1、2021 年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共计分，共计 36 分。分。 1 （3 分）方程 x2+x120 的两个根为（ ） Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 2 （3 分）大约在两千四五百年前，如图 1 墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成倒像的实验并在墨 经中有这样的精彩记录： “景到，在午有端，与景长，说在端” 如图 2 所示的小孔成像实验中，若物 距为 10cm，像距为 15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是 6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） A3cm B4cm
2、 C6cm D9cm 3 （3 分）要得到抛物线 y（x6）23，可以将抛物线 yx2（ ） A向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 C向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 D向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 4 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心若B25，则C 的大 小等于（ ） A20 B25 C40 D50 5 （3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 13，对角线 AC24，点 E、F 分别是边 CD、BC 的中点，连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G，
3、则 EG（ ） A13 B10 C12 D5 6 （3 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主x2+2x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 7 （3 分）如图，点 I 为ABC 的内心，AB4，AC3，BC2，将ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为（ ） A4.5 B4 C3 D2 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点动点 P 从点 E 出发，沿着 E OBA 的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A， 在此过程中线段 AP 的长
4、度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图所示，则 AB 的长为（ ） A4 B4 C3 D2 9 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，是分别以 B1，B2，B3，为直角顶点，斜边在 x 轴 正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点 B1（x1，y1） ，B2（x2，y2） ，B3（x3，y3） ，均在反比例函数 的图象上，则 y1+y2+y10的值为（ ） A B6 C D 10 （3 分）若二次函数 ya2x2bxc 的图象，过不同的六点 A（1，n） 、B（5，n1） 、C（6，n+1） 、 D（，y1） 、E（2，y2） 、F（3，y3） ，则 y1、y2、y3的大小关系
5、是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E， 点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的个数为（ ） （1）DC3OG； （2）OGBC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOES矩形ABCD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x1，下列结论： abc0；b24ac0；8a+c0；5a+b+2c0， 正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1
6、 个 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 13 （4 分）ABC 中，若|sinA|+（cosB）20，则C 度 14 （4 分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度 CD 为 2m，水面 宽 AB 为 8m，则输水管的半径为 m 15（4分） 如果关于x的方程的两个实数根分别为x1， x2， 那么的值为 16 （4 分）如图，平面直角坐标系中，已知 O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，
7、点 D 的坐标为 17 （4 分）如图，在反比例函数的图象上有一点 A 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 C，B 为线段 AC 的中点， 又 D 点在 x 轴上，且 OD3OC，则OBD 的面积为 18 （4 分）如图，在ABC 中，BABC，ABC90，ADDB，BEDC 于 E，连接 AE 并延长交 BC 于 F，以下说法正确的有 BE2DEEC，EAEB，AE：EF3：2，FC2FEFA 三、解答题（共三、解答题（共 7 道大题，满分道大题，满分 60 分）分） 19 （8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 30cm，灯罩 BC 长为 20cm，底座厚度为 2cm， 灯臂
