1、福州四校联盟福州四校联盟 2020/2021 年第一学期期中联考年第一学期期中联考 高三数学试卷高三数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1. 已知集合 2 2 |1 ,|log1Ax xBxx，则如图所示阴影部分表示的集合为( ) A. | 11xx B. 1|0 xx C. |02xx D. | 12xx 【答案】B 【解析】 【分析】 因为图中所示阴影部分表示的集合为AB,所以求出集合 A、B求交集即可. 【详解】因为图中所示阴影
2、部分表示的集合为AB， 集合 2 |1| 11Ax xxx ， 222 |log1|loglog 2|02Bxxxxxx ， 所以|01ABxx. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，且复数z满足 1 3i zi ，则z的共轭复数是( ) A. 3 i B. 3 i C. 3 i D. 3 i 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据题意得到3zi ，再求共轭复数即可. 【详解】 2 1 31 3 3 i ii zi ii ，3zi . 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查了共轭复数的概念，属于简单题. 3. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
3、A. 108cm3 B. 100cm3 C. 92cm3 D. 84cm3 【答案】B 【解析】 试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一 个三棱锥(长方体的一个角)据此即可得出体积 解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为 6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱 锥(长方体的一个角) 该几何体的体积 V=6 6 3=100 故选 B 考点：由三视图求面积、体积 4. 已知函数 f (x)图象如图所示，则 f (x)的解析式可以是( ) A. f (x) ln| x x B. f (x) x e x C.
4、f (x) 2 1 x 1 D. f (x)x 1 x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象的对称性，结合函数极限，即可容易判断和选择. 【详解】由函数图象可知，函数 f (x)为奇函数， 而,B C中， x e f x x 是非奇非偶函数， 2 1 1f x x 是偶函数， 应排除 B，C. 若函数为 f (x)x 1 x ，则 x时，f (x)，排除 D； 故选：A. 【点睛】本题考查由函数图象选取函数解析式，涉及函数奇偶性的判断以及极限，属综合基础题. 5. 已知 2 sin 63 ，则 5 sin 2 6 ( ) A. 4 5 9 B. 4 5 9 C. 1 9 D. 1 9 【答
5、案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简已知可得 33 22 cos() ,进而利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式化简所求即可计算得解. 【详解】 22 sincoscos 62633 ， 554 sin 2cos2cos(2 ) 6263 aa 2 2 221 2cos121 339 . 故选：D. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式的综合运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意观察 角的特点，再进行配凑. 6. 已知等比数列 n a满足0,1,2, n an，且 2 525 2 (3) n n aan ，则当1n时， 2123221 logloglog n aaa ( ) A
6、. (21)nn B. 2 (1)n C. 2 n D. 2 (1)n 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 n a为 等 比 数 列 ， 所 以 2 121222525 2 n nnn aaaaaa , 2 22 2 2 212322121212 logloglogloglog 2log 2 n n nn nn aaaa an .故 C 正确. 考点：1 等比比数列的性质;2 对数的运算法则. 7. 若AB是以 O为圆心，半径为 1 圆的直径，C为圆外一点，且2OC .则CA CB ( ) A. 3 B. 3 C. 0 D. 不确定，随着直径AB的变化而变化 【答案】A 【解析】
