1、2021 年湖南省高考数学联考试卷（年湖南省高考数学联考试卷（3 月份）月份） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|xa，若 ABx|axa+1，则 a（ ） A2 B1 C0 D1 2若（z+1）（1+i）i，则 （ ） A B Ci D 3“a，b，c 成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 42019 年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资某 口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在 2020 年 2 月
2、 1 日2 月 9 日连续 9 天的日生产量 yi（单 位：十万只，i1，2，9）数据做了初步处理，得到如图所示的散点图那么不可能作为 y 关于 t 的回归方程类型的是（ ） Aya+b Bya+blnt Cya+bet Dya+bt2 5若曲线 ysin（3x+）（2）关于直线 x对称，则 的最大值为（ ） A B C D 6用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取 1 个，则该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为（ ） A B C D 7赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距 今已有 1
3、400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为 7.23 米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为 R 米，r 为 R 精确到整数部分的近似值已知双曲线 C： 1（a0）的焦距为 r，则 C 的离心率为（ ）（参考数据：7.232+18.852407.6） A5 B6 C7 D8 8在菱形 ABCD 中，BAD60，将ABD 沿 BD 折起，使 A 到达 A的位置，且二面角 ABDC 为 60，则 AD 与平面 BCD 所成角的正切值为（ ） A B C D 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 5 分）分）. 9若 sin，（0，），则（ ） Aco
4、s Bsin Csin（） Dsin（） 10设函数 f（x）lg（+x），则（ ） Af（）f（log85） Bf（）f（log85） Cf（log85）f（） Df（）f（） 11设函数 f（x）mx2ex+1，若对任意 a，b，c3，1，f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值可能为（ ） A B C D 12已知三棱锥 PABC 的每个顶点都在球 O 的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过 B 作平 面 ABC 的垂线 BQ，且 BQAB，PQ3，P 与 Q 都在平面 ABC 的同侧，则（ ） A三棱锥 PABC 的体积为 BPAAB CPCBQ
5、 D球 O 的表面积为 9 三、填空题（每小题三、填空题（每小题 5 分）分）. 13已知 A（0，4），B（4，0），C（1，2），且+ ，则点 G 的坐标为 14 某公司有职工 800 人， 其中不到 30 岁的有 120 人， 30 岁到 40 岁的有 400 人， 40 岁以上的有 280 人 为 了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标 有关，则应该选择的抽样方法是 ，40 岁以上的职工应抽取 名 15写出一个关于 a 与 b 的等式，使+是一个变量，且它的最小值为 16，则该等式为 16 已知AB为抛物线x24y的一条长度为8
6、的弦， 当弦AB的中点离x轴最近时， 直线AB的斜率为 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列nan的前 n 项和为 2n1 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列n2an的前 n 项和 Sn 18在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜 负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率为 0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7，第一轮获胜 团体有奖金 5000 元，第二轮获胜团体有奖金 8000 元，未获胜团体每轮有 1
