1、2021 年江苏省淮安市清江浦区中考数学段考试卷（一）年江苏省淮安市清江浦区中考数学段考试卷（一） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分，把答案涂在答题卡上）分，把答案涂在答题卡上） 12 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截止 2015 年 3 月，全国 4G 用户总数达到 1.62 亿，其中 1.62 亿用科学记数法表示为（ ） A1.62104 B1.62106 C1.62108 D0.162109 3下列运算正确的是（ ） A Bb2b3b6 C4a9a5 D （ab2）2a2b4 4下面四个手机应用图标中是轴对称
2、图形的是（ ） A B C D 5为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了 30 名同学，结果如下： 每天使用零花 钱（单位：元） 1 2 3 4 5 人数 2 5 8 9 6 则这 30 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ） A4，3 B4，3.5 C9，3.5 D9，8.5 6如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数， 则这个几何体的左视图是（ ） A B C D 7如图，已知O 为ABC 的外接圆，且 AB 为O 的直径，若 OC5，AC6，则 BC 长为（ ） A10 B9 C8 D无法确定 8如图，在平面直角坐标系中
3、，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则代数式的 值为（ ） A B C D 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分。请将答案填在答题卡上）分。请将答案填在答题卡上） 9若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 10分解因式：2x28 11某公司 2 月份的利润为 160 万元，4 月份的利润 250 万元，若设平均每月的增长率 x，则根据题意可得 方程为 12小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为 8cm，母 线长为 25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm2 （结果保留 ） 13
4、 如图， 在ABC中， ABC90， C25， DE是边AC的垂直平分线， 连接AE， 则BAE等于 14如图，平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若 BF6，AB5， 则 AE 的长为 15如图是一次函数 ykx+b 的图象的大致位置，试判断关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+10 的根的判 别式 0（填： “”或“”或“” ） 16如图，一段抛物线 yx2+4x（0 x4） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O、A1；将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交 x 轴于点 A2，将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A
5、3如此进行下去，直至得抛物线 C2021，若点 P（m，3）在第 2021 段抛物线 C2021上，则 m 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 102 分。请将答案填在答题卡上）分。请将答案填在答题卡上） 17 （8 分） （1）计算： （）0+|3|+tan45 （2）解方程： 18 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中 m 19 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点坐标分别为 A（1，3） ，B（3，1） ，C（ 3，3） ，已知A1B1C1是由ABC 经过顺时针旋转变换得到的 （1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角的大小是 （2）以（1）中的旋转中心为
6、中心，画出A1B1C1按顺时针方向旋转 90得到的A2B2C2，并写出 A2、 B2、C2的坐标 20 （8 分） 某公司为了响应国家号召， 疫情之后尽快复工复产， 需购买一批普通医用防护口罩和 N95 口罩， 已知购买 80 个普通医用防护口罩和 10 个 N95 口罩共需 420 元， 购买 60 个普通医用防护口罩和 10 个 N95 口罩共需 360 元 （1）求普通医用防护口罩和 N95 口罩的价格 （2） 如果购买普通医用防护口罩的数量不超过购买 N95 口罩数量的 10 倍， 求购买两种口罩共 2200 个， 最低需要多少元？ 21 （10 分）2019 年 12 月以来，湖北省
