1、2021 届高三年级数学测试卷届高三年级数学测试卷 一、单项选择题一、单项选择题 1. 命题“0 x ，都有 2 30 xx”的否定是( ) A. 0 0 x，使得 2 00 30 xx B. 0 0 x，使得 2 00 30 xx C. 0 x ，都有 2 30 xx D. 0 x ，使得 2 30 xx 【答案】B 【解析】 【分析】 按照全称命题的否定是特称命题的原则来处理即可. 【详解】原命题为全称命题，由全称命题的否定为特称命题,可得命题“0 x 都有 2 30 xx ”的否定 是“ 0 0 x，使得 2 00 30 xx”. 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
2、 2. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 15 30S， 10 4a=，则 9 a等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 15 30S，可算出 8 a，又 10 4a=，根据等差中项的性质求解即可 【详解】由 1588 15302Saa，又 10 4a=， 98109 263aaaa 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了 21 21 nn Sna 和等差中项的性质，简化了运算 3. 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 (,)mab bc ，(, )ncb
3、a，若 /m n，则C ( ) A. 5 6 B. 2 3 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 分析】 由 /m n，可得 0abacbbc .结合余弦定理，可求角C. 详解】(,),(, )mab bc ncb a，且 /m n， 0abacbbc ， 整理得 222 cabab. 又 222 1 2cos,cos 2 cababCC . 2 0, 3 CC . 故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题. 4. 一个样本容量为 10的样本数据，它们组成一个公差为 2 的等差数列 n a，若 1 a， 3 a， 7 a成等比数列， 则此样本的平均数和中位数分别
4、是( ) A. 12，13 B. 13，13 C. 13，12 D. 12，14 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据 1 a， 3 a， 7 a成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样本的平均数和中位数. 【详解】解：依题意 2 2 317111 46 2aa aaaa ，解得 1 4a ， 故 n a是首项 1 4a ，公差2d 的等差数列， 所以此样本的平均数为 10 13 10 S ，中位数为 56 13 2 aa 故选：B 【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题. 5. 设函数 e ax f x 与 lng xbx的图象关于直线0 xy对称，其中a，bR
5、且0a.则a，b满 足( ) A. 2ab B. 1ab C. 1ab D. 1 b a 【答案】C 【解析】 【分析】 由 题 意 可 知 函 数 eaxf x 图 象 上 任 意 一 点,e ax A x 关 于0 xy对 称 点 1 e , ax Ax在 函 数 lng xbx的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解. 【详解】解：设,e ax A x 是函数 eaxf x 图象上任意一点， 则它关于直线0 xy对称的点 1 e , ax Ax在函数 lng xbx的图象上， 所以lneaxxbabx，即1ab ， 故选：C. 【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了基本知识的掌握情况
6、以及基本运算能力，属于基础题. 6. 在平面直角坐标系中， ,AB CD EF GH是圆 22 1xy上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 O为始边，OP 为终边，若tancossin，则 P所在的圆弧是 A. AB B. CD C. EF D. GH 【答案】C 【解析】 分析：逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线. A选项：当点P在AB上时，cos ,sinxy， cossin，故 A选项错误； B选项：当点P在CD上时，cos ,sinxy，tan y x
7、 ， tansincos，故 B选项错误； C选项：当点P在EF上时，cos ,sinxy，tan y x ， sincostan，故 C选项正确； D选项：点P在GH上且GH在第三象限，tan 0,sin0,cos0，故 D 选项错误. 综上，故选 C. 点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到 sin,cos,tan所对应的三角函数线进行比较. 7. 4 名大学生到三家企业应聘， 每名大学生至多被一家企业录用， 则每家企业至少录用一名大学生的情况有 ( ) A. 24 种 B. 36 种 C. 48 种 D. 60 种 【答案】D 【解析】 试题分析：
