1、专题专题 19 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1(2020 届湖南省怀化市高三第一次模拟)已知曲线 1 C的参数方程为： 4cos , 3sin x y (为参数)， 2 C的 参数方程为： 8cos, 3sin x y (为参数). (1)化 1 C、 2 C的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若直线l的极坐标方程为：2 sin cos7，曲线 1 C上的点P对应的参数 2 ，曲线 2 C上的点 Q对应的参数0 ，求PQ的中点M到直线l的距离. 【答案】(1) 1 C： 22 431xy； 2 C： 22 1 649 xy ； 1 C以圆心为4,3，半径为 1 的圆
2、， 2 C以 坐标原点为中心，焦点在x轴的椭圆；(2)5 【解析】 (1)曲线 1 C的参数方程为： 4cos 3sin x y (为参数)， 即 cos4 sin3 x y ，且 22 sincos1，则 1 C： 22 431xy； 2 C的参数方程为： 8cos 3sin x y (为参数)， 即 cos 8 sin 3 x y ，且 22 sincos1，则 2 C： 22 1 649 xy ； 1 C以圆心为4,3，半径为 1 的圆， 2 C以坐标原点为中心，焦点在x轴的椭圆； (2)曲线 1 C上的点P对应的参数 2 ， 所以4,4P ， 曲线 2 C上的点Q对应的参数0， 所以8
3、,0Q， 所以PQ的中点M的坐标为(2,2)M， 因为直线l的极坐标方程为：2 sincos7， 即直线l的普通方程为：270 xy， 所以PQ的中点M到直线l的距离 247 5 1 4 d 2(2020 届陕西省汉中市高三质检)已知曲线C的极坐标方程为 4cos ，直线l的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt (t为参数). (1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程； (2)已知点1,0M，直线l与曲线C交于A、B两点，求 |MAMB. 【答案】(1) 2 2 24xy. 33 33 yx (2) 3 【解析】 (1)对于曲线C的极坐标方程为 4cos ，可得 2 4 cos，
4、又由 cos sin x y ，可得 22 4xyx，即 2 2 24xy， 所以曲线C的普通方程为 2 2 24xy. 由直线l的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt (t为参数)，消去参数可得 3 13 y x ，即 直线l的方程为 3 (1) 3 yx，即 33 33 yx . (2)设 ,A B两点对应的参数分别为 1 t， 2 t，将直线l的参数方程 3 1 2 1 2 xt yt (t为参数)代入曲线 22 :40C xyx中，可得 2 2 313 14 10 242 ttt . 化简得： 2 330tt ，则 12 3tt. 所以 1212 | |3MAMBtttt. 3
5、(2020 届四川省泸州市高三二诊)在直角坐标系中， 曲线 1 C的参数方程为 2cos ( 22sin x y 为参数)M 是曲线 1 C上的动点，点P满足 2OPOM . (1)求点P的轨迹方程 2 C； (2)在以D为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与曲线 12 ,C C交于不同于原点的点,A B 求AB. 【答案】(1) 4cos 44sin x y ()为参数；(2)2 3. 【解析】 (1)设,P x y,则由条件知 , 2 2 x y M .由于 M 点在 1 C上, 所以 2cos 2 () 22sin 2 x y 为参数即 4cos 44sin x y ()为
6、参数 从而 2 C的参数方程为 4cos 44sin x y ()为参数. (2)曲线 1 C的极坐标方程为4sin,曲线 2 C的极坐标方程为8sin. 射线 3 与 1 C的交点 A 的极径为 1 4sin 3 , 射线 3 与 2 C的交点 B 的极径为 2 8sin 3 . 所以 21 |2 3AB. 4(2020 届山西省太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3cos , 3sin x y (为参 数)，已知点(6,0)Q，点P是曲线 1 C上任意一点，点M满足 2PMMQ ，以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立极坐标系 ()求点M的轨迹 2 C的极
7、坐标方程； ()已知直线: l y kx 与曲线 2 C交于,A B两点，若 4OAAB ，求k的值 【答案】() 2 8 cos150；() 39 27 k 【解析】 ()设点,M x y， 3cos ,3sinP， 由 2PMMQ 得：3cos ,3sin122 , 2xyxy， 4cos sin x y ， 整理得： 2 2 41xy，即 22 8150 xyx， 点M的极坐标方程为 2 8 cos150 ()设直线: l y kx 的极坐标方程为 设 1, A ， 2, B ， 4OAAB ， 54OAOB ，即 12 54， 又 2 8cos150 ，则 12 12 12 8cos
