1、2020-2021 学年度第一学期期中检测试题学年度第一学期期中检测试题 高三数学高三数学 (全卷满分分全卷满分分 150 分，考试时间分，考试时间 120分钟分钟) 一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求一项符合要求). 1. 已知复数z满足12i z，(i为虚数单位)，则z等于( ) A. 1i B. 1 i C. 1 1 22 i D. 1 1 22 i 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数除法运算，化简即可得解. 【详解】复数z满足12i
2、z， 则 2 1 z i ，由复数除法运算化简可得 2 12 1 111 i zi iii ， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题. 2. 已知集合 A=x|(x+1)(x-2)0，B=x| x2， 则 AB=( ) A. -1，0 B. 0，1 C. (0，2 D. 0，2 【答案】D 【解析】 【分析】 求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案 【详解】解：(1)(2) 0 xx，12x 剟， 1,2A ， 2x ，04x， 0,4B， 0,2AB 故选：D 3. 已知 a= 1.1 log0.9， b= 1.1 0.9， c= 0.9 1.1，则 a，b
3、，c的大小关系为( ) A. abc B. acb C. bac D. bc1 B. “a1是 1 a 2 c，则ABC 为锐角三角形 D. 在ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 sin2A= sin2B，则 A=B 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据命题的否定，充分条件与必要条件的定义，逐个选项进行判断即可 【详解】对于 A，符合命题的否定的定义，A正确； 对于 B，“a1”可以推导出 1 a 1，但是 1 a 1，包括0a ，所以， 1 a 1，所以，B正确； 对于 C，在ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2 a+ 2 b 2 c，只能说明
4、 C为锐角，无法说 明ABC为锐角三角形，C 错误； 对于 D，sin2A= sin2B，当 2 AB 时，同样成立，D 错； 故选：AB 10. 若函数 f(x)= sin2x的图象向右平移 6 个单位得到的图象对应的函数为 g(x)， 则下列说法中正确的是( ) A. g(x)的图象关于 x= 5 12 对称 B. 当 x0， 2 时，g(x)的值域为- 3 2 ， 3 2 C. g(x) 在区间 5 (12， 11 ) 12 上单调递减 D. 当 x0，时，方程 g(x)=0有 3 个根. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先由已知求出函数( )g x的解析式( )sin(2) 3 g
5、xx 选项A：因为 5 ()1 12 g ，所以A正确； 选项B：当0, 2 x 时，则 3 sin(2),1 32 x ，所以B错误； 选项C： 3 2(,) 322 x ，由正弦函数的单调递减区间可得：C正确； 选项D：满足方程的x的值分别为： 2 , 63 ，共两个根，所以D错误. 【详解】由已知可得函数( )sin2()sin(2) 63 g xxx ， 选项A：因为 55 ()sin(2)sin1 121232 g ，所以A正确， 选项B：当0, 2 x 时， 2 2, 333 x ， 则 3 sin(2),1 32 x ，所以B错误， 选项C：当 511 (,) 1212 x 时，
6、 3 2(,) 322 x ， 由正弦函数的单调递减区间可得：C正确， 选项D：令2 3 xk ，kZ，解得 26 k x ，kZ， 又 0 x ， ，所以满足方程的x的值分别为： 2 , 63 ，共两个根，所以D错误， 故选：AC 【点睛】方法点睛：求函数sin()yAwxh的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先 是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解 函数的单调性求出复合函数的单调区间. 11. 已知函数 f(x)的定义域为 R， f(x+1)为奇函数， 且 f(2+x)=f(2-x)，则( ) A. f(1)=0 B. f
7、(x)= f(x+4) C. f(x+1)=-f(-x-1) D. y= f(x)区间0，50上至少有 25个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意可得 10f，函数( )x为周期为 4 的偶函数， ( )f x关于 2x对称，即可判断各个选项 【详解】解：函数 ( )f x的定义域为R，(1)f x 为奇函数， 10f，故A正确； ) 1(f x 为奇函数， (1)(1)f xfx ，故C错误； (2)(2)fxfx ， 2(2)2(2)fxfx ， 即(4)( )f xf x ， ) 1(f x 为奇函数， ( )f x 关于(1,0)对称， (2)(2)fxfx ， ( )f
