c，则 BF b k c ，所以直线: b AP yxb c ，与椭圆方程联立 2222 20acxa cx ，所以点P的横坐标是 2 22 2a c x ac ， 3 22 b y ac ，即 23 2222 2 , a cb P acac ， 22 23 2 22 2222 2a cb PBaba acac ，整理为： 624426 4321ca ca ca ，两边同时除以 6 a得： 642 43210eee ， 242
15、 1410eee ， 2 10e ，所以 42 410ee ，得 2 117 8 e ，或 2 117 8 e (舍). 2(2020 山西大同市 大同一中高三)已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为 l， 过点 F且斜率为3的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MNl，垂足为N，直线 NF交y轴于点D，若| 2 3MD ，则抛物线的方程是( ) A 2 yx B 2 2yx C 2 4yx D 2 8yx 【答案】C 【详解】由题意如图，过点F且斜率为3的直线交抛物线于点 (M M在第一象限)，可知， 60NMF，MNl，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，
16、所以MNFM，则三角形NMF是正三角形，因为O是AF的中点，/ANOD，所以D 是NF的中点，所以MDNF，30DMF，| 2 3MD ，所以 | |4 cos30 MD MF ，则 | 4MN ，由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点，所以 2AFBN，则 (1,0)F ，可得2p ，所以抛物线方程为： 2 4yx 3(2020天津高考模拟(理)已知 12 ,F F分别双曲线 222 33(0)xya a的左右焦点， 是P抛物线 2 8yax与双曲线的一个交点，若 12 12PFPF ，则抛物线的准线方程为 ( ) A.4x B.3x C.2x D.1x 【答案】C 【解析
17、】由题得双曲线的方程为 22 22 1 3 xy aa ，所以 2222 34,2caaaca . 所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得 12 2 12 12 ,6 2 PFPF PFa PFPFa . 联立双曲线的方程和抛物线的方程得 22 3830,(3 3 a xaxaxxa 舍）或. 由抛物线的定义得 6-a=3a-(-2a),所以 a=1,所以抛物线的准线方程为 x=-2，故选 C. 4(2020 蕉岭县蕉岭中学高三)(多选)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F为圆心，|FA|为半径的圆交 l于 B，D 两点若ABD90 ，且A
18、BF 的 面积为 9 3，则( ) A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 【答案】BCD 【详解】根据题意，作图如下： 因为|FA|为半径的圆交 l于 B，D 两点，所以| | |FAFB ，又| |FAAB，所以ABF为等 边三角形，B正确；ABD90 ，/AB x，过 F 作 FCAB 交于 C，则 C 为 AB 的中点，C 的横坐标为 2 p ，B 的横坐标为 2 p ，所以 A的横坐标为 3 ,| 2 2 p ABp， 22 33 49 3,3 44 ABC SABpp ，| | 26BFABp，所以 A不正确，焦 点到准
19、线的距离为3p ，所以 C正确；抛物线的方程为：y26x，所以 D正确. 5(2021 上海高三专题练习)已知F为抛物线 2 20ypx p的焦点， 11 ,A x y、 22 ,B x y是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A、F、B三点共线”等价的是 ( ) A 2 12 4 p x x B 2 12 y yp C 112 FAFBp D 2 1 212 3 4 p x xy y 【答案】B 【详解】设直线AB的方程为x kyt ，将直线AB的方程与抛物线的方程联立 2 2ypx xkyt ，消去x得 2 220ypkypt，由韦达定理得 12 2yypk， 12 2y ypt. 抛物线
20、的焦点F的坐标为,0 2 p ，若A、F、B三点共线，则 2 p t .对于 A选项， 222 22 12 12 22 4 444 y yp tp x x pp ， 解得 2 p t ； 对于 B选项， 2 12 2y yptp ， 解得 2 p t ； 对于 C选项， 222222 1212 12 111111222 22 2222 pp pp yyppFAFBypypp xx pp ， 整理得 224 12 y yp，即 2 24 4p tp，解得 2 p t ；对于 D选项， 222 2 12 1 21212 2 3 2 44 y yp x xy yy ytpt p ，整理得 22 48
21、30tptp，解得 2 p t 或 3 2 p t . 6(2020 安徽马鞍山市 马鞍山二中)(多选)过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于 A、B两点，M为线段AB的中点，则( ) A以线段AB为直径的圆与直线y轴相离 B以线段BM为直径的圆与 y轴 相切 C当2 AFFB 时， 9 2 AB DAB的最小值为4 【答案】CD 【详解】对于 A选项， 2 4yx的焦点 1,0F，准线方程为1x，设A、B、M在 准线上的射影为 A 、 B 、 M， 由AF AA ，BFBB， 111 222 MMAABBAFBFAB，可 知以线段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故 A 错；对
