1、2020-2021 学年度上学期高三期中检测数学试题学年度上学期高三期中检测数学试题 第第卷卷( (选择题选择题) ) 一、选择题：一、选择题： 1. 已知集合 2 log (1)1Axx，则 R A( ) A. |1x x或 3x B. |1x x或 3x C. |3x x D. |3x x 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用对数函数的单调性化简集合 A，再利用补集运算求解. 【详解】因为集合 2 log (1)13Axxxx1， 所以 R A|1x x或 3x ， 故选：B 2. 下列函数中，既是奇函数，又在区间0,1上是增函数的是( ) A. 3 2 ( )f xx B. 1 3 (
2、 )f xx C. ( )sin2f xx D. ( )22 xx f x 【答案】D 【解析】 【分析】 A.根据 3 3 2 ( )f xxx 定义域为0,)判断；B. 由幂函数的性质判断；C.由函数 sinyx 的性质判断； D.由指数函数2xy 的性质判断. 【详解】A. 3 3 2 ( )f xxx 定义域为0,)，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶，故错误； B. 由幂函数知 1 1 3 3 ()( )fxxxf x 是奇函数，在0,1是减函数，故错误； C. 因为()sin 2sin2( )fxxxf x，所以( )f x是奇函数，在0, 4 上是增函数，在,1 4 上 减函数，
3、故错误； D. 因为( )2222( ) xxxx fxf x ，所以( )f x是奇函数，因为2,2x x yy 是增函数， ( )22 xx f x 在区间0,1上是增函数，故正确； 故选：D 3. 已知等比数列 n a满足 375 4a aa， 数列 n b为等差数列， 其前n项和为 n S， 若 55 ba， 则 9 S ( ) A. 9 B. 18 C. 72 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比中项的性质求出 5 a的值，可得出 5 b的值，再利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求得 9 S的值. 【详解】 在等比数列 n a中， 5 0a ， 由等比中项的性
4、质可得 2 5375 4aa aa， 解得 5 4a ， 55 4ba， 由等差数列的求和公式可得 19 95 9 936 2 bb Sb . 故选：D. 4. 将函数 sin 4 yx 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平 移 6 个单位，则所得图像对应的解析式为( ) A. sin 2 12 yx B. sin 2 12 yx C. sin 26 x y D. sin 212 x y 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】将函数sin 4 yx 的图像上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得
5、到的函数的 解析式为：sin 24 x y ，将sin 24 x y 的图像向左平移 6 个单位，得到的函数的解析式为： 1 sin 264 yx ，化简得：sin 26 x y . 故选：C 5. “0m”是“xR ， 2 (1)2(1)30mxm x 是假命题”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由命题“xR ， 2 (1)2(1)30mxm x 是假命题”， 利用二次函数的性质， 求得实数m的取值范围， 结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，命题“xR ， 2 (1)2(1)
6、30mxm x 是假命题” 可得命题“xR ， 2 (1)2(1)30mxm x是真命题” 当10m 时，即1m时，不等式30恒成立； 当10m 时，即1m时，则满足 2 10 2 14130 m mm ，解得14m， 综上可得，实数14m， 即命题“xR ， 2 (1)2(1)30mxm x 是假命题”时，实数m的取值范围是1,4)， 又由“0m”是“14m”的必要不充分条件， 所以“0m”是“ xR ， 2 (1)2(1)30mxm x 是假命题”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】理解全称命题与存在性命题的含义时求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，把 存在性命题为假命题