7、武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一 种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解 程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每 名员工必须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息，解答下列问题 （1）本次共调查了 名员工，条形统计图中 m ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施“很了解”
8、，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他 们中随机抽取 2 名， 让其在公司群内普及防护措施， 用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率 （要 求画出树状图或列出表格） 22 （8 分）如图，在五边形 ABCDE 中，BCDEDC90，BCED，ACAD （1）求证：ABCAED； （2）当B140时，求BAE 的度数 23 （6 分）如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点 的仰角30， 从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E， 在点E处测得树顶A点的仰角60， 求树高 AB （结果保留根号） 24 （10 分）如图，
9、点 A、B、C 在半径为 8 的O 上，过点 B 作 BDAC，交 OA 延长线于点 D连接 BC， 且BCAOAC30 （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 25 （10 分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原 路返回坡脚他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的 1.5 倍设两人出 发 xmin 后距出发点的距离为 ym图中折线段 OBA 表示小亮在整个训练中 y 与 x 的函数关系，其中点 A 在 x 轴上，点 B 坐标为（2，480） （1）点 B 所表示的实际意义是 ； （2）求出 AB 所在
10、直线的函数关系式； （3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？ 26 （14 分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作 多边形，它们的面积 S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究： （1）如图 2，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB、AC、BC 为斜边向外侧作 RtABD，RtACE， RtBCF，若123，则面积 S1，S2，S3之间的关系式为 ； （2）如图 3，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB、AC、BC 为边向外侧作任意ABD，ACE， BCF，满足123，D
11、EF，则（1）中所得关系式是否成立？若成立请证明你的结 论；若不成立，请说明理由； （3）如图 4，ABC 中，ACB90，分别以它的三边向外作平行四边形，QCGSTH 交 AB 于点 P 交 GH 于 N，且 QCPN，若平行四边形 ABHG 和平行四边形 SQCA 的面积分别为 m 和 n，则平行四 边形 QTBC 的面积为 ； （4）如图 5，在五边形 ABCDE 中，AEC105，ABC90，AB，DE4，点 P 在 AE 上，ABP30，PE，求五边形 ABCDE 的面积为 27 （15 分）如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 分别在 x
12、 轴和 y 轴的 正半轴上，连接 AC，OA3，OAC30，点 D 是 BC 的中点 （1）OC ，点 D 的坐标为 ； （2）若在矩形边 BC 上存在点 E 满足 CE2，如图 2，动点 P 从点 C 出发，沿 COA 以每秒 1 个单 位长度匀速运动，到达点 A 后停止运动，点 P 在运动过程中，记点 C 关于直线 PE 的对称点为点 C1，求 当 t 为何值时，点 C1落在矩形的一边上 （3）过 O、B、D 三点的抛物线记为 C1，点 F 为直线 OB 上方的抛物线 C1上一点，已知点 M（1，1） ， 点 N（3，1） ，过 M、N 两点的抛物线记为 C2：yax2+bx+c（a0）
13、当FBOBAD 时，求点 F 的坐标； 在的条件下，过点 O 作 OGBF 交直线 BF 于点 G，记|m|OG，若直线 ymx 与抛物线 C2恰 好有 3 个交点，请直接写出实数 a 的值 2021 年江苏省淮安市清江浦区中考数学段考试卷（一）年江苏省淮安市清江浦区中考数学段考试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分，把答案涂在答题卡上）分，把答案涂在答题卡上） 12 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数 【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2 故选：