8、15 54 ，解得： 9 3 cos 16 ， 22 2 113 tan1 cos243 k ， 39 27 k 5 (2020 届江西省九江市高三第二次模拟)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 E 的参数方程为 12cos 2sin x y (为 参数)，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 1 l， 2 l的极坐标方程分别为 0 ， 00 (0, ) 2 ， 1 l交曲线 E 于点 A，B， 2 l交曲线 E 于点 C，D (1)求曲线 E 的普通方程及极坐标方程； (2)求 22 |BCAD的值. 【答案】(1) 22 (1)4xy； 2 2 cos30 (2)16 【解
9、析】 (1)由 E 的参数方程 12cos 2sin x y (为参数)，知曲线 E 是以(1,0)为圆心，半径为 2 的圆， 曲线 E 的普通方程为 22 (1)4xy 令cosx，siny得 222 ( cos1)cos4， 即曲线 E 极坐标方程为 2 2 cos30 (2)依题意得 12 ll，根据勾股定理， 222 BCOBOC， 222 ADOAOD 将 0 ， 0 2 代入 2 2 cos30 中， 得 2 0 2cos30， 2 0 2 sin30 设点 A，B，C，D 所对应的极径分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 则 120 2cos， 12 3 ， 340 2sin
10、， 12 3 2222222222 1234 |BCADOAOBOCOD 22 12123434 22 22 00 4cos64sin616 6(2020 届湖南省衡阳市高三一模)心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另 外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状象心形而得名.在极坐标系Ox中，方程 (1sin )(0)aa表示的曲线 1 C就是一条心形线，如图，以极轴 x O所在直线为x轴，极点O为坐标 原点的直角坐标系xOy中，已知曲线 2 C的参数方程为 3 1 3 3 xt yt (t为参数). (1)求曲线 2 C的极坐标方程； (2)若曲线 1 C与 2 C
11、相交于A、O、B三点，求线段AB的长. 【答案】(1)() 3 R(2)| 2ABa 【解析】 (1)由 3 1 3 3 xt yt ，(t为参数)，消参数t化简得普通方程： 30 xy， 令cosxsiny，即3 cossin0 化简得tan3，即 3 即得曲线 2 C的极坐标方程为() 3 R. (2)由已知，不妨设 , 3 A A ， 4 , 3 B B ， 于是 3 1sin1 32 A aa ， 43 1sin1 32 B aa ， 故| 2ABa. 7(2020 届湖南省常德市高三模拟)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴 重合曲线C的极坐标方程是 2 2
12、 6 12sin ，直线l的极坐标方程是cos20 4 (1)求曲线C和直线l的直角坐标方程； (2)设点2,0P，直线l与曲线C相交于点M、N，求 11 PMPN 的值 【答案】(1) 22 1 62 xy ， 20 xy ；(2) 6. 【解析】 (1)曲线C化为： 222 2sin6， 将 222 siny xy 代入上式，即 22 36xy， 整理，得曲线C的直角坐标方程 22 1 62 xy . 由cos20 4 ，得 22 cossin20 22 ， 将 cos sin x y 代入上式，化简得20 xy， 所以直线l的直角坐标方程20 xy. (2)由(1)知，点2,0P在直线l
13、上，可设直线的参数方程为 3 2cos 4 3 sin 4 xt yt (t为参数)， 即 2 2 2 2 2 xt yt (t为参数)， 代入曲线C的直角坐标方程，得 22 11 2 2436 22 ttt ， 整理，得 2 210tt ， 所以 2 24 160 ， 1 2 10t t ， 由题意知， 12 121 2 1111t PNtPtt tM t 6 6 11 . 8(2020 届湖北省宜昌市高三调研)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 2 4 2 xt yt (t 为参数)， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线
