1、江苏省镇江市江苏省镇江市 2021 届高三数学第一学期期中试题届高三数学第一学期期中试题 一、单项选择题一、单项选择题( (本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共计分，共计 40分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 1. 在复平面内，复数 5 34 i i (i为虚数单位)对应的点的坐标为( ) A. 3,4 B. 4,3 C. 43 , 55 D. 4 3 , 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数 5
2、 34 i i 的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为 55 (34 )152043 34(34 )(34 )2555 iiii i iii ， 所以在复平面内，复数 5 34 i i (i为虚数单位)对应的点的坐标为 4 3 , 5 5 . 故选：D 2. 已知集合1,0,1A ， 1 32, xx By yxZ ，则AB ( ) A. 1,0,1 B. 1,1 C. 1,0 D. 0,1 【答案】B 【解析】 【分析】 在函数 1 32 xx y 的解析式，分别令0 x，2x，求得对应的函数值，并判断方程 1 320 xx 的整数 解 ，进而可求得AB. 【详解】当0 x时， 01 32
3、1 ；当2x 时， 23 321 . 令 1 320 xx ，即 1 23 xx ， 3 2 2 x ，该方程没有整数解，0B . 因此，1,1AB . 故选：B. 3. 已知点 5 1,3tan 6 P 是角终边上一点，则cos的值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算出 5 3tan 6 的值从而P点坐标可知，然后根据三角函数的定义求解出cos的值. 【详解】因为 53 3tan33 63 ，所以1,3P ，所以 2 2 11 cos 2 13 ， 故选：C. 4. 在边长为2的等边ABC中，BDDC，APPD ，则BP A
4、C 的值为( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 D. 5 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面向量线性运算将BP AC 转化为 11 22 BC ACDA AC，由平面向量数量积的定义可求得结果. 详解】 111 222 BP ACBDDPACBCDAACBC ACDA AC 115 coscos 2326 BCACDAAC 111331 2 2321 222222 . 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： (1)利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； (2)建立平面直角坐标系，利用平面向
5、量数量积的坐标运算来进行求解. 5. 将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到 A、B、C、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到 A 班，丁不能分配到 B班，则共有分配方案的种数为( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】 分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况： 甲分配到B班：有 3 3 6A 种分配方案； 甲不分配到B班：有 112 222 8A A A 种分配方案； 由分类加法计数原理可得：共有6814种分配方案. 故选：C.
6、 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有： (1)相邻问题采取“捆绑法”； (2)不相邻问题采取“插空法”； (3)有限制元素采取“优先法”； (4)特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 6. 直三棱柱 111 ABCABC的所有顶点都在同一球面上，且2ABAC，90BAC， 1 4 2AA ， 则该球的表面积为( ) A. 40 B. 32 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，可将直三棱柱 111 ABCABC补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积. 【详解】解：如图所示，直三棱柱 111 A
7、BCA B C的所有顶点都在同一球面上，且2ABAC， 90BAC， 1 4 2AA ， 可将直三棱柱 111 ABCABC补成长方体，其中2ABACBMCM， 11 4 2AABB，长方体的对角线 2 2222222 111 224 22 10CBCMMBCMMBBB ，即为球的直径，则球的半径 r为 10. 球的表面积为 2 2 441040Sr. 故选: A. 【点睛】本题考查球的表面积，考查分析问题能力，属于中档题. 7. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用. 直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾 2+股2=
8、弦2”，设直线l 交抛物线 2 1 4 yx于A，B两点，若OA，OB恰好是Rt OABV 的“勾”“股”(O为坐标原点)，则此直线l恒 过定点( ) A. 1 ,0 4 B. 1 ,0 2 C. 0,2 D. 0,4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知 222 OAOBAB， 所以OAOB， 即O A O B ， 设直线AB的方程为y kxb ， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 由 韦 达 定 理 得 出 12 4xxk， 12 4x xb ， 代 入 12120 O A O Bx xy y化简得直线AB的方程即可求出所过的定点.