22、于 B选项，设直线l的 方程为 1xmy ，设点 11 ,A x y、 22 ,B x y，联立 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ymy ， 由韦达定理得 12 4yym， 12 4y y ， 则 2 1212 2441ABxxm yym，则 2 1 21 2 BMABm，所以， 以BM为直径的圆的半径为 2 1rm， 设 2 0y ， 则 2 2 221ymm， 则线段BM的 中点到y轴的距离为 222 12 22 11 211211 222 xx dxmmymm m ， 则 222 11drmm mm mm .当 0m时，dr；当0m时，dr . 所以， 以线段BM为直径的圆不一
23、定与y轴相切， 故 B错； 对于 C选项， 22 1,FBxy， 2AFFB ， 12 2yy ，则 1222 44yyymym， 22 122 4232y yym ，则 2 1 8 m ，所以， 2 9 41 2 ABm，故 C正确；对于 D选项，由 B选项知， 2 414ABm ，当且仅当0m时，AB取最小值4.故 D正 确. 7. (2020 河北衡水高三)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左焦点，A，B 分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M， 与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) A
24、.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 【答案】A 【解析】法一：数形结合法 如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点， 则E(0,2m)，从而直线AE的方程为 x a y 2m1，因此点 M的坐标为c，2mac a .又OBN FBM，所以|FM| |ON| |FB| |OB|，即 2mac a m ac a ，解得c a 1 3，所以椭圆 C的离心率为1 3. 法二：交点法 同法一得直线AE的方程为 x a y 2m1， 直线 BN的方程为x a y m1.又因为直线 AE与直线BN 交于点M，且PFx轴，可设M(c，n)则 c a n
25、2m1， c a n m1， 消去n，解得c a 1 3，所以 椭圆C的离心率为1 3. 法三：三点共线法 同法一得直线AE的方程为 x a y 2m1，由题意可知 M c，2m 1c a ，N(0，m)，B(a,0) 三点共线，则 2m 1c a m c m a，解得 c a 1 3，所以椭圆 C的离心率为1 3. 法四：方程法 设M(c，m)，则直线AM的方程为y m ac(xa)，所以 E 0， ma ac .直线BM的方程为y m ca(xa)，与 y轴交于点 0， ma ac ，由题意知， 2ma ac ma ac，即 ac2(ac)， 解得c a 1 3，所以椭圆 C的离心率为1
26、3. 法五：几何法 在AOE中，MFOE，所以MF OE ac a .在BFM中，ONMF，所以 OE 2 MF a ac，即 OE MF 2a ac. 所以MF OE OE MF ac a 2a ac1，即 ac2(ac)，解得c a 1 3，所以椭圆 C的离心率为1 3. 8(2020 天津南开中学高考模拟)已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别 为 12 FF、，焦距为20c c ，抛物线 2 2ycx 准线交双曲线左支交于 ,A B两点，且 120AOB，其中O为原点，则双曲线的离心率e为( ) A2 B1 2 C13 D15 【答案】C 【解析】设抛物线
27、 2 2ycx 准线与横轴的交点为M,M的坐标为,0 2 c ， 设A在第二象限，由双曲线的对称性可知: 60MOA， 3 tan 2 AM MOAAMc OM ，A的坐标为 3 (,) 22 c c，焦距为2c， 设 2222 1,1abcac，又 c ec a ，把A的坐标代入双曲线方程中，得 22 422 22 3 ()() 22 184042 331 c c eeee ab ，故本题选 C. 9(2020 广西南宁市 南宁三中)已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0ab)的左右焦点分别 1 F、 2 F，过 1 F且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若 12 PFF为直角三角
28、形，则该椭圆 C的离心率e( ). A 2 1 B 3 3 C52 D 5 3 【答案】CD 【详解】 当 21 2 PF F 时， 设 2 2PF ， 则由于 12 tan2PFF， 12 1FF ， 1 5PF ， 12 252aPFPF， 12 21cFF，椭圆C的离心率为 21 52 252 cc e aa ， 当 12 2 FPF 时， 设 2 2PF ， 则由于 12 tan2PFF， 1 1PF ， 12 5FF ， 12 23aPFPF， 12 25cFF，椭圆C的离心 率为 25 23 cc e aa ， 10(2020 四川棠湖中学高三期末)已知双曲线 22 22 1(0,
29、0) xy ab ab 的离心率为 2，过右 焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点.设,A B到双曲线的同一条渐近线的距离 分别为 1 d和 2 d，且 12 6,dd 则双曲线的方程为( ) A 22 1 39 xy B 22 1 93 xy C 22 1 412 xy D 22 1 124 xy 【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为,0F c(c0)，则 AB xxc，由 22 22 1 cy ab 可得： 2 b y a ，不妨设： 22 , bb A cB c aa ，双曲线的一条渐近线方程为 0bxay ， 据此可得： 2 2 1 22 bcb bcb d c ab
