1、专题 09 数列中不等式恒成立问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题， 考查常以数列的相关项以及关系式， 或数列的前 n 项和与第 n 项的 关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合数列中不等式恒成立问题，是 数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类： 一是证明不等式恒成立， 二是由 不等式恒成立确定参数的值(范围). 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问 题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与
2、方法. (1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、 综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等 (2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一 种是放缩后再求和放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩 【压轴典例】【压轴典例】 例 1 (2021 新疆高三其他模拟)若1x 是函数 43 12* ( )1 nnn f xaxa xaxnN 的极 值点，数列 n a满足 1 1a ， 2 3a ，设 31 log nn ba ，记 x表示不超过x的最大整数. 设 1 22 31 20
3、2020202020 n n n S bbb bb b ，若不等式 n St对n N恒成立，则实数t的最大 值为( ) A2020 B2019 C2018 D1010 例 2(2020 全国高三专题练习)(多选)已知数列 n a中， 1 1a ， 1 11 1 nn aa nn ， * nN .若对于任意的1,2t，不等式 22 212 n a tataa n 恒成立，则实数a 可能为( ) A4 B2 C0 D2 【答案】AB 例 3(2020 嘉兴市第五高级中学高三)设 * Nk ，若数列 n a是无穷数列，且满足对任意 实数k不等式20 nn kaak恒成立，则下列选项正确的是( ) A
4、存在数列 n a为单调递增的等差数列 B存在数列 n a为单调递增的等比数列 C 2 12 2 n aanann恒成立 D 2 12 2 n aanann 例 4(2021 江苏高三一模)已知等差数列 n a满足 1 235 nn aan . (1)求数列 n a的通项公式； (2)记数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为 n S.若 * n N， 2 4 n S (为偶数)，求的值. 例 5 (2021 天津滨海新区 高三)已知数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 3 2 a ， 数列 n b 是等比数列，且 11 ba， 23 ba ， 34 ba，数列 n b的前 n 项和
5、为 n S. (1)求数列 n b的通项公式； (2)设 ,5 8,6 n n n b n c a n ，求 n c的前 n 项和 n T； (3)若 1 n n ASB S 对*nN恒成立，求BA的最小值. 例 6.(2019浙江高考真题)设等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 4a ， 43 aS， 数列 n b 满足：对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列. (1)求数列, nn ab的通项公式； (2)记, 2 n n n a Cn b N 证明： 12+ 2,. n CCCn n N 例 7.(2019江苏高考T20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数
6、列为“M-数列”. (1)已知等比数列an(nN *)满足:a 2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列an为“M-数列”. (2)已知数列bn(nN *)满足:b 1=1, = -,其中Sn为数列bn的前n项和. 求数列bn的通项公式. 设m为正整数,若存在 “M-数列” cn(nN *),对任意正整数 k,当km时,都有ckbkck+1 成立,求m的最大值. 例 8.(2020河北石家庄高考模拟)已知等比数列 n a 满足 1,234 28 nn aaaaa ，且 3 2a 是 24 ,a a 的等差中项. 1求数列 n a的通项公式； 2若 1, 2 log nnn baa 1
7、2 +b nn Sbb，对任意正整数n， 1 0 nn Snm a 恒成 立，试求m的取值范围. 例 9.(2020江苏镇江高考模拟)已知在数列an中，设 a1为首项，其前 n 项和为 Sn，若对 任意的正整数 m，n 都有不等式 S2m+S2n2Sm+n(mn)恒成立，且 2S6S3 (1)设数列an为等差数列，且公差为 d，求 1 a d 的取值范围； (2)设数列an为等比数列，且公比为 q(q0 且 q1)，求 a1q 的取值范围 例 10.(2020山东高考模拟)已知单调等比数列 n a中，首项为 1 2 ，其前 n 项和是 n S，且 33544 1 , 2 aSSaS成等差数列,
8、数列 n b满足条件 n b 123n 1 2. a a aa () 求数列 n a、 n b的通项公式； () 设 1 nn n ca b ,记数列 n c的前n项和 n T. 求 n T;求正整数k，使得对任意 * nN，均有 kn TT. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 全国高三专题练习)已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 2 11 1,0,441 nnn aaaSn ，若不等式 2 483(5)2n n nnma对任意的正整数 n恒成立，则整数m的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 2(2020 江西高三其他模拟)已知数列 n a满足 123 232n n aaa
