1、题型三 一次函数与反比例函数综合 1. 如图，正比例函数 y1=k1x与反比例函数 y2= 的图象相交于 A，B 两点，其中 点 A 的横坐标为 1当 y1y2时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 如图，反比例函数 y= 与一次函数 y=x-2 在第三象限交于点 A，点 B的坐标为 （-3，0），点 P是 y轴左侧的一点，若以 A，O，B，P为顶点的四边形为平行 四边形，则点 P的坐标为_ 3. 如图，直线 AB 与双曲线 y= （k0）交于点 A，B，点 P 是直线 AB上一动点， 且点 P在第二象限 连接 PO并延长交双曲线于点 C 过点 P作 PDy 轴
2、， 垂足为点 D 过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E若点 A 的坐标为（-2，3），点 B的坐标为（m，1），设POD的面积为 S1，COE 的 面积为 S2，当 S1S2时，点 P 的横坐标 x的取值范围为_ 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y=x+1和双曲线 y=- ，在直线上取一点，记为 A 1，过 A1作 x 轴 的垂线交双曲线于点 B1，过 B1作 y轴的垂线交直线于点 A2，过 A2作 x轴的垂线交双曲线于点 B2，过 B2作 y 轴的垂线交直线于点 A3， ， 依次进行下去， 记点 An的横坐标为 an， 若 a1=2， 则 a2020=_ 5. 如图，函数 y= 和
3、 y=- 的图象分别是 l1和 l2设点 P在 l 1上，PCx轴， 垂足为 C，交 l2于点 A，PDy轴，垂足为 D，交 l2于点 B，则PAB 的面 积为_ 6. 如图，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 在 x轴的正半轴上，顶点 C的坐标为（1，） （1）求图象过点 B 的反比例函数的解析式； （2）求图象过点 A，B 的一次函数的解析式； （3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数 的图象下方时，请直接写出自变量 x 的取值范围 7. 如图，一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，2），B（n，-1）两点
4、（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）直线 AB 交 x轴于点 C，点 P 是 x 轴上的点，若ACP 的面积是 4，求点 P的坐标 8. 如图， 已知反比例函数 y= 的图象与直线 y=ax+b 相交于点 A （-2， 3） ， B （1， m）（1）求出直线 y=ax+b的表达式； （2）在 x轴上有一点 P 使得PAB的面积为 18，求出点 P的坐标 9. 如图，点 A（ ，4），B（3，m）是直线 AB 与反比例函数 y= （x0）图象 的两个交点，ACx轴，垂足为点 C，已知 D（0，1），连接 AD，BD，BC （1）求直线 AB的表达式； （2）ABC和ABD的面积分别为
5、 S1，S2求 S2-S1 10. 如图，ABCD中，顶点 A的坐标是（0， 2），ADx 轴，BC 交 y 轴于点 E， 顶点 C的纵坐标是-4，ABCD 的面积是 24反比例函数 y= 的图象经过点 B 和 D，求： （1）反比例函数的表达式； （2）AB 所在直线的函数表达式 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=mx 与双曲线 y= 相交于 A（-2，a）、 B 两点，BCx轴，垂足为 C，AOC的面积是 2 （1）求 m、n 的值； （2）求直线 AC的解析式 12. 如图，一次函数 ykxb的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数的图象在第一象限 的交点为 C，CD
6、x轴，垂足为 D若 OB3，OD6，AOB 的面积为 3 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x0时，kxb- 0 的解集 13. 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 AB 与 x轴交于点 B， 与 y轴交于点 A， 与反比例函数 y= 的图象在第二象限交于点 C，CEx轴，垂足为点 E， tanABO= ，OB=4，OE=2 （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D作 DFy 轴，垂足为点 F，连接 OD、BF如 果 SBAF=4SDFO，求点 D 的坐标 14. 如图是函数 y= 与函数 y= 在第一象限内的图象， 点 P
7、是 y= 的图象上一动点， PAx 轴于点 A， 交 y= 的图象于点 C， PBy轴于点 B， 交 y= 的图象于点 D （1）求证：D是 BP的中点； （2）求四边形 ODPC的面积 答案 1.【答案】D 【解析】解：正比例函数 y1=k1x 与反比例函数 y2= 的图象相交于 A、B两点，其中点 A 的横坐标为 1 B 点的横坐标为：-1， 故当 y1y2时，x的取值范围是：x-1 或 0 x1 故选：D 直接利用正比例函数的性质得出 B 点横坐标，再利用函数图象得出 x的取值范围 此题主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正确得出 B点横坐标是解题关键 2.【答案】（-4，-3）
