1、2021 届高三年级期中学情检测数学试卷届高三年级期中学情检测数学试卷 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是在每小题提供的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合 2 1,2,Am，1,Bm.若BA，则m( ) A. 0 B. 2 C. 0或 2 D. 1 或 2 【答案】C 【解析】 【分析】 分2m或 2 mm求得m，并检验即可得答案. 【详解】解：因为 2 1,2,Am，1,Bm，且BA， 所以2m或 2 mm，解得2m，0m，1m， 检验得1m不成立，故2m，
2、0m， 故选：C. 2. 设xR，则2 log (2)1x 是2x 的( )条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】A 【解析】 【分析】 解出 2 log (2)1x，利用集合包含关系即可判断. 【详解】由 2 log (2)1x解得24x， 24xx2x x ， 2 log (2)1x 是2x 的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知 1 cos(75) 4 ，则cos(302 )( ) A. 3 4 B. 5 4 C. 5 8 D. 7 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角公式即可求解 【详解】 1 cos(75)co
3、s 90(15)sin 15 4 ， cos(302 ) 2 7 1 2sin (15) 8 故选 D 4. 把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量.设( , )eA B 是直线l的一个方向向量， 那么(, )nB A 就是直 线l的一个法向量.借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离.已知 P 是直线l外一点，n是直 线l的一个法向量，在直线l上任取一点 Q，那么PQ在法向量n上的投影向量为 cos n PQ n (为向量n 与PQ的夹角)，其模就是点P到直线l的距离d，即 PQ n d n .据此，请解决下面的问题：已知点 A(-4， 0)，B(2，-1)，C(-1，3)，则点
4、A到直线 BC的距离是( ) A. 21 5 B. 7 C. 27 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求直线方程4350 xy，求得法向量(4,3)n ，在直线上取一点P(5, 5)，可得(9, 5)AP ， 结合题目所给距离公式，即可得解. 【详解】由 B(2，-1)，C(-1，3)，可得直线方程为4350 xy， 故直线的法向量为：(4,3)n ， 在直线上取一点P(5, 5)， 则(9, 5)AP ， 根据题目所给距离公式可得： 距离 (9, 5) (4,3)21 (4,3)5 AP n d n . 故选：A. 5. 梯形ABCD中，/AB CD， 2CD ， 3 BAD
5、 ，若 2AB ACAB AD ，则AC AD ( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可. 【详解】解：因为 2AB ACAB AD ，所以AB AC AB ADAB DCAB AD ， 所以2cos 3 ABABAD ，可得4AD ， 2 164 2 cos20 3 AC ADADDCADADAD DC . 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属于基础题. 6. 已知函数 2 ( )(3)1f xmxm x， ( )g xmx ，若对于任意实数x， ( )f x与( )g x的值至少有一
6、个为正 数，则实数m的取值范围是( ) A. (1,9) B. (3,+ ) C. ( ,9) D. (0,9) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m时，二次函数 2 ( )(3)1f xmxm x的图像开口向下，( ) g xmx 单调递减，故存在x使 得 ( )f x与( )g x同时为负，不符题意； 当0m时， ( )31f xx ，( )0g x 显然不成立； 当0m时， 2 109mm ， 若，即19m时，显然成立， 0 ，1m或9m，则1m时成立，9m时， 1 3 x 时不成立， 若0 ，即01m或9m，由(0
7、)1f可得： 若要 ( )f x与( )g x的值至少有一个为正数，如图， 则必须有 3 0 2 m m ，解得01m， 综上可得：09m， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解 决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： (1)如果平方项有参数，则先讨论； (2)再讨论根判别式； (3)最后讨论根的分布. 7. 设点 0,1 M x，若在圆 22 :1O xy上存在点 N，使得45OMN ，则 0 x的取值范围是( ) A. 0,1 B. 1,1 C. 22 , 22 D. 2 0, 2 【答案】B 【解析】
