1、黄冈市黄冈市 2020 年高三年级年高三年级 9 月质量检测数学试题月质量检测数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 已知集合 2 |320, |124 x Ax xxBx，则AB ( ) A. |12xx B. |12xx C. |12xx D. |02xx 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出集合,A B，然后取交集即可. 【详解】由题意， 2 |320Ax xx |12xx ， 02 2 |124 |2
2、22|0 xx Bxxxx， 所以AB |12xx. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2. 已知a b c d, ,都是常数， ,ab cd.若( )()()2020f xxa xb=-的零点为, c d，则下列不等式正确 的是( ) A. acdb B. cabd C. acbd D. cdab 【答案】B 【解析】 【分析】 此题可转化为()()yxa xb=-与2020y 的交点的横坐标为, c d，利用二次函数的图像即可得到. 【详解】若( )()()2020f xxa xb=-的零点为, c d，则()()yxa xb=
3、-与2020y 的交点的横坐 标为, c d， 令()()0yxa xb=-=，则()()yxa xb=-与x轴的交点的横坐标为, a b， 如图所示， 其中cabd， 故选：B. 【点睛】此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题. 3. 已知 0.4 2x ， 2 lg 5 y ， 0.4 2 5 z ，则下列结论正确是( ) A. x yz B. y zx C. z yx D. z xy 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性比较x、y、z三个数与0、1的大小关系，由此可得出x、y、z三个 数的大小关系. 【详解】 0.40 221x ， 2 lglg10 5
4、 y ， 0.40 2 1 5 2 5 z ，又0z，即01z. 因此，y zx . 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法 来比较，属于基础题. 4. 若实数a，b满足 14 ab ab ，则ab的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】解：实数a，b满足 14 ab ab ，则,0a b ， 所以 1 41 24ab a bab .可得4ab. 当且仅当44ab时，等号成立， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考
5、查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的 特征，如函数 (1)esin ( ) e1 x x x f x 在区间 (-,) 2 2 上的图象的大致形状是( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案. 【详解】因为 (1)esines(1) in ()( ) e1e1 x x xx xx fxf x ， 所以 ( )f x在区间 (-,)
6、2 2 上是偶函数，故排除 B，D， 又 1 1 (1)esin1 (1)0 e1 f ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题. 6. 已知向量 (2,1)a ， (0,)bm= r ，(2,4)c ，且()abc，则实数m的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得a b ，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项. 【详解】由已知得(21)abm，又()abc，所以2 2+ 140m ，解得2m， 故选：C. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题. 7. 已知抛物线 2 :4C
7、 yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点， 若4PFFQ，则QF ( ) A. 3 B. 5 2 C. 3 2 D. 3 2 或 5 2 【答案】B 【解析】 【分析】 设点1,Pt，利用4PFFQ求得点Q的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF. 【详解】抛物线C的焦点为1,0F，准线l的方程为1x. 设点1,Pt、,Q x y，则2,PFt，1,FQxy， 4PFFQ，可得 412x，解得 3 2 x ， 由抛物线的定义可得 35 1 22 QF . 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等 题.
8、 8. 明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数 列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法比如，若已知黄钟、大吕、太簇、 夹钟四个音律值成等比数列，则有=大吕黄钟 太簇， 2 3 =大吕黄钟夹钟， 2 3 =太簇黄钟夹钟据 此，可得正项等比数列 n a中， k a ( ) A. 1 1 n k n k n aa B. 1 1 n k n k n a a C. 1 1 1 n kk n n aa D. 1 1 1 kn k n n aa 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比
