1、常州市新北区 2021 年中考一模考试数学试题 2021.4 注意事项： 1. 本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟。考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写 在本试卷上无效。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。考试时不允许使用计算器。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息。 3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 一、选择题（本题包括 8 小题，共 16 分.每小题只有一个选项符合题意.请将正确答案前的序号按对应 的题号填写在答题卡上） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. 1 2 C.
2、1 2 D. 2 【答案】A 【解析】2 与-2 只有符号不同，所以 2 的相反数是-2，故选 A. 2. 如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这 7 天的日最高气温的说法正确的是（ ） A. 极差是 8 B. 众数是 28 C. 中位数是 24 D. 平均数是 26 【答案】B 3. 下列运算正确的是（ ） A. x2x=x B. 2xy=xy C. x2+x2=x4 D. （x1）2=x21 【答案】A 4. 下列平面展开图是由 5 个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是（ ） A B C D 【答案】B 5. 已知关于的一元二次方程2 ( + 2) +
3、4 = 0有两个不相等的实数根1,2，若 1 1 + 1 2 = 4,则的值是 ( ) A. 2 B. -1 C. 2 或-1 D. 不存在 【答案】A 【解析】先由二次项系数非零及根的判别式0，得出关于 m 的不等式组，解之得出 m 的取值范围，再根据根与 系数的关系可得出 x1+x2=+2 ，x1x2=1 4，结合 1 1 + 1 2 = 4，即可求出 m 的值 6. 不等式组 1 3 1 2 1 4( 1) 2( ) 有 3 个整数解，则的取值范围是（ ） A. 6 5 B. 6 5 C. 6 1 2 + 1 5( 1) ，并写出它的所有整数解 【答案】不等式组的整数解哟1、0、1、2
4、21. 如图，D 是ABC 的 BC 边上一点，连接 AD，作ABD 的外接圆，将ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在 上 （1）求证：AE=AB； （2）若CAB=90，cosADB=1 3，BE=2，求 BC 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）BC=32 【解析】（1） 由翻折的性质得出ADEADC， 根据全等三角形对应角相等， 对应边相等得出AED=ACD， AE=AC， 根据同弧所对的圆周角相等得出ABD=AED，根据等量代换得出ABD=ACD，根据等角对等边得出 AB=AC，从 而得出结论； （2）如图，过点 A 作 AHBE 于点 H，根据等腰三角形的三线
5、合一得出 BH=EH=1，根据等腰三角形的性质及圆周角 定理得出ABE=AEB=ADB，根据等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义得出 BHAB = 13,从而得出 AC=AB=3，在 Rt 三角形 ABC 中，利用勾股定理得出 BC 的长. （2）解 ：如图，过点 A 作 AHBE 于点 H AB=AE，BE=2 BH=EH=1 ABE=AEB=ADB，cosADB=1 3 cosABE=cosADB=1 3 = 1 3 AC=AB=3 BAC=90，AC=AB BC= 32 22. 为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预 测，将考
6、试成绩分布情况进行处理解析，制成频数分布表如下(成绩得分均为整数)： 组别 成绩分组 频数频率 频数 1 47.5 59.5 2 0.05 2 59.5 71.5 4 0.10 3 71.5 83.5 0.2 4 83.5 95.5 10 0.25 5 95.5 107.5 6 107.5 120 6 0.15 合计 40 1.00 根据表中提供的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 = ， = ， = ； （2）已知全区八年级共有 200 个班(平均每班 40 人)，用这份试卷检测，108 分及以上为优秀，预计优秀的人数约 为 ，72 分及以上为及格，预计及格的人数约为 ，及格的百分比约
7、为 ； （3）补充完整频数分布直方图. 【答案】 （1）8、10、0.25； （2）1200 人、6800 人、85%； （3）补图见解析. 详解： （1）被调查的总人数为 20.05=40 人， a=400.2=8，b=40（2+4+8+10+6）=10，c=1040=0.25， 故答案为：8、10、0.25； （2）全区八年级学生总人数为 20040=8000 人， 预计优秀的人数约为 80000.15=1200 人，预计及格的人数约为 8000（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800 人，及格的百 分比约为170 200100%=85%， 故答案为：1200 人、6800 人、
8、85%； （3）补全频数分布直方图如下： 23. 今年常州市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从 4 名女班干 部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定 2 名女生去参加. 抽签规则：将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁 老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的 3 张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1） 该班男生“小刚被抽中”是 事件， “小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随 机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ； （2）试用画树状图或列表的方
9、法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率. 【答案】 （1）不可能；随机；1 4； （2） 1 2 【解析】 （1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件， “小悦被抽中”是随机事件， 第一次抽取有 4 种可能，“小悦被抽中”有 1 种可能，所以“小悦被抽中”的概率为1 4， 故答案为：不可能， 随机， 1 4 ； 24. 文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售.甲、 乙两种图书的进价分别为每本20元、 14 元， 甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的 1.4 倍， 若用 1680 元在文美书店可购买甲种图书的本数比用 14
