1、武汉市武汉市 2021 届高中毕业生四月质量检测数学试卷届高中毕业生四月质量检测数学试卷 祝考试顺利 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指 定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题
2、给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1设集合 A，B 满足123456242345ABABA, , ,，则B （ ） A2 456, , B1,2 46, , C2,4,6 D1,2,4 2复数 z 满足1ziz ，若 z 在复平面内对应的点为, x y（），则（ ） A10 xy B10 xy C10 xy D10 xy 3设 0.224 log0.3log 3log 6abc，则（ ） Aabc Bbac Ccab D acb 4被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于 1248 年撰写测圆海
3、镜，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式 和横式两种，如图 1 所示如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且 各位数的筹式要纵横相间，例如 614 用算筹表示出来就是“T |”，数字 0 通常用“”表示按照李治的记 法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一 次幂如图 2 所示表示方程为 22 72 336418483200 xxx x 根据以上信息，图 3 中表示的多项式 方程的实根为 A 4 3 和 5 2 B 5 6 和4 C 5 3 和2 D 20 3 和
4、 1 2 5已知平面向量 3,2,8abaab，则cos ab ，（ ） A 1 3 B 6 4 C 1 6 D 2 3 6一组数据由 10 个数组成，将其中一个数由 4 改为 1，另一个数由 6 改为 9，其余数不变，得到新的 10 个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（ ） A2 B3 C4 D5 7设双曲线 22 22 100 xy ab ab （，）的左右焦点分别为 12 FF，以 12 FF为直径的圆与双曲线在第一象 限交于点 A，直线 1 AF与双曲线的另一个交点为 B，若 12 3,5BFAF，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B 5 3 C 10 2 D 15
5、 3 8在四棱锥PABCD中，3DCAB，过直线AB的平面将四棱锥截成体积相等的两个部分，设该平 面与楼PC交于点 E，则 PE PC （ ） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知 F 为椭圆 22 22 10 xy ab ab （）的一个焦点，A，B 为该椭圆的两个顶点，若35AFBF， 则满
6、足条件的椭圆方程为（ ） A 22 1 43 xy B 22 1 95 xy C 22 1 1615 xy D 22 1 2521 xy 10已知 111 ABC和 222 A B C中， 121122 302AABCB C，若“ 1122 ABA Bt”是“ 111 ABC 和 222 A B C全等”的充分条件，则常数 t 可以是（ ） A2 B3 C4 D5 11下列关于函数 1 sinfx x 的判断中正确的有（ ） A值域为 11 ， B是奇函数 C是区间 2 4 , 上的增函数 D对任意正实数 t，在区间0,t（）上有无穷多个零点 12在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两
7、个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定 参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析下列选 项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中 可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ） A 2 12 yc xc x B 1 2 xc y xc C 12 lnycxc D 2 1 x c yc e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 6 2 1 11x x 展开式中的常数项为_ 14某圆柱的侧面展开图是面积为 16 的正方形，则该圆柱一个底面
8、的面积为_ 15写出一个定义在 R 上且值域为11（， ）的奇函数 f x _ 16 某班级在一次植树种花活动中负责对一片圆环区域花圃栽植鲜花， 该圆环区域被等分为 n 个部分4n（）， 每个部分从红，黄，蓝三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植，要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花将总 的栽植方案数用 n a表示，则 4 a _， n a _（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在 539 212SSS， 7 4679 7 3 S aaa
