1、2021 年江苏省泰州市泰兴中考数学段考试卷（年江苏省泰州市泰兴中考数学段考试卷（3 月份）月份） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分 在每小题所给出的四个选项中， 只有一个是正确的，分 在每小题所给出的四个选项中， 只有一个是正确的， 请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13 的相反数是（ ） A3 B C D3 2下列计算正确的是（ ） A B C D 3如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（ ） A B C D 4小明是校篮球队的一名队员，根
2、据以往的数据统计，小明的进球率是 50%，他明天将参加一场比赛，则 下列说法正确的是（ ） A小明明天的进球率是 50% B小明明天每投 10 次必有 5 次投中 C小明明天一定能进球 D小明明天投 20 个球，其中投中 10 个是随机事件 5某汽车行驶时的速度 v（米/秒）与它所受的牵引力 F（牛）之间的函数关系如图所示当它所受的牵引 力 F 不超过 1200 牛时，速度 v（ ） A大于 50 米/秒 B小于 50 米/秒 C不大于 50 米/秒 D不小于 50 米/秒 6已知点 P（a，b）在一次函数的图象上，则代数式 3aba26b 的值为（ ） A6 B4 C4 D2 二、填空题（本
3、大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答 题卡相应位置上）题卡相应位置上） 727 的立方根等于 8因式分解：x34x 9根据新闻对新型冠状病毒肺炎的疫情实时动态，截止北京时间 2021 年 3 月 20 日，全球累计确诊人数已 超过 124000000，将数据 124000000 用科学记数法表示为 10方程 x22x40 的两根为 x1、x2，则 x1+x2的值为 11某快餐店某天销售 3 种盒饭的有关数据如图所示，则 3 种盒饭的价格平均数是 元 12一个扇
4、形的弧长为 3cm，半径为 4cm，则该扇形的面积为 cm2 13如图，将分别含有 30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两斜边相交构成的一个角为 60，则图中角 的度数为 度 14已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i1：2.4，如果它把物体送到离地面 10 米高的地方，那么物体所 经过的路程为 米 15如图，直角坐标系中，A 的半径为 3，点 A 的坐标为（3，4） ，若将A 沿 y 轴方向平移，平移 后，使A 上只有 3 个点到 x 轴的距离为 2，则平移后点 A 的坐标为 16 如图， O 的半径为， 四边形 ABCD 内接于O， ACBD， 则 AD+BC 的值为 三、解答题
5、（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 102 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （10 分） （1）计算： （2）解不等式组： 18 （8 分）某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了 以下统计图（不完整） （1）此次共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （ 3 ） 若 该 学 校 九 年 级 共 有300名 学 生 ， 请 你 估 计 其 中 “ 非 常 喜 欢 ” 网 课 的 人 数 19 （8 分）根
6、据最新公布的江苏高考改革方案，从 2021 年开始我省高考将实行“3+1+2”模式 “3”指的 是语文、数学、外语为必选的 3 个科目； “1”是指在物理、历史两科中选择 1 科； “2”是指在思想政治、 地理、化学、生物四科中任选 2 科该班某同学物理成绩特别优异，已经从物理、历史学科中选定物理， 还需从余下思想政治、地理、化学、生物（分别记为 A、B、C、D）4 门科目中任意选择两门 （1）列表或画树状图，列出所有可能的结果； （2）求出该同学恰好选中化学、生物两科的概率 20 （10 分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动计划在规定期限植树 4000 棵，由 于志愿者的支
