1、第第二二讲讲 一一、有理数的加法运算有理数的加法运算 1有理数的加法运算法则有理数的加法运算法则 （1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加：绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数 【例例】( 3)( 5)(35)8 ( 3)( 5)(35)8 2( 2)0 3( 2)(32)1 2( 5)(52)3 303 符号 数值 正数+正数 正 绝对值相加 负数+负数 负 绝对值相加 正数+负数 取绝大 绝大减绝小 【注注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立 2加法运算
2、技巧加法运算技巧 （1）化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式； （2）符号相同的数可以先结合在一起； （3）若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相 加得零； （4）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起 【例例】 113 ( 0.75)1 444 11313111 0 82888222 3.7( 7)6.33.76.3( 7)10( 7)3 2.452.4( 2.42.4)5055 二二、有理数的减法运算有理数的减法运算 1有理数的减法运算法则有理数的减法运算法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：()abab 【例例
3、】3( 2)325 8( 7)871 2有理数的减法运算步骤有理数的减法运算步骤 （1）把减号变为加号，把减数变为它的相反数； （2）按照加法运算进行计算 【例例】计算：86 解：原式8( 6) Step1：减号变加号，减数变相反 (86) Step2：按照加法的运算步骤计算 14 3有理数加减法混合运算技巧有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算 三三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算 1有理数的乘法运算法则有理数的乘法运算法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘 任何数与 0 相乘
4、，积仍为 0 【例例】3 ( 5)(3 5)15 2 8(28)16 12 11132 201700 2有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：abba； （2）乘法结合律：()()ab ca bc； （3）乘法分配律：()a bcabac 【例例】() ()() 3有理数乘法有理数乘法运算运算技巧技巧： （1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0； （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于 约分简记为：化小为分，化带为假 【例】【例】()(.)
5、 的结果为负数 () 的结果为 0 . 四四、有理数的除法运算有理数的除法运算 1有理数除法运算法则有理数除法运算法则 一个数除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数aba b ，()b 2有理数除法的运算步骤：有理数除法的运算步骤： （1）把除号变为乘号； （2）把除数变为它的倒数； （3）把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算 【例例】()() 五五、乘方乘方 乘方乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂幂在 n a中， n a读作“a 的 n 次幂”或者 “a 的 n 次方” ，a 叫做底数，n 叫做指数 【例例】 n a表示有 n 个 a 连续相乘： 表
6、示， 表示() ， ()表示()()()()() 【注】【注】当 n 为奇数时，()n n aa ；当 n 为偶数时，()n n aa 六六、混合运算技巧混合运算技巧 1有理数运算规则有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 简记为：从左到右，从高（级）到低（级） ，从小（括号）到大（括号） 2 “奇负偶正奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“ ”号号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非
7、零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数负因数的个数，正、负指的是结果中积的符 号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂 为正 【例例】() () ()()() ； ()()() () () 七七、绝对值初步绝对值初步 （1）若|aa，则a ；若|aa ，则a （2）| |aa （3） |aa aa ， ， （1）()() （2）(. ) （3）()() （4） 21 43 33 （5）() （6） （7） （8） 模块一 有理数的加减法 例题1 【解析】【解析】（1）()() （2）(. ) （3）()() （4） 21 43 33
8、 () ( . ) . () （5）() （6） （7） （8） () () （1）()() （2）() 【解析】【解析】（1）解：原式()() （2）解：原式() (23 7)()() =+ () 30+()= +()= （1）(.75). （2） （3）.(.) （4）. 【解析】【解析】（1）原式 + （2）原式 + () （3）原式 （4）原式 () ()() 例题2 例题3 （1）() （2）(.). （3）() （4）| 【解析】【解析】（1）原式() 910113 39 59211 ； （2）原式 ； （3）原式() ； （4）原式 （1）() （2）(.). 【解析】【解析】（
