1、2020-2021 学年度第一学期期中检测试题学年度第一学期期中检测试题 高三数学高三数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共计分，共计 40分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知复数z满足2 i1 2iz ，其中i为虚数单位，则z ( ) A. 1 B. 1 C. i D. i 【答案】D 【解析】 【分析】 由2 i1 2iz ，得 12i 2i z ，化简可得结果 【详解】解：由2 i1 2iz ，得 1 2i(1 2i)(2i)5i =i 2i(2i)(
2、2i)5 z ， 故选：D 2. 已知集合 2 0Ax xx，则 RA ( ) A. 01xx B. 01xx C. 0 x x 或1x D. |0 x x 或1x 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式求出 A，结合补集的定义进行计算即可. 【详解】 2 01Ax xxx x或0 x ， 则01 RA xx ， 故选：B. 3. 在 1，2，3，2020这 2020个自然数中，将能被 2除余 1，且被 3 除余 1的数按从小到大的次序排成 一列，构成数列 n a，则 50 a( ) A. 289 B. 295 C. 301 D. 307 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可得出 n
3、a的通项公式可求得 50 a. 【详解】由题意可知1 n a 即是 2 的倍数，又是 3的倍数，即1 n a 是 6 的倍数， 则161 , n nNan ，所以65 n an，所以 50 5065295a. 故选：B. 4. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间 的传统节日，某校在重阳节当日安排 6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排 2 人，则不同的分配方案数是( ) A. 35 B. 40 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】 6 名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少 2人，则对 6名学生进
4、行分组分配即可 【详解】解：6 名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组 2 人另一组 4 人，或每组 3 人， 所以不同的分配方案为 223 626 50C AC, 故选：C 5. 函数 22 2x y xx 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 确定奇偶性，排除两个选项，再由单调性排除一个选项，得出正确结论 【详解】函数定义域为|0 x x ，则 2 2 ()( ) 1 x fxf x x ，函数为奇函数，排除 BD， 又 2 (1)1 1 1 f ， 416 (2) 1 17 4 4 f ，所以()1)(2ff即 ( )f x在 0 x时不是单调递
5、增，排除 C 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： ( 1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置 ( 2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ( 3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ( 4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三(1)班的 45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学 有 20 人，两项比赛都没参加的有 19 人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能 是( ) A. 15 B. 17 C. 21 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】 设只参加一项比赛的 20
6、 名同学中，参加定点投篮比赛的有X人，参加定点射门比赛的有Y人，根据容斥原 理得出616X ，626X ，从而得出答案. 【详解】设只参加一项比赛的 20名同学中，参加定点投篮比赛的有X人，参加定点射门比赛的有Y人，则 ,X YN，且20XY 由题设条件知，两项比赛均参加的有45 20 196人 故参加定点投篮比赛的一共有6X 人，参加定点射门比赛的有6Y 人 不妨设参加定点投篮比赛的人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则66XY 由可得10X ，故616X ，又20X ，所以626X 故166 26X 剟 故参加定点投篮比赛的人数不可能为 15 人，即两项比赛中参加人数最多的一项比
7、赛人数不可能是 15. 故选：A 7. 克罗狄斯 托勒密(Ptolemy)所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边 形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完 成下题：如图，半圆O的直径为 2，A为直径延长线上的一点，2OA，B为半圆上一点，以AB为一边 作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，AOC( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件先分析出OC的最大值并得到,OBCOAC之间的关系，由此借助余弦定理求解出AB的 长度，再利用余弦定理即可求解出AO
8、C的大小. 【详解】因为OB ACOA BCOC AB，且ABC为等边三角形，1,2OBOA， 所以OB OAOC，所以3OC ，所以OC的最大值为3，取等号时180OBCOAC， 所以coscos0OBCOAC，不妨设ABx， 所以 22 1 949 0 24 xx xx ，所以解得7x ， 所以 9471 cos 2 2 32 AOC ，所以60AOC， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理 即可求解出结果. 8. 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F，其渐近线上横坐标为 1 2
9、的点P满足 12 0PF PF，则a( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由 题 意 可 设 1 (,) 22 b P a ， 则 12 11 (,),(,) 2222 bb PFcPFc aa ， 再 由 12 0PF PF， 可 得 222 40a cc，从而可求出a的值 【详解】解：双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ，故设 1 ( ,) 22 b P a ， 设 12 (,0),( ,0)FcF c，则 12 11 (,),(,) 2222 bb PFcPFc aa ， 因为 12 0PF PF
10、， 所以 2 2 11 ()()0 224 b cc a ，即 222222 4a cabca， 所以 222 40a cc， 因为 2 0c ，所以 2 410a ， 因为0a，所以 1 2 a ， 故选：B 二二 选择题：本大题共选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9. 下列四个函数中，以为周期，且在区间 3 , 24 上单调递减的是( ) A. sinyx B.