7、转化为全称命题为真命题，结合二次函数的性质求得参数的取值范围，再根据充分、 必要条件的判定方法，进行判定. 6. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时 处理， 打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出水后时间t(分)满足的函数关系式为 t hm a 若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20%那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg2 0.3 ，结果取整 数)( ) A. 33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟 【答案】B 【解
8、析】 【分析】 根据已知条件可得出 10 20 0.1 0.2 m a m a ，可求得m、a的值，可得出h关于t的函数关系式，然后令1h 求出 t的值，即可得解. 【详解】由题意可得 10 20 0.1 0.2 m a m a ，可得 1 10 1 20 2 m a ，所以， 10 1 2 20 t h ， 令 10 1 21 20 t h ，可得 10 220 t ， 所以， 2 10 lg10lg210 1 lg210lg2010 1.3 10log 2043 lg2lg2lg20.3 t (分钟). 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：
9、求解本题的关键在于理解题中的条件，结合给定的函数模型以及题中的数据求解函 数模型的解析式，即可求解. 7. 已知函数 2 ln1f xxx ， 若正实数a，b满足410faf b， 则 11 ab 的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断 2 ln1f xxx 是R上的奇函数，可得41ab，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】因为 2222 ln1ln1ln1ln10fxf xxxxxxx ， 所以 fxf x， 可得： 2 ln1f xxx 是R上的奇函数， 因为410faf b， 所以41ab， 所以 111144 45529
10、baba ab abababab ， 当且仅当 41 4 ab ba ab 即 1 6 1 3 a b 时等号成立， 所以 11 ab 的最小值为9， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的最小值，涉及奇函数的定义，属于中档题. 8. 定义在(0, )上的函数f(x)满足 xf x10 ，(2)ln2f，则不等式 x f ex 的解集为( ) A. (0, ln2) B. (,ln2) C. (ln2,) D. (ln2, 1) 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数( )( )lng xf xx，用导数法易得 g x在(0,)上是增函数，然后将不等式0 x f ex 转 化
11、为(2) x g eg ，利用单调性求解. 【详解】设( )( )lng xf xx， 则 1( ) 1 ( )( )0 xfx g xfx xx ， g x在(0,)上是增函数， 不等式0 x f ex 可化为ln0(2)ln2 xx f eef. 即(2) x g eg ， 2 x e ， 解得ln2x 故选：B 二、选择题：二、选择题： 9. 下列各式中一定成立的有( ) A. 3 1 3 3 b b a a B. 4 3 12 22 C. 2 22 5 5 xyxy D. 33 93 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据指数的运算性质进行判断即可. 【详解】对于 A， 3 33 b
12、b a a ，故 A错误； 对于 B， 4 1243 12 222 ，故 B正确； 对于 C， 1 2222 55 ()xyxy ， 2 22 1 5 5 2xyxyxy ，故 C 错误； 对于 D， 1 111 2 33 333 99933 ，故 D 正确. 故选：BD 10. 已知定义在R上的函数 ( )f x满足：( )()0f xfx (2)( )fxf x，且对任意 1 x， 2 1,0 x ， 当 12 xx时，都有 11221221 x f xx f xx f xx f x，则有( ) A. 函数 ( )f x是奇函数 B. 2x是函数 yf x的图像的一条对称轴 C. 123?