9、 【详解】设直线AB的方程为y kxb ， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 由 2 4 ykxb xy 得 2 440 xkxb， 由根与系数的关系可得： 12 4xxk， 12 4x xb ， 若OA，OB恰好是Rt OABV 的“勾”“股”(O为坐标原点)， 可得 222 OAOBAB，所以OAOB，即OA OB ， 所以 1 212 0OA OBx xy y， 2 22 121212 111 4416 y yxxx x， 所以 22 12121212 11 440 1616 OA OBx xy yx xx xbb ， 即 2 40bb，解得4b或0b(舍) 所以直线AB的方程
10、为4ykx，恒过点0,4， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由OA，OB恰好是Rt OABV 的“勾”“股”(O为坐标原点)， 得出OAOB，设直线AB的方程为y kxb ， 11 ,A x y， 22 ,B x y即 1 212 0OA OBx xy y，联立方程，结合韦达定理即可求解. 8. 已知函数 2 ( )85f xxx ，( ) x eex g x ex ，实数m，n满足0mn，若 1 x,m n， 2 x 0,，使得 12 f xg x成立，则nm的最大值为( ) A. 7 B. 6 C. 2 5 D. 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 先用导数法研究 yg x
11、， 然后的同一坐标系中作出函数 yf x与 yg x的图象， 根据 1 ,xm n ， 2 0,x，使得 12 f xg x成立求解. 【详解】因为 x eex g x ex ， 所以 2 1 1 x x exe gx exex ， 当01x时， 0g x ，当1x 时， 0g x ， 10 g ， 所以 g x在1x 处取得极小值，且为定义域内唯一极值， min 12g xg. 2 2 185( )411 1f xxxx ， 作函数 yf x与 yg x的图象， 如图所示： 当 2f x 时，方程两根分别为7和1， 则nm的最大值为：176 . 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数
12、的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的 的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题. 二、多项选择题二、多项选择题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共计分，共计 20分分.在每小题给出的四个选项中，至在每小题给出的四个选项中，至 少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上) ) 9. 设，为两个平面，则下列条件中是“ / ”成立的必要不充分条件有( ) A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，垂直于同一平面 D. ，平行于同一平面 【答案】AC 【解
13、析】 【分析】 根据必要不充分条件的定义可知：/ 可以推出正确选项，但选项推不出/ ，对四个选项检验即可得 正确答案. 【详解】 对于选项 A：/ 可以推出内有无数条直线与平行， 但内有无数条直线与平行推不出/ ， 所以内有无数条直线与平行是/ 的必要不充分条件，故选项 A 正确； 对于选项 B：/ 可以推出内有两条相交直线与平行，若内有两条相交直线与平行可以推出 / ，所以为充要条件，故选项 B 不正确； 对于选项 C：/ 可以推出，垂直于同一平面， 但是，垂直于同一平面得不出/ ， 所以， 垂直于同一平面 是/ 的必要不充分条件，故选项 C 正确； 对于选项 D：/ 可以推出，平行于同一平
14、面，而且，平行于同一平面也可以推出/ ，所 以是充要条件，故选项 D不正确. 故选：AC 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； (2)p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集； (3)p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； (4)p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含 10. 下列条件能使log 3 log 3 ab 成立的有( ) A. 0ba B. 10ab C. 1 1b a D. 0 11 1 ab 【答案】BC 【解析】 【分析】
15、 根据对数函数的单调性可比较出 3 log a与 3 log b的大小关系，取倒数后可得log 3 a 与log 3 b 的大小关系， 由此得到结果. 【详解】对于A，若 1 9 a ， 1 3 b ，则 1 log 3 2 a ，log 31 b ，知log 3log 3 ab ，A错误； 对于B，当10ab时， 33 0loglogab，则 33 11 loglogab ，log 3log 3 ab ，B正确； 对于C，当 1 1b a 时，10ba ， 33 log0logba，则 33 11 loglogab ，log 3log 3 ab ， C正确； 对于D，当0 11 1 ab 时
