1、专题专题 04 立体几何立体几何 1(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所 示已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于( ) A24 B18 3 3 C21 D 184 2 【答案】D 【解析】设圆柱高为x(06)x，则圆柱底面半径为 2 6rx ， 圆柱体积为 223 (6)(6)Vr xxxxx， 2 (63)Vx ，由0V得2x ( 2 舍去)， 当(0,2)x时，0V，函数 3 (6)Vxx递增，( 2, 6)x时，0V，函数 3 (6)Vxx递 减，2x 时， 3 max 6 2( 2
2、) 4 2V， 2 62rx ， 圆柱体积最大时，此几何体体积最小 22 ( 6)2222( 6)(184 2)S 全 故选 D。 2(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在三棱锥PABC中，已知 4 APC ， 3 BPC ， PAAC，PBBC，且平面PAC 平面PBC，三棱锥PABC的体积为 3 6 ，若点, , ,P A B C都在 球O的球面上，则球O的表面积为( ) A4 B8 C12 D16 【答案】A 【解析】取PC中点O，连接,AO BO，设球半径为R，因为 3 BPC ，PAAC，PBBC， 所以AOBOR，2PCR，PBR，3BCR， 因为 4 APC ，PAAC，
3、所以PAAC，则AOPC, 因为平面PAC 平面PBC，所以AO 平面PBC，即 13 36 PABCPBC VSAO ， 所以 3 33 66 R ，1R，球的表面积为 2 44R . 故选 A。 3(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)侧棱长与底面边长都相等的四棱锥PABCD中，若E为侧棱PB 的中点，则异面直线PD与AE所成角的正弦值为( ) A 6 3 B 2 3 C 3 3 D 2 2 【答案】A 【解析】设四棱锥PABCD的棱长为2，连接AC、BD交于点O，连接OE，如下图所示： 则点O为BD的中点，又E为PB的中点，/OE PD， 所以，异面直线PD与AE所成的角为AEO， 且
4、 1 1 2 OEPD， 1 2 2 AOAC， 22 3AEPAPE ， 222 AOOEAE，AOOE，则 26 sin 33 AO AEO AE . 4(2020 届广东省东莞市高三模拟)约公元前 600 年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度如图， 金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为 230 米；然后，他站立在沙地上，请人不断 测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点 A 与相应底棱中点 B 的距离 约为 222 米此时，影子的顶点 A 和底面中心 O 的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为 ( ) A115 米 B1372
5、 米 C230 米 D2522 米 【答案】B 【解析】当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边， 再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到 A 的距离即为塔高 所以由题意得金字塔塔高为115 22.2137.2OAOBBA米，故选 B。 5(2020 届广东省东莞市高三模拟)在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，,E F分别为AB和 1 DD的 中点，经过点 1 B，E，F的平面交AD于G，则AG( ) A 1 3 B 1 4 C 3 4 D 2 3 【答案】D 【解析】平面 1 B EF与平面 11 CC D D的交线与
6、 1 B E平行，即过F作 1 B E的平行线交 11 C D于H，连接 1 B H， 过E作 1 EGB H交AD于G，由比例关系，H为 11 C D的四等分点，从而G为AD的三等分点，故而 2 3 AG 故选 D。 6(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺” 这是我国古代数学名著 九章算术 卷第五中“商功”中的问题 意思为“现有城(如图， 等腰梯形的直棱柱体)， 下底长 4 丈，上底长 2 丈，高 5 丈，纵长 126 丈 5 尺(1 丈=10 尺)”，则该问题中“城”的体积等于( ) A 6 1.8975 10立方尺 B 6 3
7、.7950 10立方尺 C 5 2.5300 10立方尺 D 5 1.8975 10立方尺 【答案】A 【解析】 6 402050 126518975001.8975 10 2 V (立方尺)，故选 A。 7(2020 届广东省湛江市模拟)在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC若所有的棱长都是 2，则异 面直线 1 AC与BC所成的角的正弦值为( ) A 14 4 B 2 3 C 2 4 D 2 2 3 【答案】A 【解析】如图，连接 1 AB，BC/ 11 BC， 11 AC B就是异面直线 1 AC与BC所成的角 在 11 AC B中， 11 2 2ACAB, 1 1 2
8、B C , 11 12 cos 42 2 AC B 11 14 sin 4 AC B 异面直线 1 AC与BC所成的角的正弦值为 14 4 故选 A。 8(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( ) A6 B12 C12 3 D 4 3 3 【答案】B 【解析】由三视图可得，该几何体为底面是正方形， 一条侧棱与底面垂直的四棱锥SABCD， 以,S A B C D为顶点将其拓展为正方体ABCDNMES， 且正方体的边长为2，则正方体的外接球为四棱锥的外接球， 外接球的直径为正方体的对角线，即22 3,3RR， 所以该几何体的外接球的表面积为
9、2 4 ( 3)12. 故选 B。 9(2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥 A1-BC1D 内切球的表 面积为4，则正方体外接球的体积为( ) A8 6 B36 C 32 3 D 64 6 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为a，则 2BDa ， 因为三棱锥 11 ABC D内切球的表面积为4， 所以三棱锥 11 ABC D内切球的半径为 1， 设 11 ABC D内切球的球心为O， 1 A到面 1 BC D的距离为h， 则 111 4 ABC DO BC D VV ， 11 11 41 33 BC DBC D ShS ，4h ， 又 2
10、 2 36 222 33 haaa ， 6 24,2 3 3 aa， 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长， 正方体外接球的半径为 222 2 32 32 3 3 2 ， 其体积为 3 4 336 3 ，故选 B。 10(2020 届湖北省宜昌市高三调研)某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， 1 M为正视图一边的 中点，且几何体表面上的点 M、A、B 在正视图上的对应点分别为 1 M、 1 A、 1 B，在此几何体中，平面过 点 M 且与直线AB垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为( ) A 6 2 B 6 4 C 3 2 D 3 4 【答案】A 【解析】 如图， 原几何体是
