1、2021 年年安徽省合肥市瑶海区安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）下面四个数中，比1 小的是（ ） A2 B C0.1 D0 2 （4 分）计算（x）2x3所得的结果是（ ） Ax5 Bx5 Cx6 Dx6 3 （4 分）2020 年 17 月份安徽实现进出口 392.5 亿美元，将 392.5 亿用科学记数法表示为（ ） A3.925108 B3.925109 C3.9251010 D39.251010 4（4 分） 如图， 这个几何体是将一个正方体
2、中间挖出一个圆柱体后的剩余部分， 该几何体的左视图是 （ ） A B C D 5 （4 分）下列计算正确的是（ ） A B C D 6 （4 分）为庆祝祖国 70 华诞，某校开展了“祖国在我心中”知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩统计整 理制成如下统计图，根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ） A中位数在 60 分70 分之间 B中位数在 70 分80 分之间 C中位数在 80 分90 分之间 D中位数在 90 分100 分之间 7 （4 分）平行于 x 轴的直线 l 分别与反比例函数 y和 y上的图象交于 A、B 两点，已知这两函数图 象关于 y 轴对称，A、B
3、两点和坐标原点 O 形成的AOB 的面积等于 6，则 ab 的值为（ ） A6 B6 C36 D36 8 （4 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于 点 F已知 PC3，PE2，则 EF 的长为（ ） A2 B C2 D 9 （4 分）已知三个实数 a、b、c 满足 a+b+c0，a，c，则（ ） Aa+bc Babc Ca2+b2c2 Da2b2c2 10 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC3、BC4、P、Q 两点分别在 AC 和 AB 上且 CP BQ1，在平面上找一点 M以 A、P、Q、M 为顶点
4、画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为 （ ） A12 B4+ C6+ D8+ 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）计算： （） 1 12 （5 分）命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是 ，结论是 13 （5 分）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 AB 上一点，AP 平分BAC 交O 于点 P，AB3，AC1， 则点 P 到线段 AB 的距离为 14 （5 分）在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线 l 分别与函数 yx2+4x+5 的图象在 x 轴上方部分和 函数 yx+3 的图象交于 A、
5、B 两点，与 x 轴交于点 C，设点 C 的坐标为（m，0） ，若 AB5BC，则 m 的值为 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）解方程： 16 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，给出了格点ABC（顶点是网 格线的交点） ，并建立平面直角坐标系 （1）将线段 AB 绕旋转中心 P（3，1）顺时针旋转 90，得到线段 A1B1，请在网格内画出线段 A1B1； （2）以原点 O 为位似中心，将ABC 作位似变换且放大到原来的两倍，得到A2B2C2，请在网格内画 出A2B2C
6、2 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 17 （10 分）某书店购进甲、乙两种畅销书共 20 包花费资金 3.45 万元，已知甲种书进价为每包 0.2 万元， 其销售利润率为 25%；乙种书进价为每包 0.15 万元，其销售利润率为 20%全部售完后，求该书店共获 得的利润 （利润售价成本，利润率（售价成本）成本100%） 18 （10 分）观察以下等式：第 1 个等式：1009111；第 2 个等式：40018224；第 3 个等式： 90027339；第 4 个等式：1600364416；第 5 个等式：250045552
7、5；按照以上规律， 解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （用含 n 用的等式表示） ，并证明 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的 直角三角形如图，在ABC 中，C90，四边形 CDEF 为正方形ADEAGE，BGE BFE 已知 AB10cm， BAC44， 求正方形 CDEF 的边长 （结果保留位一位小数） （参考数据： sin44 0.69，cos440.72，tan440.