8、 x 关于2x对称， ( )f x 为周期为 4 的偶函数， ()( )fxf x ， (4)( )f xf x ，故B正确； (8)(4)( )f xf xf x ， 10f，且函数( ) x为周期为 4 的偶函数，( )f x关于 2x对称， 135490ffff， ( )f x 在区间0，50上至少有 25个零点，故D正确 故选：ABD 【点睛】 函数周期性的相关结论： (1) f(xa)f(x)， Ta (2) f(xa)f(x)， T2a (3) f(xa) 1 ( )f x ， T2a (4) f(xa) 1 ( )f x ，T2a (5) f(ax)f(bx)，Tab(6) 两个
9、对称轴是半个周期 T：f(x)关于直线 xa，xb对称，那么 T 2ab (7) 两个对称中心也是半个周期 1 2 T：f(x)关于点(a，0)(b，0)对称，那么 T2ab 12. 已知正数x、y z、满足3 =4 6 xyz ，则下列说法中正确的是( ) A. 111 2xyz B. 346xyz C. 3 2 2 xyz D. 2 2xyz 【答案】ACD 【解析】 【分析】 把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可. 【详解】由=4613 yxz t t，可得 1 log 3 t x ， 1 log 4 t y ， 1 log 6 t z ， 1111
10、log 3+log 4log 6 22 ttt xyz ，故 A正确； 4log 3log 81 4 tt x ， 3 3log 4log 64 tt y ，所以 43 xy ，34xy，故 B 不正确； lg6lg63lg2lg33 2 lg3lg42lg32lg22 xyxy zzz ，故 C正确； 222 34 2 lg 6lg 22lg2 lg3lg 3 log 6 log 6 lg3 2lg22lg2 lg3 xyxy zzz = 1 lg2lg3 12 2 lg3lg2 ，故 D正确； 故选:ACD 【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的转换，对数运算法则，需要灵活运用换底公式，属
11、于能力要求 较高的题. 三三.填空题填空题(本大题共本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 13. 已知幂函数 y= f(x)的图象过点 1 2, 4 ，则曲线 y= f(x)在点1,1处的切线方程为_ 【答案】230 xy 【解析】 【分析】 由题可得 2 f xx，求出 f x在1x 处导数，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】设 f xx，将 1 2, 4 代入， 1 2 4 ，解得2， 2 f xx，则 3 2fxx， 12f ， 则切线方程为121yx ，即230 xy. 故答案为：230 xy. 14. 在ABC中， ,2,3,2 3 BACABA
12、CBDDC ，则 AD. BC=_ 【答案】 11 3 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算，得到BC ba ， 12 33 aADb ruuu rr ，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】设向量,ABa ACb，其中2,3,2 3cos3 3 aba b ， 因为2BDDC，所以BC ACABba ， 221212 () 333333 ADABBDABBCABACABABACab， 所以 22 12112411 ()()16 3333333 AD BCab baa bab . 故答案为： 11 3 【点睛】平面向量的数量积的运算策略： 1、定义法：建立一个平面基底，结合向量的
13、线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求 解； 2，坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解， 可起到化繁为简的妙用 15. 黄金比例，用希腊字母 表示，借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度与线段中较长段的 比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割线段.用 A，B分别表示较长段与较短段的线 段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来:= AAB BA ，从可以解出 的值.类似地，可以定 义其他金属比例.假设把线段分成 n+1段，其中有 n段长度相等，记这 n 段的每一段长为 A.面剩下的一段长 为 B (
