1、题型十二题型十二 数学传统文化数学传统文化 1. 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔 （宽）不及长一十二步（宽比长少 12步），问阔及长各几步“如果设矩形田地的长为 x步，那么同 学们列出的下列方程中正确的是（ ） A. x（x+12）=864 B. x（x-12）=864 C. x2+12x=864 D. x2+12x-864=0 2. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻 边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补” 原理复原了海岛算经九题
2、古证，下列说法不一定成立的是（ ） A. SABC=SADC B. S矩形NFGD=S矩形EFMB C. SANF=S矩形NFGD D. SAEF=SANF 3. 清朝数学家梅文鼎的著作方程论中有这样一道题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又 山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少， 每亩场地折实田多少？ 译文为：假如有山田 3 亩，场地 6 亩，其产粮相当于实田 4.7 亩；又山田 5亩，场地 3 亩，其产粮相当 于实田 5.5 亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？请你解答 4. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，
3、也叫三斜求 积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S=现 已知ABC 的三边长分别为 1，2，则ABC 的面积为_ 5. 我国是较早认识负数的国家，南宋数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成 “”，下列算筹表示负数的是 （ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之， 不足一尺， 木长几何？”意思是： 用一根绳子去量一根木条， 绳子还剩余 4.5尺； 将绳子对折再量木条， 木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长 x尺，绳子长 y尺，那么可列方程组为（）
4、A. B. C. D. 7. 我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题：一根竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子 来量竿，却比竿子短一托如果 1托为 5尺，那么索长为_尺，竿子长为_尺 8. 公元前 3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为 “杠杆原理”，即“阻力 阻力臂=动力 动力臂”若现在已知某一杠杆的阻 力和阻力臂分别为 1200N和 0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位： m）的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作算学启蒙中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走 240 里，跑得 慢的马每天走 150里，
5、慢马先走 12天， 快马几天可以追上慢马？设快马 x 天可以追上慢马， 根据题意， 可列方程为_ 10. 刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在九章算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确 公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值） “割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”， 来无限逼近“圆面积”， 刘徽形容他的“割圆术”说： 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣 刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角 形的边长均为圆的半径 R此时圆内接正六边形的周长为 6R，如果将圆内接正六边
6、形的周长等同于圆 的周长， 可得圆周率为 3 当正十二边形内接于圆时， 如果按照上述方法计算， 可得圆周率为_ （参 考数据：sinl5 =0.26） 11. 我国古代数学经典著作 九章算术 中记载了一个“圆材埋壁”的问题： “今 有圆材埋在壁中， 不知大小 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺 问径几何？” 意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材， 锯口深 ED=1寸，锯道长 AB=1 尺（1尺=10寸）问这根圆形木材的直径是 _寸 12. 用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形 ABCD 和一个小正方形 EFGH， 这就是著名的“赵爽弦图” 在 2002 年北京召开
7、的国际数学家大会就用这个弦 图作为会标若 AB10，AF8，则小正方形 EFGH 的面积为 _ 13. 伊斯兰数学家塔比 伊本 库拉( Thabit ibnQurra，830-890)在其著作 以几何方法证明代数问题 中讨论了二次方程的几何解法。 例如： 可以用如图来解关于 x的方程，其中 ABFE为长方形， ABCD 为正方形，且 DE= m，BF CD= n，则方程的其 中一个正根为 A. DE 的长 B. AB 的长 C. AE 的长 D. BE的长 14. 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃（读，门槛的意思）一尺，不合 二寸，问门广几何？”题目大意是：如图 1，2（
8、图 2 为图 1 的平面示意图），推开双门，双门间隙 CD 的距离为 2 寸，点 C和点 D距离门槛 AB 都为 1 尺（1 尺=10 寸），求 AB的长 15. 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动 “秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积。古希腊的几何学家海伦给出了求其面积的海伦公式 ；我国南宋时期数学家秦九韶（约 12021261），给出了著名的秦 九韶公式. “毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题如图 1 是 6 6的正方形网格，每个小正方 形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点在
9、图 1 中画出ABC，其顶点 A，B，C 都是格点，同 时构造正方形 BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边 DE，EF 分别经过点 C、A，他们借助此图求 出了ABC 的面积 （1） 在图 1 中， 所画的ABC 的三边长分别是 AB_， BC_， AC_； ABC 的面积为_ （2）在图 2所示的正方形网格中画出DEF（顶点都在格点上），使 DE，DF，EF， 并写出DEF的面积 （3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面 积（写出计算过程） 16. 【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之 为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中