7、 【分析】 将CA CB 通过向量加法的三角形法则用,CO OA表示出来即可. 【详解】如图， 22 3CA CBCOOACOOBCOOACOOACOOA， 故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，关键是将CA CB 用知道模的向量来表示，是基础题. 8. f x（ ） 的定义域为R ，02f（ ） ，对任意1xRf xfx ，（ ） （ ） ，则不等式( )1 xx ef xe 解集 为( ) A. (0,) B. (,0) C. (, 1)(1,) D. ( , 1)(0,1) 【答案】A 【解析】 【分析】 令 g(x)exf(x)ex1，利用导数可判断函数 g(x)的单调性，由
8、已知条件可得函数 g(x)的零点，由此可解 得不等式 【详解】解：令 g(x)exf(x)ex1，则 g(x)exf(x)+exf(x)exexf(x)+f(x)1， f(x)+f(x)1， f(x)+f(x)10， g(x)0，即 g(x)在 R 上单调递增， 又 f(0)2，g(0)e0f(0)e012110， 故当 x0时，g(x)g(0)，即 exf(x)ex10，整理得 exf(x)ex+1， exf(x)ex+1的解集为x|x0 故选 A 【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系， 综合性较强，属于中档题 二、多项选择题：共二、多项
9、选择题：共 4 道小题道小题,每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分.给出的给出的 4个选项中，有多项符合要求个选项中，有多项符合要求.全全 部选对得部选对得 5 分，选对但不全得分，选对但不全得 3 分，有错选的分，有错选的 0 分分. 9. 下列命题正确的是( ) A. “1a ”是“ 2 1a ”的充分不必要条件 B. “MN”是“lgMlgN ”的必要不充分条件 C. 命题“ 2 ,10 xR x ”的否定是“xR ，使得 2 10 x ” D. 设函数 ( )f x的导数为 ( ) fx，则“ 0 ()0fx”是“( )f x在 0 xx处取得极值”的充要条件 【答案】AB 【解
10、析】 【分析】 根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是，否定结论，即可知正确的选项. 【详解】A 选项中， 2 11aa ，但 2 11aa 或 1a ，故 A 正确； B 选项中，当0MN时有lgM lgN ，而lgMlgN必有0MN，故 B 正确； C选项中，否定命题为“xR ，使得 2 10 x ”，故 C错误； D 选项中， 0 ()0fx不一定有( )f x在 0 xx处取得极值，而( )f x在 0 xx处取得极值则 0 ()0fx，故 D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题. 10. 等差数列 n a的前
11、n项和记为 n S，若 1 0a ， 1020 SS，则( ) A. 0d B. 16 0a C. 15n SS D. 当且仅当0 n S 时 32n 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质及 1020 SS可分析出结果. 【详解】因为等差数列中 1020 SS， 所以 111219201516 5()0aaaaaaK， 又 1 0a ， 所以 1516 0,0aa， 所以0d ， 15n SS，故 ABC 正确； 因为 131 3116 31() 310 2 aa Sa ，故 D错误, 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的求和公式，属于中档题. 11
12、. 已知函数 2sin 2f xx(0 )，若将函数 f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得 图象关于原点对称，则下列结论中不正确的是( ) A. 6 B. ,0 6 是 f x图象的一个对称中心 C. 2f D. 12 x 是 f x图象的一条对称轴 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由函数平移所得函数关于原点对称可求 3 ，进而知研究( )2sin(2) 3 f xx 的函数性质即可知选项的 正误. 【详解】函数 f x的图象向右平移 6 个单位，即( )()2sin(2) 63 g xf xx ， 由题意知：( )g x关于原点对称，(0)2sin()0 3 g ， , 3 kk
13、Z ，而0，故 3 ， ( )2sin(2) 3 f xx ，知： 2 3 xk 则(,0) 26 k 为对称中心； ( )2sin0f； 2 32 xkkZ ， 则 212 k xkZ ； 故选：ABC 【点睛】本题考查了三角函数的性质，根据图象平移后所得函数的中心对称性求参数值，进而确定函数解 析式，结合三角函数的性质判断选项的正误. 12. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF 2 2 a，以下结论 正确的有( ) A. ACBE B. 点 A到BEF的距离为定值 C. 三棱锥 ABEF的体积是正方体 ABCDA1B1C1D1体