9、a 22 53 22 42 4 7 aa aa 这三个条件中任选，补充在 下面的问题中 问题： 已知 n a为等差数列， 设其前 n 项和为 1 ,13 n S a ， _， 是否存在正整数 m，k （其中1mk） ， 使得 mk SS成立？若存在，写出 m，k 满足的关系式；若不存在，请说明理由 18（12 分）平面凸四边形ABCD中，9034BADBCDADAB， （1）若45ABC，求CD； （2）若2 5BC ，求AC 19（12 分） 如图， 四边形ABCD是边长为13的菱形， 对角线4BD ， F 为CD的中点，CE 平面BCD， 2CE 现沿BD将ABD翻折至 1 ABD的位置，
10、 使得平面 1 ABD 平面CBD， 且点 1 A和 E 在平面BCD 同侧 （1）证明： 1 / /AF平面BCE； （2）求二面角 1 ABFE大小的正弦值 20（12 分）某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有 1 4 的 概率出现自动运行故障，此时需要 1 名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工 作时段结束， 期间该人员无法对其它设备进行维护 工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式， 若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护， 则该设备将停止运行， 且每台设备运行的状态相互独立 （1）若安排 1 名人员负责维护 3
11、台设备，求这 3 台设备能顺利运行至工作时段结束的概率； （2）设该工厂有甲，乙两个车间甲车间有 6 台设备和 2 名维护人员，将 6 台设备平均分配给 2 人，每名 维护人员只负责维护分配给自己的 3 台设备；乙车间有 7 台设备和 2 名维护人员，7 台设备由这 2 人共同负 责维护若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性 的高低 21（12 分）设抛物线 2 :20E ypx p（）的焦点为 F，过 F 作直线 l 交抛物线 E 于 A，B 两点当 l 与 x 轴垂直时，AOB面积为 8，其中 O 为坐标原点 （1）求抛物线 E 的标准方程；
12、（2）若 l 的斜率存在且为 1 k点30P （， ），直线AP与 E 的另一交点为 C，直线BP与 E 的另一交点为 D，设 直线CD的斜率为 2 k，证明： 2 1 k k 为定值 22（12 分）已知函数 ln11 cosf xxxax （1）当0a时，求曲线 yf x在点 11 1,1f ee 处的切线方程； （2）若存在正实数 t，使得当,xt t 时，有 0 xf x 恒成立，求 a 的值 武汉市武汉市 2021 届高中毕业生四月质量检测届高中毕业生四月质量检测 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 一、一、选择题：选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
13、 10 11 12 答案 B A D A C B C D BCD AC ABD ABC 二、填空题二、填空题 ： 1314 14 4 15 1 1 x x e e （其它正确答案同样给分） 1618 212 n n 三、解答题： 17（10 分）解：设 n a的公差为 d 若选，由 539 212SSS得： 111 2 5103393612adadad 整理得： 1 219120ad， 又 1 13a 2d 由 mn SS 得： 11 11 22 m mk k madkad 131131mm mkk 140mkmk，又mk，14m k 故存在正整数 m，k 满足14m k 若选，由 7 467
14、9 7 3 S aaaa 得： 1 49 7217 23 ad aa ， 即 1 1 31 2113 ad ad ， 1 130ad，又 1 13a ，1d 由 mn SS得： 11 11 22 m mk k madkad 11 1313 22 m mk k mk ，又mk 27mk，故存在正整数 m，k，满足27mk 若选，由 22 53 22 42 4 7 aa aa 得： 53 42 24 27 aad aad 1 1 264 247 ad ad ， 1 3130ad，又 1 13a ，3d 由 mn SS，得： 11 11 22 m mk k madkad 33 131131 22 m
15、m mkk k 2930mkmkmk，又mk 29 30mk， 29 3 mk m、k 为正整数，故不存在 （10） 18（12 分） （1）连接BD，在Rt BAD中，由4390ABADBAD， 得5BD， 34 sincos 55 ABDABD， 24232 sinsin 45sin45coscos45sin 252 ( 510 )DBCABDABDABD- 在Rt BCD中，由90BCD知： 22 sin5 102 CDBDDBC （6 分） （2）连接AC，由（1）知5BD，在Rt ABD中易知 34 sincos 55 ABDABD， 在Rt BCD中，由2 55BCBD，得5CD