8、每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名， 33 43 24C A 种；一种 是其中有一家企业录用两名大学生， 23 43 36C A 种，一共有 3323 4343 60C AC A种，故选 D 考点：排列组合问题. 8. 如图， 在直角梯形ABCD中，22ABADDC，E为BC边上一点，BC3EC ，F为AE的中点， 则BF( ) A. 21 33 ABAD B. 12 33 ABAD C. 21 33 ABAD D. 12 33 ABAD 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】解： 111 222 BFBAAFBAA
9、EABADABCE 111 223 ABADABCB 111 246 ABADABCB 111 246 ABADABCDDAAB 1111 2462 ABADABABADAB 1111 24126 ABADABABAD 21 33 ABAD 故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 二、多选题二、多选题 9. 已知不等式2 x xea对任意的xR恒成立，则满足条件的整数a的可能值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用导数求得函数 2 x f xxe的最小值，可得出实数a的取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】令
10、 2 x f xxe，则 minaf x. 1 x fxxe，当1x时， 0fx；当1x 时， 0fx. 所以，函数 yf x的单调递减区间为,1，单调递增区间为1,， min 1f xfe，ae . 因此，满足条件的整数a的可能值为4、3. 故选：AB. 【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求解参数的可能取值，考查计算能力，属于中等题. 10. 甲罐中有 4 个红球，3个白球和 3 个黑球；乙罐中有 5 个红球，3个白球和 2个黑球先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐，分别以 1 A， 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机 取出一球，以M表示由乙罐取出的球是
11、红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为( ) A. 1 2 P M B. 1 6 11 P M A C. 事件M与事件 1 A不相互独立 D. 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案 【详解】解：甲罐中有 4个红球，3 个白球和 3个黑球；乙罐中有 5 个红球，3个白球和 2 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1 A、 2 A和 3 A表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件， 对 A， 463535
12、541 () 1011101110111102 P M ，故 A错误； 对 B， 1 1 1 46 ()6 1011 (|) 4 ()11 10 P MA P M A P A ，故 B 正确； 对 C，当 1 A发生时， 6 () 11 P M ，当 1 A不发生时， 5 () 11 P M ，事件M与事件 1 A不相互独立，故 C 正确； 对 D， 1 A， 2 A， 3 A不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故 D正确； 故选：BCD 【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力. 11. 已知定义在 R上的偶函数 f(x)，满足 f(x+4)=f(x)
13、+f(2)，且在区间0,2上是增函数，下列命题中正确的是 ( ) A. 函数 f(x)的一个周期为 4 B. 直线 x=-4 是函数 f(x)图象的一条对称轴 C. 函数 f(x)在-6,-5)上单调递增，在-5,-4)上单调递减 D. 函数 f(x)在0,100内有 25 个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性和条件，得到 20f，即函数是周期为 4 的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对 称性的性质分别进行判断即可 【详解】偶函数 f x，满足 42f xf xf， 令 2x得 2422fff ， 即 222fff，得 20f， 则 4f xf x， 即函数 f x是
