2021年陕西省西安市碑林区二校联考中考数学一模试卷（含答案详解）

1、2021 年陕西省西安市碑林区年陕西省西安市碑林区二校联考二校联考中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中比2 小的数是（ ） A1 B1 C3 D 2 （3 分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算结果是 a4的是（ ） A（a2）2 Ba2+a2 C （2a）2 D2a6（2a2） 4 （3 分）如图，直线 lm，等腰 RtABC，直角顶点 C 在直线 l 上，另一个顶点 B 在直线 m 上，若1 28，则2（ ） A17 B62 C73

2、 D75 5 （3 分）已知正比例函数 ykx 的图象经过点 A（4，n）和点 B（m，2） ，且 A、B 两点关于原点对 称，则该正比例函数的表达式为（ ） Ay By Cy2x Dy2x 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AC9，AB12，中线 AD 与角平分线 BE 相交于点 F， 则线段 AF 的长为（ ） A B C5 D2 7 （3 分）一次函数 y2x+m 与 yx+2 图象的交点位于第一象限，则 m 的值可能是（ ） A4 B2 C2 D2 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD12，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BC 边交于点 E、

3、 F，则四边形 BFDE 的面积为（ ） A B C D 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，已知BADBCD90，ADCD，且ADC120，若 点 E 为弧 BC 的中点，连接 DE，则CDE 的大小是（ ） A25 B30 C35 D40 10 （3 分）已知二次函数 yx2+x+2a+1（a0）的图象经过点 P（m，n） ，若 n1，则 m 的取值范 围是（ ） A1m2 B1m2 C1m4 D1m4 二、填空题： （共二、填空题： （共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）一元一次不等式x2 的解集是 12 （3 分）从正多边形一

4、个顶点最多可以作 7 条对角线，这个正多边形每个内角的大小是 13 （3 分）如图，直线 AB 经过原点分别交反比例函数 y的图象于 A、B 两点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D，则BOD 的面积为 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，AB9，ABC60，点 E 在 AB 边上，且 BE2AE，动点 P 在 BC 边上， 连接PE， 将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF， 连接AF， 则线段AF长的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算：（）0|2| 16 （

5、5 分）解方程： 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，请利用尺规在 AB 边上求作一点 D，使得 CDAB （要 求：不写作法，保留作图痕迹） 18 （5 分）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上的一点，连接 AE，以 AE 为一边，在 AE 的上方作 正方形 AEFG，连接 DG求证：ABCE+DG 19 （7 分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了 40 名同学实验操作的得分（满分为 10 分） 根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问 题 （1）中的描述应为“6 分” ，其中 m%的 m 值为 ；扇形的

6、圆心角的大小是 ； （2）这 40 个样本数据平均数是 ，众数是 ，中位数是 ； （3）若该校九年级共有 1280 名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人 20 （7 分）如图，小明和同伴发现在某地小山坡的点 E 处有一座亭子，他们想利用皮尺、测倾器测量亭子 到山脚下的距离（即 DE 的长度） ，小明站在点 B 处，同伴移动测倾器至点 C 处时，测得小明头顶 A 和 亭子 E 的仰角ACBECD（测倾器的高度忽略不计） 已知：ABBC，BC6 米，CD22 米， CDE135已知小明的身高 AB1.6 米，请根据以上数据，求 DE 的长度 21 （7 分） “群防群控，众志成城，遏制

7、疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了 20 桶 A、 B 两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学已知 A 种消毒液 300 元/桶，每桶可供 2000 米 2 的面积进 行消杀，B 种消毒液 200 元/桶，每桶可供 1000 米 2 的面积进行消杀 （1）设购买了 A 种消毒液 x 桶，购买消毒液的费用为 y 元，写出 y 与 x 之间的关系式； （2）在现有资金不超过 5300 元的情况下，求可消杀的最大面积 22 （7 分） “垃圾分类，从我做起” ，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类 已经在全国各地开展垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾

8、、其它垃圾四类，我们把以上对 应类别的垃圾桶分别依次记为 A，B，C，D甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并 排的 4 个垃圾桶 A，B，C，D （1）直接写出甲扔对垃圾的概率； （2）请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率 23 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一点，且 DE 是O 的切线 （1）求证：BAC2CDE； （2）若 CE4，cosABC，求O 的半径 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于

