1、 专题专题 03 导数及其应用导数及其应用 1(2020 届甘肃省兰州市高三诊断)已知定义在R上的函数 f x， fx 是 f x的导函数，且满足 2x xfxf xx e， 1fe，则 f x的最小值为( ) Ae Be C 1 e D 1 e 【答案】D 【解析】由 2x xfxf xx e，变形得 2 x xfxf x e x ，即 x f x e x ， x f x ec x (c为常数)，则 x f xxecx， 1fece ，得0c =. x f xxe， 1 x fxxe， 当1x时， 0fx ，此时函数 yf x单调递减； 当1x 时， 0fx ，此时函数 yf x单调递增.
2、所以，函数 yf x在1x处取得极小值，亦即最小值，则 min 1 1f xf e . 故选 D。 2(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数，当,0 x 时， 2 2f xxax，若曲线 yf x在点 1,1f处的切线过点2,0，则a( ) A 3 4 B1 C2 D 3 4 【答案】D 【解析】设0 x时，则0 x ， 当,0 x 时， 2 2f xxax，所以 2 2fxxax， 又 fxf x， 所以 2 2f xxax，即 2 2f xxax， 所以 11 2fa 又 22fxxa ，所以 122fa ， 所以 120 22 12 a ka
3、， 解得 3 4 a . 故选 D。 3(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)函数 322 f xxaxbxa在1x 处有极值 10，则点, a b为 ( ) A3, 3 B4,11 C3, 3或 4,11 D不存在 【答案】B 【解析】 2 ( )32fxxaxb，则 110 10 f f ， 2 110 3 20 aba ab 解得 4 11 a b 或 3 3 a b ，当 3,3ab 时， 22 ( )3633(2)0fxxxx，此时 ( )f x在定义域R上为增函数，无极值，舍去. 当4,11ab ， 2 ( )3811fxxx，1x 为极小值点，符合，故选 B。 4(2020 届
4、江西省九江市高三第二次模拟)已知函数( )ln(R)f xxaxa a有两个零点，则 a 的取值 范围是( ) A( , )e B 2, e C 23 ,e e D 22 ,2ee 【答案】B 【解析】( )1(0) axa fxx xx ， 当0a 时，( )0fx ， ( )f x在(0,)上单调递增，不合题意， 当0a时，0 xa时，( )0fx ；xa时，( )0fx ， ( )f x在(0, )a上单调递减，在( ,)a 上 单调递增， min ( )( )2lnf xf aaaa，依题意得2ln0aaa， 2 ae，取 1 xe， 2 2 xa， 则 1 xa， 2 xa，且 1
5、( )0f xf ee， 22 2 2 ln(2ln1)f xf aaaaaa aa ，令 ( )2ln1g aaa， 则 2 ( )10g a a ，( )g a在 2, e 上单调递增， 22 ( )30g ag ee ， 2 0f x， 在( , )e a及 2 ( ,e )a上各有一个零点，故 a 的取值范围是 2, e ，故选 B。 5(2020 届山西省太原市高三模拟)函数 ( )f x的定义域为(,2) ，( )fx 为其导函数，若 1 (2)( )( ) x x xfxf x e 且(0)0f，则( )0f x 的解集为( ) A( ,0) B(0,1) C(1,2) D(0,
6、2) 【答案】D 【解析】设( )(2) ( )g xxf x，由已知，得 1 ( ) x x g x e ，显然当12x时， ( ) 0g x ， 当1x时， ( ) 0g x ，故( )g x在(1,2)上单调递减，在( ,1) 单调递增，且 (0)(02) (0)0gf ，(2)(22) (2)0gf，作出示意图如图 ( ) ( )00 2 g x f x x ，所以只需( )0g x即可，解得02x. 故选 D。 6(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)已知函数 2 1 ln 2 f xxaxx在1,上单调递增，则实数 a的取值范围是( ) A0a B01a C2a D2a 【答案
7、】C 【解析】由题， 10 a fxx x 在1,上恒成立.即 2 axx在 1,上恒成立. 又 2 ,1,yxx x，其导函数210yx 恒成立.故 2 ,1,yxx x的最小值为 2 112y .故2a，故选 C。 7 (2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)已知函数2yf x的图象关于点2,0对称， 函数 yf x 对于任意的0,x满足 cossinf xxfxx (其中 fx 是函数 f x的导函数)，则下列不等式成 立的是( ) A 3 36 ff B 3 36 ff C 23 46 ff D 2 43 ff 【答案】B 【解析】由题意可得，函数2yf x的图象关于点2,0对称，