8、【分析】 首先根据题中条件，可以判断出直线 MN 与圆O有公共点即可，从而可以断定圆心O到直线 MN 的距离小 于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】依题意，直线 MN与圆O有公共点即可， 即圆心O到直线 MN的距离小于等于 1 即可， 过O作OAMN，垂足为 A， 在Rt OMA中，因为OMA 0 45， 故 0 2 sin45 2 OAOMOM1 ， 所以2OM ，则 2 0 12x， 解得 0 11x 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属 于简单题目. 8. 已知 f x是定义域为 0,的单调函数，若对任
9、意的0,x，都有 1 3 log4ff xx ，且 方程 3f xa在区间0,3上有两解，则实数a的取值范围是( ) A. 01a B. 1a C. 01a D. 1a 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数 f x的定义域和单调函数， 可得必存在唯一的正实数m满足 1 3 ( )logf xxm ， 4f m， 结合 1 3 ( )logf mmm ，可得3m，所以函数 1 3 ( )3logf xx ，由方程 ( )3f xa在区间(0,3上有两解，则 1 3 log xa在区间(0,3上有两解，设 1 3 logg xx，作出函数 g x在(0,3上的图象， 结合图象，可得实数a的取值
10、范围. 【详解】解:因为函数 f x是定义域为(0,)的单调函数，对于任意的(0,)x， 都有 1 3 ( )log4f f xx ， 所以必存在唯一的正实数m满足 1 3 ( )logf xxm ， 4f m， 所以 1 3 ( )logf mmm ，可得 1 3 4log mm ，即 1 3 log4mm ，所以3m， 所以 1 3 ( )log3f xx ，所以函数 1 3 ( )3logf xx ， 由方程( )3f xa在区间(0,3上有两解，则 1 3 log xa在区间(0,3上有两解， 设 1 3 logg xx，作出函数 g x在(0,3上的图象，如图所示， 结合图象，可得方
11、程( )3f xa在区间(0,3上有两解， 实数a满足01a. 故选:A 【点睛】本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解 题时要认真审题， 注意挖掘题设中的隐含条件， 合理进行等价转化， 本题的解答中根据 1 3 ( )log4f f xx ， 等价转换求得函数 f x的解析式是解答的关键. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得
12、 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9. 关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有( ) A. 若数列 n a的前n项和 2 ( n Sanbnc a，b，c为常数)则数列 n a为等差数列 B. 若数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，则数列 n a为等差数列 C. 数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等差数列 D. 数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等比数列； 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，
13、综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若数列 n a的前n项和 2 n Sanbnc， 若0c ，由等差数列的性质可得数列 n a为等差数列， 若0c ，则数列 n a从第二项起为等差数列，故A不正确； 对于B，若数列 n a的前n项和 1 22 n n S ， 可得 1 422a ， 221 8224aSS ， 332 16268aSS ， 则 1 a， 2 a， 3 a成等比数列，则数列 n a不为等差数列，故B不正确； 对于C，数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，即为 12n aaa， 12nn aa ， 21
