1、专题 02 曲线的切线问题探究 【压轴综述】【压轴综述】 纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、 倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型 有求切线方程、求切点坐标、求参数值(范围)等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解 题策略有： 1.已知斜率求切点已知斜率k，求切点 11 ,xf x，即解方程 fxk. 2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”： 求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程，在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的切线，不
2、论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点 (1)已知切点求切线方程：求出函数 yf x在点 0 xx处的导数，即曲线 yf x 在点 00 ,xfx 处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为 000 yyfxxx (2)求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标 P(x1，f(x1)； 第二步，写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 y-f(x1)f(x1)(x-x1)； 第三步，将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； 第四步，将 x1的值代入方程 y-f(x1)f(x1)(x-x1)可得过点 P(x0，y0)的切线方程 3.求切线倾斜角的取值范围先求导数
3、的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数 的单调性解决 4.根据导数的几何意义求参数的值(范围)时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切 线上构造方程组求解 5.已知两条曲线有公切线，求参数值(范围). 6.导数几何意义相关的综合问题 【压轴典例】【压轴典例】 例 1.(2019江苏高考真题)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在 点A处的切线经过点(-e，-1)(e 为自然对数的底数)，则点A的坐标是( ) A B C D 【答案】C. 【解析】 设点 00 ,A x y， 则 00 lnyx.又 1 y x ， 当 0 xx时， 0 1 y x ， 点
4、A在曲线 lnyx 上的切线为 00 0 1 ()yyxx x ，即 0 0 ln1 x yx x ，代入点, 1e ，得 0 0 1 ln1 e x x ， 即 00 lnxxe， 考查函数 lnH xxx， 当0 ,1x时， 0H x ， 当1,x时， 0H x ，且 ln1Hxx，当1x 时， 0,HxH x单调递 增，注意到 H ee，故 00 lnxxe存在唯一的实数根 0 xe，此时 0 1y ，故点A的坐 标为,1A e. 例 2.(2020全国卷高考理科T6)函数 f(x)=x 4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为 ( ) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C
5、.y=2x-3 D.y=2x+1 【答案】B 【解析】 因为f(x)=x 4-2x3,所以 f(x)=4x 3-6x2,所以 f(1)=-1,f(1)=-2,因此,所求切线的方 程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1. 例 3(2020 江苏高三期中)(多选)在直角坐标系内，由A，B，C，D四点所确定的“N型 函数”指的是三次函数 32 0axbxd af xcx，其图象过A，D两点，且 f x 的图像在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若将由0,0A，1,4B， 3,2C，4,0D四点所确定的“N型函数”记为 yf x，则下列选项正确的是( ) A曲线 yf x在点D处的切
6、线方程为 28yx B 1 48 8 f xx xx C曲线 yf x关于点 4,0对称 D当46x时， 0f x 【答案】ABC 【详解】因为直线CD的斜率为 02 2 43 ，所以CD的方程为024yx ，即 28yx ， 所以 A 正确.因为 f x的图象过点0,0A及4,0D， 所以 f x有两个零 点 0，4，故可设 4f xx xkxm(其中0k )，则 424fxkx xkxmx，由 04f， 42f，得1m， 1 8 k ， 所以 1 48 8 f xx xx，故 B 正确.由选项 B可知， 80f xfx，所以曲 线 yf x关于点4,0对称，故 C正确.当46x时，有40