10、就有“若勾三，股四，则 弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦 图” 如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今 【实践操作】请叙述勾股定理；验证勾股定理，人们已经找到了 400多种方法，请从下列几种常 见的验证方法中任选一种来验证该定理： 以下图形均满足验证勾股定理所需的条件 【探索发现】 如图 4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三 个图形中面积关系满足的有_个； 如图 7 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案 图中阴影部分 的面积分 别为、，直角三角形面积为，请判断、的关系并说明理由 17. 刘徽是
11、我国魏晋时期卓越的数学家，他在九章算术中提出了“割圆术”，利用圆 的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边 形的面积来近似估计的面积 ，设的半径为 1，则_.（ 取 3.14，结果精确到 0.01） 18. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”（如 图），此图揭示了（a+b）n（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关 规律 例如： （a+b）0=1 （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 请你猜想（a+b）9的展开
12、式中所有系数的和是（ ） A. 2018 B. 512 C. 128 D. 64 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长 矩形的宽 如果设矩形田地的长为 x步，那么宽就应该是（x-12）步，根据面积为 864，即可得出方程 【解答】 解：设矩形田地的长为 x步，那么宽就应该是（x-12）步 根据矩形面积=长 宽，得：x（x-12）=864 故选 B 2.【答案】C 【解析】解：ADEGBC，MNABCD 四边形 AEFN是平行四边形，四边形 FMCG是平行四边形 SAEF =SAFN，SFMC=SCGF，SA
13、BC=SACD， S 矩形BEFM=S矩形NFGD， 选项 A、B、D是正确的 故选：C 根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论 本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于 中考常考题型 3.【答案】解：设每亩山田产粮相当于实田 x 亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩， 根据题意得：， 解得： 答：每亩山田产粮相当于实田 0.9亩，每亩场地产粮相当于实田 亩 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 设每亩山田产粮相当于实田 x亩，每亩场地产粮相当于实田 y 亩，
14、根据“山田 3亩，场地 6亩，其产粮相当 于实田 4.7 亩；山田 5亩，场地 3 亩，其产粮相当于实田 5.5 亩”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组， 解之即可得出结论 4.【答案】1 【解析】解：S=， ABC 的三边长分别为 1，2，则ABC的面积为： S=1， 故答案为：1 根据题目中的面积公式可以求得ABC的三边长分别为 1，2，的面积，从而可以解答本题 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答 5.【答案】B 【解析】 【分析】 此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键 根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案 【解答】
15、 解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成“”， 算筹表示负数的是选项 B： 故选：B 6.【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用“绳长=木条+4.5； 绳子=木条-1”分别得出等式求出答案 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键 【解答】 解：设木条长 x 尺，绳子长 y尺，那么可列方程组为： 故选：A 7.【答案】20 ；15 【解析】略 8.【答案】A 【解析】解：阻力 阻力臂=动力 动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m， 动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式为：1200
16、 0.5=Fl， 则 F=，是反比例函数，A选项符合， 故选：A 直接利用阻力 阻力臂=动力 动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可 此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键 9.【答案】（240-150）x=150 12 【解析】解：设快马 x天可以追上慢马， 依题意，得：（240-150）x=150 12 故答案为：（240-150）x=150 12 设快马 x天可以追上慢马，根据两马的速度之差 快马出发的时间=慢马的速度 慢马提前出发的时间，即可 得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正
17、确列出一元一次方程是解题的关键 10.【答案】3.12 【解析】解：如图，设半径为 R的圆内接正十二边形的周长为 L 连接 OA1、OA2， 十二边形 A1A2A12是正十二边形， A1OA2=30 作 OMA1A2于 M，又 OA1=OA2， A1OM=15 ，A1A2=2A1 M 在直角A1OM 中，A1M=OA1sinA1OM=0.26R， A1A2=2A1 M=0.52R， L=12A1A2=6.24R， 圆周率 =3.12 故答案为 3.12 连接 OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到A1OA2=30 ，A1OA2是等腰三角形，作 OMA1A2于 M，根据 等腰三角形三线合一的性
18、质得出A1OM=15 ，A1A2=2A1M设圆的半径 R，解直角A1OM，求出 A1M，进 而得到正十二边形的周长 L，那么圆周率 本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长 L是解题 的关键 11.【答案】26 【解析】解：由题意可知 OEAB， OE 为O半径， 尺=5 寸， 设半径 OA=OE=r， ED=1， OD=r-1， 则 RtOAD中，根据勾股定理可得：（r-1）2+52=r2， 解得：r=13， 木材直径为 26寸； 故答案为：26 根据题意可得OEAB， 由垂径定理可得尺=5寸， 设半径OA=OE=r， 则OD=r-1， 在RtOA
