1、二次函数综合题 类型一 线段问题 1. (2020 丹东)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y1 2x 2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，A 点坐标 为(2，0)，与 y 轴交于点 C(0，4)，直线 y1 2xm 与抛物线交于 B，D 两点 (1)求抛物线的函数表达式； (2)求 m 的值和 D 点坐标； (3)点 P 是直线 BD 上方抛物线上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 H，交直线 BD 于点 F，过点 D 作 x 轴的平行线，交 PH 于点 N，当 N 是线段 PF 的三等分点时，求 P 点坐标 第 1 题图 2. (2020 云南省卷)抛物线 yx2 bxc 与
2、x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点 C， 点 A 的坐标为(1， 0)，点 C 的坐标为(0，3)点 P 为抛物线 yx2bxc 上的一个动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直 线 BC 于点 E. (1)求 b、c 的值； (2)设点 F 在抛物线 yx2bxc 的对称轴上，当ACF 的周长最小时，直接写出点 F 的坐标； (3)在第一象限， 是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍？若存在， 求出点 P 所有的坐标；若不存在，请说明理由 类型二 面积问题 3. 如图， 二次函数 yx2bx8 的图象与 x 轴交于点 A、 B，
3、 与 y 轴交于点 C， 点 B 的坐标为(2， 0)， 点 D(0，2)在 y 轴上，连接 AD. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是 x 轴上方抛物线上一点，且点 P 的横坐标大于4，过点 P 作 PHAD，垂足为 H，直线 PH 与 x 轴交于点 K，且 SHKA1 2SPHA，求点 P 的坐标 第 3 题图 4. (2020 宿迁)二次函数 yax2bx3 的图象与 x 轴交于 A(2，0)、B(6，0)两点，与 y 轴交于点 C，顶 点为 E. (1)求这个二次函数的表达式，并写出点 E 的坐标； (2)如图，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 BD 的垂直平分线恰
4、好经过点 C 时，求点 D 的坐标； (3)如图，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接 OP，取 OP 中点 Q，连接 QC、QE、CE.当CEQ 的面积为 12 时，求点 P 的坐标 图 图 第 4 题图 类型三 特殊三角形的存在探究问题(含菱形) 5. 已知二次函数 yax2(3a1)x3(a0) (1)该函数的图象与 y 轴交点坐标为_； (2)当二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数 求 a 的值及二次函数的表达式； 画出二次函数的大致图象(不列表，只用其与 x 轴的两个交点 A、B，且点 A 在点 B 的左侧，与 y 轴 的交点 C 及其顶点 D，并标
5、出点 A，B，C，D 的位置)； (3)在(2)的条件下，二次函数的图象上是否存在一点 P，使PCA 为直角三角形，如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 第 5 题图 6. 如图， 抛物线 y1 3x 21 3x4 与 x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 C， 连接 AC， BC.点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 PMx 轴，垂足为点 M，PM 交 BC 于点 Q，过点 P 作 PEAC 交 x 轴于点 E，交 BC 于点 F. (1)求 A，B，C 三点的坐标； (2)试探究在点 P 运动的过
