2021年山东省东营市东营区二校联考中考第一次监测数学试卷（含答案解析）

1、2021 年山东省东营市东营区二校联考中考第一次监测数学试卷年山东省东营市东营区二校联考中考第一次监测数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来. 每小题选对得每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1在 0，1，2，3 这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A0 B1 C2 D3 2下列计算错误的是（ ） A （3ab2）29a2b4 B6a3b3ab2a2 C （a2）3（

2、a3）20 D （x+1）2x2+1 3一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120，则2 的度数是（ ） A15 B20 C25 D40 4将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5 所在的面相对的面上 标的数字为（ ） A1 B2 C3 D4 5一元二次方程（x+1） （x1）2x+3 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 6我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何” 设鸡有 x 只，兔有 y 只，则根据题意，下列方程组

3、中正确的是（ ） A B C D 7如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知 BC6cm，圆锥的侧面积为 15cm2，则 tanABC 的值 为（ ） A B C D 8如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） 将 正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A （，2） B （2，2） C （，2） D （4，2） 9如图，已知矩形 ABCD 中，AB4cm，BC8cm动点 P 在边 BC 上从点 B 向 C 运动，速度为 1cm/s； 同时动点 Q 从点 C 出发，沿折线

4、 CDA 运动，速度为 2cm/s当一个点到达终点时，另一个点随之停 止运动设点 P 运动的时间为 t（s） ，BPQ 的面积为 S（cm2） ，则描述 S（cm2）与时间 t（s）的函数 关系的图象大致是（ ） A B C D 10如图，在平行四边形 ABCD 中，BAC90，ABAC，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线 于点 E， 点 F 是垂足， 连接 BE、 DF， DF 交 AC 于点 O 则下列结论： 四边形 ABEC 是正方形； CO： BE1：3；DEBC；S四边形OCEFSAOD，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：

5、本大题共 8 小题，其中小题，其中 1-14 题每小题题每小题 3 分，分，15-18 题每小题题每小题 3 分，共分，共 28 分分.只要求填写最后结只要求填写最后结 果果. 11 据科学研究表明， 新型冠状病毒颗粒的最大直径为 125 纳米； 125 纳米用科学记数法表示为 米（1 纳米10 9 米） 12分解因式：3a36a2+3a 13某校九年级甲、乙两名男生将近期 6 次立定跳远的平均成绩都是 2.2 米，方差分别是 S甲 20.004，S 乙 20.006，则两名男生中成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙” ） 14 已知一次函数 y2x1 的图象经过 A （x1， 1） ， B （x

6、2， 3） 两点， 则 x1 x2（填 “” “” 或 “” ） 15 （4 分）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BEBF；分别以 E， F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP 3，则点 P 到 BD 的距离为 16 （4 分）如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y （x0）的图象交于点 C， 若 SAOBSBOC1，则 k 17 （4 分）如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆心，2

7、为半径的圆上 的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ则线段 OQ 的最大值是 18 （4 分）如图，在单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在 x 轴上，斜 边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为 A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3 （0，0） 则依图中所示规律，A2021的坐标为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 62 分分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （8 分） （1）计算：6cos45+（） 1+（ 1.73

8、）0+|53|+42021（0.25）2021 （2）先化简（x+1），再从1，0，1 中选择合适的 x 值代入求值 20 （9 分）如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 C，D，A，在点 C 处测得天线顶端 E 的仰角为 60，从点 C 走到点 D，测得 CD5 米，从点 D 测得天 线底端 B 的仰角为 45，已知 A，B，E 在同一条垂直于地面的直线上，AB25 米 （1）求 A 与 C 之间的距离； （2）求天线 BE 的高度 （参考数据：1.73，结果保留整数） 21 （9 分）为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展

9、“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中 学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数且无满分，最低为 75 分）分成 五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 m 0.2 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14 n 94.599.5 4 0.1 （1）表中 m ，n ； （2）请在图中补全频数直方图； （3）甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内； （4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参

10、加全 市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 22 （9 分）如图，在ABC 中，ABBC，以ABC 的边 AB 为直径作O，交 AC 于点 D，过点 D 作 DE BC，垂足为点 E （1）试证明 DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC6，求此时 DE 的长 23 （9 分）某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95 口罩，且 两种口罩的只数相同其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元，N95 口罩花费 9600 元已知购进一 次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少 10 元 （1）求该药店购进的一次性医