8、，（-2，3） 【解析】解：由题意得，解得或， 反比例函数 y= 与一次函数 y=x-2 在第三象限交于点 A， A（-1，-3） 当以 AB 为对角线时，AB的中点坐标 M为（-2，-1.5）， 平行四边形的对角线互相平分， M 为 OP 中点， 设 P 点坐标为（x，y）， 则=-2，=-1.5， 解得 x=-4，y=-3， P（-4，-3） 当 OB为对角线时， 由 O、B 坐标可求得 OB的中点坐标 M（- ，0），设 P 点坐标为（x，y）， 由平行四边形的性质可知 M 为 AP 的中点， 结合中点坐标公式可得=- ，=0，解得 x=-2，y=3， P（-2，3）； 当以 OA 为对
9、角线时， 由 O、A 坐标可求得 OA的中点坐标 M（- ，- ），设 P 点坐标为（x，y）， 由平行四边形的性质可知 M 为 BP 中点， 结合中点坐标公式可得=- ，=- ，解得 x=2，y=-3， P（2，-3）（舍去） 综上所述，P点的坐标为（-4，-3），（-2，3） 故答案为：（-4，-3），（-2，3） 联立直线和反比例函数解析式可求出 A 点的坐标，再分以 AB为对角线、以 OA 为对角线和以 OB 为对角线 三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的 P 点的坐标 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判 定与性质
10、及中点坐标公式是解答此题的关键 3.【答案】-6x-2 【解析】 【分析】 本题考查反比例函数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档 题 求出 k、m，再利用图象法即可解决问题. 【解答】 解：A（-2，3）在 y= 上， k=-6 点 B（m，1）在 y=上， m=-6， 点 C 在双曲线上，S2=3， 观察图象可知：当 S1S2时，点 P 在线段 AB 上（不与 A、B重合）， 点 P的横坐标 x的取值范围为-6x-2 故答案为-6x-2 4.【答案】2 【解析】解：当 a1=2 时，B1的横坐标与 A1的横坐标相等为 a1=2， A2的纵坐标和 B1的
11、纵坐标相同为 y2=- =- ， B2的横坐标和 A2的横坐标相同为 a2- ， A3的纵坐标和 B2的纵坐标相同为 y3=- = ， B3的横坐标和 A3的横坐标相同为 a3=- ， A4的纵坐标和 B3的纵坐标相同为 y4=- =3， B4的横坐标和 A4的横坐标相同为 a4=2=a1， 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，3 个为一组依次循环， 2020 3=6731， a 2020=a1=2， 故答案为：2 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出 A1、B1、A2、B2、A3、B3，从而得到每 3次变化 为一个循环组依次循环，用 2020除以 3，根据商的情况确定出 a
12、2020即可 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察 出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点 5.【答案】8 【解析】解：方法一：点 P 在 y= 上， |xp|yp |=|k|=1， 设 P的坐标是（a， ）（a 为正数）， PAx轴， A 的横坐标是 a， A 在 y=- 上， A 的坐标是（a，- ）， PBy轴， B 的纵坐标是 ， B 在 y=- 上， 代入得： =- ， 解得：x=-3a， B 的坐标是（-3a， ）， PA=| -（- ）|= ， PB=|a-（-3a）|=4a， PAx轴，PBy轴，
13、x 轴y 轴， PAPB， PAB 的面积是： PA PB= 4a=8 故答案为：8 方法二：函数 y= 和 y=- 的图象分别是 l1和 l2点 P在 l1上，PCx 轴，垂足为 C，交 l2于点 A，PDy轴， 垂足为 D，交 l2于点 B， = ， = ， 由矩形 DOPC矩形 BEAP， 故 S矩形BEAP=16S矩形DOPC， =16 1 =16， 则 SAPC =8 设 P 的坐标是（a， ），推出 A 的坐标和 B 的坐标，求出APB=90 ，求出 PA、PB 的值，根据三角形的面 积公式求出即可 本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据 P点的坐标得出 A、B
14、的坐标，本题具有一 定的代表性，是一道比较好的题目 6.【答案】解：（1）由 C的坐标为（1，），得到 OC=2， 菱形 OABC， BC=OC=OA=2，BCx 轴， B（3，）， 设反比例函数解析式为 y= ， 把 B 坐标代入得：k=3， 则反比例解析式为 y=； （2）设直线 AB解析式为 y=mx+n， 把 A（2，0），B（3，）代入得：， 解得：， 则直线 AB解析式为 y=x-2； （3）联立得：， 解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（-1，-3）， 则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量 x的取值范围为 2x3 【解析】（1）由 C