7、x，80 x ，所以 0f x ，故 D不正确. 例 4(2020 河北唐山高三)(多选)设点P是曲线 2 3 3 x yex上的任意一点，P点处的 切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些( ) A 2 , 3 B 5 , 26 C0, 2 D 5 0, 26 【答案】CD 【详解】因为 2 3 3 x yex，故可得33 x ye ；设切线的倾斜角为，则 3tan ，故可得 2 0, 23 ， 例 5(2020 湖北武汉高三)已知函数 32 ( )2f xxxx ，若过点 (1, )Pt可作曲线 ( )yf x 的三条切线，则t的取值可以是( ) A0 B 1 27 C 1 28 D 1
8、 29 【答案】CD 【详解】 32 ( )2f xxxx ， 2 ( )341fxxx ， 由已知得，过点 (1, )Pt作曲 线( )yf x的三条切线， 情况如下： 点(1, )Pt在曲线上， 故此时， 切点为(1, )Pt， 把P点 代入函数可得，(1,0)P，利用切线公式得，(1)(1)yfx，所以，此时，切线为x轴， 但此时，切线只有一条，不符题意； 点(1, )Pt不在曲线上，故此时，设切点为 00 (,)xy， 故切线经过(1, )Pt切线方程为： 0 ()(1)ytfxx ，所以， 2 0000 ( 341)(1)ytxxx ，又因为切点在曲线上，所以， 32 0000 2y
9、xxx ， 又因为切线的斜率为：联立方程得， 2 0000 32 0000 ( 341)(1) 2 ytxxx yxxx ，化简得， 32 000 2541txxx，令 32 ( )2541g xxxx，即 ( )tg x 有三个解，即y t 与 ( )yg x 有三个交点，令 2 ( )61042(1)(32)0g xxxxx，可得两极值点为 1 1x ， 2 2 3 x ；对于( )g x，在 2 , 3 x 和 1,时，单调递增，在 2 (,1) 3 x时单调 递减，所以，当 2 ( )(1) 3 gtg 时，因为 21 ( ) 327 g，(1)0g，所以，当 1 0 27 t 时，
10、满足y t 与( )yg x有三个交点，而 111 0 292827 例 6(2020 梅河口市第五中学高三)已知函数 2 1 ln 2 f xaxaxx，曲线 yf x在 点 11 ,xf x处与点 22 ,xf x处的切线均平行于x轴，则 121 212 xxx xf xf x的取值范围是( ) A 7 ,2ln2 4 B 77 2ln2,2ln2 44 C 7 2ln2, 4 D 7 2ln2, 4 【答案】A 【详解】因为函数 2 1 ln 2 f xaxaxx，所以定义域为0,， 2 11axax axa x x x f ，因为曲线 yf x在点 11 ,xf x处与点 22 ,xf
11、 x处的切线均平行于x轴，所以 1 x、 2 x是方程 2 10axax 的两个不相等的正 根，1 2 1xx +， 12 1 x x a ， 则 2 40 1 0 aa a ， 解得4a ， 令 121 212 haxxxxf xf x， 则 2 22 12121 111 1lnln 22 h aaxaxxaxaxx a ，易知 11 ln 2 h aaa a 在4, 上是减函数，故 7 2ln2 4 h a ， 121 212 xxx xf xf x的取值范围是 7 ,2ln2 4 ， 例 7.(2019全国高考真题)已知函数 1 1 ln x f xx x . (1)讨论f(x)的单调性
12、，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点， 证明曲线y=ln x 在点A(x0， ln x0)处的切线也是曲线exy 的 切线. 【答案】(1)函数 ( )f x在(0,1)和(1,)上是单调增函数，证明见解析； (2)证明见解析. 【解析】(1)函数 ( )f x的定义域为(0,1)(1,)， 2 2 11 ( )ln( ) 1(1) xx f xxfx xx x ，因为函数 ( )f x的定义域为(0,1)(1,)，所以 ( )0fx ，因此函数 ( )f x在(0,1)和(1,)上是单调增函数；当(0,1)x ，时， 0,xy ，而 1 1 112 ( )ln
13、0 1 1 1 e f eee e ，显然当(0,1)x，函数 ( )f x有零点， 而函数 ( )f x在(0,1)x 上单调递增，故当(0,1)x时，函数 ( )f x有唯一的零点；当 (1,)x时， 22 22 22 1213 ( )ln0,()ln0 1111 eee f eef ee eeee ，因为 2 ( )()0f ef e，所以函数 ( )f x在 2 ( ,)e e必有一零点，而函数 ( )f x在(1,)上是单调递 增，故当(1,)x时，函数 ( )f x有唯一的零点 综上所述，函数 ( )f x的定义域(0,1)(1,)内有 2 个零点； (2)因为 0 x是( )f