16、易知 52 5 sincos 55 CBDCBD， coscoscoscossinsinABCABDCBDABDCBDABDCBD 42 5355 55555 在ABC中由余弦定理得： 2 2222 5 242 52 4 2 520 5 ACABBCAB BCcos ABC 2 5AC （12 分） 19（12 分） （1）取BD中点 O，连 1 ,AO OF,F 为CD的中点，/OFBC，又OF 面BCEBC ，面BCE /OF平面BCE， 11 ABAD， 1 AOBD，又平面 1 ABD 平面CBD， 平面 1 ABD平面CBDBD 1 AO 平面CBD，又CE 平面CBD， 1 / /
17、AOCE 又 1 AO 平面BCE，CE 平面BCE， 1 / /AO平面BCE， 11 AOOFOAOOF，平面 1 AOF 平面 1 / /AOF平面BCE， 1 AF 平面 1 AOF， 1 / /AF平面BCE （6 分） （2）以 O 为坐标原点， 1 ODOCOA，所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 1 3 1,0 2 0 0 32 0 00 3 2ABFE ， ， ， ， ， 设平面 1 ABF的法向量为 111 ,ux y z 111111 11111 ,2,0,3230 33 ,3,03= 0 22 u BAx y zxz u BFx y zxy 令 1
18、 2y ，则 11 22 1,1,2, 33 xzu 设平面EBF的法向量为 222 ,vx y z 22222 222222 33 ,3,030 22 33 ,1, 22z = 0 22 v BFxyzxy v EFxyzxy 令 2 2y ，则 22 12122zvx ，（， ， ） 4 14 11 3 cos 7 21 3 3 u v u v u v 二面角 1 ABFE的正弦值为 2 118 5 1 2121 12 分 20（12 分） （1）设 3 台设备自动模式不出故障的台数记为，则 3 3, 4 B 记“1 名人员维护 3 台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件 A 则 32 3
19、2 33 331272727 32 444646432 P APPCC （4 分） （2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）知每个小组能保证设备顺利运行至结束概率 27 32 P 设“甲车间设备顺利运行至结束”为事件 B 则 2 66 105 2733 3224 P B 乙车间 7 台设备自动模式不出故障的台数记为 3 , 7, 4 记“乙车间设备顺利运行至结束”为事件 C 7652 765 777 33131 765 44444 P CPPPCCC 7656 77 37 321 317 3 44 2 416 1 1717 P B P C , P BP C 故乙车间生产稳定性更高 （12
20、分） 21 （12 分）解： （1）由题意不妨设, 22 pp ApBp 1 2 ,28 22 p ABpp 2 4,8pyx （4 分） （2）设 11223344 A xyB xyC xyD xy， 则直线 l 的斜率为 1212 1 22 1212 12 8 1 8 yyyy k xxyy yy ，直线AB为 11 12 8 yyxx yy 则 1212 8yyyy yx 又点20F （ ， ）在直线上，则 12 16y y 同理，直线BD为 2424 8yyyy yx 点3,0P在直线BD上，则 24 24y y 同理，直线AC为 1313 8yyyy yx 点3,0P在直线AC上，则
21、 13 24y y 又 12 1234 88 ,kk yyyy ，则 2121212 134 12 162 2424 24243 kyyyyy y kyy yy ， （12 分） 22（12 分）解：（1）0a时， ln1f xxx 1111 1,11,1 1 fxfef xeee 切线方程为： 11 11yex ee 整理得：12yexe （4 分） （2） 1 1sin ,00 1 fxax f x 令 g xfx，得 2 1 cos ,01 1 gxax ga x 令 3 2 ,sin 1 h xgxh xax x （）当1a 时， h x为11（， ）上的减函数， 11 sin10 h
22、 11x 时， 0h x， h x递增 又此时 00h，故10 x 时， 0h x ， g x递减 01x时， 0h x ， g x递增 11x 时， 00g xg， f x递增 由 00f故10 x 时， 00f xf 01x时， 00f xf 此时，存在1t 使11x 时， 0 xf x ，满足条件 （）当1a 时，10 x ， 0h x， h x递增 此时， 11 010,11 cos10haha aa 故存在 1 1,0 x 使得 1 0h x当 1 0 xx时 0h x ， g x递增 1 0 xx时， 00g xg， f x递减 即 1 0 xx时， 000f xfxf x，不存在0t ，使,0 xt 时， 0 xf x （）当01a时， 2 1 1 h xa x ，令 2 1 0 1 a x ，得 1 11x a 1 01x a 时， 0,h xg x递减， 00g xgf x ，递减 即 1 01x a 时， 00,0f xfxf x，不存在0t ，使0,xt时， 0 xf x （）当0a时， g x在0, 2 递减 00,g xgf x递减 故0 2 x 时， 00,0f xfxf x，不存在0t ，使0,xt时， 0 xf x 综上所述：1a （12 分）
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