9、数列的第 2、第 3 项均可由首项和末项表 示，从而类比出正项等比数列 n a中的 k a可由首项 1 a和末项 n a表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第 2、第 3 项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列 n a中的 k a可由首项 1 a和末项 n a表示， 因为 1 1 n n aa q ，所以1 1 = n n a q a ， 所以 1 1 1 1 = k n n k a aa a 1 1 1 1 = k n n a a a 1 11 1 = n kk nn n aa 1 1 1 = n kk n n aa . 故选：C. 【点睛】本题以数
10、学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景， 再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 下列有关命题的说法正确的是( ) A. (0,)x ，使得 2 sin2 2 sin x x 成立 B. 命题:PxR ，都有cos1x ，则 0 :PxR ，使得 0 c
11、os1x C. 函数( )11f xxx 与函数 2 ( )1g xx 是同一个函数 D. 若x、y、z均为正实数，且3 412 xyz ，( ,1),() xy n nnN z ，则4n 【答案】BD 【解析】 【分析】 由正弦函数的性质可得sin(0,1x，令sintx，再由对勾函数的单调性可判断 A；由全称命题的否定为 特称命题，可判断 B；由两函数的定义域是否相同，对应关系是否相同进行判断 C；令3412 xyz m， 则 3412 log,log,logxm ym zm，则 34 12 logloglglglg12lg12lg12lg4lg3 2 loglg3lg4lglg3lg4l
12、g3lg4 mmxymm zmm ， 然后利用对数的性质可求 出其范围，进而可判断 D 【详解】解：对于 A，由 ()0,x ，可得sin(0,1x，令sintx，(0,1t， 2 ( )f tt t 在(0,1上递减，可得( )f t的最小值为 2 (1)13 1 f ，所以 A错误； 对于 B，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以 B 正确； 对于 C，( )11f xxx 的定义域为1x x ， 2 ( )1g xx 的定义域为1x x 或1x ， 定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以 C 错误； 对于 D，令3412 xyz m，则 3412 log,log,log
13、xm ym zm， 34 12 logloglglglg12lg12lg12lg4lg3 2 loglg3lg4lglg3lg4lg3lg4 mmxymm zmm 32 1 22log 2log 3 2 ， 因为243256，所以 88 243256 ，即 5 8 32 ， 所以 5 8 333 log 3log 2log 3 ，所以 3 5 log 21 8 ， 因为89，所以89，即 3 2 23 ， 所以 3 2 222 log 2log 3log 4 ，所以 2 3 log 32 2 ， 所以 32 1 22log 2log 33 2 ， 所以 32 1 422log 2log 35
14、2 ，即(4,5) xy z ，所以 D 正确， 故选：BD 【点睛】此题考查命题的真假判断，考查推理能力和计算能力，属于中档题 10. 已知曲线C的方程为 22 1() 26 xy kR kk ，则下列结论正确的是( ) A. 当4k 时，曲线C为圆 B. 当0k 时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3yx C. “4k ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件 D. 存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为 2 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C的方程为 22 1(
15、) 26 xy kR kk ， 对于 A总，当4k 时，曲线C的方程为 22 2xy，此时曲线C表示圆心在原点，半径为 2的圆，所 以是正确的； 对于 B中，当0k 时，曲线C的方程为 22 1 62 yx ，可得6,2ab，此时双曲线C渐近线方程为 3yx ，所以是正确的； 对于 C中， 当曲线C的方程为 22 1() 26 xy kR kk 表示焦点在x轴上的双曲线时， 则满足 20 60 k k ， 解得6k ，所以 “4k ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确； 对于 D中，当曲线C的方程为 22 1 26 xy kk 表示双曲线，且离心率为 2时，此时双曲线
16、的实半轴长等 于虚半轴长，此时26kk，解得4k ，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的 几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 11. 已知函数 cos,sincos ( ) sin,sincos xxx f x xxx = 则下列说法正确是( ) A. ( )f x的值域是 0,1 B. ( )f x是以为最小正周期的周期函数 C. ( )f x在区间 , 2 轾 犏 犏 臌 上单调递增 D. ( )f x在)0,2上有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】 采用数形结合，并逐
17、一验证可得结果. 【详解】根据题意，画出函数 ( )f x在 0,2的图象，如图所示 A. 根据图像可知， ( )f x的值域是 0,1，正确； B. ( )f x是以2为最小正周期的周期函数，错误； C. ( )f x在区间 , 2 轾 犏 犏 臌 上单调递增，正确； D. ( )f x在0,2上有2个零点，正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观， 属中档题. 12. 一副三角板由一块有一个内角为60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， 90 ,BF60 ,45 ,ADBCDE ，现将两块三角形板拼接在