6、程中， 是否存在这样的点 Q， 使得以 A， C， Q 为顶点的三角形是等腰三角形 若 存在，请直接写出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m 为何值时 QF 有最大值 第 6 题图 类型四 平行四边形的存在探究问题 7. (2020 广西北部湾经济区卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，已知 B(3，0)，C(0，3)，连接 BC，点 P 是抛物线上的一个动点，点 N 是对称轴 上的一个动点 (1)求该抛物线的解析式； (2)若PAB 的面积为 8，求点 P 的坐
7、标； (3)若点 P 在直线 BC 的下方， 当点 P 到直线 BC 的距离最大时， 在抛物线上是否存在点 Q， 使得以点 P， C，N，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 题图 8. (2020 常德)如图，已知抛物线 yax2过点 A(3，9 4) (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线 l 过点 A、M(3 2，0)且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证：MC 2MA MB； (3)若点 P、D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O、C、P、D 的四边形是平行四 边形，求所有符合条件的 P 点坐
8、标 第 8 题图 类型五 角度问题 9. (2020 贵港)如图，已知抛物线 y1 2x 2bxc 与 x 轴相交于 A(6，0)，B(1，0)两点，与 y 轴相交于 点 C，直线 lAC，垂足为 C. (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线 l 与该抛物线的另一个交点为 D，求点 D 的坐标； (3)设动点 P(m，n)在该抛物线上，当PAC45 时，求 m 的值 第 9 题图 10. (2020 内江)如图，抛物线 yax2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点 D(x，y)为抛 物线上第一象限内的一个动点 (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当BCD 的面
9、积为 3 时，求点 D 的坐标； (3)过点 D 作 DEBC，垂足为点 E，是否存在点 D，使得CDE 中的某个角等于ABC 的 2 倍？若存 在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 10 题图 类型六 与圆有关的问题 11. (2020 宜宾)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点 F(0， 1)作 x 轴的平行线交二次函数的图象于 M、N 两点 (1)求二次函数的表达式； (2)P 为平面内一点，当PMN 是等边三角形时，求点 P 的坐标； (3)在二次函数的图象上是否存在一点E， 使得以点E为圆心的圆过点F和点N， 且与直线y1相切 若 存
10、在，求出点 E 的坐标，并求E 的半径；若不存在，说明理由 第 11 题图 12. 如图，抛物线 yax2bxc(a0)，与 x 轴交于 A(4，0)、O 两点，点 D(2，2)为抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式； (2)点 E 为 AO 的中点，以点 E 为圆心、以 1 为半径作E，交 x 轴于 B、C 两点，点 M 为E 上一点 如图，射线 BM 交抛物线于点 P，设点 P 的横坐标为 m，当 tanMBC2 时，求 m 的值； 如图，连接 OM，取 OM 的中点 N，连接 DN，则线段 DN 的长度是否存在最大值或最小值？若存 在，请求出 DN 的最值；若不存在，请说明理由 第 1