14、 C 的极坐标方程 为 2 sin2cos. (1)写出直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)已知定点2, 4M ，直线l与曲线 C 分别交于 P、Q 两点，求 | | MQMP MPMQ 的值. 【答案】(1)l的普通方程为20 xy,曲线 C 的直角坐标方程为 2 2yx (2)3 【解析】 (1)由 2 2 2 2 4 2 xt yt 消去参数 t 得直线l的普通方程为20 xy. 由 2 sin2cos得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2yx. (2)将 2 2 2 2 4 2 xt yt 代入 2 2yx得 2 5 2200 2 t t. 设方程的两根为 1 t， 2
15、t，则， 12 10 2tt， 1 2 40t t ， 故 2 222 121 2 12 1 21 2 2|(10 2)2 40 3 |40 ttt tttMQMP MPMQt tt t . 9已知正实数 a、b、c 满足9abc ，且 222 abc 的最小值为 t. (1)求 t 的值； (2)设 23f xxt x，若存在实数 x，使得不等式 2 23f xmm成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】(1)2t (2)24m 【解析】 (1)因为9abc ， 所以 2221 2221222222 ()6 99 bacacb abc abcabcabacbc 1222222 62222 9
16、 bacacb abacbc ， 即 222 2 abc ，所以 222 abc 的最小值2t . (2)当2t 时， 8(3) 22334( 32) 8(2) xx f xxxxx xx ，可得 5f x ， 存在实数 x，使不等式 2 23f xmm有解，则 2 max 23f xmm， 从而 2 523mm ，即 2 280mm ，解得24m . 所以实数 m 的取值范围是24m . 10(2020 届湖北省高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 22cos 2sin x y ( 为参数)， 以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程
17、为 2 2 4 1 3sin (1)求曲线 C1的极坐标方程以及曲线 C2的直角坐标方程； (2)若直线 l：ykx 与曲线 C1、曲线 C2在第一象限交于 P、Q，且|OQ|PQ|，点 M 的直角坐标为(1，0)， 求PMQ 的面积 【答案】(1) 1: C4cos； 2: C 2 2 1 4 x y(2) 2 3 【解析】 (1)曲线 C1的参数方程为 22 2 xcos ysin ( 为参数)， 转换为直角坐标方程为 x2+y24x0， 转换为极坐标方 程为 4cos 曲线 C2的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin 转换为直角坐标方程为 2 2 1 4 x y (2)直线 l：ykx
18、 转换为极坐标方程为 0，代入 2 2 4 1 3sin ，解得 2 2 0 4 1 3 Q sin 代入 4cos，得到 P4cos0， 由于|OQ|PQ|，所以 P2Q， 故： 2 0 2 0 16 (4) 1 3 cos sin ，解得 2 0 2 3 sin， 2 0 1 3 cos， 所以 2 0 42 3 1 33 Q sin ， 0 4 3 4 3 P cos 则 0 112 362 22333 PMQOMPOMQPQ SSSsin 11(2020 届广西柳州市高三第一次模拟)在直角坐标系xOy中，曲线 2 2 1: 1 4 x Cy，曲线 2 22cos : 2sin x C
19、y (为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 1 C， 2 C的极坐标方程； (2)射线 l 的极坐标方程为0 ，若 l 分别与 1 C， 2 C交于异于极点的A，B两点，求 OB OA 的最大 值. 【答案】(1) 1 C的极坐标方程为 22 3sin14 ， 2 C的极坐标方程为4cos； (2) 4 3 3 ； 【解析】 (1) 22 1: 44Cxy，cos ,sinxy 故 1 C的极坐标方程为 22 3sin14. 而 2 C的直角坐标方程为 2 2 24xy，即 22 40 xyx， 2 C的极坐标方程为4cos. (2)直线 l 分别
20、与 1 C， 2 C联立得 22 314sin ，则 2 2 4 31 OA sin 4cos ，则 2 2 16OBcos 2 22 2 431 OB cossin OA ， 22 4 131sinsin 2 42 2 1284 OB sinsin OA 由于 2 0sin1，根据二次函数的性质可知，当 2 1 sin 3 时， 2 2 OB OA 有最大值为 16 3 ，故 OB OA 有最大 值 4 3 3 . 12(2020 届广东省湛江市模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 1 4 3 xt yt (t为参数)，以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极