14、积的 1 12 D. 异面直线 AE，BF所成的角为定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由异面直线的判定判断 A；由二面角的平面角的定义可判断 B；运用三棱锥的体积公式可判断 C；运用三角 形的面积公式可判断 D 【详解】对于 A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面 BDD1B1， 所以 ACBE，所以 A正确； 对于 B，A到平面 BDD1B1的距离是定值，所以点 A到BEF的距离为定值， 则 B 正确； 对于 C，三棱锥 ABEF的体积为 V三棱锥ABEF 1 3 1 2 EFABBB1sin45 112 322 a a 2 2 a 1 12 a3， 三棱锥 ABEF 的体积是
15、正方体 ABCDA1B1C1D1体积的 1 12 ，正确； 对于 D，如图所示异面直线 AE，BF 所成的角的平面角为AEM不为定值，命题 D错误； 故选：ABC 【点睛】本题主要考查异面直线位置关系；点到面的距离；三棱锥的体积运算；属于中档题。 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13. 若变量 , x y满足约束条件 1 0 20 y xy xy ，则2zxy的最大值为 . 【答案】3 【解析】 试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，当直线20 xy移动到A时，2zxy 取得最大值，由 201 01 xyx xyy ，所以1,
16、 1A，此时3z . 考点：简单的线性规划. 【易错点睛】线性规划问题主要考查学生的作图能力和用图意识和数形结合的思想方法，属于基础题.作图 时应先从整体上把握好约束条件中各直线的横截距和纵截距，选择合理的长度单位，同时每作一条直线及 时标注方程并判断区域，避免最后混淆，作目标函数时要注意比较其斜率与约束条件中边界直线的斜率进 行比较， 准确判断其倾斜程度为正确找到最优点创造条件， 最后就是注意“截距型”目标函数的截距与z的符 号是否一致，若符号相反，则截距最大，z最小；截距最小，z最大. 14. 已知向量(1,2) ,( ,1- )(0,0)mnab ab，若mn/，则 12 ab 的最小值
17、为_ 【答案】8 【解析】 【分析】 根据/m n，然后可得21a b ，然后巧用 1，再用基本不等式简单计算可得结果. 【详解】由/m n，(1,2) ,( ,1)mnab，所以即21ab ，即21a b ，且0,0ab， 2) 121244 (4428a baba abababab b ， 当且仅当 4ba ab ，即 1 2 2 ba时取等号， 所以 12 ab 的最小值为：8 故答案为：8. 15. 已知 f x是定义域为 , 的奇函数，满足11fxfx，若 12f，则 1232020ffff_. 【答案】0. 【解析】 【分析】 本题先利用函数 ( )f x 是定义域为(,) 的奇函
18、数可得()( )fxf x 且 00f，再结合 (1)(1)fx = f+x 可得函数 f x是周期为4的周期函数， 最后利用赋值法可求得 20f， 32f ， 40f，问题得解. 【详解】因为 ( )f x是定义域为(,) 的奇函数， 所以()( )fxf x 且 00f 又(1)(1)fx = f+x 所以 21111f xfxfxfxf x 所以 4222f xfxf xf xf x 所以函数 f x的周期为4，又因为 12f、 00f， 在(1)(1)fx = f+x中，令1x ，可得： 200ff 在(1)(1)fx = f+x中，令2x，可得： 3112fff 在(1)(1)fx
19、= f+x中，令3x ，可得： 4220fff 所以 2020 (3)(2020)1234505 00 4 (1)(2)ffff+ffff 故答案为：0. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，是 中档题 16. 设 n S是数列 n a的前n项和，满足 2 12 nnn aa S ，且0 n a ，则 64 S_ 【答案】8 【解析】 【分析】 由 n S与 n a的关系化简 2 12 nnn aa S ， 结合等差数列的定义得出数列 2 n S是等差数列， 进而求出 2 n Sn， 【详解】当1n 时， 11 1Sa 当2n时，由题意可知
20、 2 11 12 nnnnn SSSSS ，整理得 22 1 1 nn SS 所以数列 2 n S是以1为首项，1为公差的等差数列，则 2 n Sn 64 2 64S，0 n a ， 64 8S 故答案为：8 【点睛】解决本题的关键是由 n S与 n a的关系对 2 12 nnn aa S 化简，结合等差数列的定义进行求解. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 给出以下三个条件： 3 4a， 4 3a， 5 2a成等差数列；对于 * nN ，点( , ) n n S 均在函数2xya的 图象上，其中a为常数； 3 7S
