1、专题 07 数列的构成规律探索 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题， 探求数列的构成规律， 是数列不等式的综合应用问题的命题形式之 一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.(1)已知an与an1的关系式求通项an时，常有以下类型：形如an1anf(n)(f(n)不是 常数)的解决方法是累加法；形如an1anf(n)(f(n)不是常数)的解决方法是累乘法； 形如an1panq(p，q均为常数且p1，q0)解决方法是将其构造成一个新的等比数 列；形如an1panq n(p，q 均为常数，pq(p1)0)解决方法是在递推公式两边同除以 q n1. (2)给出Sn与an的递推关
2、系，求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的 递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求 an. 2.证明数列an是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明an1an(nN N *)为一常数； (2)利用等差中项，即证明 2anan1an1(n2) 3.证明数列an是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明 1 * n n a a n N为一常数； (2)利用等比中项，即证明 2 n aan1an1(n2) 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020 全国卷理科 T12)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a
3、1a2an 满足 ai0,1(i=1,2,),且存在正整数 m,使得 ai+m=ai(i=1,2,)成立,则称其为 0-1 周期 序列,并称满足 ai+m=ai(i=1,2,)的最小正整数 m 为这个序列的周期.对于周期为 m 的 0-1 序 列a1a2an,C(k)=aiai+k(k=1,2,m-1)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1 序列中,满足 C(k) (k=1,2,3,4)的序列是 ( ) A.11010 B.11011 C.10001 D.11001 例 2.(2020北京高考T21)已知an是无穷数列,给出两个性质: 对于an中任意两项 ai,aj(ij),在an中都存
4、在一项 am,使得 =am; 对于an中任意项 an(n3),在an中都存在两项 ak,al(kl),使得 an= . (1)若 an=n(n=1,2,),判断数列an是否满足性质,说明理由; (2)若 an=2 n-1(n=1,2,),判断数列a n是否同时满足性质和性质,说明理由; (3)若an是递增数列,且同时满足性质和性质,证明:an为等比数列. 例 3(2021 江苏高三月考)雪花曲线因其形状类似雪花而得名，它的产生也与雪花类似，由 等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作 新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对每-个等边三角形“尖
5、出”的部分继 续上述过程，即以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三角形(如图：(2)，(3)，(4) 是等边三角形(1)经过第一次，第二次，第三次，变化所得雪花曲线)若按照上述规律，一个 边长为3的等边三角形，经过四次变化得到的雪花曲线的周长是( ) A143 3 B 204 9 C 256 9 D 64 3 例 4(2021 浙江绍兴市 高三期末)已知 1 a， 2 a， 5 a为 1，2，3，4，5 的任意一个排列. 则满足：对于任意1,2,3,4,5n，都有 121n aaana的排列 1 a， 2 a， 5 a有 ( ) A49 个 B50 个 C31 个 D72 个 例 5(20
6、21 浙江绍兴市 绍兴一中高三期末)已知数列 n a与 n b满足 11 ( 3)1 n nnnn bab a ， 2, 1, n n b n 为偶数 为奇数 ， * nN，且 1 2a ，下列正确的是( ) A 31 8aa B 24 18aa C 222nn aa 是等差数列 D 2121nn aa 是等比数列 例 6(2021 山西太原市 高三期末)意大利数学家列昂纳多 斐波那契提出的“兔子数列”：1， 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在现代生物及化学等领域有着广泛 的应用，它可以表述为数列 n a满足 12 1aa， * 21 N nnn aaan .
7、若此数列各项 被 3 除后的余数构成一个新数列 n b，则 n b的前 2021 项和为( ) A2014 B2022 C2265 D2274 例 7 (2021 北京昌平区 高三期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”， 因数学家莱昂纳多斐 波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、 化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 n a可以用如下方法定义： * 1212 3,1 nnn aaannaa N.若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新数 列 n b，则 2021 b( ) A1 B2 C3 D5 例 8.(河北省衡水市第二中学 2020 高三)
8、数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第 一行 项，排；第二行 项，从左到右分别排，；第三行 项，以此类推，设数列 的前 项和为，则满足的最小正整数 的值为( ) 4, 4,4 3 4,4 3,4 4,4 3,4 , 4 A B C D 例 9(2021 北京高三期末)数列 n a中，给定正整数m(1)m， -1 1 1 ( ) m ii i V maa .定 义:数列 n a满足 1 (1,2,1) ii aaim L L，称数列 n a的前m项单调不增. ()若数列 n a通项公式为：( 1)() n n an * N，求(5)V； ()若数列 n a满足： 1 , (1,) m aa a
9、bmmab * N，求证( )V mab的充分 必要条件是数列 n a的前m项单调不增； ()给定正整数m( 1)m，若数列 n a满足：0,(1,2,) n anmL L，且数列 n a的前 m项和为 2 m，求 ( )V m的最大值与最小值.(写出答案即可) 例 10(2021 北京丰台区 高三期末)已知 n a是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的 最大值记为 n A，最小值记为 n B，令 n n n A b B (1)若 2 (1,2,3,) n an n，写出 1 b， 2 b， 3 b的值 (2)证明： 1 (1,2,3,) nn bb n (3)若 n b是等比数列，证明：存