14、x的一个零点，所以 00 000 00 11 ()ln0ln 11 xx f xxx xx 1 lnyxy x ，所以曲线lnyx在 00 A(,ln)xx处的切线l的斜率 0 1 k x ，故曲线 lnyx 在 00 A(,ln)xx处的切线l的方程为： 00 0 1 ln()yxxx x 而 0 0 0 1 ln 1 x x x ，所以 l的方程为 00 2 1 x y xx ，它在纵轴的截距为 0 2 1x .设曲线 x ye的切点为 1 1 ( ,) x B x e， 过切点为 1 1 ( ,) x B x e切线 l， xx yeye，所以在 1 1 ( ,) x B x e处的切线
15、 l的斜率为 1 x e， 因此切线 l的方程为 11 1 (1) xx ye xex，当切线 l的斜率 1 1 x ke等于直线l的斜率 0 1 k x 时，即 1 10 0 1 (ln) x exx x ，切线 l在纵轴的截距为 01 ln 1100 0 1 (1)(1ln)(1ln) xx bexexx x ，而 0 0 0 1 ln 1 x x x ，所以 0 1 000 112 (1) 11 x b xxx ， 直线 , l l的斜率相等， 在纵轴上的截距也相等， 因此直线 , l l重 合，故曲线lnyx在 00 A(,ln)xx处的切线也是曲线 x ye的切线. 例 8. (20
16、20全国卷理科T21)函数 f(x)=x 3+bx+c,曲线 y=f(x)在点 处的切线与 y 轴垂直 (1)求 b; (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,证明 f(x)所有零点的绝对值都不大于 1. 【解析】(1)因为f(x)=3x 2+b,由题意,f =0,即 3+b=0,则b=-. (2)由(1)可得f(x)=x 3- x+c,f(x)=3x 2- =3 ,令f(x)0,得x 或x- ; 令f(x)0,得- x0 或f(1) 或c 时,f(-1)=c- 0,f=c+ 0, f=c- 0,f(1)=c+ 0,又f(-4c)=-64c 3+3c+c=4c(1-16c2)0,由零
17、点存在性定理知 f(x)在 (-4c,-1)上存在唯一一个零点x0,即f(x)在(-,-1)上存在唯一一个零点,在(-1,+)上不 存在零点,此时f(x)不存在绝对值不大于 1 的零点,与题设矛盾; 当c- 时,f(-1)=c- 0,f=c+ 0,f=c- 0,f(1)=c+ 0,由零点存在性定理知 f(x)在(1,-4c)上存在唯一一个 零点x0,即f(x)在(1,+)上存在唯一一个零点,在(-,1)上不存在零点,此时f(x)不存在 绝对值不大于 1 的零点,与题设矛盾; 综上,f(x)所有零点的绝对值都不大于 1. 例 9.(2020新高考全国卷)已知函数f(x)=ae x-1-ln x+
18、ln a. (1)当a=e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若f(x)1,求a的取值范围. 【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)=ae x-1- . (1)当a=e 时,f(x)=e x-ln x+1,f(1)=e-1,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程 为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2 在x轴,y轴上的截距分别为,2, 因此所求三角形的面积为. (2)当 0a1 时,f(1)=a+ln a1 不满足条件;当a=1 时,f(x)=e x-1-ln x,f(x)=
19、ex-1- . 当x(0,1)时,f(x)0.所以f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+) 上是增函数,所以当x=1 时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)1. 所以a=1 满足条件;当a1 时,f(x)=ae x-1-ln x+ln aex-1-ln x1. 综上,a的取值范围是1,+). 例 10.(2020北京高考T19)已知函数f(x)=12-x 2. (1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2 的切线方程; (2)设曲线y=f(x)在(t,f(t)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最 小值. 【解析】(1)f(x)定义域为 R,f(x)=