8、97，sin220.37，cos220.93，tan220.40） 20 （10 分）如图 1，在ABC 中，C90 （1）用尺规作图作出斜边 AB 的中点 D（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）如图 2，过 A、C、D 三点的O 与 BC 交于点 E，若 ACCE，求B 的度数 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供 A、B、C、D 四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标） ，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图 男、女生最向往的研学目标人数统计表 目标 A B C D 男生（人数） 7
9、 m 2 5 女生（人数） 9 4 2 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m ，n ； （2）扇形统计图中 A 所对应扇形的圆心角度数为 ； （3）从最向往的研学目标为 C 的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加竞标演说，求所选取的 2 名学生中 恰好有一名男生、一名女生的概率 七、 （本大题七、 （本大题 12 分）分） 22 （12 分）已知二次函数 yx2+bx+c 和一次函数 ymx+n 的图象都经过点 A（3，0） ，且二次函数 y x2+bx+c 的图象经过点 B（0，3） ，一次函数 ymx+n 的图象经过点 C（0，1） （1）分别求 m、n 和 b、c 的值； （2）点
10、 P 是二次函数 yx2+bx+c 的图象上一动点，且点 P 在 x 轴上方，写出ACP 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 八、 （本大题八、 （本大题 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AD2AB，点 P 在 AD 边上，连接 BP，过点 D 作 BP 的垂线交 BP 的延长线于点 E，连接 BD （1）连接 AE，过点 A 作 AFAE 交 BE 于点 F 若，求 sinDBE 的值； 求证：DE2BF （2）如图 2，在 BE 的延长线上取一点 G，连接 DG，若GDEADB，取 BG 的中点 M，连接 AM， 求证：
11、AM（BEGE） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）下面四个数中，比1 小的是（ ） A2 B C0.1 D0 【解答】解：21，1，0.11，01， 所给的四个数中，比1 小的是2 故选：A 2 （4 分）计算（x）2x3所得的结果是（ ） Ax5 Bx5 Cx6 Dx6 【解答】解： （x）2x3x2x3x5 故选：A 3 （4 分）2020 年 17 月份安徽实现进出口 392.5 亿美元，将 392.5 亿用科学记数法表示为（ ） A3.925108 B3.
12、925109 C3.9251010 D39.251010 【解答】解：392.5 亿3925000000003.9251010 故选：C 4（4 分） 如图， 这个几何体是将一个正方体中间挖出一个圆柱体后的剩余部分， 该几何体的左视图是 （ ） A B C D 【解答】解：从左边看一个正方形被分成三部分，两条分线是虚线； 故选：D 5 （4 分）下列计算正确的是（ ） A B C D 【解答】解：A、，故 A 错误 B、，故 B 正确 C、，故 C 错误 D、，故 D 错误 故选：B 6 （4 分）为庆祝祖国 70 华诞，某校开展了“祖国在我心中”知识竞赛，并将所有参赛学生的成绩统计整 理制成
13、如下统计图，根据图中的信息判断：关于这次知识竞赛成绩的中位数的结论正确的是（ ） A中位数在 60 分70 分之间 B中位数在 70 分80 分之间 C中位数在 80 分90 分之间 D中位数在 90 分100 分之间 【解答】解：调查总人数为：30+90+90+60270（人） ， 将这 270 人的得分从小到大排列后，处在第 135、136 位的两个数都落在 8090 分之间， 因此，中位数在 80 分90 分之间； 故选：C 7 （4 分）平行于 x 轴的直线 l 分别与反比例函数 y和 y上的图象交于 A、B 两点，已知这两函数图 象关于 y 轴对称，A、B 两点和坐标原点 O 形成的
14、AOB 的面积等于 6，则 ab 的值为（ ） A6 B6 C36 D36 【解答】解：反比例函数 y和 y上的图象关于 y 轴对称， a+b0； SAOB6， |ab|6； a6，b6， ab36 故选：D 8 （4 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 BD 上点，连接 CP 并延长，交 AD 于点 E，交 BA 的延长线于 点 F已知 PC3，PE2，则 EF 的长为（ ） A2 B C2 D 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ADBC， DEPBCP，AFEBFC， PC3，PE2， BC：DEPC：PE3：2， 设 BC3a，则 DE2a， AEa， AFEBFC， EF