7、援，工作效率提高了 20%，结果提前 3 天完成，并且多植树 80 棵，求规定期限 21 （10 分）如图，ABC 中，ACB90，BA （1）用直尺和圆规在 AC 上确定一点 D，BDC2A， （不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 AB10，BC6，求 CD 长 22 （10 分）如图，在一座建筑物 CM 上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅 AC，在建筑物的 A 处测得地面上 B 处的俯角为 30，测得 D 处的俯角为 45，其中点 A、B、C、D、E 在同一铅垂面内，B、C、D 在一 条直线上， ，求宣传条幅 AC 长请你从下面的三个条件：BD50 米；D 到 AB 的距离为 25 米；A
8、M20 米选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号） ，并解决该问题（结 果保留根号） 23 （10 分）如图，ABC 中，BAC90，ACAB4，ADBC 于 D，P 为边 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 分别交线段 BC、AD 于 E、F设 APx，APF 和DEF 的面积分别为 S1、S2 （1）用含 x 的代数式表示 DE 的长； （2）若 SS1+S2，求 S 与 x 的函数关系式，并说明 S是否成立 24 （10 分）如图，ABC 中，ACB90，点 O 在边 AC 上，经过点 C 的O 与斜边 AB 相切于点 D， 交 AC 边于点 E （1）求证：ACDB；
9、 （2）若 BC6，AC8，求 AD、CD 的长 25 （12 分）阅读理解：对于线段 MN 和点 Q，定义：若 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“等距点” ；特 别地，若MQN90，则称点 Q 是线段 MN 的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（4，0） ，点 P（m，n）是直线 y x 上一动点 （1） 已知 4 个点： B （2， 3） 、 C （2， 2） 、 D （2， 2） 、 E （2，） ， 则线段 OA 的 “等距点” 是 ， 线段 OA 的“完美等距点”是 （2）若 OP，点 H 在 y 轴上，且 H 是线段 AP 的
10、“等距点” ，求点 H 的坐标； （3）当 m0，是否存在这样的点 N，使点 N 是线段 OA 的“等距点”且为线段 OP 的“完美等距点” ， 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 26 （14 分）如图，矩形 ABCD，ABk，AD2k（k 是常数且 k0） ，现将它置于平面直角坐标系中，使 AB 边在 x 轴负半轴上，直线 yx 过点 C已知点 P 的坐标为（k，k） ，抛物线 yax2+bx+c（a 0）过点 P 与 y 轴交于点 M（0，t） （1）若 P 为抛物线顶点 当 k2，t1 时，求 a 的值； 若抛物线与边 BC 交于点 Q，且 CQ3BQ，当 a、k 各自取不
11、同的值时，试说明：的值不变； （2）若 t0，求 akb 的值； （3）在（2）下，当 k 为定值时，抛物线与矩形 ABCD 的边有公共点，且与射线 OC 的交点到 y 轴的距 离最大为 5，求 a 的范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分 在每小题所给出的四个选项中， 只有一个是正确的，分 在每小题所给出的四个选项中， 只有一个是正确的， 请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 13 的相反数是（ ） A3 B C
12、D3 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：D 2下列计算正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的性质对 B 进行判断；根据二次根式的乘 法法则对 C 进行判断；根据二次根式的除法法则对 D 进行判断 【解答】解：A、与不能合并，所以 A 选项错误； B、原式2，所以 B 选项错误； C、原式，所以 C 选项错误； D、原式3，所以 D 选项正确 故选：D 3如图，由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（ ） A B C D 【分析】根据主视图是从图形的正面看所得到的图形可得答案
13、 【解答】解：此几何体的主视图有两个长方形组成，两个长方形的左边对齐， 故选：A 4小明是校篮球队的一名队员，根据以往的数据统计，小明的进球率是 50%，他明天将参加一场比赛，则 下列说法正确的是（ ） A小明明天的进球率是 50% B小明明天每投 10 次必有 5 次投中 C小明明天一定能进球 D小明明天投 20 个球，其中投中 10 个是随机事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 【解答】解：A、小明明天的进球率不一定是 50%，本选项说法错误，不符合题意； B、小明明天每投 10 次不一定有 5 次投中，本选项说法错误，不符合题意； C、小明明天不一定能进球，本选项说法错误，不符