11、用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少购进一次性医 用外科口罩多少只？ 24 （9 分）如图 1，在ABC 中，A90，ABAC+1，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD AE1，连接 DE现将ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为 （0360） ，如图 2，连接 CE，BD，CD （1）当 0180时，求证：CEBD； （2）如图 3，当 90时，延长 CE 交 BD 于点 F，求证：CF 垂直平分 BD； （3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数 2

12、5 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两 点的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的正半轴相交于点 C（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）若 P 为线段 AB 上一点，APOACB，求 AP 的长； （3）在（2）的条件下，设 M 是 y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 N，使得以 A，P，M，N 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一

13、项是正确的，请把正确的选项选出来小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来. 每小题选对得每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分. 1在 0，1，2，3 这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】根据绝对值的定义先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可 【解答】解：|1|1，|0|0，|2|2，|3|3， 这四个数中，绝对值最小的数是 0； 故选：A 2下列计算错误的是（ ） A （3ab2）29a2b4 B6a3b3ab2a2 C （a2）3（a3）20 D （x+1

14、）2x2+1 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案 【解答】解：A、 （3ab2）29a2b4，原式计算正确，不合题意； B、6a3b3ab2a2，原式计算正确，不合题意； C、 （a2）3（a3）20，原式计算正确，不合题意； D、 （x+1）2x2+2x+1，原式计算错误，符合题意 故选：D 3一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若120，则2 的度数是（ ） A15 B20 C25 D40 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论 【解答】解：ABCD， 3120， 三角形是等腰直角三角形， 245325，

15、故选：C 4将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字 5 所在的面相对的面上 标的数字为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “1”与“6”是相对面， “5”与“2”是相对面， “3”与“4”是相对面 故选：B 5一元二次方程（x+1） （x1）2x+3 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先化成一般式后，再求根的判别式 【解答】解：原方程可化为：x22x40

16、， a1，b2，c4， （2）241（4）200， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 6我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何” 设鸡有 x 只，兔有 y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据“鸡的数量+兔的数量35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量94”可列方程组 【解答】解：设鸡有 x 只，兔有 y 只， 根据题意，可列方程组为， 故选：A 7如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知 BC6cm，圆锥的侧面积为 15cm2，则 tanABC 的值 为（ ） A B C D 【分析】

17、先根据扇形的面积公式 SLR 求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可 【解答】解：根据题意可知：156AB， 解得 AB5cm， BOBC3， AO4， tanABC 故选：C 8如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） 将 正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ） A （，2） B （2，2） C （，2） D （4，2） 【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质得到 DEOC OE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO

18、3，于是得到结论 【解答】解：如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方形， 顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） ， AC6，OC2，OB7， BC9， 四边形 OCDE 是正方形， DEOCOE2， OEOC2， EOBC， BOEBCA90， EOAC， BOEBCA， ， ， BO3， OC7232， 当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2） ， 故选：B 9如图，已知矩形 ABCD 中，AB4cm，BC8cm动点 P 在边 BC 上从点 B 向 C 运动，速度为 1cm/s； 同时动点 Q 从点 C 出发，沿折线 CDA 运动，

19、速度为 2cm/s当一个点到达终点时，另一个点随之停 止运动设点 P 运动的时间为 t（s） ，BPQ 的面积为 S（cm2） ，则描述 S（cm2）与时间 t（s）的函数 关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题意可以写出各段对应的函数图象，从而可以解答本题 【解答】解：当 0t2 时， St2， 0t2 时，S 随着 t 的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项 B，D 错误， 当 2t6 时， S2t， 2t6 时，S 随 t 的增大而增大，当 t6 时取得最大值，此时 S12，函数图象是一条线段，故选项 A 正确，选项 C 错误， 故选：A 10如图，在

