1、P x y A O M T 高中数学必修高中数学必修 4 4 知识点知识点 第一章第一章 三角函数三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为 36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为 360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为 180 ,kk 终边在y轴上的角的集合为 18090 ,k
2、k 终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk 3、与角终边相同的角的集合为 360,kk 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l r 6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1 180 ， 180 157.3 7、 若扇形的圆心角为 为弧度制， 半径为r， 弧长为l， 周长为C， 面积为S， 则lr，2Crl， 2 11 22 Slrr 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y，它与原点的距 离是 22 0r rxy，则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 9、三角函数在各象限的符
3、号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正 10、三角函数线：sin，cos，tan 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ： 22 1 sincos1 2222 sin1 cos,cos1 sin ； sin 2tan cos sin sintancos ,cos tan .（3） 倒数关系：tancot1 12、函数的诱导公式： 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin，coscos，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 口诀：函数名称不
4、变，符号看象限 5 sincos 2 ，cossin 2 6 sincos 2 ，cossin 2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数 sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍 （横坐标不变） ，得到函数sinyx 的图象 数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，
5、得到函数 sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍 （横坐标不变） ，得到函数sinyx 的图象 14、函数sin0,0yx 的性质： 振幅：；周期： 2 ；频率： 1 2 f ；相位：x；初相： 函数sinyx ，当 1 xx时，取得最小值为 min y ；当 2 xx时，取得最大值为 max y，则 maxmin 1 2 yy ， maxmin 1 2 yy ， 2112 2 xxxx 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyx cosyx tanyx y=cotx 图象 定义 域 R R , 2 x xkk , 2 x xkk 值
6、域 1,1 1,1 R R 最值 当2 2 xk k时， max 1y；当 2 2 xk k时， min 1y 当2xkk 时， max 1y； 当2xk k时， min 1y 既无最大值也无最小 值 既无最大值也无最小 值 周期 性 2 2 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调 性 在 2,2 22 kk k上是增函数； 在 3 2,2 22 kk 在 2,2kkk 上 是 增 函 数 ； 在 2,2kk k上是减函数 在, 22 kk k上是增函数 y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 函 数 性 质 k上是减函数 对称 性 对称中心 ,0kk 对称轴 2 xkk
7、 对称中心 ,0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 第二章第二章 平面向量平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 17、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点 三角形不等式：ababab 运算性质：交换律：abba； 结合律： abcabc；00aaa 坐标运算
8、：设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 ,abxxyy 18、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,x y， 则 1212 ,xx yy 19、向量数乘运算： 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa； 当0时，a的方向与a的方向相同； 当0时，a的方向与a的方向相反； 当0时，0a 运算律：aa ；aaa； abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 20、向量共线定理：向量 0a a 与b共
9、线，当且仅当有唯一一个实数，使ba 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，其中0b ，则当且仅当 1221 0 x yx y时，向量a、 0b b 共线 21、 平面向量基本定理： 如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数 1 、 2 ，使 1 122 aee （不共线的向量 1 e、 2 e作为这一平面内所有向量的一组基 底） 22、分点坐标公式：设点是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 11 ,x y， 22 ,x y，当 12 时，点的坐标是 1212 , 11 xxyy （当时，就为中点公式。）1 23、平
10、面向量的数量积： cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0 性质：设a和b都是非零向量，则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反 向时，a ba b ； 2 2 a aaa或aa aa ba b 运算律：a bb a； aba bab； abca cb c 坐标运算：设两个非零向量 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1 212 a bx xy y 若,ax y， 则 2 22 axy， 或 22 axy 设 11 ,ax y， 22 ,bxy， 则 12120 abx xy y 设a、b都 是 非 零 向 量 ， 11 ,ax y， 22 ,bxy
11、，是a与b的 夹 角 ， 则 1 212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 知识链接：空间向量知识链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳. 1 1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量： 若 A、B 是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直 线l的方向向量. 平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n 叫做平面的法向量. 平面的法向量的求法（平面的法向量的求
12、法（待定系数法待定系数法） ： 建立适当的坐标系 设平面的法向量为( , , )nx y z 求出平面内两个不共线向量的坐标 123123 ( ,),( ,)aa a abb b b 根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b . 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. （如图） 1 1、 用向量方法判定空间中的平行关系用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行线线平行 设直线 12 ,l l的方向向量分别是a b、，则要证明 1 l 2 l，只需证明ab，即()akb kR. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行线面平行 （法一） 设直线l的方向向量是a， 平面的法向