14、周期为 4的周期函数，故 A正确； f x是偶函数， 图象关于 y 轴即 0 x对称，函数的周期是 4， 4x 是函数 f x图象的一条对称轴，故 B正确； 在区间0,2上是增函数， 在区间 2,0上是减函数，则在区间6, 4上是减函数，故 C 错误； 20fQ， f x在区间2,0上是减函数， f x在区间2,4上减函数， 即函数在一个周期0,4内只有一个零点， 则函数 f x在0,100内有 25个零点，故 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的应用，根据条件求出函数的周期是解 决本题的关键，为中档题 12. 设函数 2 sinsin 2c
15、os2f xxx，给出下列四个结论：则正确结论的序号为( ) A. 20f B. f x在 5 3 , 2 上单调递增 C. f x的值域为1 2cos2,32cos2 D. f x在0,2上的所有零点之和为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由 23sin22cos2f，结合 3 2 24 ，可判定 A 正确；作出函数2 sinsinyxx的图象，可得 函数 f x的值域及单调性，可判定 B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得 f x在0,2上的所有 零点之和，可判定 D正确. 【详解】由题意，函数 2 sinsin2cos2f xxx， 可得 22 sin2sin22cos23si
16、n22cos2f 因为 3 2 24 ，所以sin2cos20，所以 20f，所以 A正确； 由 3sin ,22 2 sinsin, sin ,222 xkxk yxxkZ xkxk ， 作出函数2 sinsinyxx的图象，如图所示， 可得函数 f x是以2为周期的周期函数， 由函数2 sinsinyxx的图象可知，函数 f x在 3 ( ,) 2 上单调递增， 又由 f x是以2为周期的周期函数，可得函数 f x在 5 ( 3 ,) 2 上单调递增， 所以 B是正确的； 由由函数2 sinsinyxx的图象可知，函数 f x的值域为2cos2,32cos2， 所以 C不正确； 又由 2
17、2 23 ，所以 1 cos20 2 ，则02cos2 1， 令 0f x ，可得2 sinsin2cos2xx， 由图象可知，函数 f x在0,2上的所有零点之和为4，所以 D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解 答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题. 三、填空题三、填空题 13. 在 1 n x x 的展开式中，各项系数之和为64，则展开式中的常数项为_. 【答案】15 【解析】 【分析】 利用展开式各项系数之和求得n的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数
18、的值，代入通项计算 即可得解. 【详解】 1 n x x 的展开式各项系数和为264 n ，得6n， 所以， 6 1 x x 的展开式通项为 6 3 6 2 166 1 r r r rr r TCxCx x ， 令 63 0 2 r ，得2r =，因此，展开式中的常数项为 2 6 15C . 故答案为：15. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属 于基础题. 14. 某班甲、乙两位同学在高二第一学期的 5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较 稳定的同学的方差是_ 【答案】10 【解析】 【分析】 由茎叶图中的数据判断甲组
19、数据方差较小，再计算它的平均数和方差 【详解】解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在81 90之间，乙组数据分布在79 91之间， 所以甲组数据较为稳定，计算 1 818283849084 5 x 甲 ， 方差是 222222 1 (8184)(8284)(8384)(8484)9084)10 5 s 甲 故答案为：10 【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题 15. 设由复数组成的数列 n a满足： 对任意的 * nN， 都有 1n n a i a (i是虚数单位)， 则数列 n a的前 2020 项和的值为_. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据等比数列的
20、定义和通项公式得前 n 项和公式，可求得 22019 20201 1+ + +Si iia ，再运用 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii ，可得答案. 【详解】设数列 n a的首项为 1 a，数列 n a的前 n项和为 n S，则由已知得 1 1 n n aa i ，所以 2019 202012320 2 201 +1+ + +Saaaaai ii ，而 32019504 4+332 1+ + +0i iiiii ， 所以 23 20201 5041+ + +=0Si iai ， 故答案为：0. 【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前 n 项和，复数的运算，关键在
