1、专题专题 09 不等式不等式 1(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)若实数x，y满足约束条件 240 40 3230 xy xy xy ，则2zxy的最 小值是( ) A5 B4 C7 D16 【答案】B 【解析】 作出可行域，如图射线BA，线段BC，射线CD围成的阴影部分(含边界)，作直线:20lxy，向上平 移直线l时2zxy减小，当l过点 (0,4)B 时，2zxy取得最小值4 故选 B。 2 (2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)若实数 x， y 满足 2 220 1 yx xy y ， 则2zx y的最大值是( ) A9 B12 C3 D6 【答案】A 【解析】作出不等式组
2、对应的平面区域如图(阴影部分)： 由2zxy得2yxz， 平移直线2yxz， 由图像可知当直线2yxz经过点A时， 直线2yxz的截距最小， 此时z最大， 由 1 220 y xy ，解得 4 1 x y ，即 4, 1A ， max 2 4 19z . 故选 A。 3(2020 届湖北省高三模拟)若不等式 11 0 1 4 m xx 对 1 0, 4 x 恒成立，则实数 m 的最大值为( ) A7 B8 C9 D10 【答案】C 【解析】将不等式化为 11 14 m xx ，只需当 1 0, 4 x 时， min 11 1 4 m xx 即可， 由 1111 414 1414 xx xxxx
3、 1 441 44 4152549 1 41 4 xxxx xxxx ， 当且仅当 1 5 x 时取等号，故9m,故 m 的最大值为 9. 故选 C。 4(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)已知01ab，则下列结论正确的是( ) A ab bb B bb ab C ab aa D aa ba 【答案】B 【解析】取 1 4 a ， 1 2 b ，则 1 2 a a ， 1 2 b a ， 1 2 b b ， 4 1 2 a b ， ab bb，故排除 A； ab aa ，故排除 C； aa ba，故排除 D； 由幂函数的性质得： bb ab . 故选 B。 5(2020 届山西省太原市高
4、三模拟)已知变量x，y满足约束条件 6, 32, 1, xy xy x ，则目标函数 2zxy 的 最大值为( ) A3 B5 C8 D11 【答案】D 【解析】作出可行域如图所示， 1 22 z yx ，易知截距与z成正比的关系，平移直线 1 2 yx ，当直线 过 (1,5)A 时，截距最大，此时 max 1 2 511z . 故选 D。 6(2020 届陕西省汉中市高三质检)若0ab，则下列不等式中不成立的是( ) A| | |ab B 22 ab C 11 ab D 11 aba 【答案】D 【解析】因为0ab， 所以0ab ， 所以ab ，即ab，故 A 正确， 所以 22 ab ，
5、即 22 ab，故 B 正确 ， 所以 11 ab ，即 11 ab ，故 C 正确， 当2,1ab 时， 11 aba ，故 D 错误. 故选 D。 7(2020 届陕西省汉中市高三质检)对于实数x，规定 x表示不大于x的最大整数，那么不等式 2 436450 xx成立的x的取值范围是( ) A 3 15 , 22 B2 8 , C2,8 D2,7 【答案】C 【解析】先解一元二次不等式得 315 22 x，再根据 x定义求结果. 详解：因为 2 436450 xx，所以 315 22 x 因为 2 436450 xx，所以28x, 故选 C。 8(2020 届湖南省郴州市高三第二次质监)设
6、x y， 满足约束条件： 2 1 20 y xy xy ，则z xy 的最小值为 ( ) A0 B 1 3 C1 D3 【答案】C 【解析】 由z xy ,得y=x+z，作出不等式组对应的可行域(阴影部分)， 平移直线y=x+z，由平移可知当直线y=x+z经过点 A 时，直线y=x+z的截距最小，此时 z 取得最 小值. 由 2 20 y xy ，解得(1,2)A， 将 A 的坐标代入z xy ，得1z ， 即目标函数z xy 的最小值为 1. 故选 C。 9(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)已知实数x，y满足约束条件 2 0, 250, 1, xy xy y 则3zxy 的 最大值为