21、坐标方程为 2 2 2 sin10 4 (1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程； (2)设直线() 4 R 与曲线C交于A，B两点(A点在B点左边)与直线l交于点M 求AM和BM的 值 【答案】(1) 22 2210 xyxy ，3 430 xy (2) 4 2 | 1 7 AM ， 4 2 |1 7 BM 【解析】 (1) 22 22 2 2 sin12 2sincos1 422 2 2 sin2 cos1 0， 又cosx，siny， 曲线C的直角坐标方程为 22 2210 xyxy 1 4 3 xt yt (t为参数)，消去t，得3430 xy 直线l的普通方程为3430 xy
22、(2)设点 1, 4 A ， 2, 4 B ， 3, 4 M 曲线C的极坐标方程为 2 2 2 sin10 4 ， 将() 4 R 代入， 2 2 210 1 21， 2 21 直线l的极坐标方程为3 cos4 sin30， 33 3cos4sin30 44 ，解得 3 3 2 7 31 4 2 |1 7 AM ， 32 4 2 |1 7 BM 13(2020 届广东省汕头市高三第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： 33cos 3sin x y (为参数，已知直线 1: 30lxy，直线 2: 3 0lxy以坐标原点为极点，x 轴正半 轴为极轴，建立极坐标系 (1
23、)求曲线 C 以及直线 1 l， 2 l的极坐标方程； (2)若直线 1 l与曲线 C 分别交于 O、A 两点，直线 2 l与曲线 C 分别交于 O、B 两点，求AOB的面积 【答案】(1)6cos， 1 :R 6 l， 2 :R 3 l(2) 9 3 4 【解析】 (1)依题意，由曲线 C 的参数方程 33cos 3sin x y (为参数) 消参得 2 2 39xy，故曲线 C 的普通方程为 22 60 xyx 由 222 xy， cosx ，siny，得 曲线 C 的极坐标方程为6cos 1 l， 2 l的极坐标方程为 1 :R 6 l， 2 :R 3 l (2)把 6 代入6cos，得
24、 1 3 3，所以 3 3, 6 A ， 把 3 代入6cos，得 2 3，所以 3, 3 B ， 所以 12 119 3 sin3 3 3 sin 22364 AOB SAOB 14(2020 届广东省东莞市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 33 xt yt (t为参 数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2 sin (0)aa， 己知直线l与曲线C有且仅有一个公共点 (1)求a ； (2),A B为曲线C上的两点，且 2 AOB ，求OAOB的最大值 【答案】(1)1(2)2 2 【解析】 (1)直线l的普通方程为330 xy
25、， 曲线C的普通方程为 22 20 xyay，得圆心 (0, )Ca，半径(0)ra a 由直线与圆相切得 |3| 2 a a ，解得1a 或3a(舍)，所以1a (2)在极坐标系中，不妨设A为曲线C上靠右的点， 则设 12 ,0 22 AB 则有 12 2sin,2sin 2 由题意得 12 |2sin2sin 2 OAOB 2 2sin,0 42 所以，当 4 时，|OAOB的最大值为2 2 15(2020 届安徽省皖南八校高三第三次联考)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 4 1 5 3 1 5 xt yt (t为 参数)，以直角坐标系的原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐
26、标系，曲线C的极坐标方程为 2cos 4 . (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； (2)已知直线l与曲线C交于 ,A B两点，试求,A B两点间的距离. 【答案】(1)3 cos4 sin10 ， 22 0 xyxy；(2) 7 5 . 【解析】 (1)消参得，直线:341 0lxy ，即3 cos4 sin10 ； 曲线:2cos2 cos cossinsin 444 C ，即 2 cossin， 则 22 xyxy ，所以曲线 C 的普通方程为 22 0 xyxy. (2)设 ,A B两点在直线上对应的参数分别为 12 ,t t，将 4 1 5 3 1 5 xt yt 代