15、： （EF+EC）AE：BC1：3， 解得：EF 故选：B 9 （4 分）已知三个实数 a、b、c 满足 a+b+c0，a，c，则（ ） Aa+bc Babc Ca2+b2c2 Da2b2c2 【解答】解：， c0， ， ab+c0， ab， a2b2（ab） （a+b）0c2 故选：D 10 （4 分）如图，在ABC 中，ACB90，AC3、BC4、P、Q 两点分别在 AC 和 AB 上且 CP BQ1，在平面上找一点 M以 A、P、Q、M 为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为 （ ） A12 B4+ C6+ D8+ 【解答】解：由勾股定定理得：AB5，则 AQ4； 过点 Q
16、作 QNAC，垂足为 N，则 QNBC， 则 AN：NCAQ：QB4， 则 AN， PN2， 由 NQ：BCAQ：AB，得 NQ， 再由勾股定理得：PQ； 如图 1：周长2（PA+PQ）4+； 如图 2：周长2（PA+PM）12； 如图 3：周长2（AQ+PQ）8+为最长 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）计算： （） 1 【解答】解： （） 1（ ）1 答案为： 12 （5 分）命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是 一个直角三角形中的两个锐角 ，结论是 这两 个锐角互余 【解答】解： “直
17、角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互 余 13 （5 分）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 AB 上一点，AP 平分BAC 交O 于点 P，AB3，AC1， 则点 P 到线段 AB 的距离为 【解答】解：如图，连接 BP 并延长交 AC 的延长线于点 D，则APB90， AP 垂直平分 BD，则 ADAB3，CD2 连接 BC，则ACB90， 由勾股定理得：BC2， 再由勾股定理得：BD2， BP 再由勾股定理得：AP， 过 P 作 PEAB，垂足为 E， PE 故答案为： 14 （5 分）在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线 l 分别与函数 yx
18、2+4x+5 的图象在 x 轴上方部分和 函数 yx+3 的图象交于 A、B 两点，与 x 轴交于点 C，设点 C 的坐标为（m，0） ，若 AB5BC，则 m 的值为 2 或 【解答】解：点 C 的坐标为（m，0） ， 点 A（m，m2+4m+5） ，点 B（m，m+3） ； 当 B 点在 x 轴的下方时， AB5BC， （m2+4m+5+m3）5（m+3） ，解得 m12，m2（舍去） ； 当 B 点在 x 轴的上方时， AB5BC， （m2+4m+5+m3）5（m3） ，解得 m1，m2（舍去） ； 故答案为：2 或 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 8 分
19、，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）解方程： 【解答】解：原方程可以变形为：x+22x1， 解得：x3， 经检验 x3 是原分式方程的解 16 （8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1212 网格中，给出了格点ABC（顶点是网 格线的交点） ，并建立平面直角坐标系 （1）将线段 AB 绕旋转中心 P（3，1）顺时针旋转 90，得到线段 A1B1，请在网格内画出线段 A1B1； （2）以原点 O 为位似中心，将ABC 作位似变换且放大到原来的两倍，得到A2B2C2，请在网格内画 出A2B2C2 【解答】解： （1）如图，线段 A1B1即为所求作 （2）如图，A2B
20、2C2即为所求作 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 17 （10 分）某书店购进甲、乙两种畅销书共 20 包花费资金 3.45 万元，已知甲种书进价为每包 0.2 万元， 其销售利润率为 25%；乙种书进价为每包 0.15 万元，其销售利润率为 20%全部售完后，求该书店共获 得的利润 （利润售价成本，利润率（售价成本）成本100%） 【解答】解：设该书店购进甲种书 x 包，则购进乙种书（20 x）包， 依题意得：0.2x+0.15（20 x）3.45， 解得：x9， 20 x11， 总利润0.225%9+0.1520%11
21、0.78（万元） 答：全部售完后，求该书店共获得的利润 0.78 万元 18 （10 分）观察以下等式：第 1 个等式：1009111；第 2 个等式：40018224；第 3 个等式： 90027339；第 4 个等式：1600364416；第 5 个等式：2500455525；按照以上规律， 解决下列问题： （1）写出第 6 个等式： 3600546636 ； （2）写出你猜想的第 n 个等式： （10n）29n11nn2 （用含 n 用的等式表示） ，并证明 【解答】解： （1）由题意可以推导出：第 6 个等式为：3600546636； 故答案为：3600546636 （2）猜想第 n
22、个等式为： （10n）29n11nn2； 证明：左边100n299n2n2右边， 所以原等式成立 故答案为： （10n）29n11nn2 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题。每小题小题。每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的 直角三角形如图，在ABC 中，C90，四边形 CDEF 为正方形ADEAGE，BGE BFE 已知 AB10cm， BAC44， 求正方形 CDEF 的边长 （结果保留位一位小数） （参考数据： sin44 0.69，cos440.72，tan440.97
