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    2021届重庆市沙坪坝区高三上学期第一次月考数学试题(教师版)

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    2021届重庆市沙坪坝区高三上学期第一次月考数学试题(教师版)

    1、2021 级高三上期第一次月考数学试题级高三上期第一次月考数学试题 一、单项选择题一、单项选择题 1. 设集合 ln 1Ay yx, 42xBy y,则AB ( ) A. 0,2 B. 0,2 C. 0,2 D. 0,1 【答案】A 【解析】 【分析】 先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B,注意集合中的代表元素,再利用集合 的交集运算求解即可. 【详解】ln 1Ay yxR, 420,2 x By y, 0,2AB . 故选:A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题. 2. 设a, 0,b,A ab ,Bab,则A,B的大小关系是(

    2、) A. AB B. AB C. AB D. AB 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意计算做差可得 22 AB ,得到答案. 【详解】由a,0,b,得0Aab,0Bab 2 222 ()20ABababab, 22 AB ,故AB, 故选:B. 【点睛】本题考查了做差法比较大小,意在考查学生的计算能力和推断能力. 3. 已知直线l是曲线2yxx的切线,则l的方程不可能是( ) A. 5210 xy B. 4210 xy C. 13690 xy D. 9440 xy 【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出曲线2yxx的切线的斜率的取值范围, 然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是

    3、 否为曲线2yxx的切线,由此可得出结论. 【详解】对于函数2yxx,定义域为0,,则 1 22 2 y x , 所以,曲线2yxx的切线l的斜率的取值范围是2,. 对于 A选项,直线5210 xy 的斜率为 5 2 ,令 15 2 22 y x ,解得1x ,此时 3y , 点1,3在直线5210 xy 上,则直线5210 xy 与曲线2yxx相切; 对于 B选项,直线4210 xy 的斜率为2,该直线不是曲线2yxx的切线; 对于 C选项,直线13690 xy的斜率为 13 2 6 , 令 113 2 62 y x ,解得9x,此时21y , 点9,21在直线13690 xy上,所以,直线

    4、13690 xy与曲线2yxx相切; 对于 D选项,直线9440 xy的斜率为 9 2 4 , 令 19 2 42 y x ,解得4x,此时10y , 点4,10在直线9440 xy上,所以,直线9440 xy与曲线2yxx相切. 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程,考查计算能力,属于中等题. 4. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成, 设扇形的面积为 1 S ,圆面中剩余部分的面积为 2 S,当 1 S与 2 S的比值为 51 2 时,扇面看上去形状较为 美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A. (35

    5、) B. ( 51) C. ( 51) D. ( 52) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据扇形与圆面积公式,可知面积比即为圆心角之比,再根据圆心角和的关系,求解出扇形的圆心角 【详解】 1 S与 2 S所在扇形圆心角的比即为它们的面积比, 设 1 S与 2 S所在扇形圆心角分别为, , 则 51 2 ,又 2 ,解得(35) 故选:A 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算,难度较易扇形的面积公式: 2 11 22 Srlr,其中是扇形圆 心角的弧度数,l是扇形的弧长 5. 若函数 ,2 log2 , x a axa f x xxa (其中0a,1a )存在零点,则实数a的取值范围是( ) A

    6、. 1 ,11,3 2 B. 1,3 C. 2,3 D. 2,3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中所给的函数有零点,结合解析式的特征,求得函数的零点,再根据分段函数的意义再结合式子的 特征求得结果. 【详解】因为xa时,( )log (2) a f xx,所以2a, 若函数若有零点,则log20 a x,解得3x , 故3a,又2a, 实数a的取值范围是2,3 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围,属于 简单题目. 6. 已知02,函数 sin3cosf xxx,对任意Rx,都有 3 fxf x ,则的 值为( ) A. 1

    7、 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 化简函数 yf x的解析式为 2sin 3 fxx ,由题意可知,点 ,0 6 是函数 yf x的一个对 称中心,结合02可求得的值. 【详解】 sin3cos2sin 3 f xxxx , 根据 3 fxf x ,得 ,0 6 是函数 yf x的一个对称中心, 则2sin0 663 f ,可得sin0 63 , 02,0 363 ,所以0 63 ,解得2. 故选:D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值,同时也考查了辅助角公式的应用,考查计算能力, 属于中等题. 7. 函数 2cos sin2f xxx的一个