13、 202020210fffff D. 函数 ( )f x在 5,6上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数周期性、奇偶性及单调性一一验证可得； 【详解】解：根据题意，依次分析选项， 对于A，定义在R上的函数 ( )f x满足( )()0f xfx ，则函数 ( )f x为奇函数，A正确， 对于B， ( )f x满足(2)( )fxf x ，则函数 ( )f x的图象关于直线 1x 对称， ( )f x为奇函数，其图象关 于原点对称，则点(2,0)也是函数对称中心，B错误， 对于C， ( )f x满足(2)( )fxf x ，则有(2)()fxfx ，变形可得(2)( )f xf
14、x ， 则有(4)( )f xf x，则函数 ( )f x是周期为 4的周期函数， 又由(2)( )f xf x ，即 31ff， 42ff， 则f(1) f (2) f (3) (2020)(2021)fff (1) f (2) f (3) f (4) 50511ff ，C错误， 对于D，对任意 1 x， 2 1x ，0，当 12 xx时，都有 11221221 ( )()()( )x f xx f xx f xx f x，变形可得 1212 () ( )()0 xxf xf x， 则函数 ( )f x在区间 1，0上为增函数， ( )f x为奇函数，则( )f x在区间0，1上为增函数，
15、函数 ( )f x的图象关于直线 1x 对称，则 ( )f x在区间1，2上为减函数， 函数 ( )f x是周期为 4 的周期函数，则( )f x在区间5，6上为减函数，D正确， 故选：AD 【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性及单调性的综合应用，奇函数满足 0fxf x，偶函数满 足 fxf x；若存在非零常数T，对定义域内任意x满足 ()( ) f x Tf x+=，则 f x是以T为周期 的周期函数； 11. 已知数列 n a满足 1 0at ， 1 1 2 nn n aanN a ，则下列关于 n a的判断正确的是( ) A. 0t ，2n ，1 n a B. 0t ， nN ， 1n
16、n a a C. 1,0t ，nN ， 1nn aa D. 0t ，m N， n mn aa 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据题中递推公式， 得到0t 时， 1 1 n a ；0t 时， 1 1 n a ； 讨论1t ，01t ，1t ，10t ， 1t ，根据递推公式，分别确定数列的性质，即可得出结果. 【详解】因为 1 0at 且 1 1 2 nn n aa a ， 所以0t 时， 1 11 0 22 nn n aa a ，且 1 1111 21 2222 nnn nn aaa aa ，即 1 1 n a (当且仅当 1t 时等号成立)； 0t 时，1 11 0 22 nn n aa
17、 a ，且 1 111111 21 222222 nnnn nnn aaaa aaa ， 即 1 1 n a (当且仅当1t 时等号成立)， 所以当1t 时，1 n a ，1t ，1 n a ，即1t 时， n a是常数列； 当0t 且1t 时， 11 1 211 11 111 0 222 nn n nnn nn aaa aaa aa 所以01t 时， 1234 1aa aa；1t 时， 1234 1aaaa； 当0t 且1t 时， 11 1 211 11 111 0 222 nn n nnn nn aaa aaa aa ， 所以10t 时， 1234 1aaaa ； 1t 时， 1234 1
18、aaaa ； 综上：1t 时， n a是常数列；01t 时， n a从第二项起是递减数列： 1t 时， n a是递减数列；10t 时， n a从第二项起是递增数列； 1t 时， n a是递增数列. 即 AC错误，BD 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据题中所给递推公式 1 1 2 nn n aanN a ， 由t的不同取值， 先确定 1n a 的范围， 再利用分类讨论的方法，讨论t的取值情况，结合递推公式研究数列的单调性，即可求解. 12. 下列不等式中成立的是( ) A. 0.30.7 0.40.1 B. 45 log 3log 4 C. 131 sinsin
19、 223 D. e e 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用指数和幂函数的单调性可判断 A，利用 4 2 5 log 3lg31 5lg3 lg5 log 4lg41 4 1 4 g g g 与1比较大小即可判断 B；构造 函 数 s i n ( ) x f x x 求 导 判 断 单 调 性 ， 比 较 1 2 f 与 1 3 f 即 可 判 断C ； 构 造 函 数 2 ln2ln ( )(0) xx g xx xx ，求导判断单调性，比较 ge与 g的大小即可判断 D，进而可得正确 选项. 【详解】对于选项 A ：因为幂函数 0.3 yx在0,单调递增，0.40.1，所以 0.30.