20、平行四边形 ABCD 中，BAC90，ABAC，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线 于点 E， 点 F 是垂足， 连接 BE、 DF， DF 交 AC 于点 O 则下列结论： 四边形 ABEC 是正方形； CO： BE1：3；DEBC；S四边形OCEFSAOD，正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 先证明ABFECF， 得 ABEC， 再得四边形 ABEC 为平行四边形， 进而由BAC90， 得四边形 ABCD 是正方形，便可判断正误； 由OCFOAD，得 OC：OA1：2，进而得 OC：BE 的值，便可判断正误； 根据 BCAB，DE2AB 进行推理说明便

21、可； 由OCF 与OAD 的面积关系和OCF 与AOF 的面积关系， 便可得四边形 OCEF 的面积与AOD 的面积关系 【解答】解：BAC90，ABAC， BFCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDE， BAFCEF， AFBCFE， ABFECF（AAS） ， ABCE， 四边形 ABEC 是平行四边形， BAC90，ABAC， 四边形 ABEC 是正方形，故此题结论正确； CFAD， OCFOAD， OC：OACF：ADCF：BC1：2， OC：AC1：3，ACBE， OC：BE1：3，故此小题结论正确； ABCDEC， DE2AB， ABAC，BAC90， ABBC， DE2

22、，故此小题结论正确； OCFOAD， ， ， OC：AC1：3， 3SOCFSACF，SACFSCEF， ， ，故此小题结论正确 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，其中小题，其中 1-14 题每小题题每小题 3 分，分，15-18 题每小题题每小题 3 分，共分，共 28 分分.只要求填写最后结只要求填写最后结 果果. 11据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为 125 纳米；125 纳米用科学记数法表示为 1.2510 7 米 （1 纳米109 米） 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的

23、是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：125 纳米12510 9 米1.2510 7 米 故答案为：1.2510 7 12分解因式：3a36a2+3a 3a（a1）2 【分析】 先提取公因式 3a， 再根据完全平方公式进行二次分解 完全平方公式： a22ab+b2 （ab） 2 【解答】解：3a36a2+3a3a（a22a+1）3a（a1）2 故答案为：3a（a1）2 13某校九年级甲、乙两名男生将近期 6 次立定跳远的平均成绩都是 2.2 米，方差分别是 S甲 20.004，S 乙 20.006，则两名男生中成绩较稳定的是 甲 （填“

24、甲”或“乙” ） 【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案 【解答】解：甲、乙两名男生 6 次立定跳远的平均成绩都是 2.2 米，S甲 20.004，S 乙 20.006， S甲 2S 乙 2， 两名男生中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲 14 已知一次函数 y2x1 的图象经过 A （x1， 1） ， B （x2， 3） 两点， 则 x1 x2（填 “” “” 或 “” ） 【分析】 （解法一）由 k20，可得出 y 随 x 的增大而增大，结合 13，即可得出 x1x2； （解法二）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出 x1，x2的值，比较后即可得出结论 【解答】解： （解法

25、一）k20， y 随 x 的增大而增大 又13， x1x2 故答案为： （解法二）当 y1 时，2x111， 解得：x11； 当 y3 时，2x213， 解得：x22 又12， x1x2 故答案为： 15 （4 分）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BEBF；分别以 E， F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP 3，则点 P 到 BD 的距离为 3 【分析】首先结合作图的过程确定 BP 是ABD 的平分线，然后根据角平分线的性质求得点 P 到 BD 的 距离即可 【解答

26、】解：结合作图的过程知：BP 平分ABD， A90，AP3， 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3， 故答案为：3 16 （4 分）如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y （x0）的图象交于点 C， 若 SAOBSBOC1，则 k 4 【分析】 作 CDx 轴于 D， 设 OBa （a0） 由 SAOBSBOC， 根据三角形的面积公式得出 ABBC 根 据相似三角形性质即可表示出点 C 的坐标，把点 C 坐标代入反比例函数即可求得 k 【解答】解：如图，作 CDx 轴于 D，设 OBa（a0） SAOBSBOC， ABBC AOB 的面积为 1

27、， OAOB1， OA， CDOB，ABBC， ODOA，CD2OB2a， C（，2a） ， 反比例函数 y（x0）的图象经过点 C， k2a4 故答案为 4 17 （4 分）如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上 的动点，Q 是线段 PA 的中点，连接 OQ则线段 OQ 的最大值是 3.5 【分析】当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，而 OQ 是ABP 的中位线，即可求解 【解答】解：令 yx240，则 x4， 故点 B（4，0） ， 设圆的半径为 r，则 r2， 连接 PB，而点 Q、O 分别为