7、000 元鼓励奖金 （1）求甲团体至少胜一轮的概率； （2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为 X 元，求 X 的分布列及其数学期望 19为了测出图中草坪边缘 A，B 两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点 C 与 D（A，B，C，D 四点共 面），测得 AC1.6m，CD2m，BD1.8m，已知 cosBDC，tanACD3 （1）求ACD 的面积； （2）求 A，B 两点间的距离 20如图，在四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BCE 为等边三角形，点 O 为 BE 的中 点，且 ACBC2OA2 （1）证明：平面 ABE平面 BCE （2）若 ABAE，求二面角 BCE
8、D 的正弦值 21已知椭圆 C：1（ab1）长轴的顶点与双曲线 D： 1 实轴的顶点相同，且 C 的 右焦点 F 到 D 的渐近线的距离为 （1）求 C 与 D 的方程； （2）若直线 l 的倾斜角是直线 y（2）x 的倾斜角的 2 倍，且 l 经过点 F，l 与 C 交于 A，B 两点， 与 D 交于 M，N 两点，求 22已知函数 f（x）x3（a+）x2+3x（a0） （1）讨论 f（x）的单调性 （2）若 a1，且x（，+），f（x）a3，求 a 的取值范围 （3）是否存在正数 a，使得 f（x）2x1 对 x（2，3）恒成立？若存在，求 a 的取值范围；若不存在， 请说明理由 参考答
9、案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 Ax|x22x30，Bx|xa，若 ABx|axa+1，则 a（ ） A2 B1 C0 D1 解：Ax|1x3，Bx|xa，ABx|axa+1， a+13，解得 a2 故选：A 2若（z+1）（1+i）i，则 （ ） A B Ci D 解：（z+1）（1+i）i，z+1， 则 z，故 故选：C 3“a，b，c 成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的（ ） A充分
10、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 a，b，c 成等比数列，则 b2ac， 此时 a2c2（ac）2b4，则 a2，b2，c2成等比数列，即充分性成立， 反之当 a1，b1，c1 时满足 a2，b2，c2成等比数列，但 a，b，c 不成等比数列，即必要性不成立， 即“a，b，c 成等比数列”是“a2，b2，c2成等比数列”的充分不必要条件， 故选：A 42019 年底，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资某 口罩生产厂不断加大投入，提高产量现对其在 2020 年 2 月 1 日2 月 9 日连续 9 天的日生产量 y
11、i（单 位：十万只，i1，2，9）数据做了初步处理，得到如图所示的散点图那么不可能作为 y 关于 t 的回归方程类型的是（ ） Aya+b Bya+blnt Cya+bet Dya+bt2 解：由导数的几何意义可知，函数的导数表示该点处切线的斜率， 对于 A，ya+b，则，若函数为增函数，则 b0，随着 t 的增大，y减小，故满足条件； 对于 B，ya+blnt，则，若函数为增函数，则 b0，随着 t 的增大，y减小，故满足条件； 对于 C，ya+bet，则 ybet，若函数为增函数，则 b0，随着 t 的增大，y减小，故满足条件； 对于 D，ya+bt2，则 y2bt，若函数为增函数，则 b
12、0，随着 t 的增大，y增大，不满足条件 故选：D 5若曲线 ysin（3x+）（2）关于直线 x对称，则 的最大值为（ ） A B C D 解：ysin（3x+）图象关于直线 x对称， 3+k，kZ， +k，kZ， 2， 的最大值为 故选：B 6用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取 1 个，则该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为（ ） A B C D 解：用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 从这些五位数中随机选取 1 个， 基本事件总数 n120， 该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位包含的基本事件个数：