9、na，设 1 (1)2 n n n a b n ， n S为数列 n b的前 n 项和.若t n S 对任意n N恒成立， 则实数 t 的最 小值为( ) A1 B2 C 3 2 D 5 2 3 (2020 全国高三月考)若数列 n a的前n项和为 n S， n n S b n ， 则称数列 n b是数列 n a 的“均值数列”.已知数列 n b是数列 n a的“均值数列”且通项公式为 n bn，设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，若 2 1 1 2 n Tmm对一切 * nN恒成立，则实数m的取 值范围为( ) A1,3 B1,3 C , 13, D , 13, 4(2020
10、 湖南常德市一中)(多选)设 n a是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意n N， 均有 n kn aa ，则称 n a是间隔递增数列，k 是 n a的间隔数，下列说法正确的是( ) A公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B已知 4 n an n ，则 n a是间隔递增数列 C已知21 n n an ，则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D已知 2 2020 n antn，若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则45t 5(2021 浙江丽水市 高三)已知数列 n a的前 n 项和是 * n TnN ， 1 1,2an时， 11 110 nnnn T TTT (1)求数
11、列 n a的通项公式； (2)设1 nn bT ，求证：对任意的 * nN，不等式2 341 1 1 n bb bb n 成立 6(2021 浙江温州市 温州中学高三)已知数列 n a的前n项之积 n T满足条件： 1 n T 是首 项为 2 的等差数列： 25 1 6 TT (1)求数列 n a的通项公式； (2)设数列 n b满足 2 nn n ba n ，其前n项和为 n S求证：对任意正整数n，都有 1 0 4 n S 7. (2020临川一中实验学校)已知正项数列 n a的前n项和为 n S，满足 2 212 nnn Saan N (1)求数列 n a的通项公式； (2)已知对于Nn
12、 ，不等式 123 1111 n M SSSS 恒成立，求实数M的最小值； 8(2019重庆一中高三)设函数 ( )223 (0) x f xeaxa a ，对于 xR ，都有 ( )5f xa 成立. ()求实数a的取值范围； ()证明： * 1232 ln(), 23 nnn ene nN nnnn L(其中e是自然对数的底数). 9.(2020 年陕西高三)已知数列 n a 的首项为 1， n S 为数列 n a的前 n 项和， 1 1 nn SqS ，其中 q0， * nN . ()若 232 2,2a a a 成等差数列，求 n a的通项公式； ()设双曲线 2 2 2 1 n y
13、x a 的离心率为 n e ，且 2 5 3 e ，证明： 12 1 43 3 nn n n eee . 10. 设函数 ( )ln1f xxpx (1)求函数( )f x的极值点； (2)当0p 时，若对任意的0 x ，恒有( )0f x ，求p的取值范围； (3)证明： 22222 2222 ln2ln3ln4ln21( ,2) 2342(1) nnn nN n nn 11.(2020浙江杭州高三)已知无穷数列 n a的首项 1 1 2 a ， * 1 111 , 2 n nn anN aa . ()证明： 01 n a； () 记 2 1 1 nn n nn aa b a a ， n T
14、为数列 n b的前n项和， 证明： 对任意正整数n， 3 10 n T . 12.(2020河南高考模拟)已知数列 n b 的前n项和为 n S ， 2 nn Sb ，等差数列 n a 满 足 12 3ba ， 15 7ba ()求数列 n a， n b的通项公式； ()证明： 1 22 31 3 nn aba ba b . 13(2020 浙江高三月考)已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 1 21 nn aSnN ，数列 n b满足 1 1b ， 1nnn bba . (1)求数列 n a、 n b的通项公式； (2)若数列 n c满足 1 n n nn a c bb 且
15、 12 211 nn cccbL对任意n + N恒成立， 求实数的取值范围. 14(2020 湖北武汉市 华中师大一附中高三)已知数列 n a n b的各项为正，且 31 18ab， n b是公比为 1 3 的等比数列.再从： 数列 n a的前n项和 n S满足 2 42 nnn Saa： 数列 n a是公差不为 0 的等差数列，且 123 12aaa ， 1 a， 2 a， 4 a，成等比数列 这两个条件中任选一个，解答下列问题. (1)求数列 n a， n b的通项公式； (2)令cos nnn cabn，设 n c的前n项和为 n T若 1 n n nT对nN 恒成 立，求实数的取值范围. 15 (2020 沙坪坝区 重庆八中高三)已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 22 n n S ， 数列 n b 满足： 1 2b ， 32 6bb，数列 n b n 为等差数列 (1)求 n a与 n b的通项公式； (2)设 11 n n nn c ab ，数列 n c的前n项和为 n T若对于任意n N均有 kn TT，求正 整数k的值
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