8、与底座构成的BAD60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩 顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？（结果精确到 0.1cm，参考数据：1.732） 20 （8 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB12，求线段 EC 的长 21 （8 分）阅读材料：已知方程 p2p10，1qq20 且 pq1，求的值 解：由 p2p10，及 1qq20，可知 p0，q0 又pq1，p 1qq20 可变形为（）2（）
9、10 根据 p2p10 和（）2（）10 的特征 p、是方程 x2x10 的两个不相等的实数根， 则 p+1，即1 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答 已知：2m25m10，+20 且 mn，求 （1）mn 的值； （2）+ 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y（x0）的图象相交于点 A（1，6） ，并与 x 轴交于点 C点 D 是线段 AC 上一点，ODC 与OAC 的面积比为 2：3 （1）k ，b ； （2）求点 D 的坐标； （3）若将ODC 绕点 O 逆时针旋转，得到ODC，其中点 D落在 x 轴负半轴上，判断点 C是否落在 函数
10、 y（x0）的图象上，并说明理由 23 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半 径作A，交 BC 边于点 E，交 AC 于点 F，连接 DE （1）求证：DE 与A 相切； （2）若ABC60，AB4，求阴影部分的面积 24 （10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A 与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图 1） ，其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm， 并进行如下研究活动 活动一： 将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移， 连接
11、AE， BD （如图 2） ， 当点 F 与点 C 重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图 3） 求 AF 的长 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度（090） ，连接 OB，OE（如图 4） 【探究】当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 25 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对 称轴 （1）求抛物
12、线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由 题（满分题（满分 20 分）分） 26 （4 分）如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点 G，连 接 BE 交 AG 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 27 （4 分）如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，AOB 的角平分线与 OA 的垂 直平分线交于点 C
13、，与 AB 交于点 D，反比例函数的图象过点 C，当以 CD 为边的正方形的面积为 时，k 的值为 28 （12 分）已知抛物线 yx2+bx+c 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，与直线 OP 交于点 B （1）如图甲，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为（3，6） ， 试确定抛物线的解析式； 若当 mx3 时，yx2+bx+c 的最小值为 2，最大值为 6，求 m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，若 M 点是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 SABM3，求 M 点横坐标的取值 范围； （3）如图乙，若点 P 在第一象限，且 PAPO，过点 P 作 PDx 轴于 D，将抛物线
14、 yx2+bx+c 平移， 平移后的抛物线经过点 A、D，与 x 轴的另一个交点为 C，试探究四边形 OABC 的形状，并说明理由 2021 年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷年山东省枣庄市薛城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共计分，共计 36 分。分。 1 （3 分）方程 x2+x120 的两个根为（ ） Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23 【解答】解：x2+x12（x+4） （x3）0， 则 x+40，或 x30， 解得：x14，x23 故选：D 2 （3 分）大约在两千四五百年前
15、，如图 1 墨子和他的学生做了世界上第 1 个小孔成倒像的实验并在墨 经中有这样的精彩记录： “景到，在午有端，与景长，说在端” 如图 2 所示的小孔成像实验中，若物 距为 10cm，像距为 15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是 6cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） A3cm B4cm C6cm D9cm 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是 xcm， 由相似三角形的性质得到： 解得 x4 即蜡烛火焰的高度是 4cm 故选：B 3 （3 分）要得到抛物线 y（x6）23，可以将抛物线 yx2（ ） A向左平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 C向右平移