16、，1ba， 33 loglogba，则 33 11 loglogab ，log 3log 3 ab ，D错 误. 故选：BC. 11. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是( ) A. 若coscosaAbB ，则ABC一定是等腰三角形 B. 若coscosAB，则sin sinAB C. 若ABC是锐角三角形，sin sinsincoscoscosABCABC D. 若ABC是钝角三角形，则tan tantantantantan3ABBCCA 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用三角函数的性质，结合诱导公式以及正切函数的两角和公式，逐个选项进行判断求解即可
17、 【详解】 对于 A， 根据正弦定理， 由coscosaAbB， 得出sincossincosAABB， 所以，sin2sin2AB， 因为在ABC中， 令 6 A ， 3 B ， 此时， 仍有sin2sin2AB， 所以，ABC不一定是等腰三角形， A 错误； 对于 B，由已知条件得，0,0AB，因为coscosAB，所以，A，B均为锐角，则有 0 2 BA ，所以，sinsinAB，B 正确； 对于 C，若ABC是锐角三角形，则, ,A B C均为锐角，所以， 2 AB ，得0 2 A 和0 2 B ， 且 2 AB ，得sinsin()cos 2 ABB ，同理，可证得，sincosBC
18、，sincosCA，所以， sinsinsincoscoscosABCABC成立，C正确； 对于 D，若ABC是钝角三角形，不妨设C为钝角，则,A B为锐角， 则有tantan()0CAB ，所以， tantan tan()0 1tantan AB AB AB ， 又因为tan0,tan0AB，所以，1 tantan0AB，得到1tantanAB， 又由C为钝角，可得tantantantan0BCCA，所以， tantantantantantan3ABBCCA成立，同理，当A为钝角或者B为钝角时，该不等式仍然成立， D 正确； 故选 BCD 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用特殊角进行赋值
19、进行判断选项，以及利用三角函数的性质和相 关公式，逐个选项进行判断，主要考查学生的运算能力，属于中档题 12. 已知由样本数据点集合( ,) 12 3, ii x yin ， ， ， ，求得的回归直线方程为1.50.5yx，且 3x ，现 发现两个数据点1 2,2(2 ).和4.8,(7 )8 .误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则( ) A. 变量x与y具有正相关关系 B. 去除后y估计值增加速度变快 C. 去除后与去除前均值x，y不变 D. 去除后的回归方程为1.21.4yx 【答案】ACD 【解析】 【分析】 A. 根据回归直线方程的 x系数的正负判断.B. 根据去除前
20、后 x 的系数大小判断. C.根据去除前后样本点不变 判断. D.根据回归直线方程求解方法可判断. 【详解】因为回归直线方程为1.50.5yx，1.50，所以变量 x 与 y具有正相关关系.故 A正确. 因为1.5 1.2，所以去除后 y 的估计值增加速度变慢，故 B错误. 当 3x 时，3 1 50 55y. ，所以样本点为3,5， 又因为1.2+4.863 2 ，2.2 7.8 102 5 ，所以去掉两个数据点1.2,2.2和4.8,7.8后，样本 点还是3,5，故 C 正确； 又因为去除后重新求得的回归直线 l的斜率为 1.2，所以53 12 .a ，解得1.4a ， 所以去除后的回归方
21、程为1.21.4yx，故 D正确. 故选：ACD 三、填空题三、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上) ) 13. 已知, x y R ，且22xy，则 1 2 4 y x 的最小值为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 将表达式 1 2 4 y x 化为 2 22 xy ，再结合均值不等式求解即可 【详解】 2 1 222 4 y xxy ，因为 2 20,20 xy ，所以 22 222 24 xyxy ，当且仅当 21xy 时，取到最小值 故答案为：4 14. 已知函数
22、sincosyxx ，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x_. 【答案】 4 【解析】 【分析】 函数2sin 4 yx ，令 42 xk 求解. 【详解】已知函数sincos2sin 4 yxxx ， 令, 42 xkkZ ， 解得 3 , 4 xkkZ ， 所以其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为x 4 . 故答案为： 4 15. 椭圆C： 22 22 1 xy ab 0ab，以原点为圆心，半径为椭圆C的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成 的四边形的四边都相切，则椭圆C的离心率为_. 【答案】 51 2 【解析】 【分析】 由题意画出图形，利用等面积法可得关于a，b，c的