20、-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f(x0)=-2x0=-2,即x0=1, 所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即 2x+y-13=0. (2)切线方程为y-12+t 2=-2t(x-t),令 x=0 得y=t 2+12,令 y=0 得x= + , 所以S(t)= (t 2+12)| + |,t0,易知 S(t)为偶函数, 当t0 时,S(t)=t 3+6t+ ,S(t)= , 令S(t)=0 得t=2,-2(舍), t (0,2) 2 (2,+) S(t) - 0 + S(t) 极小值 所以S(t)有极小值也是最小值S(
21、2)=32,又S(t)为偶函数, 所以当t=2 时,S(t)有最小值 32. 例 11.(2019山西太原高三)已知函数 ln1 ( ) x f x x . ()证明： 2 ( )f xe xe； ()若直线(0)yaxb a为函数 ( )f x的切线，求 b a 的最小值. 【答案】(1)见解析.(2) 1 e . 【解析】 ()证明：整理 2 ( )f xe xe得 22 ln10(0)xe xexx 令 22 ( )ln1g xxe xex， 22 21(1)(21) ( ) e xexexex g x xx 当 1 0,x e ，( )0g x ，所以( )g x在 1 (0, ) e
22、 上单调递增； 当 1 ,x e ，( )0g x ，所以( )g x在 1 , e 上单调递减， 所以 1 ( )0g xg e ，不等式得证. () 22 1 (ln1)ln ( ) xx fx xx ，设切点为 00 ,xf x， 则 0 2 0 ln x a x ，函数 ( )f x在 00 ,xf x点处的切线方程为 000 yf xfxxx 00 0 2 00 ln1lnxx yxx xx ，令0 x，解得 0 0 2ln1x b x ， 所以 00 0 2ln1 ln xxb ax ，令 00 0 0 2ln1 ln xx h x x ， 因为0a， 0 2 0 ln 0 x x
23、 ，所以10 0 x， 2 00000 00 0 222 000 2ln3 ln2ln12ln1 ln12lnln1 lnlnln xxxxxxx h x xxx ， 当 0 1 0,x e ， 0 0h x，所以( )h x在 1 0, e 上单调递减； 当 1 ,1x e ， 0 0h x，所以( )h x在 1 ,1 e 上单调递增， 因为10 0 x， 0 11 h xh ee . 【思路点拨】 (1)由 2 ( )f xe xe即为 22 ln10(0)xe xexx ，令 22 ( )ln1g xxe xex，利 用导数求得函数 g x的单调性与最值，即可得到结论； (2)求得函数
24、 f x的导数，设出切点，可得 0 2 0 ln x a x 的值和切线方程，令0 x，求得 0 0 2ln1x b x ，令 00 0 0 2ln1 ln xx h x x ，利用导数求得函数 0 h x的单调性与最小 值对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得 出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题 转化为函数的最值问题 例 12.(2020 四川棠湖中学高三)已知抛物线 2 :4C xy ，M 为直线: 1l y 上任意一点， 过点 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB，切点分别为 A,B. (1)当 M
25、的坐标为(0,-1)时，求过 M,A,B 三点的圆的方程； (2)证明：以AB为直径的圆恒过点 M. 【答案】(1) 22 (1)4xy(2)见证明 【解析】(1)解：当M的坐标为(0, 1)时，设过M点的切线方程为1ykx， 由 2 4 , 1, xy ykx 消y得 2 440 xkx. (1) 令 2 (4 )4 40k ，解得1k .代入方程(1)，解得 A(2,1),B(-2,1). 设圆心P的坐标为(0, )a，由PMPB，得12a ，解得1a . 故过,M A B三点的圆的方程为 22 (1)4xy (2)证明：设 0 (, 1)M x，由已知得 2 4 x y ， 1 2 yx
26、 ，设切点分别为 2 1 1 (,) 4 x A x， 2 2 2 (,) 4 x B x，所以 1 2 MA x k， 2 2 MB x k， 切线MA 的方程为 2 11 1 () 42 xx yxx即 2 11 11 24 yx xx， 切线MB的方程为 2 22 2 () 42 xx yxx即 2 22 11 24 yx xx 又因为切线MA过点 0 (, 1)M x，所以得 2 011 11 1 24 x xx . 又因为切线MB也过点 0 (, 1)M x，所以得 2 022 11 1 24 x xx . 所以 1 x， 2 x是方程 2 0 11 1 24 x xx 的两实根，