14、合题意； D、小明明天投 20 个球，其中投中 10 个是随机事件，本选项说法正确，符合题意； 故选：D 5某汽车行驶时的速度 v（米/秒）与它所受的牵引力 F（牛）之间的函数关系如图所示当它所受的牵引 力 F 不超过 1200 牛时，速度 v（ ） A大于 50 米/秒 B小于 50 米/秒 C不大于 50 米/秒 D不小于 50 米/秒 【分析】设 v 与 F 之间的函数关系式为 v，把（3000，20）代入即可求出这个函数的表达式， 【解答】解：设 v 与 F 之间的函数关系式为 v，把（3000，20）代入得：P60000， v 与 F 之间的函数关系式为， 把 F1200 牛代入 v
15、50（米/秒） ， 故当它所受的牵引力 F 不超过 1200 牛时，速度 v 不小于 50 米/秒 故选：D 6已知点 P（a，b）在一次函数的图象上，则代数式 3aba26b 的值为（ ） A6 B4 C4 D2 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 ba+，将其代入 3aba26b3b（a2）a2 中，即可求出结论 【解答】解：点 P（a，b）在一次函数的图象上， ba+， 3aba26b3b（a2）a23（a+） （a2）a2（a+2） （a2）a2a24a24 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需要写
16、出解答过程，只需把答案直接填写在答分不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答 题卡相应位置上）题卡相应位置上） 727 的立方根等于 3 【分析】根据立方根的定义：一个实数 a，a3x，则 a 叫做 x 的立方根，即可得出结果 【解答】解：3327， 27 的立方根为 3 故答案为：3 8因式分解：x34x x（x+2） （x2） 【分析】首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：x34x x（x24） x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 9根据新闻对新型冠状病毒肺炎的疫情实时动态，截止北京时间 2021 年 3 月 20 日，全球累计确诊人数
17、已 超过 124000000，将数据 124000000 用科学记数法表示为 1.24108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：1240000001.24108 故答案为：1.24108 10方程 x22x40 的两根为 x1、x2，则 x1+x2的值为 2 【分析】根据一元二次方程中根与系数关系，即可得出 x1+x2的值 【解答】解：方程 x22x40 的两根为 x1、
18、x2， x1+x22 故答案为：2 11某快餐店某天销售 3 种盒饭的有关数据如图所示，则 3 种盒饭的价格平均数是 8.7 元 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可 【解答】解：3 种盒饭的价格平均数是 625%+815%+1060%8.7（元） ， 故答案为：8.7 12一个扇形的弧长为 3cm，半径为 4cm，则该扇形的面积为 6 cm2 【分析】根据扇形的面积公式求出即可 【解答】解：扇形的弧长为 3cm，半径为 4cm， 该扇形的面积为346（cm2） ， 故答案为：6 13如图，将分别含有 30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两斜边相交构成的一个角为 60，则图中角
19、 的度数为 45 度 【分析】根据三角形外角性质求出求出GFE，再根据三角形外角性质求出 即可 【解答】解：CB45，E30，EGF60， GFE180EEGF180306090， GFEC+a， aGFEC904545 14已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i1：2.4，如果它把物体送到离地面 10 米高的地方，那么物体所 经过的路程为 26 米 【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案 【解答】解：如图，由题意得：斜坡 AB 的坡度：i1：2.4，AE10 米，AEBD， i， BE24 米， 在 RtABE 中，AB26（米） 故答案为：26 15如图，直角坐