9、点 C，且过 点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 25 （12 分）问题提出 （1）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，AD 平分CAB 交 BC 边于点 D，点 E 为 AC 边上的 一个动点，连接 DE，则线段 DE 长的最小值为 问题探究 （2）如图，在ABC 中，C90，ACBC6，点 D 为 AB 边的中点，且EDF90，EDF 的两边分别交 BC、AC 于点 E、F求

10、四边形 DECF 的面积 问题解决 （3） “全民全运，同心同行”中华人民共和国第十四届全国运动会将在陕西西安举行，市内某观光景区 为迎接 “十四运” 准备在景区内设计修建一个全民健身区 如图， ABC 为全民健身区的大致示意图， 并将全民健身区分成BED、DFC 和四边形 AEDF 三部分，其中在BED 和DFC 两区修建室外大 型器材健身区，在四边形 AEDF 区域修建室内健身休闲区根据设计要求：BAC60，点 D、点 E、 点 F 分别在边 BC、边 AB 和边 AC 上，且 DEDF，EDF120，四边形 AEDF 的面积为 200平 方米，为了节约修建成本，全民健身区ABC 的面积是

11、否存在最小值？若存在，请求出ABC 面积的最 小值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分）分） 1 （3 分）下列各数中比2 小的数是（ ） A1 B1 C3 D 【解答】解：A12，故本选项不符合题意； B12，故本选项不符合题意； C32，故本选项符合题意； D2，故本选项不符合题意； 故选：C 2 （3 分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【解答】解：从左边看是等宽的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线， 故选：D 3 （3 分）

12、下列运算结果是 a4的是（ ） A（a2）2 Ba2+a2 C （2a）2 D2a6（2a2） 【解答】解：A、结果是a4，不等于 a4，故本选项不符合题意； B、结果是 2a2，不等于 a4，故本选项不符合题意； C、结果是 4a2，不等于 a4，故本选项不符合题意； D、结果是 a4，故本选项符合题意； 故选：D 4 （3 分）如图，直线 lm，等腰 RtABC，直角顶点 C 在直线 l 上，另一个顶点 B 在直线 m 上，若1 28，则2（ ） A17 B62 C73 D75 【解答】解：ABC 是等腰直角三角形， ABC45， EBCA+ABC73， lm， 2EBC73， 故选：C

13、5 （3 分）已知正比例函数 ykx 的图象经过点 A（4，n）和点 B（m，2） ，且 A、B 两点关于原点对 称，则该正比例函数的表达式为（ ） Ay By Cy2x Dy2x 【解答】解：点 A（4，n） ，点 B（m，2） ，且 A、B 两点关于原点对称， m4，n2， A（4，2） ， 把点 A 的坐标代入 ykx 得4k2， 解得 k， 所以，正比例函数解析式为 yx， 故选：B 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AC9，AB12，中线 AD 与角平分线 BE 相交于点 F， 则线段 AF 的长为（ ） A B C5 D2 【解答】解：过点 E 作 ENBC 于点

14、 N，过点 F 作 FHAB 于点 H，如图： 在 RtABC 中，BAC90，AC9，AB12， 由勾股定理得：BC15， BE 平分ABC，ENBC，EAAB， EAEN， 在 RtABE 和 RtNBE 中， ， RtABERtNBE（HL） ， NBAB12， CN15123， 设 AENEx，则 CE9x， 在 RtCEN 中， （9x）2x2+32， 解得 x4 tanABE， 设 FHm，则 BH3m，AE123m， AD 是 RtABC 的斜边中线， ADBCBD7.5， FAHCBA， 又FHACAB， FHACAB， ，即， 解得 m， FH，AH123， 在 RtAFH

15、中，AF 故选：B 7 （3 分）一次函数 y2x+m 与 yx+2 图象的交点位于第一象限，则 m 的值可能是（ ） A4 B2 C2 D2 【解答】解：在 yx+2 中，令 x0 则 y2；令 y0，则 x2， 函数 yx+2 与坐标轴的交点为（2，0） ， （0，2） ， 把（2，0）代入 y2x+m 得，04+m，解得 m4， 把（0，2）代入 y2x+m 得，m2， 一次函数 y2x+m 与 yx+2 图象的交点位于第一象限， 4m2， m 的值可能是 C， 故选：C 8 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD12，对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BC 边交于点