27、由韦达定理得 120 2,xxx 12 4x x 因为 2 1 10 (,1) 4 x MAxx uuu r ， 2 2 20 (,1) 4 x MBxx uuu r ， 所以 22 12 1020 ()()(1)(1) 44 xx MA MBxxxx uuu r uuu r 22 22 12 1201201212 1 ()()21 164 x x x xx xxxxxx x 将 120 2,xxx 12 4x x 代入，得 0MA MB . 所以以AB为直径的圆恒过点M 【压轴训练】【压轴训练】 1(2020 河津中学高三)设函数 32 ( )(2)2f xxaxx，若 ( )f x为奇函数
28、，则曲线 ( )yf x 在点(1,(1)f处的线方程为( ) A5 20 xy B20 xy C5 80 xy D40 xy 【答案】A 【详解】因为 ( )f x为奇函数，所以 ()fxf x ， 即 3232 (2)2(2)2xaxxxaxx，所以20a，所以2a，所以 3 ( )2f xxx，则 2 (1)3,( )32,(1)5ffxxf，所以切线方程为 35(1)yx，即520 xy . 2(2020 江苏常州市 高三期中)已知函数 2 ( )lnfxaxx ，0a，若曲线 ( )yf x在 点(1,1)处的切线是曲线( )yf x的所有切线中斜率最小的，则a( ) A 1 2 B
29、1 C 2 D2 【答案】D 【详解】因为 2 ( )lnfxaxx ，定义域为0,，所以 ( )2 a fxx x ，由导数的几何 意义可知：当1x 时 fx 取得最小值，因为0a，0 x，所以 ( )22 22 2 a x a fxxa xx ，当且仅当2 a x x 即 2 2ax时 fx取得最小值， 又因为1x 时 fx 取得最小值，所以 2 2 12a ， 3(2020 河南鹤壁高三)将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状 叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 cosh x f xa a ，其中a为悬链线系数，coshx称为双
30、曲余弦函数，其函数表达式为 cosh 2 xx ee x ， 相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2 xx ee x .若直线x m 与 双曲余弦函数 1 C和双曲正弦函数 2 C分别相交于点A，B，曲线 1 C在点A处的切线与曲线 2 C在点B处的切线相交于点P，则( ) A sinh coshyxx 是偶函数 B coshcosh coshsinh sinhxyxyxy CBP随m的增大而减小 DPAB 的面积随m的增大而减小 【答案】D 【详解】对于选项 A：定义域为R， 22 sinh cosh 4 xx ee yf xxx ，而 22 2 xx ee fxf x ，所以 f x
31、是奇函数，所以 A错误；对于选项 B： cosh coshsinh sinh 2222 xxyyxxyy eeeeeeee xyxy cosh 442 x yx yx yy xx yx yx yy xx yy x eeeeeeeeee xy ，所以 B错误；对于选项 C、D：设, 2 mm ee A m ，, 2 mm ee B m ， cosh, sinh 22 xxxx eeee xx ，则曲线 1 C在点A处的切线方程为： 22 mmmm eeee yxm ，曲线 2 C在点B处的切线方程为： 22 mmmm eeee yxm ，联立求得点P的坐标为 1, m me ，则 2 2 2 1
32、1 24 mm mm m ee ee BPe ， 11 22 m PAB SABe ， 所以BP随m的 增大而先减小后增大， PAB 的面积随m的增大而减小，所以 C 错误，D正确. 4(2020 江西吉安市 高三)已知曲线 1 C： x f xxe在0 x处的切线与曲线 2 C： lnax g xa x R在1x 处的切线平行， 令 h xf x g x， 则 h x在0,上 ( ) A有唯一零点 B有两个零点 C没有零点 D不确定 【答案】A 【详解】 x f xxe， 1 x fxx e，又 lnax g x x ， 2 lnaax gx x ， 由题设知， 01fg ，即 0 2 ln
33、1 10 1 aa e ，1a ， 则 ln ln xx x h xf x g xxeex x ， ln1 ln x x x xxee h xex xx ，0 x， 令 ln1m xxx，0 x，则 ln1m xx ，当 1 0, e x 时， 0m x ，即函数 ln1m xxx单调递减；当 1 ,x e 时， 0m x ，即函数 ln1m xxx单调 递增；在0,上 m x的最小值为 11 10m ee ， 0m x ，则 0h x ， h x在0,上单调递增，且 10h. h x在0,上有唯一零点， 5(2019湖南高考模拟)过抛物线 2 20 xpy p上两点,A B分别作抛物线的切线