7、( ) A1 B4 C8 D10 【答案】C 【解析】根据约束条件 2 0, 25 0, 1, xy xy y ，画出可行域，图中阴影部分为可行域 目标函数3zxy ，即 33 xz y 3 z 表示直线 33 xz y 在y轴的截距， 由图可知当 33 xz y 经过点(1,3)P时截距最大， 故z的最大值为 8 故选 C。 10(2020 届四川省成都市高三一诊)已知实数 , x y满足约束条件 40 220 0 xy xy y ，则 2zxy 的最大值为 _. 【答案】6 【解析】作出实数 x，y 满足约束条件 40 220 0 xy xy y 对应的平面区域如图：(阴影部分) 由 2z
8、xy 得 y 1 2 x+ 1 2 z，平移直线 y 1 2 x+ 1 2 z， 由图象可知当直线 y 1 2 x+ 1 2 z 经过点 A 时，直线 y 1 2 x+ 1 2 z 的截距最大，此时 z 最大 由 40 220 xy xy ，解得 A(2，2)，代入目标函数 zx+2y 得 z2 2+26。 11(2020 届四川省达州市高三第二次诊断)设 , x y满足约束条件 20 0 360 xy xy xy ，则z xy 的最小值是 _. 【答案】2 【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 因为目标函数z xy ，可化为直线y xz ， 当直线y xz 过点 A 或
9、B 时，此时直线y xz 在 y 轴上的截距最小， 目标函数取得最小值， 又由 20 360 xy xy ，解得(2,0)A，所以目标函数的最小值为2 02z 。 12(2020 届江西省九江市高三第二次模拟)设 x，y 满足约束条件 220 220 xy xy yx ，则32zxy的最大值 是_. 【答案】 2 3 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过 2 2 , 3 3 时取得最大值，即 max 222 32 333 z 。 13 (2020 届湖北省宜昌市高三调研)若实数 x， y 满足约束条件 1 1 4 x y xy ， 则2xy的最小值为_. 【答案】5
10、【解析】约束条件 1 1 4 x y xy 表示的可行域为： 令2xyz，即 1 22 z yx ， 由图可得当直线 1 22 z yx 过点3,1时，z最小，最小值为 5。 14(2020 届湖北省高三模拟)自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资 严重匮乏，全国各地纷纷驰援某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车，6 辆载重为 10t 的 B 型卡车，10 名驾驶员，要求此运输队每天至少运送 240t 物资已知每辆卡车 每天往返的次数为 A 型卡车 5 次，B 型卡车 4 次，每辆卡车每天往返的成本 A 型卡车 120
11、0 元，B 型卡车 1800 元，则每天派出运输队所花的成本最低为_ 【答案】9600 【解析】设每天派出 A 型卡车 x 辆，B 型卡车 y 辆，运输队所花成本为 z 元， 则 08 06 10 5 64 10240 x y xy xy ，且 xN，yN， 目标函数 z1200 x+1800y， 画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示： 由图可知，当直线 z240 x+378y 经过点 B(8,0)时，截距 z 最小， 在可行域的整数点中，点(8,0)使 z 取得最小值， 即 zmin1200 8+1800 09600， 每天排除 A 型卡车 8 辆，B 型卡车 0 辆，运输队所花的成本最低
12、， 最低成本为 9600 元。 15(2020 届广东省湛江市模拟)已知实数x，y满足 0 5100 60 xy xy xy ，则实数2zxy 的最大值为 _ 【答案】5 【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得结果. 根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示三角形区域ABC 2zxy 可化为 11 22 yxz ， 当直线 11 22 yxz 在y轴上的截距最小时，实数z取得最大值 在图中作出直线 1 2 yx ，并平移，使它与图中的阴影区域有公共点， 且在y轴上的截距最小 由图可知，当直线过A点时，截距最小 由 0 5100 xy xy ，求得 5 5 , 3 3 A ， 代入到2zxy 中，解得5z ，即 max 5z 。
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