18、一起，得三棱锥FCAB， 取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是( ) A. 直线BC面OFM B. AC与面OFM所成的角为定值 C. 设面ABF面MOFl，则有lAB D. 三棱锥FCOM体积为定值. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对于 A，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于 B，C，依托于选项 A 即可较容易得到.点F到平面COM 的距离不等确定，即可判断选项 D. 【详解】对于 A，由BC中点O与AC中点M，得/ /MOAB, 90 ,BF得BCMO， 由BCF为等腰直角三角形得BCFO，由MOFOO， MO FO，面OFM， 得直线BC面OFM，故 A正确； 对于 B
19、，由 A 得，AC与面OFM所成的角为C，为定值30，故 B正确； 对于 C，由 A 得，/ /MOAB，故/ /AB面OFM，由AB面ABF， 面ABF面MOFl，所以lAB，故 C正确； 对于 D，COMV的面积为定值， 但三棱锥FCOM高会随着F点的位置移动而变化， 故 D 错误. 故选：ABC. 【点睛】此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 设函数 ln ,1 1,1 x x f xx x ，若 1f m ，则实数m的取值范围是_ 【答案】,0,
20、 e 【解析】 【分析】 画出 ln ,1 1,1 x x f xx x 的图像及 y=1 的图像，可得其交点为(0，1)，(e，1)，由 1f m 可得 m的取值 范围. 【详解】解：如图所示： 可得 ln ,1 1,1 x x f xx x 的图像与 y=1 的交点分别为(0，1)，(e，1)， 所以 1f m ，则实数m的取值范围是,0, e， 可得答案：,0, e. 【点睛】本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键. 14. 已知各项为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1a ， 2 11nn SSa 2,nnN，则数 列 n a的通项公式为_. 【答案】21
21、n an 【解析】 【分析】 先由题干求出 n S 是以1为首项，公差为1的等差数列，并且求得 2 n Sn，进而写出数列 n a的通项公 式. 【详解】解：0 n a ，0 n S ， 当2n时，由 2 11nn SSa ，可得 11nn SSa ， 即 1 1 nn SS . n S 是以1为首项，公差为1的等差数列. 111 n Snn . 2 n Sn. 当 2n时， 2 2 1 121 nnn aSSnnn . 当1n 时，上式成立. 故数列 n a的通项公式为21 n an. 故答案为：21 n an. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问
22、题能力，属于中 档题. 15. 若 1tan 2020 1tan ，则 1 tan2 cos2 =_. 【答案】2020 【解析】 【分析】 由条件求出tan，化简待求式为tan的形式即可求解. 【详解】因为 1tan 2020 1tan ， 解得 2019 tan 2021 ， 所以 222 22222 1cossin2tan1tan2tan tan2 cos2cossin1 tan1 tan1 tan 2 2 2019 1 (1tan)1tan 2021 =2020 2019 1tan1tan 1 2021 ， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能
23、力，属于中档题. 16. 在三棱锥DABC中，CD底面ABC，AC BC，5ACBD，4BC ，则此三棱锥外接球 的表面积为_ 【答案】50 【解析】 【分析】 由题可知此三棱锥外接球等价于长方体的外接球，即可求出球半径，进而求出表面积. 【详解】由题可知ACBCCD、两两垂直，可以把三棱锥延伸至以ACBCCD、为长、宽、高的长方 体中，且 22 3CDBDBC 进而此三棱锥与该长方体共外接球，通过长方体可以求得外接球半径为 (设外接球半径为R，表面积为 S)： 2222 (2 )25 16950RACBCCD，所以 2 450SR . 故答案为：50. 【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，属于
24、基础题. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在函数 1 ( )sin()(0,|) 22 f xx 的图像向右平移 12 个单位长度得到( )g x的图像，( )g x 的图像关于原点对称， 向量 11 ( 3sin,cos),( cos, ),0 2224 mxx nx ，( )f xm n； 函数 1 ( )cossin()(0) 2264 f xxx 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知_，函数 ( )f x图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2 . (
25、1)求 ( ) 6 f的值； (2)求函数 ( )f x在0,上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) 1 ( ) 62 f；(2) 2 , 6 3 . 【解析】 【分析】 (1)选择一个条件，转化条件得 1 ( )sin(2) 26 f xx ，将 6 代入即可得解； (2)令 3 222, 262 kxkkZ ,解得x的取值范围后给k赋值即可得解. 【详解】(1)选择条件： 依题意， ( )f x相邻两对称轴之间距离为 2 ，则周期为，从而2， 从而 1 ( )sin(2) 2 f xx， 1 ( )sin(2) 26 g xx， 又( )g x