11、一个正三棱柱ADEFBG，M上AF中点， 取AD中点N， 连接,MN NE EM， 连接DF，由三视图知ADBF是正方形， DFAB，又,M N分别是,AF AD中点，/MNDF， ABMN，正三棱柱中，BD 平面ADE，EN 平面ADE，故ENBD， 又ENAD，ADBDD，则可得EN 平面ADBF，AD 平面ADBF，ENAB， 又MNENN，AB 平面MNE，MNE即为截面， 同理由EN 平面ADBF得ENMN，由三视图得 2MN ，3EN ， 16 23 22 S 故选 A。 11(2020 届湖南省常德市高三模拟)三棱锥PABC中， ,PA PB PC互相垂直， 1PAPB，M是线
12、段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是 6 2 ，则三棱锥PABC的外接球的 表面积是( ) A2 B4 C8 D16 【答案】B 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，,PA PB PC互相垂直，AMP就是直线AM与平面 PBC所成角，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大 此时 6 2 AP PM ， 6 3 PM ，在直角PBC中， 2 6 12 3 PB PCBC PMPCPCPC 三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 1 1 22 ， 三棱锥PABC的外接球的半径为1R ， 三棱锥PABC的外接球的表面积为 2 44R故选
13、 B。 12 (2020 届湖南省衡阳市高三一模)已知一个几何体的正视图和侧视图， 其俯视图用斜二测画法所画出的水 平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形(如图所示).则此几何体的表面积为( ) A426 B4 6 C2 4 2 D4 【答案】C 【解析】根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、 2， 且该几何体一个直三棱锥，如下所示： 容易知6PA， 2 2PC ，6AC ， 故可得PAC中PC上的高 2 2 1 2 2 hPAPC ， 故可得 1 2 2 2 PAC SPCh， 且 1 222 2 PAB S ， 1 2 22 2 PBC S
14、， 1 222 2 ABC S ， 故该几何体的表面积为2 2 22224 2 。故选 C。 13 (2020 届湖南省衡阳市高三一模)如图， 矩形ABCD中，22BCAB，N为边BC的中点， 将ABN 绕直线AN翻转成 1 B AN( 1 B 平面ABCD)，M为线段 1 B D的中点，则在ABN翻折过程中，与平 面 1 B AN垂直的直线必与直线CM垂直；线段CM的长恒为 5 2 异面直线CM与 1 NB所成角的正切值 为 3 3 当三棱锥的体积最大时，三棱锥 1 BAND外接球的体积是 4 3 .上面说法正确的所有序号是( ) A B C D 【答案】A 【解析】取 1 AB的中点K，A
15、D的中点O，连接KM，KN， 1 OB，ON，显然CM/平面 1 B AN，故正 确； 2 222 11 15 1 22 CMNKB NB K ，故正确； 1 KNB即为异面直线CM与 1 NB所成角， 1 1 1 1 tan 2 B K KNB B N ，故错误； 当三棱锥 1 BAND的体积最大时，则平面 1 B AN 平面AND， 不妨取AN中点为P，连接 1 ,B P PO，则容易知 1 B P 平面AND， 因为 11 1ABB N，且 11 ABB N，故可得 1 12 22 B PAN， 又因为,P O分别为,AN AD中点，故可得 12 22 OPDN， 故在 1 RtB PO
16、中， 22 11 1BOBPOP . 因为三棱锥 1 BAND的底面为直角三角形AND，且O为斜边上的中点， 故可得1OAONOD，又 1 1OB ， 故O为三棱锥 1 BAND外接球球心，且1ROA，故正确， 综上，正确，故选 A。 14(2020 届山西省太原市高三模拟)刘徽注九章算术 商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱 锥叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为( ) A3 B3 C 3 2 D4 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面是一个正方形，设四棱锥外接球的半径为R， 将其置入到长方体中， 如图所示， 易得1,1PDDAAB， 所以 222
17、23RPBPDDAAB ， 所以 3 2 R ，故选 C。 15(2020 届陕西省咸阳市高三第二次模拟)我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为 刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的边长分别为2和6，高为2， 则该刍童的表面积为( ) A32 2 B40 32 2 C 104 3 D72 【答案】B 【解析】 由三视图可知该几何体是如图所示的正四棱台，棱台侧面梯形的高为 22 222 2 . 故几何体的表面积为 22 26 6242 24032 2 2 ，故选 B。 16(2020 届四川省泸州市高三二诊)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，
18、书中有如下问题： “今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥 形，底面半圆的弧长为 3 丈，高 7 尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知 1 丈等于 10 尺，1 斛大豆的体积约为 2.43 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的大豆有( ) A44 斛 B144 斛 C288 斛 D388 斛 【答案】B 【解析】3 丈30 尺，303 R，解得 R10，由题意可得： 11 23 3 102 7 1 2.43 144 斛，故选 B。 17(2020 届四川省泸州市高三二诊)若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为( ) A16 3 B 19 3 C19 12 D 4 3 【答案】B 【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为 2，侧棱长为 1设该正三棱柱的外接球半径为 R， 易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是 2sin 60 2 3 2 3 ，所以 R2 2 2 3 2 1 2 19 12 ，则该 球的表面积为 4R2 19 3 。
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