14、3nn aa ， 即为 2 2322nnnnnnn SSSSSSSn d为常数，仍为等差数列， 故C正确； 对于D，数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，不一定为等比数列， 比如公比1q ，n为偶数， n S， 2nn SS， 32nn SS，均为 0，不为等比数列.故D不正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差、等比数列性质综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 10. 函数 ( )sin()(0,0)f xAxA 的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 ( )f x的图象交 于 M，N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正
15、确的是( ) A. 函数 ( )f x在 3 , 2 上单调递增 B. 函数 ( )f x的图象关于点 2 ,0 3 成中心对称 C. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D. 若圆半径为 5 12 ，则函数 ( )f x的解析式为 3 ( )sin 2 63 f xx 【答案】BD 【解析】 【分析】 由 图 易 得 点C的 横 坐 标 为 3 ， 所 以 ( )f x 的 周 期T， 所 以2, 从 而 可 得 ()s i n20 3 fxAxA ， ，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案. 【详解】由图易得点 C 的横坐标为 3
16、 ，所以 ( )f x的周期T ，所以2，又0 6 f ， 所以 3 ，因此( )sin 20 3 f xAxA ， . 222, 232 kxkkZ 5 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 5 1212 kkkZ ， 上单调递增. 3 222, 232 kxkkZ 7 , 1212 kxkkZ 所以函数 ( )f x在 7 1212 kkkZ ， 上单调递减. 则函数 ( )f x在 11 12 ， 上单调递减，所以选项 A 不正确. 由2, 3 xkkZ ,得, 26 k xkZ 函数 ( )f x的图象的对称中心为0 , 26 k kZ ， 所以函数 ( )f x的图象关
17、于点 2 ,0 3 成中心对称，故选项B正确. 函数 ( )f x的图象向右平移 5 12 个单位得到( )cos2f xAx ， 直线 5 6 x 不是此时的对称轴， 故选项 C 不 正确. 若圆半径为 5 12 ，则 22 35 2123 A ， 3 6 A ，函数 ( )f x的解折式为 3 ( )sin 2 63 f xx 故选：BD. 【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题. 11. 如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 底面ABCD，PAD 是等边三角形，底面ABCD是菱形， 且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心
18、，下列结论正确的有( ) A. 直线PB与平面AMC平行 B. 直线PB与直线AD垂直 C. 线段AM与线段CM长度相等 D. PB与AM所成角的余弦值为 2 4 【答案】ABD 【解析】 【分析】 连接MN，利用线面平行的判定定理判断 A；设AD的中点为O，连接OB，OP，利用线面垂直的判定 定理以及性质判断 B；根据面面垂直的性质得出POB为直角三角形，求出,PB AM MN AN的长度，利 用余弦定理得出PB与AM所成角的余弦值，证明ANM不是直角，从而得出AMC不是等腰三角形， 从而判断 CD. 【详解】如图，连接MN，易知/MN PB，由线面平行的判定定理得/PB面AMC，A正确.
19、在菱形ABCD中，60BAD，BAD为等边三角形.设AD的中点为O， 连接OB，OP， 则O P A D， OBAD，由线面垂直的判定定理得出AD 平面POB，ADPB，B正确. 平面PAD 平面ABCD，由面面垂直的性质可得POB为直角三角形 设4AD，则 2 3OPOB ， 2 6PB ， 1 6 2 MNPB. 在MAN中，2 3AMAN，6MN ，可得 2 cos 4 AMN 故异面直线PB与AM所成角的余弦值为 2 4 在MAN中 222 AMANMN ，则ANM不是直角，则AMC不是等腰三角形，即AM与CM长度 不等，故 C错误，D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查空间线面位置