8、故 f x的图像关于原点对称， 故 f x是奇函数， 由函数 yf x对于任意的0,x满足 cossinf xxfxx ， 令 sin f x g x x ， 故 2 sincos 0 sin fxxf xx gx x ， 所以函数 sin f x g x x 在 0,上单调递减， 由 sinsinsin fxf xf x gxg x xxx ， 则 g x为偶函数， 所以 336 ggg 即 3336 sinsinsinsin 3363 ffff ， 即 3 36 ff ，故选 B。 8(2020 届四川省泸州市高三二诊)函数 32 f xxxx的图象在点 1,1f处的切线为l，则l在y轴
9、上的截距为( ) A1 B1 C2 D2 【答案】A 【解析】 2 321fxxx，故 12 f ， 所以曲线 yf x在 1,1f处的切线方程为： 21121yxfx. 令0 x，则1y ，故切线的纵截距为1，故选 A。 9(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)关于函数( ) |1|lnf xxx，下列说法正确的是( ) A ( )f x在 1 , e 单调递增 B( )f x有极小值为 0，无极大值 C ( )f x的值域为( 1,) D( )yf x 的图象关于直线1x 对称 【答案】B 【解析】 1 ln ,1 ( )1ln 1ln , 01 xxx f xxx xxx ， 当 1
10、x 时， 1 ( )10 fx x ，则 ( )f x单调递增； 当01x时， 1 ( )10fx x ，则 ( )f x单调递减； 即函数 ( )f x在 0,1上单调递减，在 1,单调递增，故A选项不正确； 当1x 时，函数 ( )f x有极小值(1)0f ，无极大值，故B选项正确； 因为函数 ( )f x在 0,1上单调递减，在 1,单调递增，则 函数 ( )f x有最小值(1)0f ，即 ( )f x的值域为0,)，故C选项不正确； 因为 1111333121 1lnln2,1 lnln 2222222232 fff ， 所以( )yf x的图象不关于直线1x 对称，故D选项不正确；
11、故选 B。 10(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)若函数 ( )f x在定义域R上可导，且( )cosfxx ，则关于x的 不等式( )3sin 36 f xfxx 的解集为( ) A , 3 B, 6 C, 3 D, 6 【答案】B 【解析】令( )( )3sin 36 F xf xfxx ， ( )( )3cos 36 F xfxfxx ， ( )cosfxx， 33 ( )coscos()3cos(coscos )(sinsin )0 3622 F xxxxxxxx ， ( )F x在R上单调递减，且()()3sin0 66666 Fff ， , 6 x 时，( )0F x ，
12、故选 B。 11(2020 届湖南省郴州市高三第二次质监)已知定义在R上的函数 f x的导数为 fx ，满足 f xfx且对任意0, 2 x ，有 ( )cos( )sin0fxxf xx ，若 2 3 ,2,2 3643 afbfcf 则( ) Aabc Bbca Cacb D cba 【答案】A 【解析】构造函数 ( ) ( ) cos f x g x x ，0, 2 x ， 2 ( )cos( )sin ( )0 (cos ) fxxf xx g x x ， 函数 g x在0, 2 上单调递增， 函数 f x满足 f xf x 函数 f x为偶函数， ff 2 32 366 f 3636
13、63 cos 6 2 afg ， ff 44 2f2f 4442 cos 4 2 bg ， ff 33 2f 1 33 cos 23 cg ， 0 6432 ，且函数 g x在 0, 2 上单调递增， 643 ggg ，即abc， 故选 A。 12(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)已知函数 2 33 2 x ax ef xx是减函数，则正数a( ) A9 B 2 e C3 De 【答案】C 【解析】由 f x是减函数，得对任意的xR，都有 3 30 x fxaxe 恒成立.设 3 3 x g xaxe . 3 x gxae，0a， 当,ln 3 a x 时， 0gx ； 当l n , 3 a x 时， 0gx ， g x 在,ln 3 a 上单调递增，在ln, 3 a 上单调递减， g x在ln 3 a x 时取得最大值.又 00g， 对任意的xR， 0g xg恒成立，即 g x的最大值为 0g，ln0 3 a ，解得3a 。 故选 C。
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