20、标系中，A 的半径为 3，点 A 的坐标为（3，4） ，若将A 沿 y 轴方向平移，平移 后，使A 上只有 3 个点到 x 轴的距离为 2，则平移后点 A 的坐标为 （3，1）或（3，1） 【分析】利用图像法解决问题即可 【解答】解：如图，观察图像可知，当 A（3，1）或 A（3，1）时A 上只有 3 个点到 x 轴的距 离为 2 故答案为： （3，1）或（3，1） 16如图，O 的半径为，四边形 ABCD 内接于O，ACBD，则 AD+BC 的值为 5 【分析】作直径 BE，连接 DE，EC证明 ADEC，设 EC2k，BC3k，利用勾股定理构建方程求解 即可 【解答】解：作直径 BE，连接
21、 DE，EC BE 是直径， BDEBCE90， BDDE， ACBD， DEAC， CDEACD， ， ADEC， ADBC， ECBC， 可以假设 EC2k，BC3k， BC2+EC2BE2， （3k）2+（2k）2（）2， k1 或1（舍弃） ， BC3，EC2， ADEC2， AD+BC5， 故答案为 5 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 102 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤）程或演算步骤） 17 （10 分） （1）计算： （2）解不等式组： 【分析】 （
22、1）先算二次根式，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再算加减法即可求解； （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解 【解答】解： （1） 318+3 318+ 6+； （2）， 解得 x1， 解得 x2 故不等式组的解集为1x2 18 （8 分）某校用随机抽样的方法在九年级开展了“你是否喜欢网课”的调查，并将得到的数据整理成了 以下统计图（不完整） （1）此次共调查了 50 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （ 3 ） 若 该 学 校 九 年 级 共 有300名 学 生 ， 请 你 估 计 其 中 “ 非 常 喜 欢 ” 网 课 的 人 数 【分
23、析】 （1）根据一般喜欢、非常喜欢、不喜欢的人数和及其所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果，可以计算出“喜欢”的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出其中“非常喜欢”网课的人数 【解答】解： （1）此次共调查学生（7+26+5）（124%）50（名） ， 故答案为：50； （2）选择“喜欢”的学生有：5024%12（人） ， 补充完整的条形统计图如图所示： （3）300156（人） ， 即其中“非常喜欢”网课的有 156 人 19 （8 分）根据最新公布的江苏高考改革方案，从 2021 年开始我省高考将实行“3+
24、1+2”模式 “3”指的 是语文、数学、外语为必选的 3 个科目； “1”是指在物理、历史两科中选择 1 科； “2”是指在思想政治、 地理、化学、生物四科中任选 2 科该班某同学物理成绩特别优异，已经从物理、历史学科中选定物理， 还需从余下思想政治、地理、化学、生物（分别记为 A、B、C、D）4 门科目中任意选择两门 （1）列表或画树状图，列出所有可能的结果； （2）求出该同学恰好选中化学、生物两科的概率 【分析】 （1）画树状图，即可得出结果； （2） 共有 12 个等可能的结果， 该同学恰好选中化学、 生物两科的结果有 2 个， 再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）画树状图如图：
25、共有 12 个等可能的结果； （2）共有 12 个等可能的结果，该同学恰好选中化学、生物两科的结果有 2 个， 该同学恰好选中化学、生物两科的概率为 20 （10 分）为迎接今年的植树节，某乡村进行了持续多天的植树活动计划在规定期限植树 4000 棵，由 于志愿者的支援，工作效率提高了 20%，结果提前 3 天完成，并且多植树 80 棵，求规定期限 【分析】设规定期限为 x 天，则实际（x3）天完成植树任务，根据工作效率工作总量工作时间， 结合实际比原计划工作效率提高了 20%，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【解答】解：设规定期限为 x 天，则实际（x3）天完成植树任