21、请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解 设 n a是一个公比为(0,1)q qq的等比数列，且它的首项 1 1a ， (1)求数列 n a的通项公式； (2)令 * 2 2log1() nn banN，证明数列 1 1 nn b b 的前n项和 1 2 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)若选第一个则可以将 3 a， 4 a， 5 a转化为 1 a与q进行求解；若选第二个则可以利用首项求出a的值；若 选第三个条件则可以利用等比数列前n项和公式作答； (2)构造新的数列并利用裂项相消
22、法证明即可 【详解】(1)选进行作答 因为 3 4a， 4 3a， 5 2a成等差数列，所以 435 642aaa ， 2 333 642aqaa q， 解得1q (舍)或2q =，所以 1 2n n a - =； 选进行作答 由题意得2n n Sa，因为 11 21aSa，所以1a ，所以21 n n S ，当2n时， 1 1 21 n n S ， 1 1 2,2n nnn naSS ，当1n 时， 1 1a ，符合上式，所以 1 2n n a - =； 若选作答 由 3 7S ， 123 7aaa， 2 111 7aa qa q，解得2q =或3q ， 又因为0q ，所以2q =，所以 1
23、 2n n a - =. (2)证明： 1 2 2log 2121 n n bn ， 1 11111 () (21)(21)2 2121 nn b bnnnn ， 所以 11111111 (1)(1) 23352121221 n T nnn ， 因为n + N，所以 1 11 21n ，所以 1 2 n T ，得证 【点睛】本题属于开放型题目，由我们加一条件进行补充后作答加大了学生的思维量，第二问结合对数函 数构造新的数列，并利用裂项相消法证明不等式，考查知识面较为广 18. 已知 2 ( )2cossin()3sincossin 6 f xxxxxx ， (1)求函数( )yf x的单调递增
24、区间； (2)设ABC内角A满足( )2f A ，而3AB AC，求边BC的最小值 【答案】(1),() 36 kkkz ;(2) min 42 33 1a 【解析】 【详解】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得( )2sin(2) 6 f xx (1)令 ，解不等式可得答案；(2)由( )2sin(2) 6 f AA 及 0A 可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又ABC 中 ，从而可求 试题解析：(1)= 由得， 故所求单调递增区间为 (2)由得， ，即，bc=2， 又ABC 中， =， 当且仅当 b=c= 2等号成立 19. 如图所示，在四棱锥PABC
25、D中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC ，E 是PC的中点，过E点作EFPB交PB于点F.求证： (1)/ /PA平面EDB； (2)PB 平面EFD. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)连结AC、BD，交于点O，连结OE，通过/OEPA即可证明； (2)通过PDBC， CDBC可证BC平面PDC，即得DEBC，进而通过DE 平面PBC得 DEPB，结合EFPB即证. 【详解】证明：(1)连结AC、BD，交于点O，连结OE， 底面ABCD是正方形，O是AC中点， 点E是PC的中点，/OEPA. OE 平面EDB， PA平面EDB， /
26、PA平面EDB (2)PDDC，点E是PC的中点，DEPC. 底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， PDBC， CDBC，且 PDDCD， BC平面PDC，DEBC， 又PCBCC，DE 平面PBC， DEPB， EFPB，EFDEE， PB平面EFD. 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题. 20. 已知函数 2 x f xex 1求曲线 yf x在点 0,0f 处的切线方程; 2若函数 g xf xa，1,1x 恰有 2 个零点，求实数 a的取值范围 【答案】(1) x+y-1=0. (2) 22ln2 2ae . 【解析】 【分析】 (1)求得 f(x)的导数，
27、可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程； (2) 函数 ,1,1g xf xa x 恰有 2 个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可. 【详解】(1)因为 e2 x f xx，所以 e2 x fx. 所以 01. f 又 01,f 所以曲线 yf x在点 0,0f 处的切线方程为1,yx 即 10 xy .(5 分) (2)由题意得， e2 x g xxa， 所以 e2 x g x. 由 e2 0 x g x ，解得ln2x ， 故当1ln2x 时， 0g x， g x在1,ln2上单调递减； 当ln21x时， 0g x， g x在ln2,1上单调递增. 所以 min ln2
