1、专题 03 含参数单调性问题 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极(最)值问题，证明不等式、研 究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置，特别是含 参数问题，离不开函数单调性研究.本专题就含参数的函数单调性问题，进行专题探讨，通 过例题说明此类问题解答规律与方法. 1.讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下， 这类问题可以归结 为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论： (1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论 (2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方
2、程的判别式进行分类讨论 2.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据 参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0 是否有根；(2)若f(x)0 有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根， 比较两个根的大小 3.讨论函数f(x)单调性的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域 (2)求导数f(x)，并求方程f(x)0 的根 (3)利用f(x)0 的根将函数的定义域分成若干个子区间， 在这些子区间上讨论f(x)的 正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性 4.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)
3、可导函数在区间(a，b)上单调， 实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立， 得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围 (2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间， 实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间 上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围 (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间， 令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2020全国卷文科T21)已知函数 f(x)=2ln x+1. (1)若 f(x)2x+c,求 c 的取值范围; (2
4、)设a0 时,讨论函数g(x)=的单调性. 例 2.(2020全国卷文科T20)已知函数 f(x)=x 3-kx+k2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有三个零点,求 k 的取值范围. 例 3.(2020全国卷高考理科T21)已知函数 f(x)=e x+ax2-x. (1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性; (2)当x0 时,f(x)x 3+1,求 a的取值范围. 例 4.(2020全国卷理科T21)已知函数f(x)=sin 2xsin 2x. (1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性; (2)证明:|f(x)|; (3)设nN *,证明:sin2xsin22xsin24
5、xsin22nx . 例 5.(2019全国高考真题)已知函数 32 ( )22f xxax. (1)讨论 ( )f x的单调性； (2)当0时，证明 f x有一个极大值点和一个极小值点 13【浙江省湖州市2020-2021学年高三】 已知函数 3 sine, x f xmxxxnm n R， e为自然对数的底数. ()当0m且1n 时，证明： 0f x ； 14.(2020山东高考模拟)已知函数 f(x)ax+lnx(aR)，g(x)x 2emx(mR，e 为自然对数 的底数) (1)讨论函数 f(x)的单调性及最值； (2)若 a0，且对x1，x20，2，f(x1+1)g(x2)+a1 恒成立，求实数 m 的取值范围 15(2020贵州高考模拟)已知函数 f(x)=ax 2+(a-2)lnx+1(aR) (1)若函数在点(1，f(1)处的切线平行于直线 y=4x+3，求 a 的值； (2)令 c(x)=f(x)+(3-a)lnx+2a，讨论 c(x)的单调性； (3)a=1 时， 函数 y=f(x)图象上的所有点都落在区域 x 0 2 ytxx 内， 求实数 t 的取值范围 16(2020安徽高考模拟)已知函数( )ln1()f xxaxaR. (1)讨论函数 ( )f x的单调性； (2)若函数 ( )f x图像过点(1,0)，求证： ( )0 x exf x .
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