20、关系的判断，属于中档题. 12. 已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当 0 x时， 1 x x fx e .则下列结论正确的是( ). A. 当0 x时， 1 x f xex B. 函数 f x在R上有且仅有三个零点 C. 若关于x的方程 f xm有解，则实数m的取值范围是 22fmf D. 12 ,x xR， 21 2f xf x 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】令0 x，则0 x ，所以 1 ()(1)( ) x x x fxexf x e ，得( )(1) x f xex，所以选 项 A 错误； 观察在0 x时的图象，令
21、( )(1)(2)0 xxx fxexeex，得2x， 可知 ( )f x在(, 2) 上单调递减， 在( 2,0)上递增， 且在(, 1) 上，( )0f x ， 在(1 , 0 ) 上，( )0f x ， 由此可判断在(,0)仅有一个零点，由函数的对称性可知 ( )f x在(0,)上也有一个零点，又因为 (0)0f ，故该函数有三个零点，所以选项 B正确； 由图可知，若关于x的方程 f xm有解，则11m ，所以选项 C 错误； 由图可知， ( )f x的值域为( 1,1) ，所以对 12 ,x xR， 21 2f xf x 恒成立，所以选项 D正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查函数
22、的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强. 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写不需写出解答过程，请把答案直接填写 在答题卡相应位置上在答题卡相应位置上. 13. 曲线(sin )exyxx在点(0,0)处的切线方程为_. 【答案】2yx 【解析】 【分析】 求导，求出切线的斜率 0 |xy ，用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】 0 (sincos1)e ,|2 x x yxxxy , 所以切线方程为2yx. 故答案为:2yx. 【点睛】本题考查切线的几何意义，
23、属于基础题. 14. 定义在0,上的函数 f x满足 0f x ， fxf x为的导函数， 且 23f xxfxf x 对0,x恒成立，则 2 3 f f 的取值范围是_ 【答案】 84 , 27 9 【解析】 【分析】 构 造 函 数 2 (0 ) f x g xx x ， 根 据 g x的 单 调 性 可 得 24 39 f f ； 然 后 构 造 函 数 3 (0) f x h xx x ，可得 28 327 f f ，从而得到 284 2739 f f ，即为所求 【详解】设 2 (0) f x g xx x ， 则 3 2 0 xfxf x gx x ，故函数 g x在0,上单调递增
24、， 所以 23 49 ff ， 故 24 39 f f 设 3 (0) f x h xx x ， 则 4 3 0 xfxf x h xh x x ，故在0,上单调递减， 所以 23 827 ff ， 则 28 327 f f ， 所以 284 2739 f f 故 2 3 f f 的取值范围是 84 , 27 9 【点睛】本题考查构造函数求范围，解题的关键是根据题意中给出的条件构造出两个函数，然后再根据取 特殊值得到所求的范围，综合考查创新和应用能力，具有一定的综合性和难度 15. 已知直线y kx 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab )相交于不同的两点A，B，F为双曲线
25、C的左焦点， 且满足3AFBF，OAb(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 设双曲线的右焦点为 1 F,连结 11 ,AF BF，则四边形 1 AFBF为平行四边形，由双曲线的定义可得BFa， 3AFa，进而可得90FBA，在直角三角形FBA中有勾股定理可得答案. 【详解】设双曲线的右焦点为 1 F,如图连结 11 ,AF BF 由直线y kx 与双曲线都关于原点对称，可得四边形 1 AFBF为平行四边形 所以 1 BFAF, 由双曲线的定义可得： 1 22AFAFAFBFBFa，所以BFa 3AFa,在BFOV中，,OBOAb OFc BFa 所以 2
26、22 222 OBBFabcOF，所以BFOV为直角三角形，即90FBA 在直角三角形FBA中， 222 22 43ABBFaba，即 22 3ac 所以3 c e a 故答案为：3 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线的几何性质，考查求双曲线的离心率，属于中档题. 16. 如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，60BCD，现将ABD沿对角线BD折起，得到三棱 锥PBCD.则当二面角PBD C的大小为 2 3 时，三棱锥PBCD的外接球的表面积为_. 【答案】 28 3 【解析】 【分析】 利用球的对称性可知 3 OMC ，利用勾股定理求出球的半径，即可求出三棱锥PBCD的外接球的表