34、，若 两切线垂直且交于点12P，则直线AB的方程为( ) A 1 2 2 yx B 1 3 4 yx C 1 3 2 yx D 1 2 4 yx 【答案】D 【解析】由 2 2xpy，得 2 2 x y p ， x y p 设 1122 ,A x yB x y，则 12 12 , x xx x xx yy pp ，抛物线在点A处的切线方程为 2 11 2 xx yx pp ， 点B处的切线方程为 2 22 2 xx yx pp ，由 2 11 2 22 2 2 xx yx pp xx yx pp ，解得 12 12 2 2 xx x x x y p ， 又两切线交于点1, 2P， 12 12
35、1 2 2 2 xx x x p ，故得 1212 2,4xxx xp (*) 过,A B两点的切线垂直， 12 1 xx pp ，故 2 12 x xp ，4p ，故得抛物线的方程 为 2 8xy由题意得直线AB的斜率存在，可设直线方程为y kxb ， 由 2 8 ykxb xy 消去y整理得 2 880 xkxb， 1212 8 ,8xxk x xb (*)， 由(*)和(*)可得 1 4 k 且2b，直线AB的方程为 1 2 4 yx 6(2020 全国高三其他模拟)(多选)已知函数 2 1 ln 2 f xaxaxx的图象在点 11 ,xf x 处与点 22 ,xf x 处的切线均平行
36、于x轴，则( ) A f x在 上单调递增 B 12 2xx C 121 212 xxx xf xf x的取值范围是 7 ,2ln2 4 D若 16 3 a ，则 f x只有一个零点 【答案】ACD 【详解】由题意可知，函数 f x的定义域为0,， 2 11axax axa x x x f ， 则 1 x， 2 x是方程 2 10axax 的两个不等正根，则 2 12 40 1 0 aa x x a ，解得4a ， 当1,x时，函数 2 10yaxax ，此时 0fx ，所以 f x在 1,上单调 递增，故 A正确；因为 1 x， 2 x是方程 2 10axax 的两个不等正根，所以 12 1
37、xx +， 故 B 错误；因为 22 121212111222 111 1lnln 22 xxx xf xf xxaxaxxaxax a 111211 1ln1ln 22 aaaa aaaa ，易知函数 11 ln 2 h aaa a 在 4,上是减函数，则当4a 时， 7 42ln2 4 h ah ， 所以 121 212 xxx xf xf x的取值范围是 7 ,2ln2 4 ，故 C正确； 当 16 3 a 时， 16161 33 fxx x ，令 0fx ，得 1 4 x 或 3 4 ，则 f x在 1 0, 4 上 单调递增，在 1 3 , 4 4 上单调递减，在 3 , 4 上单调
38、递增，所以 f x在 1 4 x 取得极大 值，且 1 0 4 f ， 2ln20f，所以 f x只有一个零点，故 D正确. 7(2020 辽宁高三期中)已知幂函数 1 2 2 ( )2 m f xmm x 在区间0,上单调递增，曲 线( )yf x在点P处的切线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点， 若OAB 的面积为 2，则点P的坐标为_. 【答案】4,2 【详解】由题意，可得 2 21mm，解得1m或 1 2 m ，当 1 2 m 时， 1 ( )f xx， 不合题意；当1m时， 1 2 ( )f xx ，符合题意.故 1 2 ( )f xx ，则 1 ( ) 2 fx x ，
39、设 00 ,P xx，过点P处的切线方程为 00 0 1 2 yxxx x ，整理为 0 0 11 22 yxx x ，在x、y轴上的截距分别为 0 x， 0 1 2 x，因为OAB的面积为 2， 所以 00 11 2 22 xx，解得 00 40 xx，故点P的坐标为4,2. 8 (2020 四川成都市 华西中学高三)已知函数 32 6f xxbxb在区间0,1内存在平行 于x轴的切线，则实数b的取值范围为_ 【答案】 22 1 0, 884 . 【详解】 32 6f xxbxb 2 312fxxbx f x在0,1内存在与x轴平行 的切线 0fx 有0,1内有解，并且此解不能使 0f x
40、，否则此时切线会与x轴重 合由 2 3120 xbx有解，得4xb 0,1x 1 0, 4 b 由40fb 得 32 4640bbbb解得 2 8 b 22 1 0, 884 b 9.(2019山东高考模拟)已知函数 2 f xx2ax， 2 g x4a lnxb，设两曲线 yf x， yg x有公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当a0,时，实数 b 的最 大值是_ 【答案】2 e 【解析】设 00 ,P x y， 22f xxa， 2 4 a g x x 由题意知， 00 f xg x， 00 f xg x，即 22 000 24xaxa lnxb， 2 0 0 4 22 a xa x