16、E、 F，则四边形 BFDE 的面积为（ ） A B C D 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DEOBFO，EDOFBO， 对角线 BD 的垂直平分线分别与 AD，BC 边交于点 E、F， BODO，EFBD， DEOBFO（AAS） ， EOFO， BODO， 四边形 BEDF 是平行四边形， EFBD， 平行四边形 BEDF 是菱形， BEDE， AB5，AD12，A90， BD13， 设 DEx，则 AE12x， 在 RtAEB 中，AB2+AE2BE2， 即 52+（12x）2x2， x， BEDE， 在 RtBEO 中，OE， EF2EO， 菱形 BEDF 的面积

17、， 故选：A 9 （3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，已知BADBCD90，ADCD，且ADC120，若 点 E 为弧 BC 的中点，连接 DE，则CDE 的大小是（ ） A25 B30 C35 D40 【解答】解：连接 BD， 四边形 ABCD 是O 的内接四边形， ABC+ADC180， ADC120， ABC60， ADCD， ， DBCABD30， BCD90， BDC90CBD60， E 为的中点， CDEBDEBDC30， 故选：B 10 （3 分）已知二次函数 yx2+x+2a+1（a0）的图象经过点 P（m，n） ，若 n1，则 m 的取值范 围是（ ） A1m2 B1

18、m2 C1m4 D1m4 【解答】解：yx2+x+2a+1（x23x4）+1（x+1） （x4）+1， 二次函数 yx2+x+2a+1（a0）的图象经过点（1，1） ， （4，1） 观察函数图象，可知：当 y1 时，1x4， 当 n1 时，1m4 故选：D 二、填空题： （共二、填空题： （共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11 （3 分）一元一次不等式x2 的解集是 x4 【解答】解：不等式去分母得：x4， 解得：x4 故答案是：x4 12 （3 分）从正多边形一个顶点最多可以作 7 条对角线，这个正多边形每个内角的大小是 144 【解答】解：经过多边形的一

19、个顶点有 7 条对角线， 这个多边形有 7+310 条边， 此正多边形的内角和为： （102）1801440， 这个正多边形每个内角的大小是：144 故答案为：144 13 （3 分）如图，直线 AB 经过原点分别交反比例函数 y的图象于 A、B 两点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，连接 BC 交 y 轴于点 D，则BOD 的面积为 1.5 【解答】解：设点 A 的坐标为（m，n） ，则 mn6， 直线 AB 过原点，则点 O 是 AB 的中点， CAx 轴，即 CADO，则 OD 是BAC 的中位线， ODAC， ACDO， BODBAC， 则 SBOD（）2SABCAC（xAxB）n2

20、mmn1.5， 故答案为 1.5 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 中，AB9，ABC60，点 E 在 AB 边上，且 BE2AE，动点 P 在 BC 边上， 连接PE， 将线段PE绕点P顺时针旋转60至线段PF， 连接AF， 则线段AF长的最小值为 3 【解答】解：在 BC 上取一点 G，使得 BGBE，连接 EG，EF，作直线 FG 交 AD 于 T，过等 A 作 AH GF 于 H B60，BEBG， BEG 是等边三角形， EBEG，BEGBGE60， PEPF，EPF60， EPF 是等边三角形， PEF60，EFEP， BEGPEF， BEPGEF， BEPGEF（SAS） ，

21、 EGFB60， BGF120， 点 F 在射线 GF 上运动， 根据垂线段最短可知，当点 F 与 H 重合时，AF 的值最小， AB9，BE2AE， BE6，AE3， BEGEGF60， GTAB， BGAT， 四边形 ABGT 是平行四边形， ATBGBE6，ATHB60， AHATsin603， AF 的最小值为 3， 故答案为：3 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分分.解答应写出过程）解答应写出过程） 15 （5 分）计算：（）0|2| 【解答】解：原式21（2） 212+ 33 16 （5 分）解方程： 【解答】解：方程两边都乘 3（x+1） ， 得：3x