13、m+ 20， 该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为 P 故选：D 7赵州桥始建于隋代，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，由匠师李春设计建造，距 今已有 1400 余年的历史赵州桥的桥拱的跨度为 37.7 米，拱矢（拱顶至石拱两脚连线的高度）为 7.23 米设拱弧（假设桥拱的曲线是圆弧）的半径为 R 米，r 为 R 精确到整数部分的近似值已知双曲线 C： 1（a0）的焦距为 r，则 C 的离心率为（ ）（参考数据：7.232+18.852407.6） A5 B6 C7 D8 解：由题意知，R2+（R7.23）2， 14.46R7.232+18.852407.6
14、， R28.19， r28， a2 +192142196， a2， 离心率 e7 故选：C 8在菱形 ABCD 中，BAD60，将ABD 沿 BD 折起，使 A 到达 A的位置，且二面角 ABDC 为 60，则 AD 与平面 BCD 所成角的正切值为（ ） A B C D 解：设 AC 于 BD 交于点 O，设菱形的边长为 2， 在ABD 中，因为A60，AB2，所以， 过点 A作 AE平面 BCD，垂足为 E，连结 EO， 因为 O 为 BD 的中点，且 ADAB，所以 AOBD，故 EOBD， 所以AOE 即为二面角 ABDC 的平面角， 故AOE60， 连结 ED，则ADE 即为 AD
15、与平面 BCD 所成的角， 在 RtAOE 中， 在 RtAED 中，AD2，所以， 故 故选：C 二、 选择题： 本大题共二、 选择题： 本大题共 4 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 20 分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全分 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9若 sin，（0，），则（ ） Acos Bsin Csin（） Dsin（） 解：sin，（0，）， （0，），cos 则 cos 1，故 A 正确； sin2sinco
16、s，故 B 错误； sin（） ，故 C 正确； sin（）sin coscossin ，故 D 错误 故选：AC 10设函数 f（x）lg（+x），则（ ） Af（）f（log85） Bf（）f（log85） Cf（log85）f（） Df（）f（） 解：函数 f（x）lg（+x），定义域为 R， f（x）lg（x）lglg（ +x）f（x）， 所以 f（x）为奇函数，所以f（）f（）， 当 x0，+）时，由复合函数的单调性可知 f（x）lg（+x）单调递增， 因为log84log85， 所以 f（）f（log85）f（）， 结合选项可知 A，B 正确 故选：AB 11设函数 f（x）mx2
17、ex+1，若对任意 a，b，c3，1，f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值可能为（ ） A B C D 解：设函数 g（x）x2ex，x3，1，则 g（x）x（x+2）ex，可得函数 g（x）在3，2），（0， 1上单调递增，在（2，0）上单调递减 又 g（3），g（2），g（0）0，g（1）e，可得函数 g（x）的值域为0，e 根据 f（a），f（b），f（c）都可以作为一个三角形的三边长， 当 m0 时，2f（0）f（1），即 21me+1，解得 0m； 当 m0 时，2f（1）f（0），即 2（me+1）1，解得m0 综上可得：m 故选：BD 12已
18、知三棱锥 PABC 的每个顶点都在球 O 的球面上，ABBC2，PAPC，ABBC，过 B 作平 面 ABC 的垂线 BQ，且 BQAB，PQ3，P 与 Q 都在平面 ABC 的同侧，则（ ） A三棱锥 PABC 的体积为 BPAAB CPCBQ D球 O 的表面积为 9 解：如图， 长方体的高为 1，底面是边长为 2 的正方形，满足 ABBC2，PAPC，ABBC， 三棱锥 PABC 的体积为，故 A 正确； PB ， 满足 PA2+AB2PB2，可得 PAAB，故 B 正确； BQ平面 ABC，PD平面 ABC，则 BQPD， 假设 PCBQ，则 PCPD，与 PD 与 PC 相交于 P