21、于运用等比数列的前 n项公 式求和， 2 1i ， 23 1+ + +0i ii ，属于中档题. 16. 已知函数 2 2 x a f xxae e ，若存在 x0，使得 0 2 4 1 f x e ，则实数 a的值为_. 【答案】 2 2 1 1 e e 【解析】 【分析】 函数 ( )f x可以看作是动点 , x M x e 与动点, a Na e 之间距离的平方， 问题转化为求直线上的动点到曲 线的最小距离，由 x ye得 1 x ye e ，曲线上点 1 1,M e 到直线 1 yx e 的距离最小，要使 0 2 4 1 fx e ，则 0 2 4 1 f x e ，然后求解 a即可
22、【详解】函数 2 2 x a f xxae e ， 函数 f x可以看作是动点, x M x e 与动点, a Na e 之间距离的平方， 动点 M 在函数 x ye的图象上，N在直线 1 yx e 的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由 x ye得， 1 x ye e ，解得1x， 所以曲线上点 1 1,M e 到直线 1 yx e 的距离最小，最小距离 2 2 1 d e ， 则 2 4 ( ) 1 f x e ， 根据题意，要使 2 4 ( ) 1 f x e ，则 2 4 ( ) 1 f x e ， 此时N恰好为垂足，由 MN ke ，解得 2 2 1 1 e a
23、e 故答案为： 2 2 1 1 e e 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计 算能力，属于难题 四解答题四解答题 17. 在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 sinsin3 cosacBbCbA. (1)求角A； (2)若ABC的面积为4 3，6a，求ABC的周长. 【答案】(1)60A (2)6 2 21 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理边化角进行化简求值即可 (2)利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出bc整体即可 【详解】解：(1)由正弦定理得：sinsinsinsinsin3sincosACBBCBA， sin
24、0B，tan3A，A是ABC的内角，60A . (2)ABC的面积为4 3， 1 sin4 3 2 bcA， 由(1)知60A ，16bc ， 由余弦定理得： 22222 2cosabcbcAbcbc 2 3bcbc， 2 4836bc，得： 2 21bc ， ABC的周长为6 2 21 . 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决 周长、面积问题 18. 某校高三实验班的 60名学生期中考试的语文、数学成绩都在100,150内，其中语文成绩分组区间是： 100,110，110,120，120130,，130140,，140,150.其成绩的
25、频率分布直方图如图所示，这 60 名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示： 分组区间 100,110 110,120 120130, 130140, 140,150 :x y 1:2 2:1 3:5 3:4 语文人数x 24 3 数学人数y 12 4 (1)求图中a的值及数学成绩在130140,的人数； (2)语文成绩在140,150的 3 名学生均是女生，数学成绩在140,150的 4 名学生均是男生，现从这 7名学 生中随机选取 4 名学生，事件M为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M发生的概率； (3)若从数学成绩在130,150的学生中随机选取
26、 2名学生， 且这 2名学生中数学成绩在140,150的人数为 X，求X的分布列和数学期望E X. 【答案】(1)数学成绩在130140,的人数为 8人(2) 31 35 (3)详见解析 【解析】 【分析】 (1)由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a，再根据频率分布直方图数据，即可求解； (2)由事件M可分为2 个男生，2 个女生；3 个男生 1 个女生；4 个男生三种情况，即可求解相应的概 率； (3)由题意，得到X可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可 求解. 【详解】(1)由题意，根据频率分布直方图的性质， 可得0.005 0.0200.
27、0400.005101a，解得0.030a 则语文成绩在100,110，110,120，120130,，130140,，140,150中的人数分别为3,24,18,12,3， 则数学成绩在100,110，110,120，120130,，130140,，140,150中的人数分别 为6,12,30,8,4， 所以数学成绩在130140,的人数为 8 人. (2)从这 7 名学生中随机选取 4名学生，事件M为：“其中男生人数不少于女生人数”， 可分为2 个男生，2个女生；3个男生 1个女生；4个男生，三种情况： 所以事件M发生的概率 2234 43434 1 7 4 31 35 C CC CC P