14、长度较短的).如果 A与 B 之比等于整条线段的长与 A之比，我们用 n 来表示这个比例，即 n = A B 对 于 n(n N )的每个值对应一个 n ，则称 n 为金属比例.当 n=1时，即为黄金比例，此时 = 51 2 ；当 n=2 时，即为白银比例，我们用希腊字母表示该比例，则 _ 【答案】 21 【解析】 分析】 转化条件为 2AAB BA ，通过换元解方程即可得解. 【详解】由题意， 2AAB BA 即2 AB BA ， 设1 A m B ，则 1 2m m 即 2 210mm ， 解得 21m= 或 12m (舍去)， 所以 2 1 . 故答案为： 21 . 16. 已知函数 f
15、(x)= 2 4 ,0 4, xx x x xa ， 其中 a0， 若函数 g(x)=f(x)- 3|x|有两个零点， 则实数 a的取值范围是_ 【答案】(0,1) 【解析】 【分析】 当0 x时，函数( )g x有一个零点，将问题转化为当xa时，4yx与3|yx有且只有 1 个交点即 可. 【详解】当0 x时，令( )0g x ，则 2 43xxx ，解得0 x或1x (舍)，要使函数 ( )g x有两个零 点， 只需4yx与3|yx的图象 在( , )a 上只有 1个交点即可， 作出函数4yx与3|yx的图象，由图象可得(0,1). 故答案为：0,1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程
16、有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利 用数形结合的方法求解. 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 在a= 2，S= 2 c cosB，C= 3 这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解. 问题:在ABC中，
17、内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， 面积为 S，3bcosA=acosC+ccosA， b=1， _， 求 c的值. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 利用正弦定理进行边化角，得到 3 cos 3 A ，然后利用余弦定理以及正弦函数的两角和与差公式进行选择 ，或，进行求解即可 【详解】在ABC中，因为3 coscoscosbAaCcA， 所以根据正弦定理得3sincossincossincosBAACCA 所以 3sincossinBAB ，因为sin0B，所以 3 cos 3 A 选择，由余弦定理 222 2cosab
18、cbcA得 2 2 3 10 3 cc ，解得3c 选择， 1 cossin 22 c SBbcA，所以cossincos() 2 BAA 所以 2 BA ，即 2 C ，解得 3c 选择， 3 C ，因为 36 sinsin()sincoscossin 3336 BAAA ， 所以由 sinsin cb CB 得 sin 2 64 sin bC c B 【点睛】关键点睛：解题关键在于由正弦定理进行边化角，得到 3 cos 3 A ，然后利用三角函数的相关公 式进行求解，难度属于中档题 18. 已知函数 2 3 ( )3cossin()sin() 362 f xxxx (1)求 f x最小正周
19、期及对称中心； (2)若 1 ( ) 6 f，且() 12 3 ，求cos2的值. 【答案】(1)T；对称中心为(,0),Z 26 k k ；(2) 32 2 6 . 【解析】 【分析】 (1)利用二倍角公式、辅助角公式化简得 1 ( )sin(2) 23 f xx 求得最小正周期及对称中心； (2)求得 1 sin(2) 33 ，对角拆分2(2) 33 利用两角和差的余弦公式得解. 【详解】(1) 1cos23 ( )3sin()sin() 22662 x f xxx 31 cos22cos()sin() 2266 xxx 31 cos2sin(2) 223 xx 3113113 cos2(
20、sin2cos2)(sin2cos2) 2222222 xxxxx 1 sin(2) 23 x . 所以 ( )f x的最小正周期 2 2 T . 由2,Z 3 xkk 得,Z 26 k xk ，所以( )f x的对称中心为(,0),Z 26 k k . (2) 由 1 ( ) 6 f得 1 sin(2) 33 ，因为(,) 12 3 ，所以2(, ) 32 ， 所以 22 12 2 cos(2)1sin (2)1( ) 3333 ， 所以cos2cos(2)cos(2) cossin(2) sin 333333 2 2 11332 2 32326 . 【点睛】熟练运用二倍角公式、辅助角公式、
21、两角和差的余弦公式及合理拆分角是解题关键，属于基础题. 19. 已知函数( )(0 x kx f xaaa 且1)a 是定义在R上的奇函数 (1)求实数k的值； (2)若 10f，且不等式 2 (34)( 21) 0ftxfx 对任意 1t ，1成立，求实数x的取值范围 【答案】(1)0k ；(2) 11 ，. 【解析】 【分析】 (1)由(0)0f，解得k，检验即可； (2)由 10f， 可得01a， 判断 ( )f x是R上的减函数， 将原不等式化为 2 34 21txx对任意 1t ， 1成立令 2 ( )352g ttxx ，由 ( 1) 0g 且 10g，解不等式可得所求范围 【详解