22、2x3（x+1） ， 解得：x， 经检验 x是方程的解， 原方程的解为 x 17 （5 分）如图，在 RtABC 中，C90，请利用尺规在 AB 边上求作一点 D，使得 CDAB （要 求：不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图，线段 CD 即为所求作 18 （5 分）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上的一点，连接 AE，以 AE 为一边，在 AE 的上方作 正方形 AEFG，连接 DG求证：ABCE+DG 【解答】证明：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均是正方形， ABAD，AEAG，BADEAG90， BAEDAG， ABEADG（SAS） ； BEDG ABBC

23、CE+EBCE+DG， 即 ABCE+DG 19 （7 分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了 40 名同学实验操作的得分（满分为 10 分） 根据获取的样本数据，制作了如图的条形统计图和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问 题 （1）中的描述应为“6 分” ，其中 m%的 m 值为 10 ；扇形的圆心角的大小是 36 ； （2）这 40 个样本数据平均数是 8.3 ，众数是 9 ，中位数是 8 ； （3）若该校九年级共有 1280 名学生，估计该校理化实验操作得满分的学生有多少人 【解答】解： （1）m10017.51527.53010.36010%36 故答案为 10，3

24、6 （2）平均数为： （46+67+118+129+710）408.3， 由图表得知，众数是 9，人数为 12 人 40 名同学，中位数为从小到大排名第 20 和第 21 名同学的平均数， 由图表得知，排名后第 20 和第 21 名同学得分均为 8 分， 因此，平均数为 8 故答案为：8.3，9，8 （3）40 名同学中，满分占比为 74017.5%， 因此九年级全体同学理化实验操作得满分的学生为：17.5%1280224（人） 20 （7 分）如图，小明和同伴发现在某地小山坡的点 E 处有一座亭子，他们想利用皮尺、测倾器测量亭子 到山脚下的距离（即 DE 的长度） ，小明站在点 B 处，同伴

25、移动测倾器至点 C 处时，测得小明头顶 A 和 亭子 E 的仰角ACBECD（测倾器的高度忽略不计） 已知：ABBC，BC6 米，CD22 米， CDE135已知小明的身高 AB1.6 米，请根据以上数据，求 DE 的长度 【解答】解：过 E 作 EFBC 于 F， CDE135， EDF45， 设 EF 为 x 米，DFx 米，DEx 米， BEFC90， ACBECD， ABCEFC， ， 即， 解得：x8， DE8， 答：DE 的长度为 8米 21 （7 分） “群防群控，众志成城，遏制疫情，我们一定能赢!”为了做好开学准备，某校共购买了 20 桶 A、 B 两种桶装消毒液，进行校园消杀

26、，以备开学已知 A 种消毒液 300 元/桶，每桶可供 2000 米 2 的面积进 行消杀，B 种消毒液 200 元/桶，每桶可供 1000 米 2 的面积进行消杀 （1）设购买了 A 种消毒液 x 桶，购买消毒液的费用为 y 元，写出 y 与 x 之间的关系式； （2）在现有资金不超过 5300 元的情况下，求可消杀的最大面积 【解答】解： （1）由题意可得， y300 x+200（20 x）100 x+4000， 即 y 与 x 之间的关系式为 y100 x+4000（0 x20 且 x 为整数） ； （2）现有资金不超过 5300 元， 100 x+40005300， 解得，x13， 设

27、可消杀的面积为 S 米 2， S2000 x+1000（20 x）1000 x+20000， S 随 x 的增大而增大， 当 x13 时，S 取得最大值，此时 S33000， 即可消杀的最大面积是 33000 米 2 22 （7 分） “垃圾分类，从我做起” ，为改善群众生活环境，促进资源循环，提升全民文明素养，垃圾分类 已经在全国各地开展垃圾一般可分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾四类，我们把以上对 应类别的垃圾桶分别依次记为 A，B，C，D甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨余垃圾，随机扔进并 排的 4 个垃圾桶 A，B，C，D （1）直接写出甲扔对垃圾的概率； （2）请用列表法或画树

28、状图的方法，求出甲、乙两人同时扔对垃圾的概率 【解答】解： （1）甲扔对垃圾的概率为； （2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果，其中甲、乙两人同时扔对垃圾的概率 23 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一点，且 DE 是O 的切线 （1）求证：BAC2CDE； （2）若 CE4，cosABC，求O 的半径 【解答】解： （1）如图，连接 OD，AD， AC 是直径， ADC90， ADBC， ABAC， CADBADBAC， DE 是O 的切线， ODDE， ODE90， ADCODE， CDEADO， OAOD，