23、等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：如图所示，过点O作 22 OMA B，则 2 90OMA， 由题意可得， 2222 11 22 OBOAA BOM，即 22 a babc ，又由 222 abc可得， 2222222 aacaacc，整理可得 4422 30aca c ， 因为 c e a ，所以 42 310ee ，解得 2 35 2 e ， 因为01e ，所以 51 2 e . 故答案为： 51 2 . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 16. 已知函数 3 ( )3f xxx在 2 5,1xm m的值域为, a b ba，则实数m的取值
24、范围为 _. 【答案】6, 7 【解析】 【分析】 由函数知 ( )f x存在极大、小值，而 2 5,1xm m的值域为, a b ba，则 2 5,1m m必包含 极值点，列不等式组求m的取值范围. 【详解】由解析式知： 2 ( )3(1)fxx， (, 1) 、(1,)上( )0fx ，即 ( )f x单调递增；( 1,1) 上( )0fx ，即 ( )f x单调递减； ( )f x有极大值( 1)2f ，极小值(1)2f ， 由题意知：2,2ab ，即有： 2 2 2 15 51 11 (5)2 (1)2 mm m m fm f m ，解得67m， 故答案为：6, 7 【点睛】易错点睛：
25、定义域为开区间的函数值域为闭区间，一般开区间包含极值点的横坐标，但求参数范 围时，注意开区间的端点值不能超过极值. 四、 解答题四、 解答题( (本大题共本大题共 6 小题， 共计小题， 共计 70 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤) ) 17. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 25 12aa ， 42 4SS. (1)求数列 n a的通项公式 n a及 n S； (2)若 1 1 n n nn a b SS ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】(1)21 n an
26、， 2 n Sn；(2) 2 1 1 (1) n T n . 【解析】 【分析】 (1)由等差数列的通项公式及前n项和公式即可求得； (2)代入求出数列 n b的通项公式，再用裂项求和即可. 【详解】(1)解：设等差数列首项为 1 a，公差为d， 25 12aa ， 42 4SS， 得： 1 11 2512 4 3 44 2 2 ad adad ， 解得： 1 1 2 a d ， 1 (1)1 2(1)21 n aandnn ， 2 1 (1)(1) 2 1 22 n n ndn n Snann ； (2) 1 2222 1 2111 (1)(1) n n nn an b SSn nnn ，
27、123 22222222 11111111 122334(1) nn Tbbbb nn 2 1 1 (1)n . 【点睛】方法点睛：本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项， 保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法 的根源与目的 18. 在22 cosa bcB ， 3 4 S 222 abc， 2 3sin12si 2 n C AB 三个条件中选一个， 补充在下面的横线处，然后解答问题.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设ABC 的面积为S，已知_. (1)求角C的值； (2)若4b，点D
28、在边AB上，CD为ACB的平分线，CDB的面积为 2 3 3 ，求边长a的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) 3 ；(2)2 【解析】 【分析】 (1)如选：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识整理可求得cosC，进而得到结果； 如选：利用三角形面积公式和余弦定理可化简求得tanC，进而得到结果； 如选：利用二倍角公式和辅助角公式可化简求得sin 6 1C ，根据C的范围可求得结果； (2)利用 ABCACDBCD SSS 可构造关于a和CD的方程； 利用CDB面积可构造关于a和CD的方程， 解方程组可求得a. 【详解】(1)如选：由正弦定理得：2sin
29、sin2sincosABCB， A B C，sinsinABC， 2sinsin2sincos2cossinsin2sincosBCBBCBCBCB， 整理得：2sincossinBCB， 又0,B，sin0B， 1 cos 2 C， 0,C， 3 C . 如选： 222 3 1 sin 42 ABC abc SabC ， 222 3 sin3cos 2 abc CC ab ， sin tan3 cos C C C ， 0,C， 3 C . 如选： 2 1 1 cos2cos 2 3sin12sin C ACBC ， A B C，sinsinCAB，3sin2cosCC， 即3sincos2s