20、3 0.40.1 因为指数函数0.1xy 在R上单调递减，0.30.7所以 0.30.7 0.10.1， 所以 0.30.30.7 0.40.10.1 ，故选项 A不正确； 对于选项 B：因为 4 log 30， 5 log 40，所以 22 4 222 5 lg3 lg5lg16 log 3lg31 5lg3 lg522 1 log 4lg41 4 1 41 41 4 g g ggg ， 所以 4 5 log 3 1 log 4 ，即 lg3lg4 lg4lg5 ，故选项 B正确； 对于选项 C：令 sin ( ) x f x x ，则 22 cossincos (tan ) ( )0 xx
21、xx xx fx xx 所以 ( )f x在(0,1)上递减，所以 11 sinsin 32 11 23 ，即 131 sinsin 223 ，故选项 C正确； 对于选项 D：令 2 ln2ln ( )(0) xx g xx xx ，则 2 2(1ln ) ( ) x g x x ， 所以( )g x在(0, )e上递增，在( ,)e 上递减，而0ee, 所以 2ln2lne geg e ，即 lnlne e ， 所以 ln ln e e ，即ln e ，所以 e e ，故选项 D正确， 综上正确答案为 BCD. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，通过函数的单调性比较两
22、个函数值的大小即可判断不等 式是否成立，对于 131 sinsin 223 看结构要想到构造函数 sin ( ) x f x x 求导判断单调性，比较 1 2 f 与 1 3 f ，对于 e e 这个不容易想到构造函数 2 ln2ln ( ) xx g x xx (0)x ，比较ge与g的 大小即可. 第第卷卷( (非选择题非选择题) ) 三、填空题：三、填空题： 13. 若 2 2 3cossin 3 ，则cos2 3 _. 【答案】 5 9 【解析】 【分析】 先逆用两角和的正弦得到 2 sin 33 ，令 3 ，则cos2 3 的值即为cos2的值，利 用二倍角的余弦值可求此值. 【详解
23、】由 2 2 3cossin 3 可以得到 312 2 2cossin 223 ， 所以 2 sin 33 ，设 3 ，则 3 则222 333 ， 所以 2 45 cos2cos2cos22sin11 399 . 故答案为 5 9 . 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异 去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则 是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 14. 已知函数 1,0 ln,0 xx f x x x ，则函数 1yffx 的零点个数为_. 【
24、答案】7 【解析】 【分析】 先由 10ff x 可求得 f x的值，再由0 x和0 x两种情况结合 f x的值，可求得x的值，即 可得解. 【详解】下面先解方程 10ff x 得出 f x的值. (1)当 0f x 时，可得 11 10ff xf x ，可得 0f x ； (2)当 0f x 时，可得 1ln10ff xf x ，可得 f xe或 1 f x e . 下面解方程 0f x 、 f xe和 1 f x e . 当0 x时，由 10f xx 可得1x，由 1f xxe 可得1xe (舍去)，由 1 1f xx e 可得 1 1x e ； 当0 x时，由 ln0f xx可得1x ，
25、由 1 lnf xx e 可得 1 e xe 或 1 e xe ，由 lnf xxe可得 e xe或 e xe . 综上所述，函数 1yff x 的零点个数为7. 故答案为：7. 【点睛】方法点睛：判定函数 f x的零点个数的常用方法： (1)直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； (2)数形结合法：先令 0f x ，将函数 f x的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图 象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 15. 习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业2020年 1 月 8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村