11、 cos2yx C. tanyx D. sin 2yx 【答案】AC 【解析】 【分析】 先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间 3 , 24 上单调性，即可选择判断. 【详解】|sin|yx最小正周期为，在区间 3 , 24 上单调递减； cos2yx 最小正周期为，在区间 3 , 24 上单调递增； tanyx 最小正周期，在区间 3 , 24 上单调递减； sin 2yx不周期函数，在区间 3 , 24 上单调递减； 故选：AC 10. 若 1 2 n x x 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】ABC 【解析
12、】 【分析】 分三种情况讨论： 展开式中第5项和第6项的二项式系数最大； 展开式中只有第6项的二项式系数最大； 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得n的值. 【详解】分以下三种情况讨论： 展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则展开式共10项，可得1 10n ，得9n ； 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共11项，可得1 11n ，得10n； 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式共12项，可得1 12n ，得11n . 因此，n的可能值为9、10、11. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法： (1)求二
13、项式的特定项问题，实质是在考查通项 rn rr rn TC ab 的特点，一般需要建立方程求得r的值，再将 r的值代回通项，主要是r的取值范围0,1,2,3,rn ； (2)若n为偶数时，中间一项(第1 2 n 项)的二项式系数最大； (3)若n为奇数时，中间一项(第 1 2 n 项和第 1 1 2 n 项)的二项式系数最大. 11. 已知0a，0b，且 22 1ab，则( ) A. 2ab B. 1 22 2 a b C. 22 1 loglog 2 ab D. 22 1ab 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据已知条件，利用基本不等式可以证明 A 正确；根据已知条件，求得, a b的取
14、值范围，结合不等式的基 本性质和指数函数的单调性判定 BD；利用对数函数的单调性对 C 进行等价转化，通过举例可以否定 C. 【详解】 22 2222 2,2,2ababababab， 又0,0,2,abab 故A正确； 0a，0b，且 22 1ab， 01,01,11,abab 1 22 2 a b ，故B正确； 222 1abb ,故D正确； C等价于 2 1 log 2 ab ，即 22 11 log,log1 22 abba ， 等价于 1 2 ab ,但当 34 , 55 ab时，满足条件0a，0b，且 22 1ab， 121 252 ab ,故 C 错误； 故选：ABD. 【点睛】
15、本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练 掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进 行判定. 12. 我们知道，任何一个正实数N都可以表示成10 110, n Naan Z.定义： ,0, 0,0, Nn W N Nn 的整数部分的位数 的非有效数字 的个数 如： 2 1.2 103W ，1.23 102W， 2 3 102W ， 1 3.001 101W ，则下列说法正确的是( ) A. 当0n，1M ，1N 时， W M NW MW N B 当0n时， W Mn C. 若 100 2N ，l
16、g20.301，则 31W N D. 当k N时， 22 kk WW 【答案】BCD 【解析】 【分析】 先要通过举例，搞清楚W N的意义， 1 10 ,10 nn Nn N时，N的整数部分的位数为 1n,当 1 10 ,101, 2, 3, nn NnN 的非有效数字中 0 的个数为n.然后通过举例可以否定 A；通过一般 性论证判定 B；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定 CD； 【详解】当10,100N时，N的整数部分位数为 2，当100,100N时，N的整数位数为 3，一般地， 1 10 ,10 nn Nn N时，N的整数部分的位数为 1n, 当0.1,1N时，N的非有效数字中 0
17、 的个数为 1，当0.01,0.1N时，比如，0.010101023,其非有效 数字中 0 的个数为 2，一般地，当 1 10 ,101, 2, 3, nn NnN 的非有效数字中 0 的个数为n. 取 2 10M ，10N ，则 3W M ，2W N ， 3 1045W MNWW MW N ，取 500,50,3,2,250005MNW MW NW MNWW MW N,故A有不正确的 时候，故 A错误； 当0n时，110a, 1 1010 ,10, nnn NaW Nn ，B 正确； 因为 100 2,lg20.301N ，则 1003031 lg2100lg230.1,30,1010 ,3
18、1nNW N，故 C 正确； * kN时，根据定义,由于2k为正整数，且不可能是 10 的倍数，存在Nm,使得 1 10210 mkm ， 此时21 k Wm 1 10210 mkm ，21 k Wm ，故 D正确 故选：BCD 【点睛】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大必要的时候通过 具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在 D 的判定中，注意不等式的性质的运用， * kN时， 2k为正整数，且不可能是 10 的倍数是关键的，由此才能得出 1 10210 mkm ，特别是右端不能取等 号，否则比如0.010.1x的话，不能得出 2W x 的结论，其中