15、的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出 B的坐标，利用待定系数法求出反比例函 数解析式即可； （2）由菱形的边长确定出 A 坐标，利用待定系数法求出直线 AB解析式即可； （3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意 x的范围即可 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次 函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 7.【答案】解：（1）将点 A（1，2）代入 y= ，得：m=2， y= ， 当 y=-1 时，x=-2， B（-2，-1）， 将 A（1，2）、B（-2，-1）代入 y=kx+b， 得：
16、， 解得， y=x+1； 一次函数解析式为 y=x+1，反比例函数解析式为 y= ； （2）在 y=x+1中，当 y=0时，x+1=0， 解得 x=-1， C（-1，0）， 设 P（m，0）， 则 PC=|-1-m|， SACP = PCyA=4， |-1-m| 2=4， 解得 m=3或 m=-5， 点 P的坐标为（3，0）或（-5，0） 【解析】（1）先根据点 A坐标求出反比例函数解析式，再求出点 B的坐标，继而根据点 A、B 坐标可得直 线解析式； （2）先根据直线解析式求出点 C的坐标，再设 P（m，0），知 PC=|-1-m|，根据 SACP= PCyA=4 求出 m 的值即可得出答案
17、 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的 距离公式、三角形的面积问题 8.【答案】解：（1）将点 A 的坐标代入反比例函数表达式并解得：k=-2 3=-6， 故反比例函数表达式为：y=- ， 将点 B的坐标代入上式并解得：m=-6，故点 B（1，-6）， 将点 A、B的坐标代入一次函数表达式得，解得， 故直线的表达式为：y=-3x-3； （2）设直线与 x 轴的交点为 E，当 y=0 时，x=-1，故点 E（-1，0）， 分别过点 A、B作 x轴的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D， 则 SPAB= PECA+ PEBD= PE PE=
18、PE=18，解得：PE=4， 故点 P的坐标为（3，0）或（-5，0） 【解析】（1）用待定系数法即可求解； （2）SPAB= PECA+ PEBD= PE PE= PE=18，即可求解 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想， 综合性较强 9.【答案】解：（1）由点 A（ ，4），B（3，m）在反比例函数 y= （x0）图象上 4= n=6 反比例函数的解析式为 y= （x0） 将点 B（3，m）代入 y= （x0）得 m=2 B（3，2） 设直线 AB的表达式为 y=kx+b 解得 直线 AB的表达式为 y=-； （2）由点 A、B坐标得
19、 AC=4，点 B 到 AC 的距离为 3- = S 1= 4=3 设 AB与 y轴的交点为 E，可得 E（0，6），如图： DE=6-1=5 由点 A（ ，4），B（3，2）知点 A，B 到 DE 的距离分别为 ，3 S 2=SBDE-SACD= 5 3- 5= S 2-S1= -3= 【解析】（1）先将点 A（ ，4）代入反比例函数解析式中求出 n 的值，进而得到点 B的坐标，已知点 A、 点 B 坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB的表达式； （2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出 S1，S2的值，即可求出 S2-S1 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积
20、，属于中考常考题型 10.【答案】解：（1）顶点 A 的坐标是（0，2），顶点 C的纵坐标是-4， AE=6， 又ABCD的面积是 24， AD=BC=4， 则 D（4，2） k=4 2=8， 反比例函数解析式为 y= ； （2）由题意知 B的纵坐标为-4， 其横坐标为-2， 则 B（-2，-4）， 设 AB所在直线解析式为 y=kx+b， 将 A（0，2）、B（-2，-4）代入，得：， 解得：， 所以 AB 所在直线解析式为 y=3x+2 【解析】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定 系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力 （1）根据题意得出