22、】解：(1)因为 f x是R上的奇函数，所以 010 k fa ，解得0k 下面检验，此时 xx f xaa，故()( ) xx fxaaf x ，所以 ( )f x为奇函数 (2)由 10f得 1 0a a ，解得01a， 所以 xx f xaa是 R 上的减函数， 因为 ( )f x为奇函数，所以由 2 3 +4210ftxfx得 22 3 +42121ftxfxfx 因为 f x是 R 上的减函数，所以 2 3421txx对任意 1,1t 成立 令 22 ( )3421352g ttxxtxx ，则( )0g t 对任意 1,1t 成立， 等价于 2 2 (1)3520 ( 1)3520
23、 gxx gxx ， 解得11x ，所以x的取值范围是 11 ，. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函 数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|) 20. 如图，在三棱柱 ABC- 111 ABC中，四边形 AB 11 B A和 A 11 ACC均为菱形，平面 AB 11 B A 平面 A 11 ACC. 1 A AC= 3 ， 1 AAB= 4 ，E为棱 A 1 A上一点，BEA 1 A. (1)求证: BE 11 AC (2)设 AB=2，求二面角 B- C 1 C-A 的余弦
24、值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 15 5 . 【解析】 【分析】 (1)证明BE 平面 11 AACC，即证 BE 11 AC； (2)作 1 EFCC于F，以E为坐标原点，以EA，EB，EF所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐 标系E xyz ，利用向量法求二面角 B- C 1 C-A 的余弦值. 【详解】 (1)证明： 平面 11 ABB A 平面 11 AACC， 平面 11 ABB A平面 111 AACCAA， 1 BEAA，BE 平面 11 ABB A， BE平面 11 AACC， 又 11 C A 平面 11 AACC， 11 BEC A (2)解：作 1 EFCC于
25、F，则 1 EFAA， 平面 11 AACC 平面 11 ABB A，平面 11 ABB A平面 111 AACCAA，EF 平面 11 AACC， EF平面 11 ABB A， 在菱形 11 ABB A中， 2AB ， 1 4 BAA ， 2AEBE ， 在菱形 11 AACC中， 1 2AA ， 1 3 A AC ， 3EF ， 21CF ， 以E为坐标原点，以EA，EB，EF所在直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系E xyz ， 则(0,2,0)B， 1( 2, 2,0) B ，( 21,0, 3)C， 1 ( 2BB ，0，0)，( 21BC ， 2 ，3)， 由(1)知BE 平面
26、 11 AACC，平面 1 ACC的一个法向量 1 (0,1,0)n ， 设平面 1 BCC的法向量 2 ( , , )nx y z，则 21 2 0 0 n BB n BC ，即 20 ( 21)230 x xyz ， 令 2z 可得平面 1 BCC的一个法向量 2 (0, 3, 2)n ， 1 cosn， 12 2 12 315 5|15 n n n nn ， 二面角 1 BCCA的余弦值为 15 5 【点睛】方法点睛：二面角的求法： 方法一：(几何法)找作(定义法、三垂线法、垂面法)证(定义)指求(解三角形) 方法二：(向量法)首先求出两个平面的法向量,m n；再代入公式cos m n
27、m n (其中,m n分别是两个平 面的法向量，是二面角的平面角.)求解.(注意先通过观察二面角的大小选择“”号). 21. 某校从高二年级随机抽取了 20 名学生数学总评成绩和物理总评成绩，记第 i位学生的成绩为( ii xy，) (i=1，2，3.20)，其中 ii xy，分别为第 i位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数 学成绩降序整理): 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学总评成绩 x 95 92 91 90 89 88 88 87 86 85 物理总评成绩 y 96 90 89 87 92 81 86 88 83 84 序号 11 12 13
28、 14 15 16 17 18 19 20 数学总评成绩 x 83 82 81 80 80 79 78 77 75 74 物理总评成绩 81 80 82 85 80 78 79 81 80 78 (1)根据统计学知识，当相关系数|r|0.8 时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学 总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明. 参考数据： 202020 22 111 ()()485.()678.()476 iiii iii xxyyxxyy 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() . ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxxy (2)规定