9、1）原式()()() ()() . （2）原式(.). （1）() （2） （3） （4） （5）| 模块二 有理数的乘除法 例题4 例题5 模块三 乘方 例题6 【解析】【解析】（1）81； （2）； （3） ； （4） ； （5）原式 （1）() （2）()() （3）() （4）() 【解析】【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【提示】【提示】有理数乘方常考学生的易错点，即“奇负偶正”在乘方运算中的应用 （1）若1a ，则化简|aa 的结果为_ （2）若x ，化简 | | xx xx （3）已知数 a、b、c 在数轴上的位置如图，化简|ababbc的结果是（ ） Aa
10、bc Bbc Cbc Dcb （4） 数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示， 且| | |ac； 化简|acbbacb |ab_ 【解析】【解析】（1）2； （2） | | xxxxx x xxxx ； （3）B； （4）bc 例题7 模块四 绝对值初步 例题8 cba O （1）若ab ，求 | ab ab 的所有可能值 （2）若abc ，求 | abc abc 的所有可能值 （3）试探究，若 n a aa L，求 | n n aaa aaa L的所有可能值 【解析】【解析】（1）两数均正，原式 ； 一正一负，原式 ； 两数均负，原式 ； （2）三数均正，原式 ； 二正一负，原式； 一
11、正二负，原式 ； 三数均负，原式 ； （3）当 n 为奇数时，所有可能的值为：1，3，5， ，n； 当 n 为偶数时，所有可能的值为：0，2，4，6， ，n （1）已知 a、b 是不为 0 的有理数，求 |ab ab 的值 （2）已知mn ，求 | | mnmn mnmn 的值 （3）已知abc ，求 | abacbc abacbc 的值 【解析】【解析】（1）当a ，b 时， |ab ab ； 当a ，b 时， | () ab ab ； 当a ，b 时， |ab ab ； 当a ，b 时， | () ab ab ； 综上所述， |ab ab 的值为，0，2 （2）mn ，m、n 两个数都不为
12、零， 若 m、n 两个数都是正数，则 mn 也是正数，故原式值为 3； 例题9 例题10 若 m、n 两个数一正一负，则 mn 是负数，故原式值为； 若 m、n 两个数都是负数，则 mn 是正数，故原式值为； 综上所述， | | mnmn mnmn ， （3）abc ，a、b、c 三个数都不为零， 若 a、b、c 三个数都是正数，则 ab、ac、bc 也都是正数，故原式值为 3； 若 a、b、c 中两正、一负，则 ab、ac、bc 中一正、两负，故原式值为； 若 a、b、c 中一正、两负，则 ab、ac、bc 中一正、两负，故原式值为； 若 a、b、c 中三负，则 ab、ac、bc 中三正，故
13、原式值为 3 综上所述， | abacbc abacbc ， （1）a，b，c 为非零有理数，且abc ，则 | | a bb cc a a bb cc a 的值等于多少？ （2）已知 a，b，c 都不等于 0，且abc ，abc ，求 | | | bc bac cab a a bb cc a 【解析】【解析】（1）由abc 可知 a，b，c 里存在两正一负或者一正两负； | | | | | | a bb cc aabbcca a bb cc aabbcca 若两正一负，那么 | | | | abbcca abbcca ； 若一正两负，那么 | | | | abbcca abbcca ； 综上
14、所得 | | | | a bb cc a a bb cc a ； （2）考虑abc ，bca ，acb ，代入原式可得 【提示】【提示】 例 9、 10、 11 均是关于 |a a 的问题， 例 9 是最基本的 |a a 的考查形式， 需要带着学生分类讨论找到规律； 例 10 是例 9 的变形，考查形式多样化，但基本思路依然是分类讨论正负数的个数即可；例 11 则加入 了一些限制性的条件，限制了正负数的个数 （1） (.) () 例题11 非常挑战 cba 10 （2） ()() () 【解析】【解析】（1）6035； （2）25.6 计算： （1）(. ). （2）.(. )(. )(. )
15、 （3）| ()| 【解析】【解析】（1）7.5； （2）. ； （3） （1）| （2）() （3）(. )() （4）.() 【解析】【解析】（1）； （2） ； （3） ； （4） （1）已知x ，则xx _ （2）若a ，ab ，那么baab _ （3）有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示若|mabbacc ，则m_ 【解析】【解析】（1）8； （2）； （3）由图可知，bac ， |()abab ，|bb ，|acca，|cc 复习巩固 演练1 演练2 演练3 ()()mabbcac （1）设 a、b、c 是不为 0 的有理数，那么 |abc x abc 的值有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 （2）若abc ， | | abcabc abcabc 的最大值是 m，最小值是 n，则 m n 的值是_ 【解析】【解析】（1）B； （2） 有理数 a、b、c、d 满足 |abcd abcd ，则 |abcd abcd 的最大值为_ 【解析】【解析】由已知可得 a、b、c、d 的符号为三正一负或一正三负， 若为三正一负，则 |abcd abcd ； 若为一正三负，则 |abcd abcd ， 则 |abcd abcd 的最大值为 2 演练4 演练5
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