14、A 2移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截止 2015 年 3 月，全国 4G 用户总数达到 1.62 亿，其中 1.62 亿用科学记数法表示为（ ） A1.62104 B1.62106 C1.62108 D0.162109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1.62 亿16200 00001.62108， 故选：C 3下列运算正确的是（ ） A Bb2b3b6 C4a9
15、a5 D （ab2）2a2b4 【分析】A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可； B：根据同底数幂的乘法法则判断即可； C：根据合并同类项的方法判断即可； D：积的乘方法则： （ab）nanbn（n 是正整数） ，据此判断即可 【解答】解：， 选项 A 错误； b2b3b5， 选项 B 错误； 4a9a5a， 选项 C 错误； （ab2）2a2b4， 选项 D 正确 故选：D 4下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项
16、符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 5为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了 30 名同学，结果如下： 每天使用零花 钱（单位：元） 1 2 3 4 5 人数 2 5 8 9 6 则这 30 名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ） A4，3 B4，3.5 C9，3.5 D9，8.5 【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于随机调查了 30 名同学，根据表格数据可以知道中 位数是按从小到大排序，第 15 个与第 16 个数的平均数 【解答】解：4 出现了 9 次，它的次数最多， 众数为 4 随机调查了 30 名同学， 根据表格数据可以知道中位数
17、（3+4）23.5，即中位数为 3.5 故选：B 6如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数， 则这个几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】由俯视图易得此组合几何体有 3 层，三列，2 行找从左面看所得到的图形，应看俯视图有几 行，每行上的小正方体最多有几个 【解答】解：从左面看可得到 2 列正方形从左往右的个数依次为 2，3，故选：D 7如图，已知O 为ABC 的外接圆，且 AB 为O 的直径，若 OC5，AC6，则 BC 长为（ ） A10 B9 C8 D无法确定 【分析】先根据圆周角定理判断出ABC 是直角三角形，再由勾股定理即可
18、得出结论 【解答】解：AB 为O 的直径， ACB90 OC5，AC6， AB2OC10， BC8 故选：C 8如图，在平面直角坐标系中，函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ，则代数式的 值为（ ） A B C D 【分析】根据函数的关系式可求出交点坐标，进而确定 a、b 的值，代入计算即可 【解答】解： 法一：由题意得， ，解得，或（舍去） ， 点 P（，） ， 即：a，b， ； 法二：由题意得， 函数 y（x0）与 yx1 的图象交于点 P（a，b） ， ab4，ba1， ； 故选：C 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 8 小题，共小题，共 24 分。请将答案填在答
19、题卡上）分。请将答案填在答题卡上） 9若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】让二次根式的被开方数为非负数列式求解即可 【解答】解：由题意得：3x60， 解得 x2， 故答案为：x2 10分解因式：2x28 2（x2） （x+2） 【分析】直接提取公因式 2，再利用公式法分解因式得出答案 【解答】解：2x282（x24） 2（x2） （x+2） 故答案为：2（x2） （x+2） 11某公司 2 月份的利润为 160 万元，4 月份的利润 250 万元，若设平均每月的增长率 x，则根据题意可得 方程为 160（1+x）2250 【分析】根据 2 月份的利润为 160 万元，4
20、月份的利润 250 万元，每月的平均增加率相等，可以列出相 应的方程，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 160（1+x）2250， 故答案为：160（1+x）2250 12小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为 8cm，母 线长为 25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 200 cm2 （结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：底面半径为 8cm， 则底面周长16， 侧面面积1625200cm2 故答案为 200 13如图，在ABC 中，ABC90，C25，DE 是边 AC 的垂直平分线，连接 AE，则BAE