16、6 个单位，再向上平移 3 个单位 D向右平移 6 个单位，再向下平移 3 个单位 【解答】解：y（x6）23 的顶点坐标为（6，3） ，yx2的顶点坐标为（0，0） ， 将抛物线 yx2向右平移 6 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，可得到抛物线 y（x6）2 3 故选：D 4 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心若B25，则C 的大 小等于（ ） A20 B25 C40 D50 【解答】解：如图，连接 OA， AC 是O 的切线， OAC90， OAOB， BOAB25， AOC50， C40 故选：C 5 （3 分）如图，菱形 ABCD
17、的边长为 13，对角线 AC24，点 E、F 分别是边 CD、BC 的中点，连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G，则 EG（ ） A13 B10 C12 D5 【解答】解：连接 BD，交 AC 于点 O，如图： 菱形 ABCD 的边长为 13，点 E、F 分别是边 CD、BC 的中点， ABCD，ABBCCDDA13，EFBD， AC、BD 是菱形的对角线，AC24， ACBD，AOCO12，OBOD， 又ABCD，EFBD， DEBG，BDEG， 四边形 BDEG 是平行四边形， BDEG， 在COD 中，OCOD，CD13，CO12， OBOD5， BD2OD10， EGBD1
18、0； 故选：B 6 （3 分）图 2 是图 1 中长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主x2+2x，S左x2+x，则 S俯（ ） Ax2+3x+2 Bx2+2 Cx2+2x+1 D2x2+3x 【解答】解：S主x2+2xx（x+2） ，S左x2+xx（x+1） ， 俯视图的长为 x+2，宽为 x+1， 则俯视图的面积 S俯（x+2） （x+1）x2+3x+2， 故选：A 7 （3 分）如图，点 I 为ABC 的内心，AB4，AC3，BC2，将ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为（ ） A4.5 B4 C3 D2 【解答】解：连接 AI、BI， 点 I 为ABC 的内心，
19、 AI 平分CAB， CAIBAI， 由平移得：ACDI， CAIAID， BAIAID， ADDI， 同理可得：BEEI， DIE 的周长DE+DI+EIDE+AD+BEAB4， 即图中阴影部分的周长为 4， 故选：B 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点动点 P 从点 E 出发，沿着 E OBA 的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 A， 在此过程中线段 AP 的长度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图所示，则 AB 的长为（ ） A4 B4 C3 D2 【解答】解：如图，连接 AE 四边形 ABCD 是正方形， ACBD，OAO
20、CODOB， 由题意 DEOE，设 DEOEx，则 OAOD2x， AE2， x2+（2x）2（2）2， 解得 x2 或2（不合题意舍弃） ， OAOD4， ABAD4， 故选：A 9 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，是分别以 B1，B2，B3，为直角顶点，斜边在 x 轴 正半轴上的等腰直角三角形，其直角顶点 B1（x1，y1） ，B2（x2，y2） ，B3（x3，y3） ，均在反比例函数 的图象上，则 y1+y2+y10的值为（ ） A B6 C D 【解答】解：过 B1、B2、B3分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D1、D2、D3 则OD1B1OD2B2OD3B39
21、0， 三角形 OA1B1是等腰直角三角形， A1OB145， OB1D145， OD1B1D1， 直角顶点 B1在反比例函数 y， B1（2，2） ，即 y12， OD1D1A12， OA12OD14， 设 A1D2a，则 C2D2a 此时 B2（4+a，a） ，代入 y得：a（4+a）4， 解得：a22，即：y222， 同理：y322， y422， y1+y2+y102+22+22+222， 故选：A 10 （3 分）若二次函数 ya2x2bxc 的图象，过不同的六点 A（1，n） 、B（5，n1） 、C（6，n+1） 、 D（，y1） 、E（2，y2） 、F（3，y3） ，则 y1、y2、
22、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy2y1y3 【解答】解：图象大致如图： 二次函数 ya2x2bxc 的图象过 A（1，n） 、B（5，n1） 、C（6，n+1） ， 二次函数 ya2x2bxc 中令 yn，则 x11，5x26， 抛物线对称轴为 x，且 22.5， 设 m，则 2m2.5， a20， 抛物线开口向上， 离对称轴水平距离越小，对应函数值越小， 而|m|3m|2m|， y2y3y1， 故选：C 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E， 点 G 是
23、 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的个数为（ ） （1）DC3OG； （2）OGBC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOES矩形ABCD A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：EFAC，点 G 是 AE 中点， OGAGGEAE， AOG30， OAGAOG30， GOE90AOG903060， OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE2a，则 OEOGa， 由勾股定理得，AOa， O 为 AC 中点， AC2AO2a， BCAC2aa， 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB3a， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB3a， DC3OG，故（1）正确； O