26、的图像关于原点对称，则(0)0g，由 | 2 知 6 ， 从而 1 ( )sin(2) 26 f xx， 1 ( ) 62 f 选择条件： 依题意， 31 ( )sincoscos 2224 f xm nxxx 即有： 311 ( )sincos=sin() 4426 f xxxx 又因为 ( )f x相邻两对称轴之间距离为 2 ，则周期为，从而2， 从而 1 ( )sin(2) 26 f xx， 1 ( ) 62 f 选择条件： 依题意， 1 ( )cossin() 2264 f xxx 即有： 311 ( )cos(sincos) 222224 f xxxx 化简得： 2 311 ( )s
27、incos(cos) 222224 f xxxx 即有： 311 ( )sincos=sin() 4426 f xxxx 又因为 ( )f x相邻两对称轴之间距离为 2 ，则周期为，从而2， 从而 1 ( )sin(2) 26 f xx， 1 ( ) 62 f (2) 1 ( )sin(2) 26 f xx，则其单调递减区间为 3 2 22 , 262 kxkkZ， 解得 2 , , 63 xkkkZ ，令0k ，得 2 , 6 3 x ， 从而 ( )f x在 0,上的单调递减区间为 2 , 6 3 . 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示
28、，属 于中档题. 18. 如图所示， 11 ABC， 122 C B C， 233 C B C均为边长为1的正三角形，点 1 C， 2 C在线段 3 AC上，点 1,2,10 i P i 在线段 33 B C上， 且满足 3 11223103 C PPPPPP B uuuruuu ruuuruuuu r L=， 连接 2 AB、1,2,10 i AP i ， 设 1 C Aa uuu rr =， 11 C Bb. 1试用a，b表示 1 AP uuu r ， 2 AP uuu r ， 3 AP； 2求() 10 2 1 i i ABAP uuur uuu r = 的值. 【答案】 1 1 1 3
29、 11 APab ， 2 2 3 11 APab ， 3 3 3 11 APab ； 245. 【解析】 【分析】 1根据向量的加减的几何意义表示出 1 AP uuu r ， 2 AP uuu r ， 3 AP； 2以A为坐标原点， 1 AC所在直线为x轴建立直角坐标系，求出直线 33 B C的方程，进而利用向量积求出 () 10 2 1 i i ABAP uuur uuu r = 的值. 【详解】 1由 3 11 223103 C PPPPPP B知， 3 11223103 1 11 C PPPP PP Bb， 从而有： 133 1 1 3 11 APACC Pab ， 2332 2 3 1
30、1 APACC Pab 3333 3 3 11 APACC Pab 2以A为坐标原点， 1 AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得 2 33 , 22 B ， 3 53 , 22 B ， 3 3,0C，直线 33 B C的方程为33yx . 设, iii P x y，则33 3 ii xy. 即有 () 2 3339 3 2222 iiiii ABAPxyxy uuur uuu r ?+=+= . 则() 10 2 1 45 i i ABAP uuur uuu r = ? . 【点睛】本题考查向量的数量积的运用，向量的加减的几何意义，考查转化的数学思想，属于中档题. 19. 已知数列 n a满
31、足 1 (1)1(N*) nn nanan ，且 1 1a . (1)求数列 n a的通项公式； (2)若数列 n b满足 2 n n n a b ，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】(1)21 n an；(2) 23 3 2 n n n S . 【解析】 【分析】 (1)由题意，左右同除(1)n n得： 1 111 1(1)1 nn aa nnn nnn ，利用累加法即可求得数列 n a的通 项公式； (2)由(1)可得21 n an， 代入可得 21 2 n n n b ， 利用错位相减求和法， 即可求得数列 n b的前n项和 n S. 【详解】(1)由 1 (1)1 nn na
32、na ，两边同时除以(1)n n得： 1 11 11 nn aa nnnn 从而有： 1 11 11 nn aa nnnn ， ， 21 1 1 1 22 aa ， 累加可得： 1 1 1 1 n aa nn ， 所以21(2) n ann， 又=1n满足等式，从而21 n an； (2) 21 2 n n n b ， 23 13521 2222 n n n S ， 所以有 23+1 1132321 + 22222 n nn nn S ， 即有： 23+1 1122221 222222 n nn n S ， 所以 23 3 2 n n n S . 【点睛】 本题考查累加法求数列的通项、 错位相
33、减法求数列的前n项和， 若出现 1 ( ) nn bbf n 时( )f n为 关于 n 的表达式)，用累加法求通项；若出现 1 ( ) n n b f n b 时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左 右同除(1)n n，构造 1 111 1(1)1 nn aa nnn nnn ，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理 解，计算化简的能力，属于中档题. 20. 若锐角BC中，角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若 3 2 ( )( 3sincos)3 3 x f xCC xx的图像 在点( ,( )C c f c处的切线与直线y x 垂直，求ABC面积的最大值. 【答
