1、专题 05 应用导数研究不等式恒成立问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研究函 数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，应用导 数研究不等式恒成立问题的主要命题角度有：证明不等式恒成立、由不等式恒(能)成立求参 数的范围、不等式存在性问题.本专题就应用导数研究不等式恒成立问题，进行专题探讨， 通过例题说明此类问题解答规律与方法-参变分离、数形结合、最值分析等. 一、利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)ming(x)m
2、ax； (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数h(x)的 单调性或最值，证明h(x)0. 二、不等式恒成立问题的求解策略 (1)已知不等式f(x，)0(为实参数)对任意的xD恒成立， 求参数的取值范围 利 用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下： (2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒 成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a0，0 或a0，0)求解 三、不等式存在性问题的求解策略 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应 求f(x)
3、的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值在具体问题中 究竟是求最大值还是最小值， 可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值， 这样也就可以 解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值 特别需要关注等号是否成立， 以免细节 出错 【压轴典例】【压轴典例】 例 1(2021 全国高三其他模拟)已知数列 n a满足 1 1a ， 1 ln1 nn aa .若 1 1 nn aa 恒成立，则实数的最大值是( )(选项中e为自然对数的底数，大约为 2.71828) A21e B 2 e1 Ce De 例 2(2021 浙江嘉兴市 高三)已知函数 1 x f xeatax，其
4、中 0t 若对于某个 tR，有且仅有 3个不同取值的a，使得关于x的不等式 0f x 在R上恒成立，则t的 取值范围为( ) A1,e B,2ee C, e D2 , e 例 3.(2020新高考全国卷)已知函数 f(x)=ae x-1-ln x+ln a. (1)当 a=e 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围. 例 4.(2020全国卷高考理科T21)已知函数 f(x)=e x+ax2-x. (1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性; (2)当x0 时,f(x)x 3+1,求 a的取值范围. 例 5.(2
5、020天津高考T20)已知函数f(x)=x 3+kln x(kR),f(x)为 f(x)的导函数. (1)当k=6 时, 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; 求函数g(x)=f(x)-f(x)+ 的单调区间和极值; (2)当k-3 时,求证:对任意的x1,x21,+),且x1x2,有. 例 6 (2021 江苏苏州市 高三)已知函数( )eln ax f xxx， 其中 e 是自然对数的底数，0a . (1)若曲线 ( )yf x在点(1,(1)f处的切线斜率为2 1e，求 a 的值； (2)对于给定的常数 a，若 ( )1f xbx 对(0,)x恒成立，求证：ba 例 7.(
6、2020江苏高考T19)已知关于 x 的函数 y=f(x),y=g(x)与 h(x)=kx+b(k,bR)在区 间 D 上恒有 f(x)h(x)g(x). (1)若 f(x)=x 2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-,+).求 h(x)的表达式; (2)若 f(x)=x 2-x+1,g(x)=kln x,h(x)=kx-k,D=(0,+).求 k 的取值范围; (3)若 f(x)=x 4-2x2,g(x)=4x2-8,h(x)=4(t3-t)x-3t4+2t2(0|t| ),D=m,n-, 求证:n-m. 例 8. (2020 届安徽省马鞍山市高三)已知函数. (1)若在定义域内无极值点
7、，求实数 的取值范围； (2)求证：当时，恒成立. 例 9(2021 安徽高三)已知函数 2 ln,f xxaxx其中0.a (1)讨论 f x的单调性； (2)若当2x时 3 1 ,1 2 f xx恒成立，求a的取值范围. 例 10.(2020 届山西省孝义市一模)已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，曲线总在曲线的下方，求实数 的取值范围. 【压轴训练】【压轴训练】 1(2021 长宁区 上海市延安中学高三)设函数 f x的定义域为R，满足 22f xf x，且当0,2x时， 19 4 f xx x 若对任意,xm ，都有 2 3 fx ，则m的取值范围是( ) A 21 5
8、， B 16 3 ， C 18 4 ， D 19 4 ， 2 (2020 河津中学高三)若函数 2 ( )cossin 3 f xaxxx (其中 a 为参数)在 R 上单调递 增，则 a的取值范围是( ) A 1 0, 3 B 11 , 33 U C 1 1 , 3 3 D 1 ,0 3 3(2021 全国高三专题练习)已知函数 ln f xx，若对任意的 12 ,(0,)x x ，都有 222 1212122 fxfxxxk x xx 恒成立，则实数 k的最大值是( ) A1 B0 C1 D2 4 (2019天津高考模拟)已知函数 2 3ln ,1 ( ), 46,1 x x f x xx
9、x 若不等式( ) |2|f xxa对 任意(0,)x上恒成立，则实数a的取值范围为( ) A 1 3,3 e B3,3ln5 C3,4ln2 D 1 3,5 e 5(2020 广东佛山市 高三)(多选)命题 :p 已知ABC为锐角三角形，不等式 cos cos log0 sin C A B 恒成立，命题 2 :2q xx ax在 1,2x 上恒成立， 在1,2上恒成立，则真命题的为( ) Ap q Bp q C pq Dp q 6 (2020 福清西山学校高三)(多选)记函数 f x与 g x的定义域的交集为I， 若存在0 xI ， 使得对任意xI， 不等式 fxg x 0 0 xx恒成立，
10、 则称 ,f xg x构成“相 关函数对”下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有( ) A x f xe， 1g xx B lnf xx， 1 g x x C f x x， 2 g xx D f xx， 7(2020 浙江高三月考)已知1a ，若对于任意的 1 ,) 3 x，不等式 4ln 3eln x xxaa恒成立，则a的最小值为_. 8(2020 全国高三月考)已知函数 ln20 2 x a f xaea x ，若 0f x 恒成立， 则实数a的取值范围为_. 9(2021 安徽高三开学考试)已知函数 11lnf xaxx . (1)讨论函数 f x的单调性； (2)对任意0 x，求证
11、： 2 2e 11 e x axf x x . 10.(2020山东高考模拟)已知函数 2 ( )ln2 ()f xxaxx aR. (1)求 ( )f x的单调递增区间； (2)若函数 ( )f x有两个极值点 1212 ,()x x xx且 12 ( )0f xmx恒成立， 求实数m的取值范 围. 11(2021 黑龙江哈尔滨市 哈尔滨三中高三)已知 ln0f xxmx m. (1)若 yf x在点 1,1f处的切线平行于x轴，求其单调区间和极值; (2)若不等式 2 1 1 1 2 f xx mx 对于任意的0 x恒成立，求整数m的最小值. 12.(2020河南高考模拟)已知函数 lnf
12、 xxxab，曲线 yf x在点 1,1f 处的切线为210 xy . (1)求a，b的值； (2)若对任意的1,x， 1f xm x恒成立，求正整数m的最大值. 13.(2020湖北高考模拟)已知函数 2 ( )1 2 x x f xe (1)若直线y xa 为 f x的切线，求a的值 (2)若0,x ， f xbx恒成立，求b的取值范围 14(2021 浙江绍兴市 高三期末)已知函数( )ln(1) n x fxx n ，其中 * nN . (1)证明： 2 1( ) 1 x f x x ； (2)证明：对任意的2n，存在0 n x ，使得0 nn fx； (3)在(2)的条件下，证明： 1 1 nn xx . 15.(2020临川一中实验学校高考模拟)已知函数( )exf xaxb.(其中e为自然对数 的底数) (1)若( )0f x 恒成立，求ab的最大值； (2)设( )ln1g xx，若( )( )( )F xg xf x存在唯一的零点，且对满足条件的, a b不等 式e 1) （m ab恒成立，求实数m的取值集合.
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