28、 M C . (3)由题意可知X可能取值有 0，1，2. 20 84 2 12 14 0 33 C C P X C ， 11 84 2 12 16 1 33 C C P X C ， 02 84 2 12 31 2 3311 C C P X C ， X的分布列为 X 0 1 2 P 14 33 16 33 1 11 所以 141612 012 3333113 E X . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中 解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布 列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答
29、问题的能力，属于基础题. 19. 已知函数 logkf xx(k为常数，0k 且1k ) (1)在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列，说明理由； 数列 n f a是首项为 2，公比为 2的等比数列； 数列 n f a是首项为 4，公差为 2的等差数列； 数列 n f a是首项为 2，公差为 2的等差数列的前n项和构成的数列 (2)在(1)的条件下，当 2k 时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列 n b的前n项和 n T 【答案】(1)答案见解析；(2) 21 n n T n . 【解析】 【分析】 (1)分别选择三个条件，先计算出 n a，再利用等比数列的定义判断
30、即可； (2)先求出 n b，再利用裂项相消法可求出. 【详解】(1)不能使 n a成等比数列，可以， 选，则2n n f a，即log2n kn a ，得 2n n ak， 1 2 2 1 2 n n n n n ak k a k 常数，此时数列 n a不是等比数列； 选，则4 (1) 222 n f ann ，即log22 kn an， 得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak ， 2 k为非零常数， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公比的等比数列； 选，则 2 (1) 22 2 n n n f annn ，即 2
31、logk n ann， 得 (1)n n n ak ， (1)(2) 2(1) 1 (1) nn n n n n n ak k ak 常数， 此时数列 n a不是等比数列. (2)由(1)知 1 4222 n n n akkk ， 所以当 2k 时， 1 2n n a 因为 1 2 2 41 n nn a b n ，所以 2 1 41 n b n ， 所以 1111 21212 2121 n b nnnn ， 12 111111 1 23352121 11 1 22121 nn n nn Tbbb nn 【点睛】本题考查等差等比数列的综合应用，考查等比数列的判断，考查 liex 相消法求和，属
32、于中档题. 20. 某景区为提高经济效益， 现对某一景点进行改造升级， 从而扩大内需， 提高旅游增加值， 经过市场调查， 旅游增加值y万元与投入x x10万元之间满足： 2 101 lnln10 50 yf xaxxbxb，, a b为常数. 当10 x 万元时，19.2y 万元；当30 x 万元时，50.5y 万元. (1)求 f x的解析式； (2)求该景点改造升级后旅游利润 T xf xx的最大值. (参考数据：ln20.7，ln31.1，ln5 1.6) 【答案】(1) 2 1101 ( )lnln10 10050 f xxxx ；(2)24.4万元 【解析】 【分析】 (1)由10
33、x 万元时，19.2y 万元；当30 x 万元时，50.5y 万元.代入可求得参数, a b，得解析式； (2)求导数( )T x ，由导数确定单调性后可得最大值 【详解】(1)由题意 101 100ln10ln1019.2 5 303 900ln30ln1050.5 5 abb abb ，解得 1 100 1 a b ， 2 1101 ( )lnln10 10050 f xxxx ； (2)由(1) 2 151 ( )( )lnln10 10050 T xf xxxxx ， 1511(1)(50) ( ) 5050 xx T xx xx ， 10 x， 10,50)x时，( )0T x ，(
34、 )T x递增，(50,)x时，( )0T x ，( )T x递减， 50 x时，( )T x取得极大值也是最大值， 2 151 (50)5050ln50ln1024.4 10050 T 该景点改造升级后旅游利润的最大值为 24.4 万元 【点睛】本题考查函数模型的应用，考查用导数的实际应用考查学生的运算求解能力，数学应用意识 21. 设 11 ,A x y， 22 ,B x y是函数 2 1 log 21 x y x 的图像上任意两点，点 00 ,M x y满足 1 2 OMOAOB (1)若 0 1 2 x ，求证： 0 y为定值； (2)若 21 2xx，且 0 1y ，求 1 x取值范