    8、单调减区间是( ) A. , 4 2 B. 0, 6 C. , 2 D. 5 , 6 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求得函数 yf x的单调递减区间,利用赋值法可得出结果. 【详解】 2cossin2f xxx,该函数的定义域为R, 22 2sin2cos22 1 2sin2sin2 2sinsin1fxxxxxxx 2 sin1 2sin1xx, 1 sin1x ,可得sin10 x , 令 0fx ,可得2sin10 x ,即 1 sin 2 x ,解得 5 22 66 kxkkZ . 所以,函数 yf x的单调递减区间为 5 2,2 66 kkkZ . 当0k 时,函数 yf

    9、x的一个单调递减区间为 5 , 66 , 5 , 4 266 , 对任意的kZ, 5 0,2,2 666 kk , 5 ,2,2 266 kk , 55 ,2,2 666 kk , 故函数 yf x的一个单调递减区间为, 4 2 . 故选:A. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间,考查计算能力,属于中等题. 8. 设函数 f x在R上存在导数 fx,对任意的Rx,有 2cosf xfxx,且在0,上 有 sinfxx ,则不等式 cossin 2 f xfxxx 的解集是( ) A. , 4 B. , 4 C. , 6 D. , 6 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数,由已知得出

    10、所构造的函数的单调性,再利用其单调性解抽象不等式,可得选项. 【详解】设 cosF xf xx, 2cosf xfxx, 即 c o sc o sf xxxfx,即 F xFx,故 F x是奇函数, 由于函数 f x在R上存在导函数 fx ,所以,函数 f x在R上连续,则函数 F x在R上连续. 在0,上有 sinfxx , sin0Fxfxx , 故 F x在0,单调递增, 又 F x是奇函数,且 F x在R上连续, F x在R上单调递增, cossin 2 f xfxxx , cossincos 222 f xxfxxfxx , 即 2 F xFx , 2 xx ,故 4 x , 故选:

    11、B 【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性,从而求解抽象不等式的问题,构造合适的函数是解决问 题的关键,属于较难题. 二、多项选择题二、多项选择题 9. 已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2 sinsinsinBAC,则角B的值不可能 是( ) A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】CD 【解析】 【分析】 先利用正弦定理得到 2 bac,再利用余弦定理和基本不等式得到 0, 3 B ,即可判断. 【详解】 2 sinsinsinBAC, 由正弦定理得: 2 bac, 22222 21 cos 2222 acbacacacac B acacac , 当

    12、且仅当ac时取等号, 又0B, 故0, 3 B . 故选:CD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理,考查了基本不等式.属于较易题. 10. 下列说法正确的是( ) A. “ 4 x ”是“tan1x”的充分不必要条件 B. 命题 :p “若ab,则 22 ambm”的否定是真命题 C. 命题“ 0 Rx, 0 0 1 2x x ”的否定形式是“Rx , 1 2x x ” D. 将函数 cos2f xx x图象向左平移 4 个单位长度得到 g x的图象,则 g x的图象关于点 0, 4 对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】 解方程tan1x,利用集合的包含关系可判断 A 选项的正误

    13、;判断命题p的真假,可判断出该命题的否定 的真假,进而可判断 B 选项的正误;利用特称命题的否定可判断 C 选项的正误;利用图象平移得出函数 yg x的解析式,利用对称性的定义可判断 D 选项的正误. 详解】对于 A 选项,解方程tan1x,可得 4 xkkZ , 4 , 4 x xkkZ ,所以,“ 4 x ”是“tan1x”的充分不必要条件, A 选项正确; 对于 B选项,当0m时, 22 ambm,则命题 p为假命题,它的否定为真命题,B选项正确; 对于 C选项,命题“ 0 Rx, 0 0 1 2x x ”的否定形式是“Rx , 1 2x x ”,C选项错误; 对于 D选项,将函数 co

    14、s2f xxx的图象向左平移 4 个单位长度, 得到 cos2sin2 444 g xxxxx , sin2sin2 44 gxxxxx ,则 2 g xgx , 故函数 yg x的图象关于点0, 4 对称,D 选项正确; 故选:ABD. 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断, 同时也考查了函数对称性的验证,考查推理能力,属于中等题. 11. 在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并构 成一般不动点定理的基石,布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔(L.E.J.Brouwer),