21、 AE=6，结合平行四边形的面积得出 AD=BC=4，继而知点 D坐标，从而得出反比例函数 解析式； （2）先根据反比例函数解析式求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求解可得 11.【答案】解：（1）直线 y=mx 与双曲线 y= 相交于 A（-2，a）、B两点， 点 A与点 B关于原点中心对称， B（2，-a）， C（2，0）； SAOC =2， 2 a=2，解得 a=2， A（-2，2）， 把 A（-2，2）代入 y=mx和 y= 得-2m=2，2=，解得 m=-1，n=-4； （2）设直线 AC的解析式为 y=kx+b， 直线 AC经过 A、C， ，解得 直线 AC的解析式为 y=- x
22、+1 【解析】 （1）根据反比例函数的对称性可得点 A 与点 B 关于原点中心对称，则 B（2，-a），由于 BCx轴， 所以 C（2，0），先利用三角形面积公式得到 2 a=2，解得 a=2，则可确定 A（-2，2），然后把 A 点坐标 代入 y=mx和 y= 中即可求出 m，n； （2）根据待定系数法即可得到直线 AC 的解析式 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，熟悉相关知识点是解题的 关键 12.【答案】解：（1）SAOB=3，OB=3， OA=2， B（3，0），A（0，-2）， 代入 y=kx+b 得：， 解得：k= ，b=-2， 一次函数 y=
23、x-2， OD=6， D（6，0），CDx轴， 当 x=6时，y= 6-2=2 C（6，2）， n=6 2=12， 反比例函数的解析式是 y=； （2）当 x0时，kx+b- 0 的解集是 0 x6 【解析】（1）根据三角形面积求出 OA，得出 A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把 x=6 代入求出 D 的坐标，把 D 的坐标代入反比例函数的解析式求出即可； （2）根据图象即可得出答案 本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问题，函数的图象的应用， 主要考查学生的观察图形的能力和计算能力 13.【答案】解：（1）OB=4，OE=2， BE=OB+O
24、E=6 CEx 轴， CEB=90 在 RtBEC 中，CEB=90 ，BE=6，tanABO= ， CE=BEtanABO=6 =3， 结合函数图象可知点 C 的坐标为（-2，3） 点 C 在反比例函数 y= 的图象上， m=-2 3=-6， 反比例函数的解析式为 y=- （2）点 D 在反比例函数 y=- 第四象限的图象上， 设点 D的坐标为（n，- ）（n0） 在 RtAOB 中，AOB=90 ，OB=4，tanABO= ， OA=OBtanABO=4=2 SBAF = AFOB= （OA+OF）OB= （2+ ） 4=4+ 点 D 在反比例函数 y=- 第四象限的图象上， SDFO =
25、 |-6|=3 SBAF =4SDFO， 4+=4 3， 解得：n= ， 经验证，n= 是分式方程 4+=4 3的解， 点 D 的坐标为（ ，-4） 【解析】（1）由边的关系可得出 BE=6，通过解直角三角形可得出 CE=3，结合函数图象即可得出点 C 的坐 标，再根据点 C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数 m，由此即可得出 结论； （2）由点 D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点 D的坐标为（n，- ）（n0）通过解直角三角 形求出线段 OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含 n的代数式表示出 SBAF，根据点 D在反比例函数 图形上利用反比例函数系数 k
26、的几何意义即可得出 SDFO的值， 结合题意给出的两三角形的面积间的关系即 可得出关于 n的分式方程，解方程，即可得出 n值，从而得出点 D的坐标 本题考查了解直角三角形、 反比例函数图象上点的坐标特征、 三角形的面积公式以及反比例函数系数 k 的几 何意义， 解题的关键是： （1） 求出点 C的坐标； （2） 根据三角形的面积间的关系找出关于 n的分式方程 本 题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的 坐标特征求出反比例函数系数是关键 14.【答案】（1）证明：点 P 在函数 y= 上， 设 P点坐标为（ ，m） 点 D 在函数 y= 上，BPx轴， 设点 D坐标为（ ，m）， 由题意，得 BD= ，BP= =2BD， D 是 BP的中点 （2）解：S四边形OAPB= m=6， 设 C 点坐标为（x， ），D点坐标为（ ，y）， SOBD= y = ， SOAC= x = ， S四边形OCPD=S四边形PBOA-SOBD-SOAC=6- - =3 【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中 点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法 （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得 P、D 点坐标，根据线段中点的定义，可得答案； （2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案
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