35、围，并比较 1 y与 2 y的大小 【答案】(1) 证明见解析 (2) 1 x的取值范围是 35 1 22 ， ， 12 yy 【解析】 【分析】 (1)由 1 2 OMOAOB得 12 1xx +，再由 012 12 2 12 11 11 1 22 log x x xx yyy ，可证明 0 y 1 2 为定值. (2)由 120 21，xxy， 12 01222 12 11 11 1 22 2 loglog 121 xx xx yyy ，则 1 1 12 12 2 0 12 2 2 11 2 x x x x xx ， 可 得 出 1 x的 取 值 范 围 ， 由 111 1112 2 0
36、112112 xxx xxxx ， 可 知 11 11 2 0 112 xx xx ，可得出 12 yy. 【详解】(1) 由 1 2 OMOAOB，可得 012 11 22 xxx，即 12 1xx +. 1212 222 11 2 2 01 2 11 111 1 22 222 logloglog 1111 xxx x xxx yyy x 故 1212 22 121 0 2 loglog 11 111 11 222 x xx x xxx x y 为定值. (2)由 210 21xxy， 12 01222 12 11 11 1 22 2 loglog 121 xx xx yyy 可得 12 2
37、2 12 loglog1 11 xx xx ,即 1112 222 1112 22 logloglog1 11 211 2 xxx x xxxx 则 1 1 12 12 2 0 12 2 2 11 2 x x x x xx ，即 1 2 11 1 0 2 310 x xx ,所以 1 1 1 0 2 3535 22 x x 所以 1 x的取值范围是 35 1 22 ， 此时由 111 1112 2 0 11 211 2 xxx xxxx ，可知 11 11 2 0 112 xx xx 故 11 22 11 211 loglog 2121 2 xx xx ，即 12 yy. 【点睛】本题考查对数
38、函数的性质和对数的运算性质，考查向量的坐标运算，属于中档题. 22. 已知函数 2 ( )2lnf xxx， a g xx x （ ） (1)设函数 ( )f x与( )g x有相同的极值点 (i)求实数 a的值； (ii)若对 1 x， 2 1 3x e ，不等式 12 1 1 f xg x k 恒成立，求实数 k 的取值范围； (2)0a时，设函数 ( ) ( )sin( )1 g x h xeg x，试判断h x（ ）在0 ，上零点的个数 【答案】(1)(i)1；(ii) 34 2ln3 3 k 或1k ；(2)1 个 【解析】 【分析】 (1)(i)求出函数 ( )f x的极值点 1，
39、令函数(1)0 g ，求出 a的值，再检验 1是函数( )g x的极值点； ii当1k 时，问题等价于 12 1f xg xk，当1k 时，问题等价于 12 1f xg xk，即 12 1kf xg x恒成立，将恒成立问题转化成求函数的最值问题即可得解； (2)令 sin1 ( )1 x x u x e ，用导数可证 1 2 x ， 时，( )0u x ，函数单调递减，当 1 0 2 x ， ( )0u x ，函数单调递增，可证( )u x在0 ，上只有 1个零点，故( )h x在0 ，上只有 1 个零点 【详解】解：(1)(i) 2 2 1 ( ) x fx x ， 当01x，时，( )0f
40、x ，函数单调递增， 1x， ( )0fx ，函数单调递减， 故1x 时，函数取得唯一的极大值， 故1x 也是( )g x的极值点， 2 ( )1 a g x x ， 由(1)10ga 可得1a ， 经检验1x 是( )g x的极小值点，故1a ， ii由(i)知1a ，由于 2 11 2f ee ，(1)1f ，(3)2 39fln， 显然 1 (3)(1)fff e ， 故 1 3x e ，时，( )2 3 9 min f xln，( )1 max f x ， 又 11 ge ee ，(1)2g， 10 (3) 3 g， 故 1 (1)(3)ggg e ， 所以当 1 3x e ，时，(
41、)2 min g x， 10 ( ) 3 max g x， 当1k 时，问题等价于 12 1f xg xk， 所以 12 1kf xg x恒成立，即 12 1 max kf xg x， 12 11 2 12f xg x ， 2k ，故1k 符合题意； 当10k 即1k 时，问题等价于 12 1f xg xk，即 12 1kf xg x恒成立， 即 12 1 min kf xg x， 因为 12 1034 12 3912 3 33 f xg xlnln ， 34 2 3 3 kln 综上 34 2 3 3 kln或1k ， (2)当0a时，( )g xx，( )1 x h xesinx，0 x
42、， 令 sin1 ( )1 x x u x e ，0 x ， 则 2cos1 cossin14 ( ) xx x xx u x ee ， 当 1 2 x ， 时，( )0u x ，函数单调递减， 当 1 0 2 x ，( )0u x，函数单调递增， 又10ue ， 1 10 2 u ，(0)0u， 所以( )u x在0 ，上只有 1 个零点， 即方程 sin1 10 x x e 在0 ，上只有一个根， 即方程10 x esinx 在 0 ，上只有一个根， 即函数( )h x在0 ，上只有 1个零点 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了零点的判断，以及导数中的恒成立问题， 是难题
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