26、部印发关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见. 意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业 带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决 定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个 等差数列 n a(单位：万元)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金 1 a(万元)的 3 倍，已 知 22 12 50aa则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为_万元) 【答案】100 【解析】 【分析】 根据题意，得到五年累计总投入资金的表
27、达式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知，五年累计总投入资金为 123451313112 5 35155310aaaaaaaaaaaa 22222 12121212 10 ()10210 2100aaaaaaaa， 当且仅当 12 aa时等号成立， 所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为 100万元. 16. 已知 3x,01 2sin,13 x f x xx ，若存在实数 1 x， 2 x， 3 x，满足 213 03xxx，且 123 f xf xf x，则 2 x的取值范围为_； 231 6 4 x xx 的最大值为_. 【答案】 (1). 7 2, 3 (2). 991
28、 162 【解析】 【分析】 根 据 图 像 ， 得 到 2 7 2, 3 x ， 化 简 得 出 2 231222 62 5sin 42 x xxxxx ， 构 造 新 函 数 2 2 ( )5sin 2 g xxxx ，利用导数求得函数的单调增区间，进而求得 ( )0gx ，得出函数的单调性， 求得其最值. 【详解】由题意，函数 f x的大致图像如图所示， 由图像知， 2 7 2, 3 x ，且 23 5xx， 12 32sinxx， 所以 2 231222222 6622 5sin5sin 4423 x xxxxxxxx ， 令 2 2 ( )5sin 2 g xxxx ， 7 2, 3
29、 x ，则 2 ( )52cos 2 g xxx， 因为 2 ( )2sin 2 gxx 在 7 2, 3 上单调递增， 所以 768 ( )0 34 gxg ，所以( ) g x 在 7 2, 3 上单调递减， 又因为 9 0 4 g ，所以( )g x在 9 2, 4 上单调递增，在 9 7 , 4 3 上单调递减， 所以 max 9991 ( ) 4162 g xg . 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略： 1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般
30、要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 四、解答题：四、解答题： 17. 如图，ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 8c ， 1 cos 7 ACB 且14cosbB (1)求B (2)点D在BC边的延长线上，且 2 21AD ，求CD的长 【答案】(1) 3 B ；(2)7CD. 【解析】 【分析】 (1)先利用 1 cos 7 ACB 求出 4 3 sin 7 ACB，在ABC中，利用正弦定理求出 14 3 sin 3 bB， 结合14cosbB可求tan 3B ，即可求出角 B； (2)由(1)知7ACb， 1 coscos 7 ACDACB ，结合 2 21AD ，利用
31、余弦定理即可求CD的 长 【详解】(1)因为 1 cos 7 ACB ，(0, )ACB， 所以 2 14 3 sin1 77 ACB ， 在ABC中，由正弦定理得： sinsin bc BACB ， 所以 sin14 3 sin sin3 cB bB ACB ， 又14cosbB，所以14 3sin14cos 3 BB，所以tan3B ， 因为(0, )B，所以 3 B . (2)由(1)可得 1 147 2 b ， 在ACD中， 1 coscos 7 ACDACB ， 由余弦定理可得： 222 2cosADACCDAC CDACD， 即 222 1 (2 21)727 7 CDCD ，即
32、2 2350CDCD ， 解得：7CD或5(舍去)， 所以7CD. 【点睛】 关键点点睛： 第一问的关键点是利用正弦定理求出 sin14 3 sin sin3 cB bB ACB ， 结合14cosbB， 即可求出角 B，第二问的关键点是由 1 cos 7 ACB 可得 1 cos 7 ACD，在ACD中，已知两边及其 中一边的对角可以选择用余弦定理解三角形. 18. 已知 2sin cos2 3coscos 44 f xxxxx (1)求函数 ( )f x的单调递减区间： (2)若函数( )( )42sin2g xf xkx在区间 7 , 12 12 上有唯一零点，求实数k的取值范围. 【答