29、 CADADO， CDECAD， CADBAC， BAC2CDE； （2）解：ABAC，ADBC， BDCD， cosABC， AB3BD， AC3DC， 设 DCx，则 AC3x， AD2x， CDECAD，DECAED， CDEDAE， ， ， DE8，x， AC3x28， O 的半径为 14 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，且过 点 D（2，3） 点 P、Q 是抛物线 yax2+bx+c 上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求POD 面积的最大值 （3）直

30、线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当OBE 与ABC 相似时，求点 Q 的坐标 【解答】解： （1）函数的表达式为：ya（x+1） （x3） ，将点 D 坐标代入上式并解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m22m3） ， 将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：ysx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：ymx32m，则 OG3+2m， SPODOG（xDxP）（3+2m） （2m）m2+m+3， 10，故 SPOD有最大值，当 m时，其最大值为； （3）OBOC3，OCBOBC45， ABCOBE，故OBE 与ABC

31、 相似时，分为两种情况： 当ACBBOQ 时， AB4，BC3，AC， 过点 A 作 AHBC 于点 H， SABCAHBCABOC，解得：AH2， 则 sinACB，则 tanACB2， 则直线 OQ 的表达式为：y2x， 联立并解得：x或， 故点 Q（，2）或（，2） （舍去） ， BACBOQ 时， tanBAC3tanBOQ， 则点 Q（n，3n） ， 则直线 OQ 的表达式为：y3x， 联立并解得：x， 故点 Q（，）或（，） （舍去） ； 综上，当OBE 与ABC 相似时，Q 的坐标为： （，2）或（，） 25 （12 分）问题提出 （1）如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，A

32、D 平分CAB 交 BC 边于点 D，点 E 为 AC 边上的 一个动点，连接 DE，则线段 DE 长的最小值为 问题探究 （2）如图，在ABC 中，C90，ACBC6，点 D 为 AB 边的中点，且EDF90，EDF 的两边分别交 BC、AC 于点 E、F求四边形 DECF 的面积 问题解决 （3） “全民全运，同心同行”中华人民共和国第十四届全国运动会将在陕西西安举行，市内某观光景区 为迎接 “十四运” 准备在景区内设计修建一个全民健身区 如图， ABC 为全民健身区的大致示意图， 并将全民健身区分成BED、DFC 和四边形 AEDF 三部分，其中在BED 和DFC 两区修建室外大 型器材

33、健身区，在四边形 AEDF 区域修建室内健身休闲区根据设计要求：BAC60，点 D、点 E、 点 F 分别在边 BC、边 AB 和边 AC 上，且 DEDF，EDF120，四边形 AEDF 的面积为 200平 方米，为了节约修建成本，全民健身区ABC 的面积是否存在最小值？若存在，请求出ABC 面积的最 小值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）ABAC5， ABC 是等腰三角形， AD 平分CAB， ADBC， 由勾股定理得，AD2AC2DC2， AD， 由题意知，DE 最小时，即 DEAC 时， ， ， 故答案为：； （2）连接 CD， 在ABC 中，C90，ACBC，点 D 为 A

34、B 边上的中点， CDAB，且 CDAD，DCEA45， EDC+CDFFDA+CDF90， 即EDCFDA， EDCFDA（ASA） ， S四边形ABCDSDEC+SCDF SDFA+SCDF SCDA 9； （3）作 DMAB 于 M，DNAC 于 N， DMADNA90，MAN60， MDN360909060120， EDF120， MDNEDF120， EDM+MDFFDN+MDF， EDMFDN， EDFD，DMEDNF90， DMEDNF（AAS） ， DNDM， ， DMAB，DNAC，DNDM， AD 平分MAN， DAMDAN30， 设 AD2m，则 MDm，DNm，AMANm， ， m2200， m0， m10， AD20， ABC 中，AD 是角平分线，BAC60，AD 是最值， 当 AD 是ABC 的高时，ABC 的面积最小， 此时 BC2BD2， ABC 的面积最小