11、2 题图 参考答案 1. 解：(1)将点 A(2，0)，C(0，4)代入抛物线解析式， 得 1 242bc0 c4 ， 解得 b1 c4， 抛物线的函数表达式为 y1 2x 2x4； (2)令 y1 2x 2x40，解得 x4 或 x2， B(4，0)， 将 B(4，0)代入直线 y1 2xm 中， 得 01 24m，解得 m2. 联立 y 1 2x 2x4， y1 2x2， 解得 x4， y0，或 x1， y5 2， 点 D 的坐标为(1，5 2)； (3)设 H(n，0)，则 P(n，1 2n 2n4)，N(n，5 2)，F(n， 1 2n2)， PNx 轴，PF1 2n 2n41 2n2
12、 1 2n 23 2n2，NF 5 2( 1 2n2) 1 2 1 2n. 当 NF1 3PF 时， 1 2 1 2n 1 3( 1 2n 23 2n2)，解得 n1 或 n1， 当 n1 时，点 N，F，P 重合，不符合题意，舍去， 点 P(1，9 2)； 当 PN1 3PF 时， 1 2n 2n45 2 1 3( 1 2n 23 2n2)，解得 n1(舍去)或 n 5 2， 点 P(5 2， 27 8 ) 综上，当 N 为线段 PF 的三等分点时，点 P 的坐标为(1，9 2)或( 5 2， 27 8 ) 2. 解：(1)把 A(1，0)，C(0，3)的坐标分别代入 yx2bxc， 得 1
13、bc0 c3 ， 解得 b2 c3， b2，c3； (2)F(1，2)； 【解法提示】由(1)可知 yx22x3，当 y0 时，x22x30.解得 x11，x23，A(1，0)，B(3， 0)如解图，在ACF 中，A、C 固定，三角形周长最小时，AFCF 最小由题意可知，点 A 关于 对称轴直线 x1 的对称点为点 B，AFBF，AFCFBFCFBC，点 F 与 B，C 共线，即点 F 为抛物线对称轴直线 x1 与 BC 的交点时， AFCF 最小 设直线 BC 的解析式为 ykx3.把 B(3， 0)代入， 得 3k30，解得 k1，yBCx3.把抛物线对称轴 x1 代入，得 y132，F(
14、1，2) (3)存在满足要求的点 P.如解图， 由(1)(2)知， 抛物线解析式为 yx22x3， 与 x 轴交点 A(1， 0)， B(3， 0) 直线 BC 对应的函数解析式为 yx3. 设 P(n，n22n3)，根据题意得 n3，E(n，n3)，D(n，0)，PEn23n，DEn3. 点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍， 以 BE 为底的BEP 的面积是以 BE 为底的BED 面积的 5 倍，即 SBEP5SBED. SBEP1 2PEBD，SBED 1 2DEBD， 1 2PEBD5 1 2DEBD， PE5DE， n23n5(n3)，即(n3)(n5
15、)0，解得 n3 或 n5. n3， n5，y5225312. 点 P 的坐标为(5，12) 第 2 题解图 【一题多解】存在满足要求的点 P， 设点 P(m，m22m3)(m3)， 则 D(m，0)，E(m，m3) PEm22m3(m3)m23m，DEm3. 如解图， 过点 P 作直线 CB 的垂线， 垂足为 M， 过点 D 作直线 CB 的垂线， 垂足为 N， 易得DNEPME. 点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到 BC 的距离的 5 倍， PM DN PE DE5，即 m23m m3 5. m3，m30， m5. 把 m5 代入，得 m22m35225312， 点 P 的坐标为(5
16、，12) 第 2 题解图 3. 解：(1)二次函数 yx2bx8 的图象与 x 轴交于点 B(2，0)， 42b80， 解得 b2， 抛物线的解析式为 yx22x8； (2)如解图，延长 AD 交抛物线于点 T，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交 AD 于点 E， 第 3 题解图 令 y0， x22x80， 解得 x4 或 x2， A(4，0) 若点 P 在直线 AT 上方， 设直线 AT 的解析式为 ykxs， 将 A、D 代入得 04ks， s2， 解得 k1 2， s2， 直线 AT 的解析式为 y1 2x2. OA4，OD2，AOD90 ， AD OA2OD22 5. AHPH， F