27、入 22 0 xyxy， 得 2 7 0 5 tt，则 121 2 7 ,0 5 ttt t ，则 2 12121 2 7 4 5 ABttttt t. 16(2020 届安徽省合肥市高三第二次质检)在直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为 3cos4sin 129 cossin 55 x y (为参数)以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的 极坐标方程为 sin3 3 (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于P，Q两点， 2,0M，求MP MQ 的值 【答案】(1) 22 1 259 xy 32 30 xy(2) 30 2 7 【解
28、析】 (1)曲线C的参数方程 3cos4sin 129 cossin 55 x y 消去参数得， 曲线C的普通方程为 22 1 259 xy sin3 3 ，3 cossin2 30， 直线l的直角坐标方程为32 30 xy (2)设直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt (t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 76630tt， 12 6 7 tt， 1 2 9t t M点在直线l上， 2 12121 2 3630 2 436 497 MPMQttttt t 17(2020 届甘肃省高三第一次高考诊断)在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为： 1 co
29、s sin x y (为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为： 2 3sin. (1)求曲线 1 C的极坐标方程和曲线 2 C的直角坐标方程； (2)若直线:0l ykx k与曲线 1 C交于O，A两点，与曲线 2 C交于O，B两点，求OAOB取得最大 值时直线l的直角坐标方程. 【答案】(1)曲线 1: 2cosC ，曲线 2 2 2: 33Cxy.(2)3yx. 【解析】 由 1 cos sin x y 和 cos sin x y ，得 cos1cos sinsin 22 cos1sin1，化简得2cos 故 1 C：2cos 将2 3sin两边同
30、时乘以，得 2 2 3 sin 因为 222, sinxyy，所以 22 2 30 xyy 得 2 C的直角坐标方程 2 2 2: 33Cxy. (2)设直线l的极坐标方程 , 0, 2 R 由 2cos ，得| 2cosOA， 由 2 3cos ，得| 2 3sinOB 故2cos +2 3sin4sin 6 OAOB 当 3 时，OA OB 取得最大值 此时直线的极坐标方程为： 3 R ， 其直角坐标方程为：3yx. 18 (2020 届湖南省郴州市高三第二次质监)在直角坐标系中， 已知曲线C的参数方程为 12cos 12sin x y ( 为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立
31、极坐标系，射线 1 l的极坐标方程为 66 ，射线 2 l的极坐标方程为 2 . ()写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线； ()若射线 1 l与曲线C交于OA、两点，射线 2 l与曲线C交于OB、两点，求ABO面积的取值范围. 【答案】()2cos2sinrqq，曲线C是以 1,1为圆心， 2为半径的圆；() 1,2. 【解析】 ()由 12cos 12sin x y (为参数)化为普通方程为 22 112xy 22 cos1sin12，整理得 2cos2sinrqq 曲线C是以1,1为圆心， 2为半径的圆. ()令 1 2cos2sinOA 2 2cos2sin2sin2cos 22
32、OB 22 12 1 2 cossin2cos2 2 S 66 ，2 33 ， 1 cos21 2 ，12cos22 ， ABO面积的取值范围为 1,2 19(2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2, 1 xt yt (t为参数)，曲线 1 C的方程为 22 0 xyx，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极 坐标系. (1)求直线l和曲线 1 C的极坐标系方程； (2)曲线 2: 0,0 2 C 分别交直线l和曲线 1 C于M，N，求 3 | | ON OM 的最大值. 【答案】(1)cossin30 ；cos(2) 5 【解析】 (1)由题可知直线l的普通方程为 30 xy ， 直线l的极坐标方程为cossin30. 曲线 1 C的普通方程为 22 xyx， 因为cos ,sinxy， 所以 1 C的极坐标方程为cos. (2)直线l的极坐标方程为 cossin30 ，令， 则 3 | cossin OM ，所以 3 cossin |OM . 又| cosON， 所以 3 | sin2cos5sin()(tan2) | ON OM ， 因为0 2 ，则 3 | | ON OM 的最大值为5。
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