30、in2 6 CCC ，sin1 6 C ， 0,C， 7 , 666 C ， 62 C ，解得： 3 C . (2)在ABC中， ABCACDBCD SSS ， 111 sinsinsin 222 CB CDBCDCA CDACDCA CBACB 1 3 4 a CDCDa 又 12 3 43 CDB Sa CD 由得： 2 2 43 a a ，解得：2a或 4 3 a (舍) 边长a的值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，解题关键是能够灵活应用正弦定理边化角、三角恒 等变换公式来对已知边角关系式进行化简，从而求得关于C的一个三角函数值. 19. 如图所示， 在三棱柱 11
31、1 ABCABC中， 侧面 11 ABB A是矩形， 2AB ， 1 2 2AA ，D是 1 AA的中点， BD与 1 AB交于O，且CO面 11 ABB A. (1)求证： 1 BCAB； (2)若OCOA，求二面角DBCA的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 15 5 . 【解析】 【分析】 (1)利用直角三角形性质，结合线面垂直的判定定理和性质定理进行证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、同角三角函数关系式中的平方和关系进行求解即可. 【详解】(1)由于侧面 11 ABB A是矩形，D是中点， 故 1 2 tan 2 AB B， 2 tan 2 ABD， 所
32、以 1 ABBABD，又 11 90BABAB B， 于是 1 90BABABD， 1 BDAB，而CO面 1 ABB A，所以 1 COAB，COBDO COBD、面 1 BCDAB面BCD 又BC 面BCD，得到 1 BCAB (2)如图，建立空间直角坐标系，则 2 0,3,0 3 A ， 2 6,0,0 3 B ， 2 0,0,3 3 C ， 6 ,0,0 3 D ， 设平面ABC的一个法向量 1 , ,nx y z， 可得 1 1 2 62 3 0 33 2 32 3 0 33 nABxy nACyz ，取1x ，则2y ， 2z 平面面ABC的一个法向量的坐标为 1 1, 2,2n
33、， 而平面BCD的一个法向量为 2 (0,1,0)n ， 设二面角DBCA的大小为，则 12 12 210 cos 515 n n nn . 2 15 sin1 cos 5 . 20. 标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直 径小于 5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率 是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩， 并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率z服从正态分布 2 ,N . (1)假设生产状态正
34、常， 记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于3的数量， 求1P X 及X的 数学期望； (2)下面是检验员在一天内抽取的 10 个口罩的过滤率： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.9376 0.9121 0.9424 0.9572 0.9518 0.9058 0.9216 0.9171 0.9635 0.9268 经计算得： 10 1 1 0.9335 10 i i xx ， 10 2 1 1 0.0189 10 i i sxx (其中 i x为抽取的第i个口罩的过滤率) 用样本平均数x作为的估计值， 用样本标准差s作为的估计值， 利用该正态分布， 求. 0 9524P z (精
35、 确到0.001) (附：若随机变量X服从正态分布 2 ,N ，则 0.6826PX； 220.9544PX；330.9974PX；另： 10 0.99870.9871) 【答案】(1)0. 110 29P X ，0.013E X ；(2)0.1587. 【解析】 【分析】 (1)根据正态分布3公式可计算得到每个口罩过滤率小于3的概率0.0013p ， 由二项分布概率和数 学期望的计算方法可求得结果； (2)所求概率为P zxs，参考3公式可得结果. 【详解】(1)已知检验率服从正态分布 2 ,N ，则事件 1 0.9974 30.0013 2 P X 当生产状态正常时，重复不放回的取10个口