13、量是u， 则要证明l， 只需证明au， 即0a u . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 （法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线 向量即可. 面面平行面面平行 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证uv. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直线线垂直 设直线 12 ,l l的方向向量分别是a b、，则要证明 12 ll，只需证明ab，即0a b . 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 线面垂直线面垂直 （法一）
14、设直线l的方向向量是a， 平面的法向量是u， 则要证明l， 只需证明au， 即au. （法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若 0, . 0 a m l a n 则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 面面垂直面面垂直 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0u v . 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角利用向量求空间角 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 已知, a b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是, a b上的任意两点，, a b所成的
15、角为， 则cos. AC BD AC BD 求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角 定义：定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 求法：求法： 设直线l的方向向量为a， 平面的法向量为u， 直线与平面所成的角为，a与u的夹角为， 则为的余角或的补角 的余角.即有： coss.in a u a u 求二面角求二面角 定义：定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内
16、作射线 lBOlAO ,，则AOB为二面角l的平面角. 如图： 求法：求法：设二面角l 的两个半平面的法向量分别为m n、，再设m n、的夹角为，二面角 l 的平面角为，则二面角为m n、的夹角或其补角. 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 奎屯 王新敞 新疆 奎屯 王新敞 新疆 O A B l 如果是锐角，则coscos m n m n ， 即arccos m n m n ； 如果是钝角，则coscos m n m n ， 即arccos m n m n . 5、利用法向量求空间距离利用法向量求空间距离 点点 Q Q 到直线到直线l距离距离 若 Q 为直线l外的一点,P在直线l上，a为直线l的
17、方向向量，b=PQ，则点 Q 到直线l距离为 22 1 (|)() | ha ba b a 点点 A 到平面到平面的距离的距离 若点 P 为平面外一点，点 M 为平面内任一点， 平面的法向量为n，则 P 到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值. 即cos,dMPn MP n M P MP n MP n MP n 直线直线a与平面与平面之间的距离之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化 为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即. n MP d n 两平行平面两平行平面, 之间的距离之间的距离 利用两平行平面间
18、的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即. n MP d n 异面直线间的距离异面直线间的距离 设向量n与两异面直线, a b都垂直，,Ma Pb则两异面直线, a b间的距离d就是MP在向量n方向 上投影的绝对值。 即. n MP d n 6 6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 直 推理模式： , , POO PAAaPA aaOA 概括为：概括为：垂直于射影就垂直于斜线垂直于射影就垂直于斜线. . 三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果
19、和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 射影垂直 推理模式： , , POO PAAaAO aaAP 概括为：概括为：垂直于斜线就垂直于射影垂直于斜线就垂直于射影. . 7 7、三余弦定理三余弦定理 设 AC 是平面内的任一条直线，AD 是的一条斜线 AB 在内的射影，且 BDAD，垂足为 D.设 AB 与 (AD)所成的角为 1 ， AD 与 AC 所成的角为 2 ， AB 与 AC 所成的角为则 12 coscoscos. 8、 面积射影定理面积射影定理 奎屯 王新敞 新疆 a P O A 奎屯 王新敞 新疆 2 1 A B D C 已知平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面内
20、的射影图形的面积为SS 射 ，平面与平 面所成的二面角的大小为锐二面角，则 cos=. SS SS 射 原 9 9、一个结论一个结论 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 123 lll、 、，夹角分别为 123 、,则有 2222 123 llll 222 123 coscoscos1 222 123 sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscoscossinsin；coscoscossinsin； sinsincoscossin；sinsincoscoss
21、in； tantan tan 1 tantan （tantantan1 tantan） ； tantan tan 1 tantan （tantantan1 tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sincos 222 )cos(sincossin2cossin2sin1 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式 2 sin2cos1 , 2 cos2cos1 22 降幂公式 2 cos21 cos 2 ， 2 1 cos2 sin 2 26、 2 2tan tan2 1 tan 27、 半角公式 sin cos1 cos1 sin cos1 co
22、s1 2 tan 2 cos1 2 sin; 2 cos1 2 cos : 2 tan1 2 tan1 cos; 2 tan1 2 tan2 sin : 2 2 2 万能公式 （后两个不用判断符号，更加好用） 28、 合一变形把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数， 一个角， 一次方” 的 BxAy)sin( 形式。 22 sincossin ，其中tan 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角 公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据
23、角与角之间的和差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： 2是的二倍；4是2的二倍；是 2 的二倍； 2 是 4 的二倍； 2 30 4560304515 o ooooo ；问： 12 sin ； 12 cos ； )(；) 4 ( 24 ； ) 4 () 4 ()()(2 ；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常 化切为弦，变异名为同名。 （3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的 代换变形有： oo 45tan90sinco
24、ttancossin1 22 （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式 cos1常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：_ tan1 tan1 ； _ tan1 tan1 ； _tantan；_tantan1； _tantan；_tantan1； tan2 ； 2 tan1 ； oooo 40tan20tan340tan20tan ； cossin = ； cossinba = ； （其中tan ； ） cos1 ；cos1 ； （6）三角函数式的化简运算通常从： “角、名、形、幂”四方面入手； 基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如：)10tan31 (50sin oo ； cottan 。
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