1、题型十四题型十四 最短距离问题最短距离问题 1. 如图，在ABC 中，AB=AC，分别以点 A、B为圆心，以适当的长为半径作 弧，两弧分别交于 E，F，作直线 EF，D为 BC 的中点，M 为直线 EF 上任 意一点若 BC=4，ABC面积为 10，则 BM+MD 长度的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在 RtAOB 中，OB=2 ，A=30 ，O的半径为 1，点 P是 AB边上的 动点，过点 P 作O的一条切线 PQ（其中点 Q为切点），则线段 PQ长度的最 小值为_ 3. 在O中，AB是O 的直径，AB=8cm， =，M是 AB 上一动点，CM+DM 的最小
2、值是_cm 4. 如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处， 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_m（容器厚度忽略不计） 5. 如图，RtABC中，C=90 ，以 AB 为边在 AB 上方作正方形 ABDE，过点 D 作 DFCB，交 CB的延长线于点 F，连接 BE （1）求证：ABCBDF； （2）P，N分别为 AC，BE 上的动点，连接 AN，PN，若 DF=5，AC=9，求 AN+PN的最小值 6. 如图，在 RtAOB中，AOB=90 ，OA=3，OB=4
3、，以点 O为圆心，2 为 半径的圆与 OB交于点 C，过点 C 作 CDOB交 AB于点 D，点 P 是边 OA 上的动点当 PC+PD 最小时，OP 的长为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0），B（0，2），点 C为坐标平面 内一点，BC=1，点 M 为线段 AC的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为 （ ） A. +1 B. + C. 2+1 D. 2 - 8. 如图，在直角坐标系中，点 A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两 点，点 C 的纵坐标为 1，且 CA=CB，在 y轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD， BD，使
4、得四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为_ 9. 如图，在 RtABO中，OBA=90 ，A（4，4），点 C在边 AB 上，且 = ，点 D 为 OB的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P在 OA上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P的坐标为（ ） A. （2，2） B. （ ， ） C. （ ， ） D. （3，3） 10. 如图，M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P是M上的任意一点，PAPB，且 PA、PB 与 x轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 1
5、1. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周 而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆 柱的高为 20尺，底面周长为 3尺，有葛藤自点 A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B处，则问 题中葛藤的最短长度是_尺 12. 如图，一只蚂蚁沿着棱长为 2的正方体表面从点 A出发，经过 3个面爬到点 B，如 果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为_ 13. 如图，矩形 ABCD中，AB=4，AD=2，E为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P为 DF中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ） A
6、. 2 B. 4 C. D. 14. 如图，在 RtABC中B=90，AB=4，BCAB，D在 BC 上，以 AC 为对线的平行四边形 ADCE中，DE 的最小值是_ 15. 如图， 已知菱形 ABCD的周长为 16， 面积为 8， E 为 AB的中点， 若 P为对角线 BD 上一动点， 则 EP+AP 的最小值为_ 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由作法得 EF垂直平分 AB， MB=MA， BM+MD=MA+MD， 连接 MA、DA，如图， MA+MDAD（当且仅当 M 点在 AD上时取等号）， MA+MD的最小值为 AD， AB=AC，D点为 BC的中点， ADBC，
7、SABC = BCAD=10， AD=5， BM+MD长度的最小值为 5 故选：D 由基本作图得到得 EF 垂直平分 AB，则 MB=MA，所以 BM+MD=MA+MD，连接 MA、DA，如图，利用两点 之间线段最短可判断 MA+MD 的最小值为 AD，再利用等腰三角形的性质得到 ADBC，然后利用三角形面 积公式计算出 AD 即可 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握 5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作 已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了等腰三角形的性质 2.【答案】2 【解析】解：连接 OP、OQ，作 OPAB于 P， PQ