17、ADAEF90 ，EPHPEH90 ，AEFPEH， FADEPH， cosFADOA AD 4 2 5 2 5 5 ， cosEPHcosFADPH PE 2 5 5 ， PH2 5 5 PE， cosFPKPF PK 2 5 5 ， PK 5 2 PF. SHKA1 2SPHA，即 1 2AHKH 1 4AHPH， KH1 2PH， PKPHKH3 2PH， 5 2 PF3 2PH 3 2 2 5 5 PE， PE PF 5 6， 设 P(t，t22t8)，则 E(t，1 2t2)， PFt22t8， PEt22t8(1 2t2) t25 2t6. 5(t22t8)6(t25 2t6)，
18、解得 t1 或 t4(舍去)， P(1，9)； 若点 P 在直线 AT 的下方，且在 x 轴上方，此时 SHKASPHA，不合题意，舍去 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(1，9) 4. 解：(1)二次函数 yax2bx3 的图象与 x 轴交于 A(2，0)，B(6，0)两点， 4a2b30， 36a6b30，解得 a1 4， b2， 二次函数的表达式为 y1 4x 22x3. y1 4x 22x31 4(x4) 21， 顶点 E 的坐标为(4，1)； (2)如解图，连接 BC，以点 C 为圆心，CB 长为半径作C，交抛物线对称轴于 D1、D2，作 CFDE，垂 足为 F， CD1CD2C
19、B， B(6，0)，由(1)得 y1 4x 22x3，令 x0，得 y3， C(0，3)， OB6，OC3， BC3 5. CF4， DF CD2CF2 29， D1(4，3 29)，D2(4，3 29)； 第 4 题解图 (3)如解图，作 QHx 轴交直线 CE 于点 H， 设 P(m，1 4m 22m3)， 则 Q(m 2， 1 8m 2m3 2)， E(4，1)，C(0，3)， 直线 CE 的函数表达式为 yx3， H(1 2m， 1 2m3)， SCEQ1 2|QH|xCxE| 1 2| 1 8m 2m3 2 1 2m3|412， 当1 8m 21 2m 3 26 时，解得 m110，
20、m26， P1(10，8)，P2(6，24) 当1 8m 21 2m 3 26 时，此方程无实数根 综上所述，点 P 的坐标为(10，8)或(6，24) 第 4 题解图 5. 解：(1)(0，3)； 【解法提示】令 x0 时，y3，函数的图象与 y 轴交点坐标为(0，3) (2)令 y0，则 ax2(3a1)x30， (ax1)(x3)0， x11 a，x23. 二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数 a1， 二次函数的表达式为 yx22x3； 图象如解图所示： 第 5 题解图 (3)设点 P(m，m22m3)， 当点 P 为直角顶点时，如解图，过点 P 作 PF
21、y 轴于点 F，过点 A 作 AEPF，交 FP 的延长线于点 E， 令 y0 得，x11，x23， A(3，0)， AEm22m3，PFm，PE3(m)3m，CFm22m33m22m， 第 5 题解图 APC90 ，APECPF90 ， APEEAP90 ，CPFEAP， 又AEPCFP90 ， APEPCF， AE PF PE CF， m 22m3 m 3m m22m， （m3）（m1） m m3 m（m2）， (m1)(m2)1， m1 51 2 ，m2 51 2 ， 经检验，m1 51 2 ，m2 51 2 是原方程的根 点 P 坐标为( 51 2 ，5 5 2 )或( 51 2 ，5
22、 5 2 )； 当点 A 为直角顶点时，如解图，过点 P 作 PHx 轴于 P， 第 5 题解图 点 A(3，0)，点 C(0，3)， OAOC. 又AOC90 ， CAOACO45 . CAP90 ， PAH45 . PHx 轴， PAHAPH45 ， AHPH， m3m22m3， m13(舍去)，m22， 点 P 坐标为(2，5)； 当点 C 为直角顶点时，如解图过点 P 作 PEy 轴于点 E， 第 5 题解图 ACP90 ，ACO45 ， PCE45 ， PEy 轴， PCECPE45 ， PECE， mm22m33， m10(舍去)，m21， 点 P 坐标为(1，4) 综上所述，点