30、， 2 2 2 22 bcb bcb d c ab ， 则 12 2 26 bc ddb c ，则 2 3,9bb，双曲线的离心率： 2 22 9 112 cb e aaa ，据此可得： 2 3a ，则双曲线的方程为 22 1 39 xy . 11(2020天津市新华中学高考模拟)设 12 FF、 分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 212 PFFF，且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲 线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线 2 4yx的准线围成三角形的面积为( ) A 3 4 B 3 5 C 4 3 D 5 3 【答
31、案】C 【解析】依题意|PF2|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是 其中点，由勾股定理可知|PF1|2 22 44ca4b，根据双曲定义可知 4b2c2a，整理 得c2ba，代入c 2a2+b2整理得 3b24ab0，求得 4 3 b a 双曲线渐近线方程为y 4 3 x， 即 4x3y0， 渐近线与抛物线的准线1x的交点坐标为： 4 1, 3 ， 4 1, 3 ， 三角形 的面积为： 184 1 233 . 12(2019吉林高考模拟(理)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F且斜率为
32、24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 2 121 0FFFA FA， 则此双曲线的标准方程可能为( ) A 22 1 43 xy B 22 1 34 xy C 22 1 169 xy D 22 1 916 xy 【答案】D 【解析】由 2121 0F FF AF A，可知 122 2FFF Ac，又 2 AF的斜率为 24 7 ，所以易 得 21 7 cos 25 AF F ，在 12 AFF中，由余弦定理得 1 16 5 AFc，由双曲线的定义得 16 22 5 cca，所以 5 3 c e a ，则:3:4a b ，所以此双曲线的标准方程可能为 22 1 916 xy . 13
33、(2020 沙坪坝区 重庆八中高三)如图，过原点 O 的直线 AB交椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab 0)于 A，B 两点，过点 A分别作 x轴、AB 的垂线 AP，AQ 分别交椭圆 C于点 P，Q，连接 BQ 交 AP 于一点 M，若 3 4 AMAP，则椭圆 C 的离心率是_. 【答案】 3 2 【详解】 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)Q xy， 则 11 (,)Bxy， 11 ( ,)P xy， 1 1, 2 y Mx ， 由A BA Q， 则 121211 121211 1 yyyyyx xxxxxy ， 由 B， M， Q 三点共线， 则 BQBM kk
34、， 即 12 12 yy xx 1 1 4 y x .又因为 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ，即 2222 1212 22 0 xxyy ab ， 222 12 222 12 yyb xxa ，将 代入得 22 22 13 1 42 bb e aa . 14(2020 全国高三专题练习)设 F为抛物线 2 :12C yx的焦点， 经过点 1,0P的直线与抛 物线交于 A，B两点，且2BP PA ，则| |AFBF _ 【答案】17 2 【详解】由题意知，经过点1,0P的直线要满足2BP PA ，所以，该直线的斜率必存在， 且该直线必不平行于x轴， 设为
35、 (1)yk x ， 且0k ， 抛物线 2 :12C yx的焦点为 (3,0)F ， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B x y， 2BPPA ，1,0P， 12 2yy ， 联立方程得， 2 (1) 12 yk x yx ， 消去x，可得 2 12 120yy k ， 12 12y y ，又由 12 2yy，可得 22 12 24,6yy， 由抛物线方程得， 1 2x ， 2 1 2 x ， 12 17 |6 2 AFBFxx 15(2020 广东高考模拟(理)已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为 ,F O为坐标原点，点 ,M N为抛物线准线上相异的两点，且,M N两点的
36、纵坐标之积为-4，直线OM，ON分别 交抛物线于A，B两点，若A，B，F三点共线，则p _. 【答案】2 【解析】设m 2 p M ， ，n 2 p N ， ，则直线OM的方程为：x 2 p y m ，代入抛 物线方程可得： 2 2 2 p ypy m ，解得： 2 A p y m ，故 A 点坐标为： 32 2 2 pp mm ， 同理可得：B 点坐标为： 32 2 2 pp nn ，又0 2 p F ， 32 2 22 ppp FA mm ， 32 2 22 ppp FB nn ， 又A，B，F三点共线， 3232 22 2222 pppppp mnnm 22 22 11 11 pp n mmn ，由mn4 ， 22 11 44 pp mnnm ，即 2 11 10 4 p mn 又 11 0 mn 2 10 4 p ， 0p 2p
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