19、D 中，根据勾股定理可得：（r-1）2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径 本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满 足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构 造直角三角形，用勾股定理求解 12.【答案】4 【解析】解：RtABF 中，AB=10，AF=8， 由勾股定理得：BF=6， FG=8-6=2， 小正方形 EFGH的面积=22=4， 故答案为：4 观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得 BF的长，从而得结论 此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应
20、用勾股定理是解题关键 13.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用与图形结合的知识点，理解出题意是重点； 图中已知 DE 的长度为 m， 只要设正方形 ABCD的边长为 x， 根据 BF CD = n， 即可以得到方程， 从而解决问题. 【解答】 解：设正方形 ABCD的边长为 x，则 BC=CD=x, BF CD=（BC+CF） CD=（BC + DE） CD=（x+m） m=， 所以方程的其中一个正根为正方形的边长，结合选项得知，只有 B选项符合条件， 因此选 B. 14.【答案】解：如图 由题意得:OA=OB=AD=BC, 设 OA=OB=AD=BC=r 则 AB
21、=2r,DE=10, OE= CD=1,AE=r-1, 在 RtADE中, +=,即 +=, 解得:r=50.5, 2r=101(寸), AB=101 寸, 【解析】 本题考查了勾股定理的应用, 弄懂题意,构建直角三角形是解题的关键.画出直角三角形, 根据勾股定 理即可得到 结论. 15.【答案】解：（1）5； （2）画出DEF如图所示： DEF 的面积3 4 3 2 2 4 2 14； （3）三边长依次为，的三角形的面积为. 【解析】 【分析】 本题考查了勾股定理、 二次根式的化简、 三角形的面积计算， 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a， b， 斜边长为 c，那么+=. （1）根据勾股
22、定理分别求出 AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式可求出ABC的面 积； （2）根据勾股定理画出DEF，根据矩形的面,积公式、三角形的面积公式可求出DEF 的面积； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可. 【解答】 解：（1）AB5，BC，AC， ABC 的面积4 4 3 4 1 4 3 1， 故答案为：5； （2）见答案； （3）见答案. 16.【答案】解：【实践操作】 （1）如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2 （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）； （2）证明：在图 1 中，大正方形的面
23、积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即 c2= ab 4+（b-a）2， 化简得：a2+b2=c2； 在图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和 即（a+b）2=c2+ ab 4， 化简得：a2+b2=c2； 在图 3 中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和 即 （a+b）（a+b）= ab 2+ c2， 化简得：a2+b2=c2 【探索发现】 （1）3； （2）结论：S1+S2=S3； 证明：S1+S2= （ ）2+ （ ）2+S3- （ ）2， S 1+S2= （a 2+b2-c2）+S 3， a 2+b2=c2， S 1+S2
24、=S3 【解析】 【分析】 本题考查了勾股定理的证明，利用勾股定理探索图形的面积之间的关系，解决本题的关键是学会利用面积 法证明勾股定理并会应用 【实践操作】 （1）勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2； （2） 在图 1中， 根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 即可得： a2+b2=c2；在图 2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即 可得：a2+b2=c2；在图 3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得：a2+b2=c2 【探索发现】（1）根据勾
25、股定理可得三个图形中面积关系满足 S1+S2=S3的有 3 个； （2）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：S1+S2=S3 【解答】 【实践操作】见答案； 【探索发现】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c， 如图 4：S1+S2=a2+b2，S3=c2， 又a2+b2=c2， S 1+S2=S3； 如图 5：S1+S2= （ ）2+ （ ）2= （a2+b2）， S3= c2， 又a2+b2=c2， S 1+S2=S3； 如图 6：S1+S2= a a+ b b= （a2+b2）， S3=c2， 又a2+b2=c2， S 1+S2=S3； 三个图形中面积关系满足 S1+S
26、2=S3的有 3 个， 故答案为 3； （2）见答案 17.【答案】0.14 【解析】解：O 的半径为 1， O 的面积 S=， 圆的内接正十二边形的中心角为=30 ， 过 A作 ACOB， AC= OA= ， 圆的内接正十二边形的面积 S1=12 1=3， 则 S-S1=-30.14， 故答案为：0.14 根据圆的面积公式得到O的面积 S=3.14，求得圆的内接正十二边形的面积 S1=12 1 1 sin30 =3，即可 得到结论 本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键 18.【答案】B 【解析】 【分析】 本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数 都是 1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和 本题考查了完全平方公式、 （a+b）n展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键 【解答】 解：（ab）2a22abb2，展开式共有 3 项，系数和 1+2+1=4=22， （ab）3a33a2b3ab2b2，展开式共有 4项，系数和 1+3+3+1=8=23， （a+b）n展开式共有 n+1项，系数和为 2n （a+b）9的展开式中所有系数的和是：29=512 故选：B
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