21、等于 40 【分析】根据三角形的内角和定理求出BAC，根据线段垂直平分线的性质得到 ECEA，求出EAC， 计算即可 【解答】解：ABC90，C25， BAC65， DE 是边 AC 的垂直平分线， ECEA， EACC25， BAEBACEAC40， 故答案是：40 14如图，平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E若 BF6，AB5， 则 AE 的长为 8 【分析】由基本作图得到 ABAF，加上 AO 平分BAD，则根据等腰三角形的性质得到 AOBF，BO FOBF3，再根据平行四边形的性质得 AFBE，所以13，于是得到23，根据等腰 三角形的判
22、定得 ABEB，然后再根据等腰三角形的性质得到 AOOE，最后利用勾股定理计算出 AO， 从而得到 AE 的长 【解答】解：连接 EF，设 AE 与 BF 交于点 O，如图， ABAF，AO 平分BAD， AOBF，BOFOBF3， 四边形 ABCD 为平行四边形， AFBE， 13， 23， ABEB， 而 BOAE， AOOE， 在 RtAOB 中，AO4， AE2AO8 故答案为：8 15如图是一次函数 ykx+b 的图象的大致位置，试判断关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+10 的根的判 别式 0（填： “”或“”或“” ） 【分析】 先利用一次函数的性质得到 k0， b0， 再
23、计算判别式的值得到4kb， 于是可判断0 【解答】解：次函数 ykx+b 的图象经过第一、三、四象限， k0，b0， （2）24（kb+1）4kb0 故答案为 16如图，一段抛物线 yx2+4x（0 x4） ，记为 C1，它与 x 轴交于点 O、A1；将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交 x 轴于点 A2，将 C2绕点 A2旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3如此进行下去，直至得抛物线 C2021，若点 P（m，3）在第 2021 段抛物线 C2021上，则 m 8081 或 8083 【分析】解方程x2+4x0 得 A1（4，0） ，利用配方法得到 C1的顶点坐标为（2，4）
24、，根据旋转的性质 得到 A2（24，0） ，C2的开口向上；A3（34，0） ，C3的开口向下，利用此变换规律得到 A2020（2020 4，0） ，A2021（20214，0） ，抛物线 C2021的开口向下，利用交点式写出抛物线 C2021的解析式为 y （x20204） （x20214） ，即 y（x8080） （x8084） ，当 x8081 或 x8083 时，y3，从 而得到 m 的值 【解答】解：当 y0 时，x2+4x0，解得 x10，x24，则 A1（4，0） ， yx2+4x（x2）2+4， C1的顶点坐标为（2，4） ， 将 C1绕点 A1旋转 180得 C2， A2（2
25、4，0） ，C2的开口向上， 将 C2绕点 A2旋转 180得 C3， A3（34，0） ，C3的开口向下， ， A2020（20204，0） ，A2021（20214，0） ， 抛物线 C2021的开口向下， 第 2021 段抛物线 C2021的解析式为 y （x20204）（x20214） ， 即 y （x8080）（x8084） ， 抛物线的顶点坐标为（8082，4） ， 当 x8081 或 x8083 时，y3， m 的值为 8081 或 8083 故答案为 8081 或 8083 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 102 分。请将答案填在答题卡上）分。请将答案填在答题
26、卡上） 17 （8 分） （1）计算： （）0+|3|+tan45 （2）解方程： 【分析】 （1）首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出 算式的值是多少即可 （2）解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论，据此求出方程的解 是多少即可 【解答】解： （1） （）0+|3|+tan45 1+33+1 31 （2）去分母，可得：13（x3）x， 解得：x5， 经检验，x5 是原方程的解 18 （6 分）先化简，再求值：（1） ，其中 m 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得 【解答】解：原式（）
27、， 当 m时， 原式 19 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点坐标分别为 A（1，3） ，B（3，1） ，C（ 3，3） ，已知A1B1C1是由ABC 经过顺时针旋转变换得到的 （1）请写出旋转中心的坐标是 O（0，0） ，旋转角的大小是 90 （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出A1B1C1按顺时针方向旋转 90得到的A2B2C2，并写出 A2、 B2、C2的坐标 【分析】 （1）对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心 （2）分别作出 A1，B1，C1的对应点 A2，B2，C2即可 【解答】解： （1）观察图象可知，旋转中心的坐标是 O（0，0） ，旋转角为 90