23、，sin220.37，cos220.93，tan220.40） 【解答】解：ADEAGE， EDEG， BGEBFE， EFEG， EFEDEG， C90，AB10cm，BAC44，cosBAC，sinBAC， AC10cos447.2（cm） ， BC10sin446.9， SABC（10+7.2+6.9） ED7.26.9， 解得：ED2.1（cm） ， 即正方形 CDEF 的边长为 2.1（cm） 20 （10 分）如图 1，在ABC 中，C90 （1）用尺规作图作出斜边 AB 的中点 D（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）如图 2，过 A、C、D 三点的O 与 BC 交于点 E，若
24、ACCE，求B 的度数 【解答】解： （1）如图 1，点 D 为所作； （2）如图 2，连接 AE，CD， C90，ACCE， ACE 是等腰直角三角形， AEC45， 点 D 是 AB 的中点， CDBDAD， BBCD， ADCAEC45， 2B45， B22.5 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）九（1）班针对“你最向往的研学目标”的问题对全班学生进行了调查（共提供 A、B、C、D 四个研学目标，每名学生从中分别选一个目标） ，并根据调查结果列出统计表绘制扇形统计图 男、女生最向往的研学目标人数统计表 目标 A B C D 男生（人数） 7 m 2 5
25、女生（人数） 9 4 2 n 根据以上信息解决下列问题： （1）m 8 ，n 3 ； （2）扇形统计图中 A 所对应扇形的圆心角度数为 144 ； （3）从最向往的研学目标为 C 的 4 名学生中随机选取 2 名学生参加竞标演说，求所选取的 2 名学生中 恰好有一名男生、一名女生的概率 【解答】解： （1）样本容量（2+2）30%40， 依据题意得： （4+m）4030%， 解得：m8； n4078259423； 故答案为：8、3； （2） （7+9）40360144； 故答案为：144 （3）列表得： 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男
26、 2 男 1 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 女 1 女 2 由表格可知，共有 12 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 8， 所以恰好选中 1 男 1 女的概率 P 七、 （本大题七、 （本大题 12 分）分） 22 （12 分）已知二次函数 yx2+bx+c 和一次函数 ymx+n 的图象都经过点 A（3，0） ，且二次函数 y x2+bx+c 的图象经过点 B（0，3） ，一次函数 ymx+n 的图象经过点 C（0，1） （1）分别求 m、n 和 b、c 的值；
27、（2）点 P 是二次函数 yx2+bx+c 的图象上一动点，且点 P 在 x 轴上方，写出ACP 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值 【解答】解： （1）二次函数 yx2+bx+c 和一次函数 ymx+n 的图象都经过点 A（3，0） ，一次函 数 ymx+n 的图象经过点 C（0，1） ， ， ， 二次函数 yx2+bx+c 和一次函数 ymx+n 的图象都经过点 A（3，0） ，二次函数 yx2+bx+c 的 图象经过点 B（0，3） ， ， （2）由（1）知一次函数与二次函数的解析式分别为：yx1 与 yx22x+3， 当点 P 在 y 轴左侧时，过点
28、 P 作 PDy 轴交 AC 于点 D，则 SPACPD|3|PD， 当点 P 在 y 轴右侧时，过点 P 作 PDy 轴交 AC 的延长线于点 D， 则 SPACPD|x+3x|PD， 点 P 在抛物线上，设 P（x，x22x+3） ，则 D（x，x1） ， PDx22x+3x+1x2x+4， SPACPD（x2x4）（x+）2+， 即当 x时，SPAC最大 八、 （本大题八、 （本大题 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AD2AB，点 P 在 AD 边上，连接 BP，过点 D 作 BP 的垂线交 BP 的延长线于点 E，连接 BD （1）连接 AE，过点 A
29、 作 AFAE 交 BE 于点 F 若，求 sinDBE 的值； 求证：DE2BF （2）如图 2，在 BE 的延长线上取一点 G，连接 DG，若GDEADB，取 BG 的中点 M，连接 AM， 求证：AM（BEGE） 【解答】 （1）解：设 ABa，则 AD2a，PDa，PAa， 四边形 ABCD 是矩形， PAB90， 由勾股定理得：PBa，BDa， DEBP， PEDPAB90， 又DPEAPB， PDEPBA， DE：ABPD：PB， 即， 解得：DEa， sinDBE； 证明：PDEPAB， PDEABF， AFAE， EAF90， DAE+PAFBAF+PAF90， DAEBAF， ABFADE， DE：BFAD：AB2， DE2BF； （2）证明：连接 AE，过点 A 作 AFAE 交 BE 于点 F，如图 2 所示： GDEADB，DEGDAB90， DEGDAB， DE：GEAD：AB2， DE2GE， 由（1）得：DE2BF， BFGE， 点 M 是 BG 的中点， MGMB， MEMF， 点 M 是 EF 的中点， AMEF（BEGE）
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