23、P 坐标为( 51 2 ，5 5 2 )或( 51 2 ，5 5 2 )或(2，5)或(1，4) 6. 解：(1)当 y0 时，1 3x 21 3x40，解得 x13，x24， A(3，0)，B(4，0)， 当 x0，y1 3x 21 3x44， C(0，4)； (2)点 Q 的坐标为(1，3)或(5 2 2 ，5 2 2 4)； 【解法提示】AC 32425，易得直线 BC 的解析式为 yx4，设 Q(n，n4)(0n4)，当 CQCA 时，n2(n44)252，解得 n15 2 2 ，n25 2 2 (舍去)，此时 Q 点坐标为(5 2 2 ，5 2 2 4)；当 AQAC 时，(n3)2
24、(n4)252，解得 n11，n20(舍去)，此时 Q 点坐标为(1，3)；当 QAQC 时，(n3)2 (n4)2n2(n44)2，解得 n25 2 (舍去)综上所述，满足条件的 Q 点坐标为(5 2 2 ，5 2 2 4)或(1， 3)； (3)过点 F 作 FGPQ 于点 G，如解图， 则 FGx 轴由 B(4，0)，C(0，4)得OBC 为等腰直角三角形， OBCQFG45 ， FQG 为等腰直角三角形， FGQG 2 2 FQ. PEAC，PGCO， FPGACO. FGPAOC90 ， FGPAOC. FG OA PG CO，即 FG 3 PG 4 ， PG4 3FG 4 3 2
25、2 FQ2 2 3 FQ， PQPGGQ2 2 3 FQ 2 2 FQ7 2 6 FQ， FQ3 2 7 PQ. 设 P(m，1 3m 21 3m4)(0m4)，则 Q(m，m4)， PQm4(1 3m 21 3m4) 1 3m 24 3m， FQ3 2 7 (1 3m 24 3m) 2 7 (m2)24 2 7 . 2 7 0，024， QF 有最大值 当 m2 时，QF 有最大值，最大值为4 2 7 . 第 6 题解图 7. 解：(1)把 B(3，0)，C(0，3)代入 yx2bxc， 得 93bc0， c3， 解得 b2， c3， 该抛物线的解析式为 yx22x3； (2)设点 P(p，
26、p22p3)， 令 yx22x30，得点 A(1，0)， AB4. PAB 的面积为 8， 1 24|p 22p3|8， 当点 P 在 x 轴上方时，1 24(p 22p3)8， 解得 p12 21，p22 21， 点 P 的坐标为(2 21，4)或(2 21，4)； 当点 P 在 x 轴下方时，1 24(p 22p3)8， 解得 p3p41， 点 P 的坐标为(1，4) 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为(2 21，4)或(2 21，4)或(1，4)； (3)存在理由如下： 设点 P(m，m22m3)， 设直线 BC 的解析式为 ykxb， 将 B(3，0)，C(0，3)代入得 3kb0，
27、 b3， 解得 k1， b3， 直线 BC 的解析式为 yx3. 点 P 在直线 BC 的下方， SPBC1 23(m3m 22m3)3 2(m 23m)3 2(m 3 2) 227 8 . 3 20， 当 m3 2时，SPBC 最大，此时点 P 到 BC 的距离最大， 当点 P 到 BC 的距离最大时，P(3 2， 15 4 ) 点 N 在抛物线 yx22x3 的对称轴直线 x1 上，点 Q 在抛物线 yx22x3 上， 设点 N 的坐标为(1，n)，点 Q 的坐标为(a，a22a3)， 当 PC 为平行四边形的边时，则有 xQxNxPxC或 xNxQxPxC. 点 C 的坐标为(0，3)，
28、 a13 2或 1a 3 2， 解得 a5 2或 1 2， 点 Q 的坐标为(5 2， 7 4)或( 1 2， 7 4)； 当 PC 为平行四边形的对角线时， 则有xQxn 2 xpxc 2 ， 即1a 2 3 20 2 ， 解得 a1 2， 点 Q 的坐标为(1 2， 15 4 ) 综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为(5 2， 7 4)或( 1 2， 7 4)或( 1 2， 15 4 ) 8. (1)解：抛物线 yax2过点 A(3，9 4)， 9 4a(3) 2，解得 a1 4. 抛物线的解析式为 y1 4x 2； (2)证明：设直线 l 的解析式为 ykxb， 直线 l 过点 A，M(