26、务， 依题意得：（1+20%）， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解，且符合题意 答：规定期限为 20 天 21 （10 分）如图，ABC 中，ACB90，BA （1）用直尺和圆规在 AC 上确定一点 D，BDC2A， （不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 AB10，BC6，求 CD 长 【分析】 （1）作 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，则 DADB，所以ADBA，然后利用三角形外角性 质可得到BDC2A； （2）先利用勾股定理计算出 AC8，设 CDx，则 DBDA8x，再利用勾股定理得到 x2+62（8 x）2，然后解方程即可 【解答】解： （1）如图，点 D 为所作；
27、 （2）在 RtBCD 中，AC8， 由作法得 DADB， 设 CDx，则 DBDA8x， 在 RtBCD 中，x2+62（8x）2，解得 x， 即 CD 的长为 22 （10 分）如图，在一座建筑物 CM 上，挂着“美丽泰兴”的宣传条幅 AC，在建筑物的 A 处测得地面上 B 处的俯角为 30，测得 D 处的俯角为 45，其中点 A、B、C、D、E 在同一铅垂面内，B、C、D 在一 条直线上， 选 ，求宣传条幅 AC 长请你从下面的三个条件：BD50 米；D 到 AB 的距离 为 25 米；AM20 米选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上（填序号） ，并解决该问题 （结果保留根号）
28、【分析】在 RtABC 中和在 RtACD 中，利用直角三角形的边的关系解答即可 【解答】解：选择条件BD50 米，由题意知，EAB30，EAD45， AEBC， CADCDA45，BEAD30， 在 RtABC 中，ACAB， BCAC， 在 RtACD 中，CACD， 设 CAx， 则 BCCA+BDx+50， x+50 x， 解得：x25（+1） ， AC25（+1）米， 答：宣传条幅 AC 长为 25（+1）米， 故答案为： （1）选 23 （10 分）如图，ABC 中，BAC90，ACAB4，ADBC 于 D，P 为边 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 分别交线段 BC、AD
29、于 E、F设 APx，APF 和DEF 的面积分别为 S1、S2 （1）用含 x 的代数式表示 DE 的长； （2）若 SS1+S2，求 S 与 x 的函数关系式，并说明 S是否成立 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线可得 ADCDBD2，再推出 APF、EFD 为等腰直角三角形，可得出 DEDF2x； （2） 根据三角形的面积公式求出 SS1+S2， 可得到 S 与 x 的函数关系式， 根据二次函数的性质即可求解 【解答】解： （1）BAC90，ACAB4， BCAC4，BC45， ADBC 于 D， ADCDBDBC2， DAB45， PEAB， APF 为等腰
30、直角三角形， AFx， DF2x，AFPEFD45， EFD 为等腰直角三角形， DE2x； （2）S1APPFAP2x2，S1DEDFDE2（2x）2x24x+4， SS1+S2x24x+4， Sx24x+4（x）2+， a0， x时，S 有最小值， ， S成立 24 （10 分）如图，ABC 中，ACB90，点 O 在边 AC 上，经过点 C 的O 与斜边 AB 相切于点 D， 交 AC 边于点 E （1）求证：ACDB； （2）若 BC6，AC8，求 AD、CD 的长 【分析】 （1）连接 OD，如图，根据切线的性质得到ODB90，ABC+COD180，再根据等 角的补角线段得到AODA
31、BC，然后根据圆周角定理得到AOD2ACD，从而得到结论； （2）先利用勾股定理计算出在 AB10，再利用切线长定理得到 BDBC6，所以 AD4，设O 的半 径为 r，则 ODOCr，OA8r，利用勾股定理得到 r2+42（8r）2，解得 r3，连接 OB 交 CD 于 H，如图，则 OB 垂直平分 CD，然后利用面积法可计算出 CH，从而得到 CD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， AB 为切线， ODAB， ODB90， ACB90， ABC+COD180， AOD+COD180， AODABC， AOD2ACD， ACDABC； （2）解：在 RtABC 中，AB10，