24、Ga，BCa， OGBC，故（2）错误； SAOEaaa2， SABCD3aa3a2， SAOESABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确是（1） （3） （4）共 3 个 故选：C 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是 x1，下列结论： abc0；b24ac0；8a+c0；5a+b+2c0， 正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a0， 根据抛物线的对称轴在 y 轴右边可得：a，b 异号，所以 b0， 根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得：c0， abc0，故错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0
25、，故正确； 直线 x1 是抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴，所以1，可得 b2a， 由图象可知，当 x2 时，y0，即 4a2b+c0， 4a2（2a）+c0， 即 8a+c0，故正确； 由图象可知，当 x2 时，y4a+2b+c0；当 x1 时，yab+c0， 两式相加得，5a+b+2c0，故正确； 结论正确的是3 个， 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 13 （4 分）ABC 中，若|sinA|+（cosB）20，则C 105 度 【解答】解：由题意知 sinA0，cosB0， sinA，cosB， A45
26、，B30 C105 14 （4 分）如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度 CD 为 2m，水面 宽 AB 为 8m，则输水管的半径为 5 m 【解答】解：由题意得：ODAB， ACAB84（m） ， 设 OArm，则 OCODCD（r2）m， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：OA2OC2+AC2， 即 r2（r2）2+42， 解得：r5， 即输水管的半径为 5m， 故答案为：5 15 （4 分） 如果关于 x 的方程的两个实数根分别为 x1， x2， 那么的值为 【解答】解：方程 x2+kx+k23k+0 的两个实数根， b24ack24（k23k+）2k2+
27、12k182（k3）20， k3， 代入方程得：x2+3x+（x+）20， 解得：x1x2， ， 故答案为： 16 （4 分）如图，平面直角坐标系中，已知 O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转， 每次旋转 90， 则第 70 次旋转结束时， 点 D 的坐标为 （3， 10） 【解答】解：A（3，4） ，B（3，4） ， AB3+36， 四边形 ABCD 为正方形， ADAB6， D（3，10） ， 70417+2， 每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转
28、 2 次，每次旋转 90， 点 D 的坐标为（3，10） 故答案为： （3，10） 17 （4 分）如图，在反比例函数的图象上有一点 A 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 C，B 为线段 AC 的中点， 又 D 点在 x 轴上，且 OD3OC，则OBD 的面积为 3 【解答】解：设 A（x、y） ，由反比例函数可知 xy4， BCACy，OD3OC3x， SOBDBCODy3xxy43 故答案为：3 18 （4 分）如图，在ABC 中，BABC，ABC90，ADDB，BEDC 于 E，连接 AE 并延长交 BC 于 F，以下说法正确的有 BE2DEEC，EAEB，AE：EF3：2，FC2FEFA
29、 【解答】解：BECD， DEBCEB90， DBE+CBECBE+BCE90， DBEBCE， BEDCEB， ， BE2DEEC， 故正确； ABBC，ADBD， BDBC， 由知：BEDCEB， ， 设 EDx，则 BE2x，CE4x， BDADx，BCAB2x， 过 D 作 DPBC，交 AF 于 P， ， CF4PD，BF2PD， CF2BF， BFBC，CF， 由勾股定理得：AF， AE2x2x， AEBE， 故不正确，正确； 由得：FC，FE，AF， FC2， FEFA， FC2FEFA， 故正确； 本题正确的结论有：， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 7 道大题，满分
30、道大题，满分 60 分）分） 19 （8 分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 30cm，灯罩 BC 长为 20cm，底座厚度为 2cm， 灯臂与底座构成的BAD60使用发现，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30，此时灯罩 顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm？（结果精确到 0.1cm，参考数据：1.732） 【解答】解：过点 B 作 BFCD 于点 F，作 BGAD 于点 G， CEAD，BFCD，BGAD， 四边形 BFDG 矩形， BGFD 在 RtBCF 中，CBF30， CFBCsin302010， 在 RtABG 中，BAG60， BGABsin603
31、015 CECF+FD+DE10+15+2 12+1537.9838.0（cm） 答：此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm 20 （8 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB12，求线段 EC 的长 【解答】证明： （1）连接 OC， CE 与O 相切于点 C， OCE90， ABC45， AOC90， AOC+OCE180， ADEC （2）如图，过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F， BAC75，ABC45