33、案】(1) 7 ,() 1212 kkkZ ；(2) 11 | 44 kk 或 1 2 k . 【解析】 【分析】 (1)化简 ( )f x，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果； (2)转化为函数( )cos 2 6 h xx 在 7 , 12 12 x 上的图象与2yk的图象有唯一交点，根据图象可得 结果. 【详解】(1)( )2sincos2 3coscos 44 f xxxxx sin22 3sincos 244 xxx sin22 3sincos 44 xxx sin23sin 2 2 xx sin23cos22sin 2 3 xxx ， 令 3 222 232 kxk ，kZ，解得
34、： 7 1212 kxk ，kZ， f x的单调递减区间为 7 ,() 1212 kkkZ . (2)由(1)知，函数2 n 2) 3 (sif xx ， ( )g x 2sin 242sin2 3 xkx 在 7 , 12 12 上有唯一零点等价于 13 2sin 2sin2sin2cos2cos 2 3226 kxxxxx 在 7 , 12 12 上有唯一实根， 设( )cos 2 6 h xx ， 7 , 12 12 x ，依题意可知2yk与 yh x图象有唯一交点， 函数 h x在 7 , 12 12 x 上的图象如图： 由图可知实数k应满足 11 2 22 k或21k ， 11 44
35、 k或 1 2 k ， 故实数k的取值范围 11 | 44 kk 或 1 2 k . 【点睛】关键点点睛：转化为函数( )cos 2 6 h xx 在 7 , 12 12 x 上的图象与2yk的图象有唯一 交点，根据图象求解是解题关键. 19. 已知数列 n a n b的各项为正，且 31 18ab， n b是公比为 1 3 的等比数列.再从： 数列 n a的前n项和 n S满足 2 42 nnn Saa： 数列 n a是公差不为 0 的等差数列，且 123 12aaa ， 1 a， 2 a， 4 a，成等比数列 这两个条件中任选一个，解答下列问题. (1)求数列 n a， n b的通项公式；
36、 (2)令cos nnn cabn，设 n c的前n项和为 n T若 1 n n nT对nN 恒成立，求实数的 取值范围. 【答案】(1)2 n an； 1 3 n n b ；(2) 2 5 , 9 4 . 【解析】 【分析】 (1)若选由 n a与 n S的关系可推出 n a为等差数列，即可求通项公式；若选由等差数列通项公式及等比 中项求出公差及首项即可求出通项公式，利用等比数列通项公式直接求 n b； (2)求出 n c，分 n 为奇数、偶数，先求 n 为偶数时，分组求和求出 n T，再根据不等式恒成立分离参数求解即 可，n 为奇数时，同理可求，即可求实数的解. 【详解】(1)若选，1n
37、时， 2 111 42Saa， 1 2a ， 2n时， 2 42 nnn Saa， 2 111 42 nnn Saa ，两式相减得： 11 20 nnnn aaaa ， 1 0 nn aa (舍)或 1 20 nn aa ， 即数列 n a是首项为 2，公差为 2的等差数列， 2 n an； 若选，因为 1231 3312aaaad， 1 4ad，又 2 214 aa a， 2 111 3adaad，得 1 da或 0(舍去)， 1 2da， 2 n an， 3 6a ， 13 11 183 ba， 又 n b的公比为 1 3 ， 1 3 n n b. (2)由(1)得 1 ( 1)2( 1)
38、 3 nn nnn n cabn 当n为偶数时， 1 1 111 2(1)222 333 nn nnn ccnn 12341nnn Tcccccc 2 24 11 1 99 111 22222222 1 3332 1 9 n n n 11 1 4 3n n 当n为奇数时， 11 11 11111 1(1)2(1)5 4 334 3 nnn nnn TTcnnn 11 1,2 4 3 N 11 5,21 4 3 n n n n nk Tk n nk ， ( 1)() n n nT对 * nN恒成立， 当n为偶数时， 11 1 4 3n nn 恒成立，即 11 1 4 3n 恒成立， 因n为偶数时
39、， 11 1 4 3n y 单调递减， 所以 2 max 11112 11 4 34 39 n ， 当n为奇数时， 11 ()5 4 3n nn 恒成立，即 11 5 4 3n 恒成立， 因为n为奇数时， 11 5 4 3n y 单调递减，且 115 5 4 34 n ，所以 5 4 . 综上，实数的取值范围为 2 5 , 9 4 . 【点睛】关键点点睛：先求出当n为偶数时，利用分组求和求 n T，当n为奇数时 11nnn TTc 可求出数列 的和，根据不等式恒成立可分离参数，利用单调性求最值求解，属于难题. 20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区(矩