19、0.11W.注意小数中非有效数字概 念，比如 0.010101023 中 10101023 是有效数字. 三三 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知抛物线 2 20ypx p上横坐标为 1的点到焦点的距离为 5 2 ，则p _. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可得， 5 1 () 22 p ， 解得3p ， 故答案为：3 14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据： 使用年限x(年) 2 4 5 6 8 与维护费用y(千元) 3 4.5
20、 6.5 7.5 9 x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为 1.05yxa (a为常数).据此估计，使用年 限为7年时，维护费用约为_千元. (参考公式：线性回归方程y bxa 中的系数 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx) 【答案】8.2 【解析】 【分析】 计算出样本的中心点, x y的坐标，再将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出a的值，可得出回归直 线方程，然后将7x 代入回归直线方程，即可求得对应的维修费用的估计值. 【详解】由题意可得 24568 5 5 x ， 34.56.57.59 6.1 5 y ， 由于回归直线过样本的中
21、心点，所以，1.05 56.1a ，解得0.85a ， 所以，回归直线方程为 1.050.85yx ， 当7x 时，1.05 70.858.2y ， 所以，当该品牌的新能源汽车的使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元. 故答案为：8.2. 15. 如图， 水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上， 记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源， 身高1.5m的女孩站在离点A5m的点B处.若女孩向点A前行4m到达点D.然后从点D出发，沿着以BD 为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为_ 2 m . 【答案】 3200 289 【解析】 【分析】 根据
22、女孩在移动的过程中比例关系不变，得到女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形，再根据原正方 形的对角线为 4，利用比例关系求得轨迹的对角线长即可. 【详解】如图所示： 设女孩在点 BD处头顶 EF的投影点分别为 MN， 则 EF=BD=4，BE=DF=1.5， 则 101.5 0.85 10 EF MN ， 所以 80 17 MN , 因为女孩在移动的过程中比例关系不变， 所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为 80 17 的正方形， 所以其面积为： 180803200 21717289 S 故答案为： 3200 289 16. 已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且1PA
23、PBPC ，以P为球心， 2 2 为半 径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为_. 【答案】 9 24 6 12 【解析】 【分析】 根据已知可以判定球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P为圆心，以 2 2 为半径的 3 个四分之一圆弧 和底面正三角形ABC的内切圆，进而计算求解. 【详解】 如图所示， 设,BD CA AB的中点分别为,D E F,P在平面ABC内的射影为 1 O， 由已知可得 1 O为 底面正三角形ABC的中心. PA，PB，PC两两垂直，且1PAPBPC，2,ABBCCDPDPEPF 2 2 , 111 O DO EO F= 236 336 以P为球心， 2 2 为半径
24、的球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P为圆心，以 2 2 为半径的 3个四分 之一圆弧和底面正三角形ABC的内切圆， 交线的长度之和为 269 24 6 32 22612 , 故答案为： 9 24 6 12 . 【点睛】本题关键是分析几何体的形状特征，利用球的性质，判定截线的类型和形 状.注意到三棱锥是正三棱锥，斜高恰好是球的半径，从而得到截线的形状. 四四 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17. 已知公比q大于 1 的等比数列 n a满足 13 10aa， 2 4a . (1)求
25、n a的通项公式； (2)设 n b ，求数列 n b的前n项和 n S. 请在 n n a； 2 2log9 n a ； 1 2121 n nn a 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完 成解答. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 (1)由题设求得等比数列 n a的公比 q 与首项 1 a，即可求得其通项公式; (2)当选条件时； 先由(1)求得 n b， 再利用错位相减法求得其前 n项和即可； 当选条件时： 先由(1)求得 n b， 再对 n 分 n4 与 n5 两种情况分别求得其前 n项和即可；当选条件时：先由(1)求得 n b，再利用裂项相 消法求得其前 n 项和即可.