32、， ACB60， DACB60， AD 是O 的直径， ABD90， sinADB， AD8， OAOC4， AFEC，OCE90，AOC90， 四边形 OAFC 是矩形， 又OAOC， 四边形 OAFC 是正方形， CFAF4， BAD90D30， EAF180903060， tanEAF， EFAF12， CECF+EF12+4 21 （8 分）阅读材料：已知方程 p2p10，1qq20 且 pq1，求的值 解：由 p2p10，及 1qq20，可知 p0，q0 又pq1，p 1qq20 可变形为（）2（）10 根据 p2p10 和（）2（）10 的特征 p、是方程 x2x10 的两个不相等
33、的实数根， 则 p+1，即1 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答 已知：2m25m10，+20 且 mn，求 （1）mn 的值； （2）+ 【解答】解：+20， 2n25n10， 根据 2m25m10 和 2n25n10 的特征， m、n 是方程 2x25x10 的两个不相等的实数根， m+n，mn， （1）mn； （2）原式29 22 （8 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 yx+b 的图象与函数 y（x0）的图象相交于点 A（1，6） ，并与 x 轴交于点 C点 D 是线段 AC 上一点，ODC 与OAC 的面积比为 2：3 （1）k 6 ，b 5 ； （2）求点 D 的
34、坐标； （3）若将ODC 绕点 O 逆时针旋转，得到ODC，其中点 D落在 x 轴负半轴上，判断点 C是否落在 函数 y（x0）的图象上，并说明理由 【解答】解： （1）将 A（1，6）代入 yx+b， 得，61+b， b5， 将 A（1，6）代入 y， 得，6， k6， 故答案为：6，5； （2）如图 1，过点 D 作 DMx 轴，垂足为 M，过点 A 作 ANx 轴，垂足为 N， ， ， 又点 A 的坐标为（1，6） ， AN6， DM4，即点 D 的纵坐标为 4， 把 y4 代入 yx+5 中， 得，x1， D（1，4） ； （3）由题意可知，ODOD， 如图 2，过点 C作 CGx 轴
35、，垂足为 G， SODCSODC， OCDMODCG， 即 54CG， CG， 在 RtOCG 中， OG， C的坐标为（，） ， （）6， 点 C不在函数 y的图象上 23 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半 径作A，交 BC 边于点 E，交 AC 于点 F，连接 DE （1）求证：DE 与A 相切； （2）若ABC60，AB4，求阴影部分的面积 【解答】 （1）证明：连接 AE， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DAEAEB， AEAB， AEBABC， DAEABC， AEDBAC（SAS）
36、 ， DEACAB， CAB90， DEA90， DEAE， AE 是A 的半径， DE 与A 相切； （2）解：ABC60，ABAE4， ABE 是等边三角形， AEBE，EAB60， CAB90， CAE90EAB906030，ACB90B906030， CAEACB， AECE， CEBE， SABCABAC8， SACESABC4， CAE30，AE4， S扇形AEF， S阴影SACES扇形AEF4 24 （10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起，使点 A 与点 F 重合，点 C 与点 D 重合（如图 1） ，其中ACBDFE90
37、，BCEF3cm，ACDF4cm， 并进行如下研究活动 活动一： 将图 1 中的纸片 DEF 沿 AC 方向平移， 连接 AE， BD （如图 2） ， 当点 F 与点 C 重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABDE 为矩形（如图 3） 求 AF 的长 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度（090） ，连接 OB，OE（如图 4） 【探究】当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 【解答】解： 【思考】四边
38、形 ABDE 是平行四边形 证明：ABCDEF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形； 【发现】如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OAODOBOE， 设 AFx（cm） ，则 OAOE（x+4） ， OFOAAF2x， 在 RtOFE 中，OF2+EF2OE2， ， 解得：x， AFcm 【探究】BD2OF， 证明：如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H， 由矩形的性质及旋转的性质知：OAOBOEOD， OABOBAODEOED， OBDODB，OAEOEA， BDE+DEAABD+EAB， ABD+BDE+DEA+EA
39、B360， ABD+BAE180， AEBD， OHEODB， EF 平分OEH， OEFHEF， EFOEFH90，EFEF， EFOEFH（ASA） ， EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD（AAS） ， BDOH2OF 25 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对 称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M
40、 的坐 标；若不存在，请说明理由 【解答】方法一： 解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）代入抛物线 yax2+bx+c 中，得： ， 解得： 抛物线的解析式：yx2+2x+3 （2）连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P； 点 A、B 关于直线 l 对称， PAPB， BCPC+PBPC+PA 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得： ，解得： 直线 BC 的函数关系式 yx+3； 当 x1 时，y2，即 P 的坐标（1，2） （3）抛物线的对称轴为：x1，设 M（1，m） ，已知 A（1，0） 、C（0，