10、在正整数 0 n，当 0 n n时， n a， 1n a ， 2n a 是等比数列 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 浙江绍兴市 高三期末)设 n a是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 * nN， 均有 n kn aa ，则称 n a是间隔递增数列，k是 n a的间隔数.若 2 2020 n antn 是间隔递增数列，且最小间隔数是 3，则实数t的取值范围是( ) A45t B5t C56t D5t 2(2021 全国高三专题练习)已知数列 n a满足： 1 13a ， 1 (1)21 nn nanan ， * nN，则下列说法正确的是( ) A 1nn aa B 1nn aa C数
11、列 n a的最小项为 3 a和 4 a D数列 n a的最大项为 3 a和 4 a 3(2021 全国高三其他模拟)已知数列 n a的前n项和为Sn，且 1 2a ， 1nn aS ，若 (0,2020) n a ，则称项 n a为“和谐项”，则数列 n a的所有“和谐项”的平方和为( ) A 11 18 4 33 B 11 14 4 33 C 10 18 4 33 D 12 14 4 33 4(2021 全国高三其他模拟)“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干 地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸“地支”指：子、丑、 寅、卯、辰、巳、午、未、申、
12、酉、戌、亥如，农历 1861 年为辛酉年，农历 1862 年为壬 戌年，农历 1863 年为癸亥年，则农历 2068 年为( ) A丁亥年 B丁丑年 C戊寅年 D戊子年 5(2021 广东梅州市 高三一模)某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某 序列 123 ,Aa a a重新编辑，编辑新序列为 * 324 123 , aaa A aaa ，它的第n项为 1n n a a ，若序列 * * A的所有项都是 2，且 5 1a ， 6 32a ，则 1 a等于( ) A 1 256 B 1 512 C 1 1024 D 1 2048 6(2021 山东潍坊市 高三一模)(多选)南宋数
13、学家杨辉所著的详解九章算法 商功中出现 了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第 三层有6个球，设各层球数构成一个数列 n a，则( ) A 4 12a B 1 1 nn aan C 100 5050a D 12 2 nnn aaa 7(2021 江苏常州市 高三开学考试)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题 时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数 的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 n a称为“斐波那契数列”，记 n S为数列 n a的 前 n 项和，则下列结论中正确的有( ) A 8 21
14、a B 7 32S C 135212nn aaaaa D 222 122021 2022 2021 aaa a a 8 (2021 江苏徐州市 徐州一中高三期末)(多选)“太极生两仪， 两仪生四象， 四象生八卦” 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理， 是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题 大衍数列 中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为 0，2， 4， 8， 12， 18， 24， 32， 40， 50， 记大衍数列为 n a， 其前 n 项和为 * , n S nN， 则( ) A
15、20 220a B 3572021 1111505 1011aaaa C 23 2156S D 24648 9800aaaa 9(2021 湖北高三期末)(多选)已知数列 n a的首项 1 am且满足 1 4751221 nn aa nn aa ，其中n N，则下列说法中正确的是( ) A当1m时，有 3nn aa 恒成立 B当21m时，有 47nn aa 恒成立 C当27m时，有 108111nn aa 恒成立 D当 2kmkN 时，有 2n kn k aa 恒成立 10(2021 山东高三专题练习)大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论. 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生
16、原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中， 曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是( ) A此数列的第 20 项是 200 B此数列的第 19 项是 182 C此数列偶数项的通项公式为 2 2 2 n an D此数列的前n项和为(1) n Snn 11(2021 北京高三期末)对于数列 n a，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项 的和，则称 n a为 P 数列. ()数列 n a为1,1,3,5,7，数列 n b为 11 1 1, 24 8 .判断数列 n
17、 a， n b是否为P数列， 并 说明理由； ()设数列 n a是首项为2的 P 数列， 其前n项和为 n S( * nN ).求证： 当2n时，2n n S ； ()设无穷数列 n a是首项为 a(a0)， 公比为 q 的等比数列， 有穷数列 n b， n c是从 n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1 T， 2 T.若 12 TT .判断 n a是否为P数列，并说明理由. 11.(2020江苏镇江高三)已知数列的前 项和为， 把满足条件的所 有数列构成的集合记为. (1)若数列通项为，求证：； (2)若数列是等差数列，且，求的取值范围； (3)若数列的各项均
18、为正数， 且， 数列中是否存在无穷多项依次成等差数列， 若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由. 12.(2020 河南安阳高三)已知等比数列 n a的首付 1=1 a，前n项和 n S满足 * 1 21,0 nn SanN . (1)求实数的值及通项公式 n a； (2)设 * , nn bna nN，求数列 n b的前n项为 n T，并证明： nn Tn S. 13.(2019湖南高考模拟)已知数列 n a 的首项 1 3a ， 3 7a ，且对任意的n N ，都有 12 20 nnn aaa ，数列 n b 满足 1 2n n ba ，n N . ()求数列 n a， n b的通
19、项公式； ()求使 12 2018 n bbb成立的最小正整数n的值. 14(2019山东日照一中高三)已知数列an中，a1=1，a1+2a2+3a3+nan=(nN *) ()证明当 n2 时，数列nan是等比数列，并求数列an的通项 an； ()求数列n 2a n的前 n 项和 Tn； ()对任意 nN *，使得 恒成立，求实数 的最小值 15已知各项均为正数的数列 n a 的前n项和 n S 满足 1 1 S ，且 NnaaS nnn ),2)(1(6 . ()求 n a的通项公式； ()设数列 n b满足1) 12( n b n a，并记 n T为 n b的前n项和，求证： NnaT nn ),3(log13 2 .
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