26、 【详解】(1) 2 11 1 10 4 aa q a q ，解得 1 2 2 a q 或 1 8 1 2 a q 1q Q ， 1 2 2 a q 2n n a (2)若选2n n bn 231 1 2223 2(1)22 nn n Snn 231 21 222(1)22 nn n Snn -得： 231 22222 nn n Sn 111 2 12 22 212(1)22 12 n nnnn n Snnn 1 (1)22 n n Sn 选： 2 2log 29|29| n n bn 1n 时， 11 7Sb 2n时， 212 7512Sbb 3n时， 3123 75315Sbbb 4n时，
27、 41234 16Sbbbb 即 2 (792 ) 8 (4,) 2 n nn Snn nnN 5n时， 2 (4)(129) 16132916(4)16 2 n nn Snn 选 11 211 (21)(21)2121 n n nnnn b 22311 11111111 122121212121321 n nnn S 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应 用，对运算能力要求较高，属于中档题. 18. 在ABC中，设A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 sinsinsincbCabAB. (1)求A； (2)若2b，且ABC为说角三角
28、形，求ABC的面积S的取值范围. 【答案】(1) 3 A ；(2) 3 ,2 3 2 S . 【解析】 【分析】 (1)用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角 A； (2)由正弦定理把c边用角表示，这样三角形的面积可表示为B的函数，求出B的范围，结合三角函数性质 可得面积范围 【详解】(1)sinsinsincbCabAB ()()()cb cab ab 222 cbcab 222 abcbc， 而 222 2cosabcbcA 1 cos 2 A ，(0, )A， 3 A (2)2b 2sin sinsinsin bcC c BCB 13 2sinsin() sin3 22sinsin
29、ABC CAB SbcA BB 31 cossin 3 cos1 22 33 sin2 sin2 BB B BB ABC为锐角三角形 0 2 B 且0 2 C 即 2 0 32 B 62 B cos (0, 3) sin B B 3 cos11 ,2 2 sin22 B B 3 ,2 3 2 S 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式， 同角间的三角函数关系， 正切函数性质等等 注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次， 关于边, ,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin,sin,sinABC的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换
30、求范围 问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论 19. 如图，四棱锥PABCD底面为直角梯形，/AB CD，AD CD，1ABAD，2CD ，PD 平面ABCD. (1)求证：BC平面PBD； (2)已知2PD ，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 30 15 . 【解析】 【分析】 (1)根据线面垂直的定义得到PDBC，再根据线段的长度关系得到BCBD，由此借助线面垂直的判 定定理完成证明； (2)利用等体积法求解出A到平面DCE的距离h，然后根据 h AE 的结果得到直线AE与平面DCE所成角
31、的正弦值. 【详解】解：(1)证明：/ABCD，ADCD，90DAB 1ABAD， 2BD 在底面ABCD中，过B作BFCD于点F 四边形ABFD为矩形， 1DF ，1CF 2BC ， 222 4BDBCCD，BCBD 又PD 平面ABCD，PDBC BDPDD，BC平面PBD (2)2BD ，426PB PD 平面ABCD，PDAB 又ABAD，PDADD AB 平面PAD，ABPA E为PB的中点， 16 22 AEPB且 6 2 DE 设 A 到平面DCE的距离为 h，AE与平面DCE所成角为，sin h AE 由 11 1 33 A DCEE ACDDCEACD VVShS 而在DCE
32、中， 6 2 DE ， 2CD ， 22 314 22 2CEBCBE 37 4 6 22 cos 66 22 2 EDC ， 30 sin 6 EDC 16305 2 2262 DCE S ， 2 1 1 2 ACD S 1512 5 1 3235 hh 2 5 2 30 5 sin 156 2 所以直线AE与平面DCE所成角的正弦值为 2 30 15 . 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法： (1)几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值(或者通过等体 积法求解出线段端点到平面的距离，根据点到面的距离比上待求线段长度得到线面角的正弦值)； (
33、2)向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝 对值等于线面角的正弦值求解出结果. 20. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为 5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将 此药给 10 位病人服用， 试验方案为： 若这 10 人中至少有 2 人痊愈， 则认为该药有效， 提高了治愈率； 否则， 则认为该药无效. (1)如果在该次试验中有 5人痊愈， 院方欲从参加该次试验的 10人中随机选 2人了解服药期间的感受， 记抽 到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望； (2)如果新药有效，将治愈率提高到了 50%，求通过试验却认定新
34、药无效的概率p，并根据p的值解释该试 验方案的合理性. (参考结论：通常认为发生概率小于 5%的事件可视为小概率事件) 【答案】(1)分布列见解析，1E X ；(2)0.01p ，答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)先分析X的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X的概率分布以及数学期望； (2)先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合 理性. 【详解】解：(1)X 的所有可能取值为 0，1，2 2 5 2 10 2 (0) 9 C P X C ， 11 55 2 10 5 (1) 9 C C P X C ， 2 5 2 10 2