36、罩属于独立重复事件，10n，0.0013p ， 故有：.10 0 00130 0 3. 1E Xnp， 而 10 0010 10 110111 0.99870.0129P XP XC pp . (2)由题意知：由平均数近似估计， 则有 1 0.6826 0.95240.1587 2 P zP zxs . 21. 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦距为2 5，且过点2 2, 1A，直线l与曲线C右支相 切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线与M、N两点，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)求证：MON面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1)
37、2 2 1 4 x y；(2)证明见解析，MON面积为2. 【解析】 【分析】 (1)根据题意可得关于a、b、c的方程组，求出 2 a、 2 b的值，由此可得出双曲线C的标准方程； (2)设直线l的方程y kxm ，将直线l的方程与双曲线C的方程联立，由0 可得出k、m所满足的等 式，求出点M、N的坐标，利用三角形的面积公式可计算出MON的面积. 【详解】(1)设双曲线C的焦距为20c c ， 由题意可得： 2 222 2 22 22 5 4 1 81 1 c a cab b ab ，则双曲线C的方程为 2 2 1 4 x y； (2)由于直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的
38、斜率存在， 设直线l的方程为y kxm ， 则 2 2 1 4 ykxm x y 消y得 222 418440kxkmxm， 222222 644 41 44041k mkmkm ， 设l与x轴交于一点D， m OD k ， 1 22 OMNMODNODMNMN m SSSODyykxx k ， 双曲线两条渐近线方程为： 1 2 yx ， 联立 1 2 ,2 1212 yxmm M kk ykxm ，联立 1 2 ,2 21 21 yxmm N kk ykxm ， 则 22 22414 2 21 21221 42 MON mmmmmmm Skkk kmkkkkk (定值). 【点睛】 关键点点
39、睛： 解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出 22 41km， 并求出点M、N的坐标， 再结合三角形的面积计算出 OMN S为定值. 22. 已知函数 1 ( ) x x f x e . (1)若2x，求证：( )(4)f xfx； (2)若函数 ( )( )F xf xa 有两个零点 1 x， 2 x 12 xx. 求实数a的范围； 求证： 12 0 2 xx f . 【答案】(1)证明见解析；(2) 2 1 0, e ；证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)构造函数( )( )( )G xf xg x，利用导数分析 G x的单调性并分析最值与0的关系，从而达到证明不 等式的结果； (2)
40、先求解出 Fx ，然后通过分析a与 2,0 e之间的大小关系，确定出 F x有两个零点时a的取值范 围； 根据(1)的结果得到 12 2 xx 的取值范围，再根据 f x的单调性单调性可证明 12 0 2 xx f . 【详解】(1)证明：令 4 1 3 ( )(4) x g xfx e ，令 4 13 ( )( )( ) xx xx G xf xg x ee ， 42 44 (2) 22 ( ) x xxx xee xx G x eee ， 当2x时，20 x，24x，从而 42 0 x ec， 0G x ， G x在,2是增函数， 22 11 ( )(2)0G xG ee ，故当2x时，
41、f xg x成立，即 4f xfx； (2)若函数 1 ( )(1) x x x F xaexa e ， ( )(2) x F xex ，当,2x 时， 0fx，当2,x时， 0fx， F x在(,2)上单调增，在(2,)上单调递减， 2 max ( )(2)F xFea ， 当 2 ae时， max 0F x恒成立，显然不满足有两解，舍去； 当0a 时，在(2,)x上，10 x ex ，必有 F x也大于0恒成立， 而 F x在,0上单调，至多一个零点，故也不满足题意； 当 2 1 0a e 时，此时 010 20 Fa F ，由零点的存在性定理知存在 1 0,2x 满足， 同时当取 0 1
42、 x a 时， 1 2 111 10 a Feaaa aaa ， 由零点的存在性定理知存在 2 2,x 满 足， 所以此时共有两个零点，满足要求， 综上所述：实数a的范围为 2 1 0, e ； 由知 12 02xx，所以 11 4f xfx， 又因为 12 f xf xa，所以 21 4f xfx， 当2,x时， 2 0 x x fx e ，所以 f x在 2,+上单调递减， 又因为 21 ,42,xx且 21 4f xfx，所以 21 4xx， 所以 12 2 2 xx ，所以 12 0 2 xx f . 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法： (1)分离参数法： 将参数和自变量分离开来， 构造关于自变量的新函数， 研究新函数最值与参数之间的关系， 求解出参数范围； (2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最 后取并集.
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