29、:总评成绩大于等于 85 分者为优秀，小于 85 分者为不优秀，对优秀赋分 1，对不优秀赋分 0，从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，若用 X 表示这 2 名学生两科赋分的和，求 X的分布列和数学期望. 【答案】(1)“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关；答案见解析；(2)分布列见解析， 9 5 . 【解析】 【分析】 (1)代入公式计算，解得0.8r 即可得解； (2)由超几何分布概率公式计算出(0)P X 、(1)P X 、(2)P X 、(3)P X 、(4)P X ，进而可得 分布列，再由数学期望的公式即可得数学期望. 【详解】(1)由题意， 20 202 2 1
30、0 1 2 1 ()() 485 678476 ()() ii i ii ii xxyy x r xyy 485485480662 60.8 7.51568048080 5180 5151 ， 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关； (2) 由题意得：X的可能取值为 0，1，2，3，4.， 根据赋分规则可知，7人赋分为 2，4人赋分为 1，9 个人赋分为 0， 所以 9 2 2 20 36 (0) 190 C P X C ， 49 11 2 20 36 19 (1) 0 C C P X C ， 211 2 20 479 1 6 0 9 (2 9 ) CC C P X C ，
31、11 47 2 20 2 3 8 1 0 ( 9 ) C C P X C ， 2 7 2 20 (4) 21 190 C P X C ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 36 190 36 190 69 190 28 190 21 190 所以 3636692821342 190190190 9 ()01234 1901901905 E X . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对r的值合理放缩及超几何分布的应用. 22. 已知函数 f(x)= x e-mx-2，g(x)= x e-sinx- xcosx-1. (1)当 x 2 时，若不等式 f(x) 0恒成立，求正整数 m
32、 的值； (2)当 x0时，判断函数 g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: 2 e 4.8 【答案】(1)1；(2)2 个，证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)将问题转化为 2 x 时，不等式 2 x e m x 恒成立，令( ) 2 x e h x x ，用导数法求得其最小值即可. (2) 易知 (0)0g ，则 0是( )g x的一个零点，由 2 x 时，( )sincos120 xx g xexxxex ，得到 ( )g x无零点，当0 2 x 时，用导数法结合零点存在定理求解. 【详解】(1) 因为当 x 2 时，若不等式 f(x) 0 恒成立， 所以当 2 x 时，不等
33、式 2 x e m x 恒成立， 令( ) 2 x e h x x ， 则 22 (2)(1)2 ( )0 xxx e xeex h x xx ， 所以( )h x在 ,) 2 上递增， 所以 2 min 228 ( )( ) 25 2 e h xh ， 因为 28 12 5 ，所以正整数m的值为 1. (2) 当0 x时， 函数 ( )g x有 2 个零点. 证明如下：显然(0)0g，所以 0是( )g x的一个零点， 当 2 x 时，( )sincos120 xx g xexxxex ，所以( )g x无零点； 当0 2 x 时，( )2cossin x g xexxx， 令( )( )2
34、cossin x h xg xexxx， 则( )( )3sincos0 x h xg xexxx， 所以( ) g x 在0, 2 上递增 又 (0)10, g 2 ()0 22 ge ， 所以存在唯一 1 (0,) 2 x 使得 1 ()0g x. 所以当 1 (0,)xx时，( )0g x，故( )g x递减；当 1 ( ,) 2 xx 时，( )0g x ，故( )g x递增； 因为(0)0g，所以 1 ( )0g x，又 2 ()20 2 ge ， 所以存在唯一 21 ( ,) 2 xx 使得 2 ()0g x 综上得：当0 x时， 函数( )g x有 2个零点. 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断； 另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决
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