35、(2) 9 C P X C X的分布列如下： X 0 1 2 P 2 9 5 9 2 9 252 ()0121 999 E X (2)新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈， 0109 01 1010 111111 0.015% 22221024 pCC 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系： (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题； (2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率 问题； (3)当调查研究的样本容量很大
36、时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可 以近似将超几何分布认为是二项分布. 21. 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 2 2 ， 且经过点 2 1, 2 A . (1)求椭圆C的方程； (2)设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限)，过原点O作直线l的平行线与 直线PF相交于点Q，问：线段PQ的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) 2 2 1 2 x y；(2)是定值， 2 . 【解析】 【分析】 (1)根据条件列出关于 a,b,c 方程组求解得到 a，b 的
37、值，从而得到椭圆的标准方程； (2)设出 P 的坐标 00 ,x y， 利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程， 利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF的方程联立，求得Q的坐标，利用两点间距离公式求得PQ关于 00 ,xy的表达式，并 利用 P的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值. 【详解】解：(1)由题意知 22 222 2 2 1 12 2 1 1 c a a abb abc 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y (2)设 00 ,P x y直线l的方程为 00 22x xy y 过原点O且与l平行的直线 l 的方程为 00 20 x xy y 椭圆C的右焦点1,0F，
38、由 00 y0 x1 y0 x1 整理得到直线PF的方程为 000 1)0(yy xxy， 联立 2 000 000 0000 (1)0 2 , 2022 y xxyy yx y Q x xy yxx 222 2 0000 00 0000 2222 2222 yx yyx PQxy xxxx 2 2 0 0 2 0 22 00 4(1)4 1 22(2) 2 (2)(2) x x x xx 为定值 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中 档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线 22 AxByC上 00 ,P x
39、 y 处的切线l的方程为 00 Ax xBy yC。 22. 已知函数 1 exf xa ， ln1 x g x a ，其中0a. (1)若1a ， 在平面直角坐标系xOy中， 过坐标原点O分别作函数 yf x与 yg x的图象的切线 1 l， 2 l，求 1 l， 2 l的斜率之积； (2)若 f xg x在区间0,上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)1；(2) 2 1 e . 【解析】 【分析】 (1)利用导数的运算法则和公式求得 1 ( )exfx ， 1 ( )g x x ， 得到切线 1 l，2l的斜率 1 1 1 ex l k ， 2 2 1 l k x ， 根据两切线都经过原
40、点，求得 12 1,exx，进而求得两直线的斜率之积; (2)问中是典型无法分离参数的情况， 进行转化并构造函数， 1 ( )exF xx ， 转化为( )ln1 x F xF a ， 分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数 F x的单调性，当ln10, x a 转化为 1 max ln1 ex xx xa a ，进而再次造函数令 1 ( ) ex x x ，利用导数研究单调性并求得其最大值，即 得a的最小值. 【详解】解：(1)当1a 时， 1x f xe ，( )ln1g xx 设过原点 O的直线分别切 ( )f x，( )g x于点 111 ,P x y， 222 ,P x y 1 (
41、)exfx ， 1 ( )g x x ， 1 1 1 ex l k ， 2 2 1 l k x 且 1 1 1 1 11 2 2 2 22 e e 1 eln11 x x xx xx xx 12 2 2 1 e1 e ll kk (2)由 1 eln1 x x a a 在(0,)上恒成立得 0a， 1 11 eln x x aaa ln 1 eln1ln1e(*) x x a xxx x aaa 令 1 ( )exF xx ，( )ln1 x F xF a 当ln10 x a 时，(*)左边0,右边0,显然成立 当ln10, x a 注意到 1 ( )(1)e0 x F xx ( )F x在(
42、0,)上 1 max ln1 ex xx xa a 令 1 ( ) ex x x ， 11 221 ee1 ( ) ee xx xx xx x ，令( )0 x 得01x时， 0 x， x； 当1x 时， 0 x， x max 2 1 ( )(1)x e ， 2 1 a e 【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度 一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第(2)问中将不等式整理为 为 ln 1 eln1ln1e(*) x x a xxx x aaa 令 1 ( )exF xx ，转化为( )ln1 x F xF a ，是难点也是解 决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.
浙公网安备33030202001339号