19、矛盾，故 C 错误； 三棱锥 PABC 的外接球即长方体 DG 的外接球，设其半径为 R， 则 2R，即 R，可得球 O 的表面积为，故 D 正确 故选：ABD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知 A（0，4），B（4，0），C（1，2），且+ ，则点 G 的坐标为 （1，2） 解：设 G（x，y），因为 A（0，4），B（4，0），C（1，2）， 则， 又+ ， 所以，解得， 所以点 G 的坐标为（1，2） 故答案为：（1，2） 14 某公司有职工 800 人， 其
20、中不到 30 岁的有 120 人， 30 岁到 40 岁的有 400 人， 40 岁以上的有 280 人 为 了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标 有关，则应该选择的抽样方法是 分层抽样 ，40 岁以上的职工应抽取 70 名 解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标， 要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关， 则应该选择的抽样方法是分层抽样， 40 岁以上的职工应抽取：20070 名 故答案为：分层抽样，70 15写出一个关于 a 与 b 的等式，使+是一个变量，且它的最小值为 16，则该等式为 a2+b21
21、 解：该等式为 a2+b21，下面证明该等式符合条件 +（+）（a2+b2）， 当且仅当 b23a2时取等号， 所以+是一个变量，且它的最小值为 16 故答案为：a2+b21 16 已知AB为抛物线x24y的一条长度为8的弦， 当弦AB的中点离x轴最近时， 直线AB的斜率为 1 解：由题意得抛物线的准线方程为 l：y1，过 A 作 AA1l 于 A1，过 B 作 BB1l 于 B1， 设弦 AB 的中点为 M，过 M 作 MM1l 于 M1，则 2|MM1|AA1|+|BB1|， 设抛物线的焦点为 F，则|AF|+|BF|AB|，即|AA1|+|BB1|AF|+|BF|8（当且仅当 A，B，F
22、 三点共线时等 号成立）， 所以|AA1|+|BB1|2|MM1|8，解得|MM1|4， 即弦 AB 的中点到 x 轴的最短距离为：413 所以点 M 的纵坐标为（x0，3），A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）， 4y1，4y2， 所以直线 AB 的斜率 k， x02，此时 k1， 当弦 AB 的中点离 x 轴最近时，直线 AB 的斜率为1， 故答案为：1 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知数列nan的前 n 项和为 2n1 （1）求数列an的通项公式；
23、（2）求数列n2an的前 n 项和 Sn 解：（1）设数列nan的前 n 项和为 Tn，则 Tn2n1， 当 n1 时，a1T11， 当 n2 时，Tn12n11， 所以 nanTnTn12n1（2n11）2n1， n1 时，a11 满足上式， 所以 an，nN* （2）n2ann2n1， 所以 Sn120+221+322+n2n1， 2Sn121+222+323+n2n， 得Sn20+21+22+2n1n2n n2n（1n）2n1， 所以 Sn（n1）2n+1 18在某工厂年度技术工人团体技能大赛中，有甲、乙两个团体进行比赛，比赛分两轮，每轮比赛必有胜 负，没有平局第一轮比赛甲团体获胜的概率
24、为 0.6，第二轮比赛乙团体获胜的概率为 0.7，第一轮获胜 团体有奖金 5000 元，第二轮获胜团体有奖金 8000 元，未获胜团体每轮有 1000 元鼓励奖金 （1）求甲团体至少胜一轮的概率； （2）记乙团体两轮比赛获得的奖金总额为 X 元，求 X 的分布列及其数学期望 解：（1）第一轮甲胜第二轮乙胜的概率为 P0.60.70.42， 第一轮乙胜第二轮甲胜的概率为 P0.40.30.12， 第一轮甲胜第二轮甲胜的概率 P0.60.30.18， 故甲团体至少胜一轮的概率为 0.42+0.12+0.180.72； （2）由已知可得 X 的可能取值为 2000，6000，9000，13000，
25、则 P（X2000）0.60.30.18，P（X6000）0.40.30.12， P（X9000）0.60.70.42，P（X13000）0.40.70.28， 所以 X 的分布列如下： X 2000 6000 9000 13000 P 0.18 0.12 0.42 0.28 E（X）20000.18+60000.12+90000.42+130000.288500 19为了测出图中草坪边缘 A，B 两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点 C 与 D（A，B，C，D 四点共 面），测得 AC1.6m，CD2m，BD1.8m，已知 cosBDC，tanACD3 （1）求ACD 的面积； （2）求