40、形ABCD)及左 右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJ和BEFG)组成， 其中半圆的圆心为O， 半径为 50米， 矩形BEFG 的一边BG在BC上，矩形AHLJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上， 且 6 EOF ，设BOC若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为 3 20 万元和 1 10 万元，记病 床区及休闲区的总造价为 f(单位：万元). (1)求 f的表达式； (2)为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值 【答案】(1)( )125( 3sin22cos3)f(万元)，, 6 2 ；(2)当 3 时，总造价的最大 值为 125 (1
41、2 3) 2 万元. 【解析】 【分析】 (1)根据直角三角形的边角关系以及倍角公式用表示三个矩形的长和宽，用矩形面积乘以相应造价得出 f的表达式； (2)利用导数得出函数 f的单调性，进而得出最值. 【详解】解：(1)设50R ，由图可知在矩形ABCD中， sinBCR，cosOBR 所以 22 22sincossin2 ABCD SOBBCRR 在矩形BEFG中， 3 sin,coscoscos 6262 R EFRBERRR 所以 2 3 22cos 2 BEFG SEFBER 因为病床区每平方米的造价为 3 20 万元，休闲区每平方米造价为 1 10 万元， 2 311 ( )250
42、( 3sin22cos3) 201020 ABCDBEFG fSS ( )125( 3sin22cos3)f(万元)， , 6 2 . (2)由(1)得， 2 ( )125(2 3cos22sin )25032 3sinsinf 250(2sin3)( 3sin1) 因为, 6 2 ，所以 1 sin,1 2 令( )0f ，解得 3 sin 2 ，因为, 6 2 ，所以 3 当变化时，( )f，( )f 的变化情况如下表： , 6 3 3 , 3 2 ( )f 0 ( )f 极大值 所以当 3 时，总造价( )f取得极大值125(12 3) 2 即当 3 时，总造价的最大值为 125 (12
43、 3) 2 万元. 【点睛】方法点睛：在解决含有正弦函数的最值问题时，一般可以有以下方法： 1、利用导数得出单调性，再求最值； 2、对于 sin()yAx 型的函数，利用正弦函数的单调性求最值即可； 21. 设函数( ) (1)ln(1)f xaxxbx (1)若1b，求曲线 yf x在坐标原点处的切线方程； (2)当1a 时，讨论函数 f x在0,)上的极值点的个数； (3)证明： * 2 ln3ln4ln(1) ln2() 491 nn nN nn . 【答案】(1)0y ；(2)答案见解析；(3)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)将1b代入，求出 00f， 00 f ，再利用解析式即
44、可求出曲线 yf x在坐标原点处的切 线方程； (2)将1a 代入，求出 fx ，根据极值定义对b进行分类讨论即可； (3)取1a ，1b，由n N时， 0f n ，进而得到 2 ln(1)1 (1) n nn n ，利用累加法即可证明 * 2 ln3ln4ln(1) ln2() 491 nn nN nn . 【详解】解：(1)当1b时， ( )(1)ln(1)f xaxxx， 1 ( )ln(1)1 1 ax fxax x ， 00f， 00 f ， 即曲线 yf x在坐标原点处的切线方程为0y ； (2)当1a 时， 1 ln1f xxxbx， ln11fxxb ， 令 0fx ，则 1
45、1 b xe ， 当1b时，0 x时， 0fx ， f x在0,)上单调递增， f x在0, )上没有极值点； 当1b时，当 1 01 b xe 时， 0fx， f x单调递减， 当 1 1 b xe 时， 0fx， f x单调递增， 1 1 b xe 是 f x的极小值点， 综上，1b时， f x在0,)上没有极值点； 1b时， f x在0, )上只有一个极小值点 1 1 b xe ，没有极大值点； (3)取1a ，1b，由(2)知 f x在(0,)上单调递增， 0 x 时， 0f x ， 当n N时， 0f n ， 即(1)ln(1)0nnn， 即 2 ln(1)1 (1) n nn n ， 1 ln2 1 2 ， ln31 42 3 ， ln41 93 4 ， 2 ln(1)1 (1) n nn n ， 将上面不等式相加得： 2 ln3ln4ln(1)1111 ln2 491 22 33 4(1) n nn n ， 又 111 1 22 3(1)n n 1111111 1 223341nn 1 1 1n 1 n n ，
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