27、 面积. 【详解】解：易知PBD，BCD为边长为2的等边三角形. 取BDC的外心为 1 O，设O为球心，连接 1 OO，则 1 OO 平面BDC， 取BD的中点M，连接PM， 1 OM，过O作OGPM于点G. 易知PMC为二面角PBD C的平面角，即 2 3 PMC ，于是得 3 OMC . 连接OP，OC，设OPR.连接MC，则 1 O，M，C三点共线， 易知3MPMC，所以 1 3 3 MO ， 所以 11 tan1 3 OGOOO M . 在Rt PGO中， 222 GPGOOP，即 2 22 2 37 1 33 R ， 所以 2 28 4 3 SR. 故答案为： 28 3 . 【点睛】
28、本题考查棱锥与外接球的关系，考查空间想象能力，属于难题. 四、 解答题： 本大题共四、 解答题： 本大题共 6 小题， 共小题， 共 70 分分.请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答. 解答时应写出文字说明、解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. 17. 在2a， 4 B ， 3cb这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 且满足sinsin3sinsinbaBAcBC. (1)求A的大小； (2)已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积；若ABC不存在，说明理由. 【答案】(1) 6 A
29、 ；(2)答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】 (1)由题中的条件，根据正弦定理，得到 222 3bcabc ，再由余弦定理，即可求出结果； (2)方案一：选条件和，先由正弦定理求出 2 2b ，再三角形内角和得出 7 12 C ，进而求出 726 sin 124 ，进而可求出三角形面积；方案二：选条件和，先由余弦定理求出2b，进而得 到2 3c ，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件和，由条件得sin1C ，不成立，所以三角 形不存在. 【详解】(1)因为sinsin3sinsinbaBAcBC， 又由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得3babacbc， 即 222
30、 3bcabc ，所以 222 33 cos 222 bcbc A bcbc a ，因为0A， 所以 6 A . (2)方案一：选条件和. 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 2 sinsin2 2 sin4 sin 6 a bB A . 7 6412 CAB . 7212326 sinsin 124322224 所以ABC的面积 1126 sin2 2 231 224 SabC . 方案二：选条件和. 由余弦定理 222 2cosabcbcA，得 222 433bbb，则 2 4b ，所以2b. 所以32 3cb，所以ABC的面积 111 sin2 2 33 222 SbcA . 方
31、案三：选条件和，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为3cb由正弦定理得 26 sin3sin3sin31 422 CB ，不成立，所以 这样的三角形不存在. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于 中档题. 18. 已知等比数列 n a的前n项和为 * 234 ,2,4 n SnNSSS 成等差数列，且 234 1 2 16 aaa. (1)求数列 n a的通项公式； (2)若 2 (2)log n a n bn，求数列 1 n b 的前n项和 n T. 【答案】(1) 1 2 n n a (2) 323 42(1)(2) n
32、n T nn 【解析】 【分析】 (1)根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比q， 代入 234 1 2 16 aaa中， 求出 q， 即可求得数列 n a 的通项公式； (2)把数列 n a的通项公式代入 n b中化简，代入求得 1 n b ，再利用裂项相消求得 n T 【详解】(1)设等比数列 n a的公比为q， 由 234 24,S SS成等差数列知， 324 224SSS， 所以 43 2aa ，即 1 2 q . 又 234 1 2 16 aaa，所以 23 111 1 2 16 a qa qa q，所以 1 1 2 a ， 所以等比数列 n a的通项公式 1 2 n n a .