10、00 元购买乙种图书的本数少 10 本. （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3 元，乙种图书售价每本降低 2 元，问书店应如何进货才能 获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完.） 【答案】 （1）甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元； （2）甲种图书进货 533 本，乙种图书进货 667 本 时利润最大. 【解析】 （1）设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本1.4元由题意得： 1400 1600 1.4 = 10， 解得： = 20 经检验， = 20是原方程的解 所以，甲种图书售价为每本1.4 20 = 2
11、8元， 答：甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元 （2）设甲种图书进货本，总利润元，则 = (28 20 3) + (20 14 2)(1200 ) = + 4800 又20 + 14 (1200 ) 20000， 解得： 1600 3 随的增大而增大， 当最大时最大， 25. 如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高是10米，坡面的倾斜角 = 45，在距点10米处 有一建筑物.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角 = 30，若新坡 面下处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）. （参考数据：
12、2 1.414，3 1.732） 【答案】该建筑物需要拆除. 【解析】根据正切的定义分别求出 AB、DB 的长，结合图形求出 DH，比较即可 详解：由题意得， = 10米， = 10米， 在中， = 45， = = 10， 在中， = 30， = tan = 103， = = ( ) = 10 103 + 10 = 20 103 2.7（米） ， 2.7米 3米， 该建筑物需要拆除. 26. 如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 (1)概念理解： 我们已经学习了平行四边形、 菱形、 矩形、 正方形， 在这四种图形中是垂美四边形的是_ (2)性质探究：如图 2，已知四边形 ABC
13、D 是垂美四边形，试探究其两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系， 并写出证明过程 (3)问题解决： 如图 3， 分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE， 连接 CE， BG，GE，CE 交 AB 于点 M，已知 AC=4，AB=5，求 GE 的长 【答案】(1)菱形，正方形(2)AD2+BC2=AB2+CD2 【解析】证明：连接 AC，BD，设其交点为 E 四边形 ABCD 是垂美四边形， ACBD， 即AED=AEB=BEC=CED=90， 由勾股定理，得 AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD
14、2=AE2+BE2+CE2+DE2， AD2+BC2=AB2+CD2 (3)连接 CG，BE CAG=BAE=90， CAG+BAC=BAE+BAC， 即GAB=CAE 在 GAB 和 CAE 中，AG=AC，GAB=CAE，AB=AE，GABCAE ABG=AEC 又AEC+AME=90， ABG+AME=90 又BMC=AME， ABG+BMC=90 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形 由(2)，得 CG2+BE2=CB2+GE2 AC=4，AB=5， 由勾股定理，得 CB2=9，CG2=32，BE2=50， GE2=CG2+BE2-CB2=73. GE= 73 27. 如图，在矩
15、形OAHC中，8,12OCOA ，B为CH中点，连接AB. 动点M从点O出发沿OA边向点A 运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，连接 ,CM CN MN，设运动时间为t(秒)(010)t . 则t _时， CMN为直角三角形 【答案】 7 2 或 41241 4 【解析】 过点 N 作 OA 的垂线，交 OA 于点 F，交 CH 于点 E，如图 1， B 点是 CH 的中点， BH= 1 2 CH= 1 2 OA=6， AH=OC=8， 由勾股定理可求：AB=10， AN=t， BN=10-t， NEAH， BENBHA， BNEN ABA
16、H ， 10 108 tEN ， EN= 4(10) 5 t FN=8-EN= 4 5 t， 当CMN=90，由勾股定理可求：AF= 3 5 t， OM=t， AM=12-t， MF=AM-AF=12-t- 3 5 t=12- 8 5 t， OCM+CMO=90，CMO+FMN=90， OCM=FMN， O=NFM=90， COMMFN， OCOM MFFN ， 8 84 12 55 t tt ， t= 7 2 ， 当MNC=90，FN= 4 5 t EN= 4 8- 5 t MF=12- 8 5 t CE=OF=OM+MF=12- 3 5 t MNF+CNE=90， ECN+CNE=90，
17、MNF=ECN， CEN=NFM=90， CENNFM， CEEN FNMF ， 34 128- 55 48 12 55 tt tt ， 41241 4 t ， 0t5， 41241 4 t ； 当NCM=90， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，CMN 为直角三角形时，t= 7 2 或 41241 4 . 28. 如图 1，抛物线 yx2bxc 过点 A(1，0)，点 B(3，0)与 y 轴交于点 C在 x 轴上有一动点 E(m，0)(0m 3)，过点 E 作直线 lx 轴，交抛物线于点 M (1)求抛物线的解析式及 C 点坐标； (2)当 m1 时，D 是直线 l 上的点且在第一象限内，
18、若 ACD 是以DCA 为底角的等腰三角形，求点 D 的坐标； (3)如图 2， 连接 BM 并延长交 y 轴于点 N， 连接 AM， OM， 设 AEM 的面积为 S1， MON 的面积为 S2， 若 S12S2， 求 m 的值 【答案】 解：(1)将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得 -1-b+c=0 -9+3b+c=0 ，解得 b=2 c=3 ， 故抛物线的表达式为 yx22x3， 当 x0 时，y3，故点 C(0，3)； (2)当 m1 时，点 E(1，0)，设点 D 的坐标为(1，a)， 由点 A、C、D 的坐标得，AC 22 0+1+ 3-0= 10， 同理可得：AD 2 a +
19、4，CD 2 1+ a-3 ， 当 CDAD 时，即 2 a +4 2 1+ a-3 ，解得 a1； 当 ACAD 时，同理可得 a6(舍去负值)； 故点 D 的坐标为(1，1)或(1，6)； (3)E(m，0)，则设点 M(m，m22m3)， 设直线 BM 的表达式为 ysxt，则 2 -m +2m+3=sm+t 0=3s+t ，解得： 1 s=- m+1 3 t= m+1 ， 故直线 BM 的表达式为 y 1 m+1 x 3 m+1 ， 当 x0 时，y 3 m+1 ，故点 N(0， 3 m+1 )，则 ON 3 m+1 ； S1 1 2 AEyM 1 2 (m1)(m22m3)， 2S2ONxM 3 m+1 mS1 1 2 (m1)(m22m3)， 解得 m2 7(舍去负值)， 经检验 m 72 是方程的根， 故 m72
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