1、高中数学选修高中数学选修 4-5 知识点知识点 1、不等式的基本性质 （对称性）a bba （传递性） ,ab bcac （可加性）a bacb c （同向可加性） dbcadcba, （异向可减性） dbcadcba, （可积性） bcaccba0, bcaccba0, （同向正数可乘性） 0,0abcdacbd （异向正数可除性） 0,0 ab abcd cd （平方法则） 0(,1) nn abab nNn且 （开方法则） 0(,1) nn abab nNn且 （倒数法则） ba ba ba ba 11 0; 11 0 2、几个重要不等式 22 2abab abR， ,（当且仅当a b
2、时取 号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab （基本不等式） 2 ab ab abR， ,（当且仅当a b 时取到等号）. 变形公式： 2aba b 2 . 2 ab ab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三 相等”. （三个正数的算术几何平均不等式） 3 3 abc abc ()abcR、 、 （当且仅当a bc 时 取到等号）. 222 abcabbcca abR， （当且仅当a bc 时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc （当且仅当a bc 时取到等号）. 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时
3、取等号） 0,2 ba ab ab 若则 （当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b 1 ， （其中 000)abmn， 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa当时，或 22 .xaxaaxa 绝对值三角不等式 .ababab 3、几个著名不等式 平均不等式： 22 11 2 22 abab ab ab ， , a bR（ ，当且仅当a b 时取 号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 2 22 ; 22 abab ab 2 22 () . 2 ab ab 幂平均不等式： 2222 1212 1 .(.)
4、 . nn aaaaaa n 二维形式的三角不等式： 222222 11221212 ()()xyxyxxyy 1122 ( ,).x y xyR 二维形式的柯西不等式： 22222 ()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR 当且仅当ad bc 时，等号成立. 三维形式的柯西不等式： 2222222 1231231 1223 3 ()()() .aaabbbaba ba b 一般形式的柯西不等式： 222222 1212 (.)(.) nn aaabbb 2 1 122 (.) . nn aba ba b 向量形式的柯西不等式： 设 , 是两个向量，则 , 当且仅当 是
5、零向量，或存在实数k，使 k 时，等 号成立. 排序不等式（排序原理） ： 设 1212 .,. nn aaa bbb 为 两 组 实 数 . 12 ,., n c cc 是 12 ,., n b bb 的 任 一 排 列 ， 则 12111 12 2 . nnnn n aba ba baca ca c 1 12 2 . nn aba ba b （反序和乱序和顺序和） ， 当且仅当 12 . n aaa 或 12 . n bbb 时，反序和等于顺序和. 琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 ( )f x ,对于定义域中任意两点 1212 ,(),x x xx 有 121
6、21212 ()()()() ()(). 2222 xxf xf xxxf xf x ff 或 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： 舍去或加上一些项，如 22 131 ()() ; 242 aa 将分子或分母放大（缩小） ， 如 2 11 , (1)kk k 2 11 , (1)kk k 2212 , 21kkkkkk * 12 (,1) 1 kNk kkk 等. 5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 2 0
7、(0)axbxc或 2 (0,40)abac 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写 出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x （ “ 或 ” 时
8、同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从
9、“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： 当 1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当0 1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 当 1a 时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当0 1a 时, ( )0 log( )log( )( )0. ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： 定义法： (0). (0) aa
10、 a aa 平方法： 22 ( )( )( )( ).f xg xfxgx 同解变形法，其同解定理有： (0);xaaxa a (0);xaxaxa a或 ( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x ( )( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xf xg xf xg xg x 或 规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法： 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 2 0axbxc 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨
11、论的标准有： 讨论a与 0 的大小； 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 不等式 2 0axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当 0a 时 0,0;bc 当 0a 时 0 0. a 不等式 2 0axbxc 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当 0a 时 0,0;bc 当 0a 时 0 0. a ( )f xa 恒成立 max ( );f xa ( )f xa 恒成立 max ( );f xa ( )f xa 恒成立 min ( );f xa ( )f xa 恒成立 min ( ).f xa 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
12、法一：取点定域法： 由于直线 0AxByC 的同一侧的所有点的坐标代入 AxByC 后所得的实数的符号相同. 所以， 在实际判断时， 往往只需在直线某一侧任取一特殊点 00 (,)xy （如原点） ， 由 00 AxByC 的正负即可判断出 0AxByC( 或 0) 表示直线哪一侧的平面区域. 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 法二：根据 0AxByC( 或 0) ，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号， 0AxByC( 或 0) 表示直线上方的区域； 若异号， 则表示直线上方的区域.即： 同号上方， 异号下方. 二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各
13、个不等式所表示的平面区域的公共部分. 利用线性规划求目标函数 zAxBy( ,A B 为常数）的最值： 法一：角点法： 如果目标函数 zAxBy （ xy、 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些 最值都在该公共区域的边界角点处取得， 将这些角点的坐标代入目标函数， 得到一组对应z值， 最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值 法二：画移定求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 0: 0lAxBy ，平移直线 0 l （据 可行域，将直线 0 l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解( , ) x y ；第四步，将最优解( , )
14、 x y 代入目标函数 zAxBy 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用z的几何意义： Az yx BB , z B 为直线的纵截距. 若 0,B 则使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直 线的纵截距最小的角点处，z取得最小值； 若 0,B 则使目标函数 zAxBy 所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直 线的纵截距最小的角点处，z取得最大值. 常见的目标函数的类型： “截距”型： ;zAxBy “斜率”型： y z x 或 ; yb z xa “距离”型： 22 zxy 或 22; zxy 22 ()()zxayb 或 22 ()() .zxayb 在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题 简单化.
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