8、是O的切线， OQPQ， PQ= ， 当 OP最小时，线段 PQ的长度最小， 当 OPAB时，OP最小， 在 RtAOB 中，A=30 ， OA=6， 在 RtAOP中，A=30 ， OP= OA=3， 线段 PQ长度的最小值=2， 故答案为：2 连接 OP、OQ，作 OPAB 于 P，根据切线的性质得到 OQPQ，根据勾股定理得到 PQ=，根 据垂线段最短得到当 OPAB 时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可 本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的 关键 3.【答案】8 【解析】解：如图，作点 C关于 AB 的对称点 C，
9、连接 CD与 AB 相交于点 M， 此时，点 M 为 CM+DM 的最小值时的位置， 由垂径定理，=， =， =，AB为直径， CD为直径， CM+DM 的最小值是 8cm 故答案为：8 作点C关于AB的对称点C， 连接CD与AB相交于点M， 根据轴对称确定最短路线问题， 点M为CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出 CD 为直径，从而得解 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出 CM+DM 的最小值等于圆 的直径的长度是解题的关键 4.【答案】1.3 【解析】解：如图： 高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点
10、 B 处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A处， AD=0.5m，BD=1.2-0.3+AE=1.2m， 将容器侧面展开，作 A关于 EF的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB= = =1.3（m） 故答案为：1.3 将容器侧面展开，建立 A关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的长度即为所求 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关 键同时也考查了同学们的创造性思维能力 5.【答案】（1）证明：RtABC中，C=90 ，DFCB， C=DFB=90 四边形 A
11、BDE是正方形， BD=AB，DBA=90 ， DBF+ABC=90 ，CAB+ABC=90 ， DBF=CAB， ABCBDF（AAS）； （2）解：ABCBDF， DF=BC=5，BF=AC=9， FC=BF+BC=9+5=14 如图，连接 DN， BE是正方形顶点 A与顶点 D 的对称轴， AN=DN 如使得 AN+PN最小，只需 D、N、P在一条直线上， 由于点 P、N 分别是 AC和 BE上的动点， 作 DP1AC，交 BE 于点 N1，垂足为 P1， 所以，AN+PN 的最小值等于 DP1=FC=14 【解析】 （1）根据正方形的性质得出 BD=AB，DBA=90 ，进而得出DBF
12、=CAB，因为C=DFB=90 根 据 AAS即可证得结论； （2）根据正方形的性质 AN=DN，如使得 AN+PN最小，只需 D、N、P在一条直线上，根据垂线段最短， 作 DP1AC，交 BE 于点 N1，垂足为 P1，则 AN+PN的最小值等于 DP1=FC=14 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称-最短路线问题，熟练掌握正方形的性质是解 题的关键 6.【答案】B 【解析】解：如图，延长 CO 交O于点 E，连接 ED，交 AO于点 P，此时 PC+PD的值最小 CDOB， DCB=90 ， 又AOB=90 ， DCB=AOB， CDAO OC=2，OB=4， BC=2
13、， ，解得，CD= ； CDAO， ，即，解得，PO= 故选：B 延长 CO 交O于点 E，连接 EP，交 AO于点 P，则 PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出 CD，PO的长即可 此题主要考查了轴对称-最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线 段成比例定理是解题的关键 7.【答案】B 【解析】解：如图， 点 C 为坐标平面内一点，BC=1， C 在B的圆上，且半径为 1， 取 OD=OA=2，连接 CD， AM=CM，OD=OA， OM是ACD 的中位线， OM= CD， 当 OM 最大时，即 CD最大，而 D，B，C 三点共线时，当 C 在 D
14、B的延长线上时，OM 最大， OB=OD=2，BOD=90 ， BD=2， CD=2+1， OM= CD=，即 OM 的最大值为+ ； 故选：B 根据同圆的半径相等可知： 点 C 在半径为 1的B 上， 通过画图可知， C在 BD与圆 B的交点时， OM最小， 在 DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论 本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定 OM 为最大值是点 C的位置是关键，也 是难点 8.【答案】4+2 【解析】解：点 A（1，1），点 C 的纵坐标为 1， ACx 轴， BAC=45 ， CA=CB， ABC=BAC=45 ， C=90 ， B（
15、3，3） C（3，1）， AC=BC=2， 作 B 关于 y轴的对称点 E， 连接 AE 交 y 轴于 D， 则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE， 过 E 作 EFAC 交 CA的延长线于 F， 则 EF=BC=2，AF=6-2=4， AE= =2， 最小周长的值=AC+BC+AE=4+2， 故答案为：4+2 根据平行线的性质得到BAC=45 ，得到C=90 ，求得 AC=BC=2，作 B 关于 y轴的对称点 E，连接 AE交 y 轴于 D，则此时，四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE，过 E 作 EFAC 交 CA的延长 线于