28、 故答案为：O（0，0） ，90 （2）如图，A2B2C2即为所求作A2（1，3） ，B2（3，1） ，C2（3，3） 20 （8 分） 某公司为了响应国家号召， 疫情之后尽快复工复产， 需购买一批普通医用防护口罩和 N95 口罩， 已知购买 80 个普通医用防护口罩和 10 个 N95 口罩共需 420 元， 购买 60 个普通医用防护口罩和 10 个 N95 口罩共需 360 元 （1）求普通医用防护口罩和 N95 口罩的价格 （2） 如果购买普通医用防护口罩的数量不超过购买 N95 口罩数量的 10 倍， 求购买两种口罩共 2200 个， 最低需要多少元？ 【分析】 （1）设普通医用防护
29、口罩每个 x 元，N95 口罩每个 y 元，由题意列出二元一次方程组，解方程 组则可得出答案； （2）设购买普通医用防护口罩 a 个，购买 N95 口罩（2200a）个，由题意得出 a10（2200a） ，求 出 a 的取值范围，根据总费用的关系式可求出答案 【解答】解： （1）设普通医用防护口罩每个 x 元，N95 口罩每个 y元，由题意得， ， 解得， 答：普通医用防护口罩每个 3 元，N95 口罩每个 18 元； （2）设购买普通医用防护口罩 a 个，购买 N95 口罩（2200a）个，由题意得， a10（2200a） ， 解得 a2000， 购买口罩的总费用 W3a+18（2200a）
30、15a+39600， 当 a 取 2000 时，W 有最小值，最低费用为152000+396009600（元） ， 答：最低需要 9600 元 21 （10 分）2019 年 12 月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一 种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴 口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解 程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解） ，通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每 名员工必须且只能选择一项） ，并将调查结果绘制成如下两幅统计图 请你根据上面的信息
31、，解答下列问题 （1）本次共调查了 60 名员工，条形统计图中 m 20 ； （2）若该公司共有员工 1000 名，请你估计“不了解”防护措施的人数； （3）在调查中，发现有 4 名员工对防护措施“很了解” ，其中有 3 名男员工、1 名女员工若准备从他 们中随机抽取 2 名， 让其在公司群内普及防护措施， 用画树状图或列表法求恰好抽中一男一女的概率 （要 求画出树状图或列出表格） 【分析】 （1）根据“了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%，求出总人数即可解决问题； （2）利用样本估计总体的思想解决问题即可； （3） 根据题意列出图表得出所有等情况数和恰好抽中一男一女的情况数
32、， 然后根据概率公式即可得出答 案 【解答】解： （1）由统计图可知， “了解很少”的员工有 24 名，其所占的百分比为 40%， 故本次调查的员工人数为 2440%60（名） ，m601224420 故答案为：60，20； （2）根据题意得： 1000200（名） ， 答：不了解防护措施的人数为 200 名； （3）根据题意列表如下： 员工 男甲 男乙 男丙 女 男甲 男乙、男甲 男丙、男甲 女、男甲 男乙 男甲、男乙 男丙、男乙 女、男乙 男丙 男甲、男丙 男乙、男丙 女、男丙 女 男甲、女 男乙、女 男丙、女 共有 12 种等情况数，其中恰好抽中一男一女的 6 种， 则恰好抽中一男一女的
33、概率为 22 （8 分）如图，在五边形 ABCDE 中，BCDEDC90，BCED，ACAD （1）求证：ABCAED； （2）当B140时，求BAE 的度数 【分析】 （1）根据ACDADC，BCDEDC90，可得ACBADE，进而运用 SAS 即可 判定全等三角形； （2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到BAE 的度数 【解答】 （1）证明： ACAD， ACDADC， 又BCDEDC90， ACBADE， 在ABC 和AED 中， ， ABCAED（SAS） ； （2）解：当B140时，E140， 又BCDEDC90， 五边形 ABCDE 中，BAE540140290
34、280 23 （6 分）如图，CD 是一高为 4 米的平台，AB 是与 CD 底部相平的一棵树，在平台顶 C 点测得树顶 A 点 的仰角30， 从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E， 在点E处测得树顶A点的仰角60， 求树高 AB （结果保留根号） 【分析】作 CFAB 于点 F，设 AFx 米，在直角ACF 中利用三角函数用 x 表示出 CF 的长，在直角 ABE 中表示出 BE 的长，然后根据 CFBEDE 即可列方程求得 x 的值，进而求得 AB 的长 【解答】解：作 CFAB 于点 F，设 AFx 米， 在 RtACF 中，tanACF， 则 CFx， 在直角ABE 中，ABx+B