    15、简单 的讲就是对于满足一定条件的连续函数 f x,存在一个点 0 x,使得 00 f xx,那么我们称该函数为“不 动点”函数,下列为“不动点”函数的是( ) A 2xf xx B. 2 3g xxx C. 21,1 2,1 x x fx x x D. ln1f xx 【答案】BC 【解析】 【分析】 只要解方程 00 ()f xx,观察它有没有实解即可得, 【详解】选项 A,若 00 f xx,则 0 20 x ,该方程无解,故 A中函数不是“不动点”函数; 选项 B,若 00 g xx,则 2 00 230 xx,解得 0 3x 或-1,故 B中函数是“不动点”函数; 选项 C,若 00

    16、f xx,则 0 1x , 0 0 21 x x ,或 0 1x , 00 2xx,解得 0 1x ,故 C 中函数是:“不 动点”函数; 选项 D,若 00 f xx,则 00 ln1xx ,该方程无解,故 D中函数不是“不动点”函数. 故选:BC. 【点睛】本题考查新定义“不动点”,解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解 12. 已知函数 sin coscos sinf xx x,其中 x表示不超过实数 x的最大整数,关于 f x有下述 四个结论,正确的是( ) A. f x的一个周期是2 B. f x是非奇非偶函数 C. f x在(0, )单调递减 D. f x的最大值大于 2

    17、【答案】ABD 【解析】 【分析】 先根据周期函数定义判断选项 A,再根据 yx函数的意义,转化 f x为分段函数判断 B 选项,结合三 角函数的图象与性质判断 C,D选项. 【详解】 2sin co(cos in)ssf xxxf xQ, f x的一个周期是2,故 A正确; sin1 1,0 1,0, 2 cos1, 2 1 sin1, 2( ) 3 cos1 sin1, 2 3 cos1,2 2 cos1,0 2 x x x x f x x x x , ( )f x 是非奇非偶函数,B 正确; 对于 C,(0,) 2 x 时, 1f x ,不增不减,所以 C 错误; 对于 D,0,) 2

    18、x , 2 ( )sin1 1sin111.72 42 f x ,D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查了函数的周期性,单调性,奇偶性,考查了特例法求解选择题,属于中档题. 三、填空题三、填空题 13. 若幂函数 f x过点2,8,则满足不等式 (3)(1)f afa 的实数a的取值范围是_. 【答案】(,2 【解析】 【分析】 先求得幂函数 f x的解析式,在根据 f x的单调性求得不等式(3)(1)f afa的解集. 【详解】设 f xx,代入点2,8,得28,3 ,所以 3 f xx,所以 f x在R上递增,所以 (3)(1)31f afaaa ,解得2a,所以实数a的取值范围是

    19、(,2. 故答案为:(,2 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查幂函数的单调性,属于基础题. 14. 已知1a ,1b,则 loglog 216 ab ba 的最小值是_. 【答案】8 【解析】 【分析】 利用换底公式可得loglog1 ab ba,再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为1a ,1b,所以log0,log0 ba ab, 因为 lg log lg loglog1 lg log lg a ab b b b a ba a a b , 所以, logloglogloglog4log2 4 2162 2162 22 28 ababab bababa , 当log2 ab 时

    20、取“=”. 故答案为:8. 【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用,属于中档题. 15. 4cos50 tan40_ 【答案】 3 【解析】 【详解】 4sin40 cos40sin40 4cos50tan40 cos40 2cos10sin30 cos10sin10 cos30 cos40 , 31 3cos10sin10 22 cos40 3cos40 3 cos40 ,故答案为3. 考点:三角函数诱导公式、切割化弦思想. 16. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 2b,cos25cos3ABC,点 P是ABC的重心,且 2 7 3 AP ,则

    21、c_. 【答案】4 【解析】 【分析】 首先根据余弦二倍角公式得到 1 cos 2 A,设BC边上的中线为AD,得到 7AD ,从而得到 1 2 ADABAC,再平方解方程即可得到答案. 【详解】因为cos25cos3ABC,所以 2 2cos5cos20AA, 所以 1 cos 2 A或cos2A(舍去). 设BC边上的中线为AD,如图所示: 因为 2 7 3 AP ,所以7AD , 又因为 1 2 ADABAC, 所以 2221 2 4 ADABACAB AC, 所以 22 1 72cos 4 cbbcA, 22 11 722 2 42 cc , 化简得 2 2240cc,解得4c 或6c