28、AP、AB 的中点，故 OQ 是ABP 的中位线， 当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，此时 OQ 最大， 则 OQBP（BC+r）（+2）3.5， 故答案为 3.5 18 （4 分）如图，在单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在 x 轴上，斜 边长分别为 2，4，6，的等腰直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为 A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3 （0，0） 则依图中所示规律，A2021的坐标为 （1012，0） 【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可 【解答】解：各三角形都是等腰直角三角形， 直角顶

29、点的纵坐标的长度为斜边的一半， A3（0，0） ，A7（2，0） ，A11（4，0）， 20214505 余 1， 点 A2021在 x 轴正半轴，横坐标是 0，横坐标是（2021+3）21012， A2021的坐标为（1012，0） 故答案为： （1012，0） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 62 分分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （8 分） （1）计算：6cos45+（） 1+（ 1.73）0+|53|+42021（0.25）2021 （2）先化简（x+1），再从1，0，1 中选择合适的

30、 x 值代入求值 【分析】 （1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂和零指数幂、去绝对值符号、逆用积的乘方进行变 形，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件确定出 x 的值，代入计算 即可 【解答】解： （1）原式6+3+1+53+（0.254）2021 3+3+1+531 8； （2）原式（） ， x1， x0， 则原式1 20 （9 分）如图，某楼房 AB 顶部有一根天线 BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 C，D，A，在点 C 处测得天线顶端 E 的仰角为 60，从点 C 走到点 D，测得 CD5 米，从

31、点 D 测得天 线底端 B 的仰角为 45，已知 A，B，E 在同一条垂直于地面的直线上，AB25 米 （1）求 A 与 C 之间的距离； （2）求天线 BE 的高度 （参考数据：1.73，结果保留整数） 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质得出 ADAB25 米，则可求出答案； （2）解直角三角形求出 AE30tan6030（米） ，则可求出 BE 【解答】解： （1）由题意得，在 RtABD 中，ADB45， ADAB25 米， CD5 米， ACAD+CD25+530（米） ， 即 A 与 C 之间的距离是 30 米； （2）在 RtACE 中ACE60，AC30 米， AE30tan

32、6030（米） ， AB25 米， BEAEAB（3025）米， 1.73， BE1.73302527 米 即天线 BE 的高度为 27 米 21 （9 分）为了庆祝中华人民共和国成立 70 周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中 学将参加本校选拔赛的 40 名选手的成绩（满分为 100 分，得分为正整数且无满分，最低为 75 分）分成 五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 m 0.2 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14 n 94.599.5 4 0.1 （1）表中 m 8 ，n 0.35

33、； （2）请在图中补全频数直方图； （3） 甲同学的比赛成绩是 40 位参赛选手成绩的中位数， 据此推测他的成绩落在 84.589.5 分数段内； （4）选拔赛中，成绩在 94.5 分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定 2 名选手参加全 市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 【分析】 （1）根据频率频数总数求解可得； （2）根据所求结果即可补全图形； （3）根据中位数的概念求解可得； （4） 首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一 女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）m400.28，

34、n14400.35， 故答案为：8，0.35； （2）补全图形如下： （3）由于 40 个数据的中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 84.589.5， 测他的成绩落在分数段 84.589.5 内， 故答案为：84.589.5 （4）选手有 4 人，2 名是男生，2 名是女生 恰好是一名男生和一名女生的概率为 22 （9 分）如图，在ABC 中，ABBC，以ABC 的边 AB 为直径作O，交 AC 于点 D，过点 D 作 DE BC，垂足为点 E （1）试证明 DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC6，求此时 DE 的长 【分析】 （1）连接 O

35、D、BD，求出 BDAC，可得 ADDC，根据三角形的中位线得出 ODBC，推出 ODDE，根据切线的判定推出即可； （2）根据题意求得 AD，根据勾股定理求得 BD，然后证得CDEABD，根据相似三角形的性质即 可求得 DE 【解答】 （1）证明：连接 OD、BD， AB 是O 直径， ADB90， BDAC， ABBC， D 为 AC 中点， OAOB， ODBC， DEBC， DEOD， OD 为半径， DE 是O 的切线； （2）由（1）知 BD 是 AC 的中线， ADCD3， O 的半径为 5， AB10， BD， ABBC， AC， ADBCED90， CDEABD， ，即， D