26、A，B 两点间的距离 解：（1）因为 tanACD3，可得 sinACD， 所以 SACDACCDsinACD m2 （2）因为 tanACD3，所以 cosACD， 所以 AD21.62+222 5.76，则 AD2.4， 因为 cosADC，所以 sinADC， 又 cosBDC， 所以ADB， 所以 AB3m 20如图，在四棱锥 EABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BCE 为等边三角形，点 O 为 BE 的中 点，且 ACBC2OA2 （1）证明：平面 ABE平面 BCE （2）若 ABAE，求二面角 BCED 的正弦值 【解答】（1）证明：连接 OC，因为BCE 为等边三角
27、形，所以 OCBE， 因为 AC2，OA1，OC2，所以 AC2AO2+OC2，所以 OCOA， 又因为 OABEO，所以 OC平面 ABE， 又因为 OC平面 BCE，所以平面 BCE平面 ABE， 故平面 ABE平面 BCE （2）解：因为 ABAE，所以 OABE，所以 OE、OC、OA 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， E（1，0，0），B（1，0，0），A（0，0，1），C（0，0）， （1，0），（1，0，1），设平面 ECD 的法向量为 （x，y，z）， ，令 x， （，1，）， 平面 BEC 的法向量为 （0，0，1）， 设二面角 BCED 的大小为 ， 则|cos|
28、，sin， 所以二面角 BCED 的正弦值为 21已知椭圆 C：1（ab1）长轴的顶点与双曲线 D： 1 实轴的顶点相同，且 C 的 右焦点 F 到 D 的渐近线的距离为 （1）求 C 与 D 的方程； （2）若直线 l 的倾斜角是直线 y（2）x 的倾斜角的 2 倍，且 l 经过点 F，l 与 C 交于 A，B 两点， 与 D 交于 M，N 两点，求 解：（1）因为椭圆 C 长轴的顶点与双曲线 D 实轴的顶点相同， 所以 a2， 双曲线 D 的渐近线为 yx，即 bx2y0， 所以右焦点 F（c，0）到渐近线 bx2y0 的距离为， 又 a2b2+c2， 由解得 b23，c21， 所以椭圆的
29、方程为+1，双曲线的方程为1 （2）设直线 y（2）x 倾斜角为 ，则 tan2， 所以 tan2， 所以直线 l 的方程为 y（x1）， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）， 联立，得 4x22x110， 所以 x1+x2，x1x2 ， 所以|AB|x1x2|， 联立，得 2x2+2x130， 所以 x3+x41，x3x4 ， 所以|MN|x3x4|， 所以 22已知函数 f（x）x3（a+）x2+3x（a0） （1）讨论 f（x）的单调性 （2）若 a1，且x（，+），f（x）a3，求 a 的取值范围 （3）是否存在正数 a，使得 f（x）2x1 对
30、 x（2，3）恒成立？若存在，求 a 的取值范围；若不存在， 请说明理由 解：（1）f（x）3x23（a+）+3， 令 f（x）0，解得：xa 或 x， 当 a1 时，f（x）0，f（x）在 R 单调递增， 当 0a1 时，a， 由 f（x）0，得 x（a，），由 f（x）0，得 x（，a）（，+）， 故 f（x）在（a，）上单调递减，在（，a），（，+）单调递增， 当 a1 时，a， 由 f（x）0，得 x（，a），由 f（x）0，得：x（，）（a，+）， 故 f（x）在（，a）上单调递减，在（，），（a，+）单调递增， 综上：当 a1 时，f（x）在 R 单调递增， 当 0a1 时，f（x
31、）在（a，）上单调递减，在（，a），（，+）单调递增， 当 a1 时，f（x）在（，a）上单调递减，在（，），（a，+）单调递增； （2）a1，f（x）在（，a）单调递减，在（a，+）单调递增， 故 f（x）minf（a）a3，整理得：a3a，又 a1，故 1a， 故 a 的取值范围是（1，）； （3）f（x）2x1，（a+）在 x（2，3）上恒成立， 设 g（x）x+，g（x）1 ， 设 k（x）x3x2，则 k（x）3x21， 当 x（2，3）时，k（x）0，故 k（x）在（2，3）上单调递增，k（x）k（2）40， 故 g（x）0 在（2，3）恒成立，g（x）在（2，3）单调递增， 则 g（x）g（2），又 a+22，（当且仅当 a1 时“”成立）， 故（a+）3， 故不存在正数 a，使得 f（x）2x1 对 x（2，3）恒成立
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