32、OCCB， BC 为切线， BDBC6， AD4， 设O 的半径为 r，则 ODOCr，OA8r， 在 RtAOD 中，r2+42（8r）2，解得 r3， OC3， 连接 OB 交 CD 于 H，如图， OCOD，BCBD， OB 垂直平分 CD， 在 RtOCB 中，OB3， OBCHOCBC， CH， CD2CH 25 （12 分）阅读理解：对于线段 MN 和点 Q，定义：若 QMQN，则称点 Q 为线段 MN 的“等距点” ；特 别地，若MQN90，则称点 Q 是线段 MN 的“完美等距点” 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（4，0） ，点 P（m，n
33、）是直线 y x 上一动点 （1）已知 4 个点：B（2，3） 、C（2，2） 、D（2，2） 、E（2，） ，则线段 OA 的“等距点”是 B，C，E ，线段 OA 的“完美等距点”是 C （2）若 OP，点 H 在 y 轴上，且 H 是线段 AP 的“等距点” ，求点 H 的坐标； （3）当 m0，是否存在这样的点 N，使点 N 是线段 OA 的“等距点”且为线段 OP 的“完美等距点” ， 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】 （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到 O，A 的距离，根据等距点和完美等距点做出判 断； （2）设出 H 点的坐标，根据等距点的定义，利
34、用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出 N 点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论 【解答】解： （1）OB，AB， OBAB B 为等距点 OC，AC， OCAC C 为等距点 OD，AD， ODAD D 不为等距点 OE，AE， OEAE E 为等距点 OA4， OB2+AB2OA2，OC2+AC2OA2，OD2+AD2OA2，OE2+AE2OA2， C 为完美等距点 故答案 B，C，EC 为完美等距点 （2）P（m，n）在 yx 上， nm m2 n1 P（2，1）或 P（2，1） 设 H 的坐标为（0，t） ， PH或 AH，AHHP，
35、 或 解得：t或 t H 的坐标为（0，）或（0，） （3）存在 理由：设 N 点的坐标为（2，b） ， P（m，m） ， ON，PN 点 N 是线段 OA 的“等距点” ， ONPN 解得：b4m N 为线段 OP 的“完美等距点” ， ONPN OPN 为等腰直角三角形 OPON OP，ON 解得：m8 或 m 当 m8 时，m4 当 m时，m P 点的坐标为（8，4）或（，） 26 （14 分）如图，矩形 ABCD，ABk，AD2k（k 是常数且 k0） ，现将它置于平面直角坐标系中，使 AB 边在 x 轴负半轴上，直线 yx 过点 C已知点 P 的坐标为（k，k） ，抛物线 yax2+
36、bx+c（a 0）过点 P 与 y 轴交于点 M（0，t） （1）若 P 为抛物线顶点 当 k2，t1 时，求 a 的值； 若抛物线与边 BC 交于点 Q，且 CQ3BQ，当 a、k 各自取不同的值时，试说明：的值不变； （2）若 t0，求 akb 的值； （3）在（2）下，当 k 为定值时，抛物线与矩形 ABCD 的边有公共点，且与射线 OC 的交点到 y 轴的距 离最大为 5，求 a 的范围 【分析】 （1）当点 P 是抛物线的顶点时，可设出顶点式，再代入一个点坐标，表示出函数解析式，再根 据条件进行求解； （2）将点 M 和点 P 的坐标代入二次函数表达式即可； （3）在第（2）问的基础
37、上，表达出二次函数解析式，再找到临界条件，进行求解 【解答】解： （1）当 k2，t1 时，P（2，2） ，M（0，1） ， 点 P（2，2）为抛物线 yax2+bx+c 的顶点， 可设抛物线的顶点式：ya（x+2）22， 将 M（0，1）代入 ya（x+2）22， 可得 4a21，即 a 在矩形 ABCD 中，ABk，AD2k， BC2k， 直线 yx 过点 C， C（2k，2k） ， CQ3BQ， BQ，即 Q（2k，） ， 点 P（k，k）为抛物线 yax2+bx+c 的顶点， 可设抛物线的顶点式：ya（x+k）2k， 将 Q（2k，）代入 ya（x+k）2k， 则 a（2k+k）2k，解得 a， 抛物线解析式为：y（x+k）2k， M（0，） ， OM， （2）t0 时，M（0，0） ， 将 M（0，0） ，P（k，k）代入 yax2+bx+c，得， 解得：akb1 （3）akb1， bak+1， yax2+（ak+1）x， 当交点到 y 轴距离最大时，抛物线开口最大， 抛物线过点 A（3k，0）和（5，5） ， ，解得， ，yax2+（a+1）x， 当开口最小时，过点 C（2，2） ， 24a2（a+1） ，解得 a2， a2，
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