41、， 解得 0 xa或 0 2 (xa 舍)，代入得： 22 34baa lna， 0,a， 68421 4baalnaaalna， 当 1 4 0,ae 时，0b ， 当 1 4, ae 时，0b 实数 b 的最大值是 11 44 342b eeelnee 10.(2020安徽高考模拟)已知函数 ( )lnxfxx ，直线l： 21ykx . ()设( , )P x y是( )yf x图象上一点，O为原点， 直线OP的斜率( )kg x， 若( )g x 在 ( ,1)xm m (0)m 上存在极值，求m的取值范围； ()是否存在实数k， 使得直线l是曲线( )yf x的切线？若存在， 求出k
42、的值； 若不存在， 说明理由； ()试确定曲线( )yf x与直线l的交点个数，并说明理由. 【答案】11emek ，（），()见解析 【解析】() ln (0) yxx g xx xx ， 1 ln 0 x gx x ，解得xe. 由题意得： 01mem ，解得1eme . ()假设存在实数k，使得直线是曲线 yf x的切线，令切点 00 ,P x y， 切线的斜率 0 1 21k x .切线的方程为 000 0 1 ln1yxxxx x ， 又切线过 (0，-1)点， 000 0 1 1ln10 xxx x .解得 0 1x ，22k ， 1k . ()由题意，令ln21xxkx， 得 l
43、n1 2 xx k x . 令 ln1( 0) 2 xx h xx x ， 2 ln 2 x hx x ，由 0h x，解得1x . h x在(0,1)上单调递增，在1,上单调递减， max 11h xh,又0 x时， h x ；x 时， 1ln11 222 x h x x ， 1 ,1 2 k 时，只有一个交点； 1 ,1 2 k 时，有两个交点；1,k时，没 有交点. 11. (2021河北高考模拟)已知函数 x f xe， g xalnx(a0) 1当x0时， g xx，求实数 a 的取值范围； 2当a1时，曲线 yf x和曲线 yg x是否存在公共切线？并说明理由 【答案】(1)0,e
44、；(2)存在公共切线，理由详见解析. 【解析】 1令 lnm xg xxa xx，则 1 aax m x xx . 若0 xa，则 0m x ，若xa，则 0m x . 所以 m x在0,a上是增函数，在, a 上是减函数. 所以xa是 m x的极大值点，也是 m x的最大值点，即 maxlnm xa aa. 若 g xx恒成立，则只需 maxln0m xa aa，解得0ae. 所以实数a的取值范围是0,e. 2假设存在这样的直线l且与曲线 yf x和曲线 yg x分别相切与点 1 122 ,ln x A x eB xx.由 x f xe，得 x fxe. 曲线 yf x在点A处的切线方程为
45、11 1 xx yeexx，即 11 1 1 xx ye xx e. 同理可得，曲线 yg x在点B处的切线方程为 21 2 1 lnyxxx x ，即 2 2 1 ln1yxx x .所以 1 1 2 12 1 11 x x e x x elnx 则 11 1 1lne1 xx x e ，即 1 11 110 x x ex ，构造函数 x 11,h xx ex xR，存在直线l与曲线 yf x和曲线 yg x相切,等价于函数 x 11h xx ex 在R上有零点 对于 1 x h xxe.当0 x时， 0h x， h x在上单调递增. 当0 x时，因为 10 x h xxe ，所以 h x
46、在0,上是减函数. 又 010,110hhe ， ，所以存在 0 0,1x ，使得 0 00 10 x h xx e ，即 0 0 1 x e x .且当 00 0,xx， 0h x时，当 00, xx时， 0h x. 综上， h x在 0 0,x上是增函数，在 0, x 上是减函数.所以 0 h x是 h x的极大值， 也是最大值，且 0 000000 max 00 11 111?10 x h xh xxexxxx xx . 又 2 2310he ， 2 230he ，所以 h x在 0 2,x内和 0,2 x内各有一 个零点.故假设成立，即曲线 yf x和曲线 yg x存在公共切线. 12.(2020广西高考模拟(理)已知函数 1 ( )lnf xxmx x 在区间(0,1)上为增函数， mR. (1)求实数m的取值范围； (2)当m取最大值时，若直线l：yaxb是函数( )( )2F xf xx的图像的切线，且 , a bR，求 a b的最小值. 【答案】(1)2m；(2)a b的最小值为-1. 【解析】(1) 1 lnf xxmx x ， 2 11 fxm xx 又函数 f x 在区间0,1 上为增函数， 2 11 0fxm xx 在0,1上恒成立， 2 2 11111 24
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