34、案】3. 【解析】 【分析】 求出函数 ( )f x的导数 ( ) fx，则根据题意可知 ( )1fc ，可得 2 4 sin()40 6 ccC，根据0 可 求出 ,2 3 Cc，根据正弦定理表示出, a b，将ABC面积用关于角 A 的三角函数表示出来，即可根据 A的范围求出最值. 【详解】(1) 3 2 ( )( 3sincos)3 3 x f xCC xx 2 ( )2( 3sincos)3fxxCC x， 依题意，有： 2 ( )4 sin()31 6 fcccC 从而有： 2 4 sin()40 6 ccC 由16sin() 160,sin()1 66 CC ， 7 sin()1,
35、 6666 CC ， ,2 3 Cc . 依正弦定理，有 4 ,sin sin3 sin 3 ac aA A ， 同理 42 sin() 33 bA ， 从而有： 14 32 sinsinsin() 233 ABC SabCAA， (,) 6 2 A 2 4 331 sincossin 322 ABC SAAA 2 3 2 3sincos2sin 3 AAA 3 3sin21cos2 3 AA 2 33 sin(2) 363 A， 当 3 A时，取到最大值 3， 因此，ABC的面积最大值为3. 【点睛】本题考查导数和解三角形的综合应用，属于中档题. 21. 如图， 有一生态农庄的平面图是一个半
36、圆形， 其中直径长为 2km， C、 D两点在半圆弧上满足ADBC， 设COB，现要在景区内铺设一条观光通道，由,AB BC CD和DA组成. (1)用表示观光通道的长l，并求观光通道l的最大值； (2)现要在农庄内种植经济作物，其中在AOD中种植鲜花，在OCD中种植果树，在扇形COB内种植 草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为2百万元/km2，种植草坪利润为1百万元/km2，则当为何值时 总利润最大？ 【答案】(1)5km；(2) = 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据直径长度和角度计算出,BC CD AD的长度，写出l的函数解析式，注意定义域，判断取何 值的时候l有最大值并计算出最大
37、值； (2)将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示， 利用导数去计算函数的最值， 确定取等号时的取值. 【详解】(1)作OEBC，垂足为E，在直角三角形OBE中，sinsin 22 BEOB ， 则有2sin 2 BCAD ， 同理作OFCD，垂足为F，coscosCFOC， 即：2cosCD， 从而有： 22 1 24sin2cos4sin4sin44(sin)5 22222 l 当 3 时，l取最大值 5，即观光通道长l的最大值为 5km. (2)依题意， 111 sin ,sin2 222 AODCODOBC SSS 扇形 ， ，则总利润 1 ( )sin +sin2 + 2 S ，
38、 11 ( )cos +2cos2 +(4cos3)(2cos1) 22 S ， 因为 (0,) 2 ，所以当 (0) 3 ， 时，( ) S单调递增，当 () 3 2 ， 时，( ) S单调递减， 从而当 = 3 时，总利润取得最大值，最大值为 ( 3) 6 S 百万元. 【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，属于中档题. (1)求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域； (2)求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值. 22. 已知函数 x f xxe. (1)求 f x的单调区间； (2)若函数 1 3 2ln m x g xxxmx
39、e ，当xe时， 0g x 恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为1, ，单调递减区间为, 1 ；(2),3e. 【解析】 【分析】 (1)求得 1 x fxxe， 分析导数的符号变化， 由此可得出函数 yf x的单调递增区间和递减区间； (2)分0m和0m两种情况讨论，在0m时验证即可；在0m时，将所求不等式变形为 2 ln1 m fxf x ，由(1)中的结论可得出 2 ln1 m x x ，参变量分离可得2 lnmxxx对任意的 xe恒成立，构造函数 2 lnh xxxx，利用导数求得函数 yh x在区间, e 上的最小值，由此 可求得实数m的取值范围. 【详解】(1
40、) x f xxe，该函数的定义域为R，且 1 x fxxe， 当1x 时， 0fx ，当1x时， 0fx . 从而函数 yf x的单调递增区间为1, ，单调递减区间为, 1 ； (2)由于( )0g x 对任意的xe恒成立，即 1 3 2ln0 m x xxmx e 恒成立， 当0m时， 3 2ln0 xx ， 1 0 m x mx e ，则 1 3 2ln0 m x xxmx e 恒成立； 当0m时，即 1 2 2ln10 m x m xxe x 恒成立， 即 1 22 ln10 m x m xxe x 恒成立，即 1 22 ln1 m x m xxe x ，即 2 ln1 m fxf x ， 由0m知，11 m x ，由于函数 x f xxe在区间1, 上单调递增， 由 2 ln1 m fxf x ，可得 2 ln1 m x x ，即2 lnmxxx. 令 2 lnh xxxx，其中xe，则 32ln0h xx ， 所以，函数 yh x在区间, e 上为增函数，则 min 3h xh ee，此时03me. 综上所述，实数m的取值范围是,3e. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考 查了指对同构思想的应用，考查运算求解能力，属于难题.
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