28、22ln2g xga. 又 1 1e +2ga ， 1e2ga ， 若函数恰有两个零点， 则 1 1e20, 1e20, ln22220, ga ga glna 解得2 2ln2e 2a . 所以实数a的取值范围为22ln2,e 2. 【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函 数为两个函数，利用两个函数的交点来求解. 21. 在平面四边形ABCD中， 3 ABC ， 2 ADC ，2BC . (1)若ABC的面积为 3 3 2 ，求AC； (2)若2 3AD ， 3 ACBACD ，求tanACD. 【答案】(1) 7AC (2) 3 ta
29、n 2 ACD 【解析】 【分析】 (1)利用已知条件与面积公式即可得到结果； (2) 设ACD，则 3 ACB ，结合正弦定理即可得到tan ACD 【详解】(1)在ABC中，因为2BC ， 3 ABC ， 13 3 sin 22 ABC SAB BCABC ， 所以 33 3 22 AB ，解得：3AB. 在ABC中，由余弦定理得： 222 2?cos7ACABBCAB BCABC 所以7AC (2)设ACD，则 33 ACBACD 如图， 在Rt ACD中，因为2 3AD ，所以 2 3 sinsin AD AC 在ABC中， 3 BACACBABC ， 由正弦定理，得 sinsin B
30、CAC BACABC ，即 22 3 3 sin sin 3 2 所以2sinsin 3 所以 31 2cossinsin 22 ，即3cos2sin 所以 3 tan 2 ，即 3 tan 2 ACD 【点睛】解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常 见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为 关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 22. 已知函数 2 ( )ln(R)f xaxxa有最大值 1 2 ， 2 ( )2( )g xxxf x，且( ) g x 是( )g
31、x 的导数 ()求a的值； ()证明：当 12 xx， 12 ()()30g xg x 时， 12 1 () 2 g xx 【答案】() 1 2 a ；()见解析. 【解析】 试题分析：()函数求导，讨论函数单调性求最值即可； ()由()可知， 2 1 2ln 2 g xxxx，求导得 g x在0,上单调递增，由 12 3g xg x且 3 1 2 g 得 12 01xx ，由 0gx， g x单调递增，要证 12 1 2 gxx，即 12 2g xxg ，只要证 12 2xx，即 21 2xx，所以只要证 121 23gxg xg x ， 构造函数 2G xg xgx求导证明即可. 试题解析
32、： () f x的定义域为0,， 1 2fxax x 当0a时， 0fx ， f x在0,上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去； 当0a时，令 0fx ，得 1 2 x a ， 当 1 0, 2 x a 时， 0fx ，函数 f x单调递增； 当 1 , 2 x a 时， 0fx ，函数 f x单调递减， max 111 ln 222 f xf aa , 111 ln 222a , 1 2 a ()由()可知， 2 1 2ln 2 g xxxx, 1 2gxx x 1 2x x ， 0g x , g x在0,上单调递增 又 12 xx， 12 3g xg x且 3 1 2 g , 12
33、01xx 2 22 11 1 x gx xx , 当 1x 时， 0gx ， g x 单调递增, 要证 12 1 2 gxx，即 12 2g xxg ，只要证 12 2xx，即 21 2xx 1 1x ， 1 21x , 所以只要证 121 23gxg xg x 11 23g xgx(*), 设 2G xg xgx 2 22lnln 2xxxx (其中01x), 3 21111 222 110 222 x G xxx xxxxx x , G x在(0，1)上为增函数, 13G xG，故(*)式成立，从而 12 1 2 gxx 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h xf xg x.根据差函数导函数 符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数.
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