    22、(舍去). 故答案为:4 【点睛】本题主要平面向量数量积的应用,同时考查了余弦二倍角公式,属于简单题. 四、解答题四、解答题 17. 已知点2,1P 在角的终边上,且02 . (1)求值: 2sincos 4sincos ; (2)若 3 2 ,且 10 sin 210 ,求 2 的值. 【答案】(1)2;(2) 7 24 . 【解析】 【分析】 先利用同角三角函数的基本关系得到sin,cos,tan;(1)原式分子分母同除cos得到正切,代入已知 量即可得出结果;(2)先利用已知角的范围求得 5 224 ,求出cos 2 ,再利用 22 ,最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果. 【详解】

    23、由题意: 5 sin 5 , 2 5 cos 5 , 1 tan 2 ,且 2 , (1) 2sincos2tan1 2 4sincos4tan1 ; (2) 3 2 , 224 , 5 224 , 3 10 cos 210 , coscoscoscossinsin 2222 , 2 552 552 3 1010 1010 , 5 2 42 , 7 24 . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题. 18. 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx . (1)当, 4 2 x 时,求 f x的值域; (2)是否存在实数2,t,使得 f x在2,t上

    24、单调递增?若存在,求出t的取值范围,若不存在, 说明理由. 【答案】(1) 2,3f x ;(2)不存在,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)由二倍角公式降幂,再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质 求得值域; (2)求出函数的单调区间,由 2在减区间内部,得结论 【详解】解:(1) 2 2sin3cos2 4 f xxx 1cos23cos21sin23cos212sin 2 23 xxxxx . 又, 4 2 x , 2 2 633 x ,即212sin 23 3 x, 2,3f x ; (2)由222 232 kxk kZ得 5 1212 kx kZ

    25、, 所以 f x的递增区间是 5 , 1212 kk kZ,递减区间是 511 , 1212 kk kZ,令 0k ,函数在 511 , 1212 上递减,而 511 2, 1212 ,即函数在 11 2, 12 上是递减的,故不存在实数 2,t,使得 f x在2,t上递增. 【点睛】本题考查正弦型函数的值域,考查正弦型函数的单调性,解题方法由二倍角公式,两角和与差的 正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求解 19. 已知Ra,函数 1 lnf xaxx 在1x 处取得极值. (1)求函数 f x的单调区间; (2)若对0,x , 2f xbx恒成立,求实数b的最大值.

    26、 【答案】(1)函数 f x在( ) 0,1上单调递减,在( ) 1,+?上单调递增;(2) 2 1 1 e . 【解析】 【分析】 (1)首先对函数求导, 根据函数 1 lnf xaxx 在1x 处取得极值, 得到 110fa , 求得1a , 根据导数的符号求得其单调区间; (2)将不等式转化为 1ln 1 x b xx ,之后构造新函数 1ln 1 x g x xx ,利用导数求得其最小值,进而 求得最值,得到结果. 【详解】 11ax fxa xx ,由 110fa 得1a , 1 ln f xxx, (1) 1x fx x ,由 ( ) 0fx 得1x ,由 ( ) 0fx ,得 2

    27、 xe,由 ( ) 0gx fx a ,得(1 2 )x ax a , 1 (2)()0axx a ,20ax, 2 x a , 当 1 x a 时,由 2 fx a ,即(1) 2 xax a , 2 2 0axx a ,令 2 2 0axx a ,1 80 ,方 程无解,而0a,所以 2 2 0axx a 无解, 综上所述, 2 x a , 所以不等式 2 f x a 的解集为 2 , a . (2) 1 2 a 时 2 2 ,2 1 2 1 2 ,2 2 x xx f xxx x x x , 1 1 2 f,由 1 1 22 x x 得另一个根 2 1x ,由 f x的图像可知, 当01

    28、m时,函数的最大值为 2 1 22 mm f mmm ; 当1 2 1m 时,函数的最大值为 1 2 ; 当 21m 时,函数最大值为 2 2 m f mm 综上所述,函数的最大值为 2 max 2 ,01 2 1 ,121 2 ,21 2 m mm ym m m m . 【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题,分段函数求最值的问题,考查了数形结合的思想. 21. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市,而重庆比武汉、南京更厉害,堪称三大“火炉”之首.某人在 歌乐山修建了一座避暑山庄O(如图).为吸引游客, 准备在门前两条夹角为 6 (即AOB)的小路之间修建 一处弓形花园,使之有着类似“冰