33、(2)由(1)知 1 ( ) 2 2 (2)log(2) n n bnn n ， 所以 111 11 (2)22 n bn nnn 所以数列 1 n b 的前n 项和： 1111111111 1 224511233 n T nnnn 1111 1 2212nn 323 42(1)(2) n nn 所以数列 1 n b 的前n项和 323 42(1)(2) n n T nn 【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求 和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题 19. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形， PDPB ,H 为PC上
34、的点，过AH的平面分别交 ,PB PD于点,M N，且 / /BD平面AMHN (1)证明： MNPC； (2)当H为PC的中点， 3PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60， 求二面角PAMN- 的余弦值 【答案】(1)见解析； (2) 39 13 . 【解析】 【分析】 (1)连结AC交BD于点O，连结PO由题意可证得BD 平面PAC，则BD PC由线面平行的性质 定理可得/BDMN，据此即可证得题中的结论； (2)结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可. 【详解】 (1)证明： 连结AC交BD于点O， 连结PO 因为ABCD为菱形
35、， 所以BDAC， 且O为AC、 BD的中点，因为PDPB，所以POBD， 因为ACPOO且ACPO、平面PAC，所以BD 平面PAC， 因为PC平面PAC，所以BDPC 因为/ /BD平面AMHN， BD 平面PBD，且平面AMHN平面PBDMN， 所以/BDMN，所以MNPC (2)由(1)知BDAC且POBD，因为PAPC ，且O为AC的中点， 所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为PAO， 所以，所以 13 , 22 AOPA POPA，因为3PAAB，所以 3 6 BOPA 分别以OA， OB， OP为 , ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设
36、 2PA，则 3313 0,0,0 ,1,0,0 ,0,0 ,1,0,0 ,0,0 ,0,0, 3 ,0, 3322 OABCDPH ， 所以 2 3333 0,0 ,0,1,0 ,1,0, 3 3223 DBAHABAP 记平面AMHN的法向量为 1111 ,nx y z，则 11 111 2 3 0 3 33 0 22 n DBy nAHxz ， 令 1 0 x ，则 11 0,3yz，所以 1 1,0, 3n ， 记平面PAB法向量为 2222 ,nxy z，则 222 222 3 0 3 30 nABxy nAPxz ， 令 2 1x ，则 22 3 3, 3 yz，所以 2 3 1,
37、 3, 3 n ， 记二面角PAMN的大小为，则 12 12 12 39 coscos , 13 n n n n nn 所以二面角PAMN的余弦值为 39 13 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 20. “伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为 6(单位：10m)， 游客在乘坐舱P升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC， 伦敦眼与建筑之间的距离AB为 12(单位： 10m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为. (1)当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角30，求建筑B
38、C的高度； (2)当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为45时， 拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照 片，求建筑BC的最低高度. (说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼实际高度为135m) 【答案】(1)12 312(单位：10m)；(2) 24(32) 7 (单位：10m). 【解析】 【分析】 (1)先求解三角形BCD的内角，利用正弦定理可求建筑BC的高度； (2)先建立坐标系，求解PBC的外接圆的方程，结合两圆的位置关系可求. 【详解】 (1)当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，30BDC， 此时12ADAB， 即45ABD， 所以105BCD. 在等腰三角形ABD中，
39、 12 2BD . 由正弦定理得 sin105sin30 BDBC ，所以 12 2 12 312 62 2 4 BC . 所以建筑BC的高度为12 312(单位：10m). (2)设建筑BC的高度为h(单位：10m)，建立如图所示的直角坐标系， 圆 22 :(6)36M xy， 由正弦定理可知2 sin45 h R ，所以 2 2 Rh，即PBC的外接圆的半径为 2 2 Rh . 由图可知PBC的外接圆的圆心坐标为12, 2 2 h h ， 所以点P在圆 22 2 :12,12 222 hhh Nxyx 上， 而点P又在圆 22 :(6)36M xy上， 所以 22 22 61266 222