41、3） ，则： MA2m2+4，MC2（3m）2+1m26m+10，AC210； 若 MAMC，则 MA2MC2，得： m2+4m26m+10，得：m1； 若 MAAC，则 MA2AC2，得： m2+410，得：m； 若 MCAC，则 MC2AC2，得： m26m+1010，得：m10，m26； 当 m6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，） （1，） （1，1） （1，0） 方法二： （1）A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ， y（x+1） （x3） ，即 yx2+2x+3 （2）连接 BC， l 为对称轴，
42、 PBPA， C，B，P 三点共线时，PAC 周长最小，把 x1 代入 lBC：yx+3，得 P（1，2） （3）设 M（1，t） ，A（1，0） ，C（0，3） ， MAC 为等腰三角形， MAMC，MAAC，MCAC， （1+1）2+（t0）2（10）2+（t3）2，t1， （1+1）2+（t0）2（10）2+（03）2，t， （10）2+（t3）2（10）2+（03）2，t16，t20， 经检验，t6 时，M、A、C 三点共线，故舍去， 综上可知，符合条件的点有 4 个，M1（1，） ，M2（1，） ，M3（1，1） ，M4（1，0） 追加第（4）问：若抛物线顶点为 D，点 Q 为直线
43、AC 上一动点，当DOQ 的周长最小时，求点 Q 的坐 标 （4）作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H， 作 HGAO，垂足为 G， AHG+GHO90，AHG+GAH90， GHOGAH， GHOGAH， HG2GOGA， A（1，0） ，C（0，3） ， lAC：y3x+3，H（，） ， H 为 OO的中点， O（，） ， D（1，4） ， lOD：yx+，lAC：y3x+3， x，y， Q（，） 题（满分题（满分 20 分）分） 26 （4 分）如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AEDF连接 CF 交 BD 于点 G，连 接 BE 交 A
44、G 于点 H若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 1 【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（SAS） ， 12， 在ADG 和CDG 中， ， ADGCDG（SAS） ， 23， 13， BAH+3BAD90， 1+BAH90， AHB1809090， 取 AB 的中点 O，连接 OH、OD， 则 OHAOAB1， 在 RtAOD 中，OD， 根据三角形的三边关系，OH+DHOD， 当 O、D、H 三点共线时，DH 的长度最小， 最小值ODOH1 （解法二：可以理解为点 H 是在 RtAHB，A
45、B 直径的半圆上运动当 O、H、D 三点共线时，DH 长度 最小） 故答案为：1 27 （4 分）如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，AOB 的角平分线与 OA 的垂 直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数的图象过点 C，当以 CD 为边的正方形的面积为 时，k 的值为 14 【解答】解：由题意，设 OA3a，则 OB4a， A（3a，0） ，B（0，4a） ， 设直线 AB 的解析式是 ykx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线 AB 的解析式是， 直线 CD 是AOB 的平分线， 则 OD 的解析式是 yx， 根据题意得：， 解得：， 则 D 的坐
46、标是（，） ， OA 的中垂线的解析式是， 则 C 的坐标是（，） ，则， 以 CD 为边的正方形的面积为，且， 则， 解得：， ， 故答案为：14 28 （12 分）已知抛物线 yx2+bx+c 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，与直线 OP 交于点 B （1）如图甲，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为（3，6） ， 试确定抛物线的解析式； 若当 mx3 时，yx2+bx+c 的最小值为 2，最大值为 6，求 m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，若 M 点是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 SABM3，求 M 点横坐标的取值 范围； （3）如图乙，若点 P 在第一象限，且
47、PAPO，过点 P 作 PDx 轴于 D，将抛物线 yx2+bx+c 平移， 平移后的抛物线经过点 A、D，与 x 轴的另一个交点为 C，试探究四边形 OABC 的形状，并说明理由 【解答】解： （1）依题意，1， 解得 b2 将 b2 及点 B（3，6）的坐标代入抛物线解析式 yx2+bx+c 得 63223+c 解得 c3 所以抛物线的解析式为 yx22x+3 由 yx22x+3（x1）2+2 知，P（1，2） 点（3，6）关于对称轴 x1 的对称点 B的坐标为（1，6） ，如答图 1， 当 mx3 时，yx2+bx+c 的最小值为 2，最大值为 6， 1m1； （2）设点 M 的横坐标为 a， 抛物线 yx22x+3 与 y 轴交于点 A， A（0，3） B（3，6） ， 可得直线 AB 的解析式为 yx+3 设直线 AB 下方抛物线上的点 M 坐标为（x，x22x+3） ，过 M 点作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 N，则 N （x，x+3） ，如答
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