35、F4+x（米） ， 在直角ABF 中，tanAEB，则 BE（x+4）米 CFBEDE，即x（x+4）3 解得：x， 则 AB+4（米） 答：树高 AB 是米 24 （10 分）如图，点 A、B、C 在半径为 8 的O 上，过点 B 作 BDAC，交 OA 延长线于点 D连接 BC， 且BCAOAC30 （1）求证：BD 是O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）连接 OB，交 CA 于 E，根据圆周角定理得到BOA60，得到AEO90，即 OB AC，根据平行线的性质得到DBEAEO90，根据切线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质得到D30，解直角三角形求出 BD，分
36、别求出BOD 的面积和扇形 AOB 的面积，即可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OB，交 CA 于 E， C30，CBOA， BOA60， BCAOAC30， AEO90， 即 OBAC， BDAC， DBEAEO90， BD 是O 的切线； （2）解：ACBD，OAC30， DCAO30， OBD90，OB8， BDOB8， S阴影SBDOS扇形AOB8832 25 （10 分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原 路返回坡脚他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的 1.5 倍设两人出 发 xmin 后距出发点的距离为
37、 ym图中折线段 OBA 表示小亮在整个训练中 y 与 x 的函数关系，其中点 A 在 x 轴上，点 B 坐标为（2，480） （1）点 B 所表示的实际意义是 2min 时，小亮到达距离出发点 480m 的坡顶开始下坡返回 ； （2）求出 AB 所在直线的函数关系式； （3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？ 【分析】 （1）根据到出发点的距离由大变小可知小亮 2min 时开始下坡返回； （2） 求出下坡时的速度， 然后求出下坡的时间， 从而得到点 A 的坐标， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 利用待定系数法求一次函数解析式解答； （3）
38、设两人出发后 xmin 相遇，根据第一次相遇时，小刚上坡，小亮下坡，列出方程求解即可 【解答】 解： （1） 点 B 所表示的实际意义是：2min 时，小亮到达距离出发点 480m 的坡顶开始下坡返回； （2）小亮上坡速度：4802240m/min， 下坡速度：2401.5360m/min， 所以，下坡时间为 480360min， 2+min， 所以，点 A 的坐标为（，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 则， 解得 所以，y360 x+1200； （3）设两人出发后 xmin 相遇， 小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半， 小刚的速度是 2402120m/min， 第一次相
39、遇时，小刚上坡，小亮下坡， 由题意得，120 x+360（x2）480， 解得 x2.5 答：两人出发 2.5min 后第一次相遇 26 （14 分）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作 多边形，它们的面积 S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究： （1）如图 2，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB、AC、BC 为斜边向外侧作 RtABD，RtACE， RtBCF，若123，则面积 S1，S2，S3之间的关系式为 S1+S2S3 ； （2）如图 3，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB、AC、BC 为边向外侧作任意
40、ABD，ACE， BCF，满足123，DEF，则（1）中所得关系式是否成立？若成立请证明你的结 论；若不成立，请说明理由； （3）如图 4，ABC 中，ACB90，分别以它的三边向外作平行四边形，QCGSTH 交 AB 于点 P 交 GH 于 N，且 QCPN，若平行四边形 ABHG 和平行四边形 SQCA 的面积分别为 m 和 n，则平行四 边形 QTBC 的面积为 mn ； （4）如图 5，在五边形 ABCDE 中，AEC105，ABC90，AB，DE4，点 P 在 AE 上，ABP30，PE，求五边形 ABCDE 的面积为 24+28 【分析】 （1）通过证明ADBBFC，可得（）2，同