40、2 hh hh ， 解得 24(32)24(32) 77 h . 答：建筑BC的最低高度为 24(32) 7 (单位：10m)时，可以拍摄到效果最好的照片. 【点睛】 本题主要考查解三角形在实际生活中的应用， 综合考查了圆与圆的位置关系， 求解的关键是明确P 点满足的不等关系，侧重考查数学建模的核心素养. 21. 已知抛物线 2 4xy，F为其焦点， 椭圆 22 22 1 xy ab 0ab， 1 F， 2 F为其左右焦点， 离心率 1 2 e ， 过F作x轴的平行线交椭圆于P，Q两点， 4 6 3 PQ . (1)求椭圆的标准方程； (2)过抛物线上一点A作切线l交椭圆于B，C两点，设l与x
41、轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中 垂线交x轴为K，KED，FOD的面积分别记为 1 S， 2 S，若 1 2 18 49 S S ，且点A在第一象限.求点A的 坐标. 【答案】(1) 22 1 43 xy ；(2) 2,1. 【解析】 【分析】 (1)不妨设P在第一象限，由题意可知 2 6 ,1 3 P ， 22 81 1 3ab ，结合离心率 1 2 e ，可得椭圆的标准 方程； (2)设 2 0 0, 4 x A x ，利用导数的几何意义求出切线方程:l 2 00 24 xx yx，代入椭圆方程，利用韦达定理和 中点坐标公式求出E的坐标，求出BC的垂直平分线方程，求出K的坐标，求出D
42、的坐标，根据 DEKFOD得到 22 2 00 1 22 2 2 0 94 |18 |49 163 xx SDK SFD x ，解出 0 x即可得解. 【详解】(1)由 2 4xy知， (0,1)F ， 不妨设P在第一象限，由题意可知 2 6 ,1 3 P ， 22 81 1 3ab ， 又 1 2 e ，即2ac，则 3bc ， 22 81 1 123cc ，可得1c，所以2,3ab， 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . (2)设 2 0 0, 4 x A x ，由 2 4 x y 得 2 x y，所以切线的斜率为 0 2 x ， 则切线l的方程为 2 00 0 () 42 xx y
43、xx，即 2 00 24 xx yx， 代入椭圆方程得： 4 223 0 00 3120 4 x xxx x， 由 4 6242 0 0000 4 3123481440 4 x xxxx ， 得 2 0 084 7x， 设 11 ,B x y， 22 ,C xy ， 33 ,E x y， 则 3 012 3 2 0 223 xxx x x ， 22 000 33 2 0 3 2443 xxx yx x ， KE的方程为 23 00 22 0 00 32 4323 xx yx xxx ， 即 2 0 2 0 0 2 43 x yx xx ，令0y 得 3 0 2 0 83 K x x x ， 在
44、直线l方程中令0y 得 0 2 D x x， 2 2 2 00 4 |1 24 xx FD 2 3 00 00 22 00 34 28383 xx xx DK xx ， 0 2 FD k x ， 0 2 BC x k， 1 FDBC kk ，FDBC， DEKFOD， 22 2 00 1 22 2 2 0 94 |18 |49 163 xx SDK SFD x . 化简得 22 00 177240 xx ，解得 2 0 4x ，符合 2 0 084 7x， 0 2x ( 0 2x 舍去)，所以 2 0 1 4 x ，A的坐标为 2,1， 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了抛物线的几何性
45、质，考查了利用导数的几何意义求抛物线 的切线方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于较难题. 22. 已知函数 2 2 lnf xxxx， 2 ln a g xxx x ，其中aR， 0 x是 g x的一个极值点，且 0 2g x. (1)讨论函数 f x的单调性； (2)求实数 0 x和 a 的值； (3)证明 2 1 11 ln 21 2 41 n k n k ( * nN). 【答案】(1) f x在0,上单调递增；(2) 0 1x ，1a ；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)求出导函数( ) fx，由 ( )0fx 得增区间，( )0fx 得减区间； (2
46、)求出导函数( ) g x ，由 0 0()g x， 0 ()2g x得 0, x a的关系，消去a得 0 x的方程，引入函数 2 2ln2ln2t xxxx，由(1)可判断( )t x 的正负，得( )t x的单调性，从而得 0 1x ，代入可得a； (3)由(1)的结论，可得 g x在 1,上单调递增，即 1x 时 21 ln2xx x 变形得 1 lnxx x ，取 21 21 k x k ， * kN，代入让k从 1 到n求和可证不等式成立 【详解】(1)函数 f x的定义域为0,，且 22ln2fxxx ，令 h xfx ， 则有 21x h x x ，由 0h x 可得1x ，如下表： x 0,1 1 1, h x 0 h x 减 极小值 增 所以 10h xh，即 0fx ， f x在0,上单调递增； (2)函数 g x的定义域为0,，且 2 2ln 1 ax gx xx 由已知，得 0 0gx，即 2 000 2ln0 xxxa 由 0 2g x可得 2 2 0000 ln20 x
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