36、E3 23 （9 分）某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和 N95 口罩，且 两种口罩的只数相同其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元，N95 口罩花费 9600 元已知购进一 次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少 10 元 （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共 2000 只，预算购进的总费用不超过 1 万元，问至少购进一次性医 用外科口罩多少只？ 【分析】 （1）可设一次性医用外科口罩的单价是 x 元，则 N95 口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系： 两种口罩的

37、只数相同，列出方程即可求解； （2）可设购进一次性医用外科口罩 y 只，根据购进的总费用不超过 1 万元，列出不等式即可求解 【解答】解： （1）设一次性医用外科口罩的单价是 x 元，则 N95 口罩的单价是（x+10）元，依题意有 ， 解得 x2， 经检验，x2 是原方程的解， x+102+1012 故一次性医用外科口罩的单价是 2 元，N95 口罩的单价是 12 元； （2）设购进一次性医用外科口罩 y 只，依题意有 2y+12（2000y）10000， 解得 y1400 故至少购进一次性医用外科口罩 1400 只 24 （9 分）如图 1，在ABC 中，A90，ABAC+1，点 D，E

38、分别在边 AB，AC 上，且 AD AE1，连接 DE现将ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为 （0360） ，如图 2，连接 CE，BD，CD （1）当 0180时，求证：CEBD； （2）如图 3，当 90时，延长 CE 交 BD 于点 F，求证：CF 垂直平分 BD； （3）在旋转过程中，求BCD 的面积的最大值，并写出此时旋转角 的度数 【分析】 （1）利用“SAS”证得ACEABD 即可得到结论； （2）利用“SAS”证得ACEABD，推出ACEABD，计算得出 CDBC，利用等腰三 角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时

39、，BCD 的面积取得最大值，利用等腰直角三角 形的性质结合三角形面积公式即可求解 【解答】 （1）证明：如图 2 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90， CAE+BAEBAD+BAE90， CAEBAD， 在ACE 和ABD 中， ， ACEABD（SAS） ， CEBD； （2）证明：如图 3 中，根据题意：ABAC，ADAE，CABEAD90， 在ACE 和ABD 中， ， ACEABD（SAS） ， ACEABD， ACE+AEC90，且AECFEB， ABD+FEB90， EFB90， CFBD， ABAC，ADAE1，CABEAD90， BCAB，CDAC+AD， BC

40、CD， CFBD， CF 是线段 BD 的垂直平分线； （3）解：BCD 中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时BCD 的面积有最大值， 当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，BCD 的面积取得最大值，如图 4 中： ABAC，ADAE1，CABEAD90，DGBC 于 G， AGBC，GAB45， DGAG+AD，DAB18045135， BCD 的面积的最大值为：， 旋转角 135 25 （9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx+3 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两 点的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的正半轴相交于点 C（

41、1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）若 P 为线段 AB 上一点，APOACB，求 AP 的长； （3）在（2）的条件下，设 M 是 y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点 N，使得以 A，P，M，N 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）求出 AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可 （3）分两种情形：PA 为平行四边形的边时，点 M 的横坐标可以为2，求出点 N 的坐标即可解决问 题当 AP 为平行四边形的对角线时，点 N的横坐标为4，求出点 N的坐标即可解决问题 【解答】解： （1）直

42、线 ykx+3 交 y 轴于 B， 令 x0，得到 y3， B（0，3） 由题意抛物线经过 B（0，3） ，C（1，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx22x+3； （2）对于抛物线 yx22x+3，令 y0，解得 x3 或 1， A（3，0） ， B（0，3） ，C（1，0） ， OAOB3，OC1，AB3， APOACB，PAOCAB， PAOCAB， ， ， AP2 （3）由（2）可知，P（1，2） ，AP2， 当 AP 为平行四边形的边时，点 N 的横坐标为 2 或2， N（2，3） ，N（2，5） ， 当 AP 为平行四边形的对角线时，点 N的横坐标为4， N（4，5） ， 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（2，3）或（2，5）或（4，5）