41、理可得（）2，由勾股 定理可得 AB2+AC2BC2，可得结论； （2）通过证明ADBBFC，可得（）2，同理可得（）2，由勾股定理可 得 AB2+AC2BC2，可得结论； （3）利用平行四边形的性质以及平行线的性质进而得出各图形之间面积关系，可得 S 到 CQ 的距离等于 A 到 PN 的距离，C 到 TB 的距离等于 P 到 BH 的距离，进而可得 S四边形ACQSS四边形AGNP，S四边形QCBTS 四边形PNHB，所以 S四边形SACQ+S四边形QCBTS四边形AGHB，继而求出QTBC 的面积 （4）过点 A 作 AHBP 于 H，连接 PD，BD，由直角三角形的性质可求 AP2，B
42、PBH+PH6 2，可求 SABP6+6，通过证明ABPEDP，可得EPDAPB45，S PDE2，可得BPD90，PD2+2，可求 SBPD8+12，由（2）的结论可求 SBCD SABP+SDPE6+2+28+8，即可求解 【解答】解： （1）13，DF90， ADBBFC， （）2， 同理可得（）2， 由勾股定理可得 AB2+AC2BC2， +（）2+（）21， S1+S2S3， 故答案为：S1+S2S3 （2）结论仍然成立， 理由如下：13，DF， ADBBFC， （）2， 同理可得（）2， 由勾股定理可得 AB2+AC2BC2， +（）2+（）21， S1+S2S3， （3）分别以它
43、的三边向外作平行四边形，QCGSTH 交 AB 于 P 交 GH 于 N，且 QCPN， QCBTPN，四边形 APNG 和四边形 PBHN 都是平行四边形，且 S 到 CQ 的距离等于 A 到 PN 的距 离，C 到 TB 的距离等于 P 到 BH 的距离， S四边形ACQSS四边形AGNP，S四边形QCBTS四边形PNHB， S四边形SACQ+S四边形QCBTS四边形AGHB， 平行四边形 ABHG 和平行四边形 SQCA 的面积分别为 m 和 n， 平行四边形 QTBC 的面积为：mn 故答案为：mn （4）过点 A 作 AHBP 于 H，连接 PD，BD， ABH30，AB4， AH2
44、，BH6，BAH60， BAP105， HAP45， AHBP， HAPAPH45， PHAH2， AP2，BPBH+PH6+2， SABPBPAH（6+2）26+6， PE2，ED4，AP2，AB4， ， ， 且EBAP105， ABPEDP， EPDAPB45， BPD90，PD2+2， SBPDBPPD（6+2）（2+2）8+12， ABPEDP， （）2， SPDE（6+6）2+2， tanPBD， PBD30， CBDABCABPPBD30， ABPPDECBD， 又AEC105， ABPEDPCBD， 由（2）的结论可得：SBCDSABP+SDPE6+2+28+8， 五边形 ABC
45、DE 的面积6+6+2+2+8+8+8+1224+28 故答案为：24+28 27 （15 分）如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴的 正半轴上，连接 AC，OA3，OAC30，点 D 是 BC 的中点 （1）OC ，点 D 的坐标为 （，） ； （2）若在矩形边 BC 上存在点 E 满足 CE2，如图 2，动点 P 从点 C 出发，沿 COA 以每秒 1 个单 位长度匀速运动，到达点 A 后停止运动，点 P 在运动过程中，记点 C 关于直线 PE 的对称点为点 C1，求 当 t 为何值时，点 C1落在矩形的一边上 （3）过
46、 O、B、D 三点的抛物线记为 C1，点 F 为直线 OB 上方的抛物线 C1上一点，已知点 M（1，1） ， 点 N（3，1） ，过 M、N 两点的抛物线记为 C2：yax2+bx+c（a0） 当FBOBAD 时，求点 F 的坐标； 在的条件下，过点 O 作 OGBF 交直线 BF 于点 G，记|m|OG，若直线 ymx 与抛物线 C2恰 好有 3 个交点，请直接写出实数 a 的值 【分析】 （1）在 RtAOC 中，解直角三角形求出 OC 即可求出点 C 坐标，再根据中点定义求出点 D 坐 标； （2）分两种情况讨论：当点 P 在 OC 上时，当点 P 在 OA 上时；由对称性质可得直线
47、PE 是线段 CC的垂直平分线，再证明ECPCOC，根据相似三角形性质建立方程求解即可； （3）利用待定系数法求出抛物线记为 C1的解析式，设 F（m，m2+m） ，过点 F 作 FMy 轴交 OB 于点 M，作 FHOB 于点 H，通过相似三角形性质建立方程求解； 先根据三角函数或相似三角形性质求出 OG， 从而可求得|m|，再由待定系数法求出抛物线 C2的解析式 （含字母系数 a） ，根据直线 ymx 与抛物线 C2恰好有 3 个交点，抛物线开口向下，直线 y6x 与抛 物线 C2必有 2 个交点，可知直线 y6x 与抛物线 C2有且只有 1 个交点，即方程 ax24ax+3a+16x 有
48、 两个相等实数根，利用根的判别式即可求得答案 【解答】解： （1）如图 1 中， 四边形 OABC 是矩形， AOC90，BCOA，BCOA， OA3，OAC30， BC3，OCOAtan303， 点 D 是 BC 的中点， CDBC， D（，） ， 故答案为：， （，） ； （2）分两种情况： 当点 P 在 OC 上时，如图 2，点 C，C关于直线 PE 对称，且点 C在 OA 上，连接 CC交 PE 于点 G，连接 PC， 直线 PE 是线段 CC的垂直平分线， PCCPt，EGCBCOAOC90，CE2，OC，OPt， ECG+OCCECG+CEG90， CEGOCC， ECPCOC， ，即：， OCt， 在
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