16、 F，根据勾股定理即可得到结论 本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键 9.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质等知识，正确的找到 P 点的位置是解题的关键 根据已知条件得到 AB=OB=4，AOB=45 ，求得 BC=3，OD=BD=2，得到 D（2，0），C（4，3），作 D关 于直线 OA的对称点 E， 连接 EC 交 OA于 P，则此时，四边形 PDBC周长最小，E（0，2），求得直线 EC的解析式为 y= x+2，解 方程组即可得到结论 【解答】 解：在 RtABO中，OBA=90 ，A
17、（4，4）， AB=OB=4，AOB=45 ， = ，点 D 为 OB的中点， BC=3，OD=BD=2， D（2，0），C（4，3）， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC交 OA 于 P， 则此时，四边形 PDBC周长最小，E（0，2）， 直线 OA 的解析式为 y=x， 设直线 EC的解析式为 y=kx+b， ， 解得：， 直线 EC的解析式为 y= x+2， 解得， P（ ， ）， 故选：C 10.【答案】C 【解析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得 出 AB取得最小值时点 P的位置 由 RtAPB 中 AB=2OP 知要
18、使 AB 取得最小值，则 PO需取得最小值，连接 OM，交M 于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值，据此求解可得 解：PAPB， APB=90 ， AO=BO， AB=2PO， 若要使 AB取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交M于点 P，当点 P 位于 P位置时，OP取得最小值， 过点 M 作 MQx 轴于点 Q， 则 OQ=3、MQ=4， OM=5， 又MP=2， OP=3， AB=2OP=6， 故选 C 11.【答案】25 【解析】 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角 形按照勾股定理可求出解
19、【解答】 解：如图， 一条直角边（即枯木的高）长 20尺， 另一条直角边长 5 3=15（尺）， 因此葛藤长为=25（尺） 故答案为：25 12.【答案】 【解析】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在 一个面上，展开图如图所示，此时 AB 最短， BCMACN， =，即 =2，即 MC=2NC， CN= MN= ， 在 RtACN 中，根据勾股定理得：AC=， 故答案为： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时 AB最短，根据三角形 MCB与三角 形 ACN 相似，由相似得比例得到 MC=2NC，求出 CN的长，利用勾股定理求出 AC的长即可 此题考查了
20、平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练求出 CN 的长是解本题的关键 13.【答案】D 【解析】解：如图： 当点 F与点 C重合时，点 P在 P1处，CP1=DP1， 当点 F与点 E重合时，点 P在 P2处，EP2=DP2， P1P2CE 且 P1P2= CE, 当点 F在 EC上除点 C、E的位置处时，有 DP=FP, 由中位线定理可知：P1PCE且 P1P= CF, 点 P的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2时，PB取得最小值, 矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E为 AB的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP1=2
21、, ADE=CDE=CP1B=45 ，DEC=90 , DP2P1=90 , DP1P2=45 , P2P1B=90 ，即 BP1P1P2， BP的最小值为 BP1的长, 在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2, BP1=2, PB的最小值是 2, 故选：D 根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2， 再根据垂线段最短可得当BPP1P2时， PB取得最小值； 由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP1的长，由勾股定理求解即可 本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度 14.【答案】4 【解析】解：四边形 ADC
22、E 是平行四边形， 四边形 BDEA是矩形， DEAB， DE 的最值 4 DEAB=， B=90 ， ABBC， 四边 ABDE 是平行四边形， 故答为 4 首先证明 BCAE，当 DBCE 最短，只要证明四边形 ADCE 是矩形即可解决 题考平行四边形性质、垂线段最短等知识解的关键是找 DE 的位置，会利用垂线段最短解决问于考常考题 15.【答案】2 【解析】解：如图作 CEAB于 E，交 BD于 P，连接 AC、AP 已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8， AB=BC=4，ABCE=8， CE=2， 在 RtBCE中，BE=2， BE=EA=2， E 与 E重合， 四边形 ABCD是菱形， BD 垂直平分 AC， A、C 关于 BD 对称， 当 P与 P重合时，PA+PE的值最小，最小值为 CE 的长=2， 故答案为 2 如图作 CEAB 于 E，交 BD 于 P，连接 AC、AP首先证明 E与 E重合，因为 A、C 关于 BD对 称，所以当 P 与 P重合时，PA+PE的值最小，由此求出 CE即可解决问题 本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明 CE 是ABC 的高，学会利用对称解决最短问题
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