29、3 2，0)， 3kb 9 4， 3 2kb0， 解得 k 1 2， b3 4. 直线 l 的解析式为 y1 2x 3 4. 直线 l 与 y 轴的交点 C 的坐标为(0，3 4) 联立方程组 y 1 4x 2， y1 2x 3 4， 解得 x1， y1 4， 或 x3， y9 4. 直线 l 与抛物线交于另一点 B(1，1 4) A(3，9 4)，M( 3 2，0)，B(1， 1 4)，C(0， 3 4)， MA（33 2） 2（9 4） 29 5 4 ， MB（3 21） 2（01 4） 2 5 4 ， MC（3 2） 2（3 4） 23 5 4 ， MAMB9 5 4 5 4 45 16
30、，MC 2(3 5 4 )245 16， MC2MA MB； (3)解：分以下两种情况讨论： 当点 P 在点 D 的下方时， 如解图，过点 O 作直线 l 的平行线，交抛物线于点 P1，过点 P1作 OC 的平行线，交直线 l 于点 D1， 直线 l 的解析式为 y1 2x 3 4， 直线 OP1的解析式为 y1 2x. 联立 y 1 4x 2， y1 2x， 解得 x12 或 x20(舍去)， P1(2，1)； 第 8 题解图 当点 P 在点 D 的上方时， C(0，3 4)，OC 3 4. 如解图，取点 O 关于点 C 的对称点 Q(0，3 2)，过点 Q 作直线 l 的平行线，交抛物线于
31、点 P2，P3， 分别过点 P2，P3作 OC 的平行线，交直线 l 于点 D2，D3. 设 D 点的横坐标为 a，则点 D 的坐标为(a，1 2a 3 4)， OCPD，OCPD，且点 P 在抛物线上， 点 P 的坐标为(a，a 2 4)， PDa 2 4( a 2 3 4) 3 4， 化简得1 4a 21 2a 3 20, 解得 a1 7， 点 P 的坐标为 P2(1 7，2 7 2 )，P3(1 7，2 7 2 ) 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(2，1)或(1 7，2 7 2 )或(1 7，2 7 2 ) 第 8 题解图 9. 解：(1)由题可得抛物线的表达式是 y1 2(x6)
32、(x1) 1 2x 25 2x3； (2)由(1)可得 C(0，3)， A(6，0)，设直线 AC 的解析式为 ykxn，将 A、C 两点坐标代入，得 3n， 06kn， 解得 k1 2， n3， 直线 AC 的解析式是 y1 2x3， 如解图，设直线 l 与 x 轴的交点为点 K， 第 9 题解图 直线 lAC，易得OCKOAC， OC OA OK OC，即 3 6 OK 3 ， 解得 OK3 2，K( 3 2，0)， 直线 l 的解析式是 y2x3， 联立 y2x3 y1 2x 25 2x3 ， 得 x2x0，解得 x10(与 C 点重合，舍去)，x21， D(1，5)； (3)当点 P
33、在直线 AC 上方的抛物线上时，如解图，延长 AP 交直线 l 于点 M，作 MNy 轴于点 N， lAC，PAC45 ， MAC 是等腰直角三角形， ACCM. AOCCNMACM90 ， ACONCMNCMCMN， ACOCMN， ACOCMN， MNOC3，CNAO6， ON3， 点 M 坐标为(3，3)， 直线 AM 的解析式是 y1 3x2， 联立 y 1 3x2， y1 2x 25 2x3， 即 3x213x300， 解得 x16(舍去)，x25 3， 当 x5 3时，y 1 3x2 23 9 ， 点 P 的坐标是(5 3， 23 9 )； 图 图 第 9 题解图 当点 P 位于直
34、线 AC 下方的抛物线上时，如解图，作点 M 关于点 C 的对称点 F，连接 AF 交抛物线于 点 P， 根据点的平移可得出点 F 坐标是(3，36)，即(3，9) 易得经过点 A 与点 F 的直线的解析式是 y3x18， 联立 y3x18， y1 2x 25 2x3， 解得 x36(舍去)，x45， 当 x5 时，y3(5)183， 点 P 的坐标是(5，3) 综上所述，m 的值为5 3或5. 10. 解：(1)将 A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)代入 yax2bxc 中得， abc0， 16a4bc0， c2， 解得 a 1 2， b3 2， c2， y1 2x 23 2x2； (