    29、淇淋”般的凉爽感,已知弓形花园的弦长2 3AB 且点A,B落在小 路上,记弓形花园的顶点为M,且 6 MABMBA ,设OBA. (1)将OA,OB用含有的关系式表示出来; (2)该山庄准备在M点处修建喷泉,为获取更好的观景视野,如何规划花园(即OA,OB长度),才使得 喷泉M与山庄O距离即值OM最大? 【答案】(1)4 3sinOA;4 3sin 6 OB ;(2)当63 2OBOA时,OM取最大值. 【解析】 【分析】 (1)在OAB中,利用正弦定理即可将OA,OB用含有的关系式表示出来; (2)在OMB中,由余弦定理得出 2 OM 2 16 3sin 228 3 ,结合三角函数的性质,即

    30、可得出 OM的最大值,再求出,OA OB的长度即可. 【详解】(1)在ABC中,由正弦定理可知sin sin 6 OAAB , 则4 3sinOA; 同理由正弦定理可得sin sin 6 OBAB OAB , 则4 3sin4 3sin 6 OBOAB , (2)2 3AB , 6 MABMBA , 2AMBM, 在OMB中,由余弦定理可知 222 2cos 6 OMOBBMOB BM 2 48sin4 16 3sincos 666 24 1 cos248 3sin2 33 2 83sin23cos22816 3sin 228 333 , 5 0, 6 , 227 2, 333 , 23 si

    31、n 21, 32 , 当 2 sin 21 3 时,即 5 12 时, OM取最大值 28 16 342 3 , 此时 5 4 3sin4 3 sincoscossin63 2 124646 OA , 555 4 3sin4 3sin4 3sin63 2 1261212 OB , 即当63 2OBOA时,OM取最大值. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用,涉及了三角函数求值域,属于中档题. 22. 已知函数 ( )sinln()f xxaxb ,( )g x是 ( )f x的导函数. (1)若0a,当1b时,函数( )g x在( ,4)内有唯一的极小值,求a的取值范围; (2)

    32、若1a,1e 2 b ,试研究( )f x的零点个数. 【答案】(1)(0, 25sin4)a;(2) ( )f x有 3个零点. 【解析】 【分析】 (1) 先 求 导 得 2 sin) (1) ( a gx x x , 求 出 2 ()0 (1 ) a g 4s i n 4 25 a g , 再 由 sin40 25 a 和sin40 25 a 两种情况讨论求得a的取值范围; (2)分析可知,只需研究(, )b时零点的个数情况,再分(,),(, ) 22 xbx 两种情形讨论即可. 【详解】解:(1)当1b时,si( )(l)n1nfxaxx,cos 1 ( )( )xx a gfx x

    33、, 2 sin) (1) ( a gx x x 0a 在,4是增函数, 2 ( )0 (1) a g ,(4)sin4 25 a g , 当(4)sin40 25 a g 时,( )g x在( ,4)是减函数,无极值; 当(4)sin40 25 a g 时, 0 ( ,4)x,使得 0 0()g x, 从而( )g x在 0 ( ,)x单调递减,在 0 (,4)x单调递增, 0 x为( )g x唯一的极小值点,所以0, 25sin4a (2)当1a时,( )sinln()f xxxb,(1,) 2 be ,可知, (i),x时,( )0f x ,无零点;所以只需研究(, )b, 1 ( )co

    34、sfxx xb , (ii)(, ) 2 x 时, 1 ( )cos0fxx xb ,可知 ( )f x单调递减, ()1 ln()1 ln()0 2222 fbe ,( )0f ,存在唯一的(, ) 2 s ,( )0f s ; (iii)当(,) 2 xb , 2 1 ( )sin () fxx xb 是减函数,且 2 1 (0)00f b , 2 1 ()10 2 () 2 f b 则 1 (0,) 2 x , 1 ( )0fx, fx在 1 (,)b x是增函数, 1 () 2 x ,是减函数,并且 lim( )0 xb fx , 1 010f b , 1 ()0 2 2 f b , 所以 2 (,0)xb , 2 ()0fx ; 3 (0,) 2 x , 3 ()0fx ,且知 f x f x在 2 , b x减,在 23 ,x x增,在 3 (,) 2 x 减, 又因为 ( )lim0 xb xf , 00 ln0fb, ()0 2 f ,(,0)mb ,( )0f m , (0,) 2 n ,( )0f n ,综上所述,由(i)(ii)(iii)可知,( )f x有 3个零点. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和 分析推理能力.


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