35、2)如解图，过点 D 作 DFx 轴交 BC 于点 F， D(x，1 2x 23 2x2) 第 10 题解图 设直线 BC 的解析式为 yBCkxm， 将 B(4，0)、C(0，2)代入 yBCkxm 中得， 4km0， m2， 解得 k1 2， m2， yBC1 2x2， F(x，1 2x2)， DF1 2x 23 2x2( 1 2x2) 1 2x 22x， SBCD1 2DF|xBxC| 1 2( 1 2x 22x)4x24x. SBCD3，则有x24x3， 解得 x11，x23. 当 x1 时，y1 21 23 2123， 点 D(1，3)； 当 x3 时，y1 29 3 2322， 点
36、 D(3，2) 点 D 的坐标为(1，3)或(3，2)； (3)如解图，过点 D 作 DRy 轴，垂足为点 R，DR 的延长线交 BC 于点 G，连接 AC. 第 10 题解图 A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)， AC 5，BC2 5，AB5， AC2BC2AB2， ABC 为直角三角形 取 AB 的中点 H，连接 CH，则 CHBH， OHAHAO1 2ABAO 5 21 3 2， OHC2ABC， tanOHCOC OH 4 3. 由题意知，DGAB，DGEABC， 当ECD2ABC 时，在 RtDEG 中，ECD2DGE，CDCG， tanCDRtanDGEtanABC1 2，
37、设 D(x，1 2x 23 2x2)，则 DRx，CR 1 2x 23 2x， tanCDR 1 2x 23 2x x 1 2，解得 x2， 点 D 的横坐标为 2； 当CDE2ABC 时，CDEOHC， tanOHCtanCDECE ED 4 3， 设 ED3k，CE4k，CD5k， tanEGDED GE 1 2， GE6k，GD3 5k， GCEGCE2k， CR2 5 5 k，GR4 5 5 k， RD3 5k4 5 5 k11 5 5 k， CR DR 1 2x 23 2x x 2 5k 5 11 5k 5 ， 整理得11 2 x229 2 x0， 解得 x0(舍去)或 x29 11
38、， 点 D 的横坐标为29 11， 综上所述，点 D 的横坐标为 2 或29 11. 11. 解：(1)设二次函数的表达式为 yax2， 把(2，1)代入得 a1 4， 二次函数的表达式为 y1 4x 2； (2)令1 4x 2 1， 解得 x12，x22. M(2，1), N(2，1)， MN4. 当MNP 为等边三角形时，由 MFNF，OFMN 得 PF 3 2 MN2 3，且点 P 在 y 轴上， P1(0，12 3)，P2(0，12 3)； (3)存在，理由如下： 点 F，N 在E 上， 点 E 一定在线段 FN 的垂直平分线上 F(0，1)，N(2，1)， FN 的垂直平分线为直线
39、x1. 把 x1 代入 y1 4x 2得，y1 4. E(1，1 4) E 与直线 y1 相切， 点 E 到直线 y1 的距离即是半径，E 的半径为5 4. 综上所述，存在点 E(1，1 4)，E 的半径为 5 4. 12. 解：(1)由题意可设抛物线顶点式为 ya(x2)22， 将点 A 的坐标代入上式并解得 a1 2， 故抛物线的解析式为 y1 2(x2) 221 2x 22x； (2)点 E 是 OA 的中点，则点 E(2，0)，圆的半径为 1，则点 B(1，0)， 当点 P 在 x 轴上方时， tanMBC2， 故设直线 BP 的表达式为 y2xs，将点 B(1，0)的坐标代入上式，解
40、得 s2， 故直线 BP 的表达式为：y2x2， 联立 y1 2x 22x， y2x2， ， 解得 x 2(舍去2)，故 m2； 当点 P 在 x 轴下方时， 设直线 BP 的表达式为 y2xg， 将 B(1，0)代入，解得 g2， 直线 BP 的表达式为 y2x2. 同理可得 m4 2 3(舍去 42 3)； 故 m42 3， 综上所述，m 的值为 2 或 42 3； 存在，理由： 如解图，连接 BN、BD、EM， 第 12 题解图 则 BN 是OEM 的中位线， BN1 2EM 1 2， BD （21）2（20）2 5， 在BND 中，BDBNNDBDBN， 即 51 2ND 5 1 2， 故线段 DN 长度的最小值和最大值分别为2 51 2 和2 51 2 .
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