1、 线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题 模块一：线段的动点问题模块一：线段的动点问题 1主要分析步骤： （1）数形结合，画图； （2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度； （3）根据题中的等量关系列方程，并解方程 2动点问题求解的几个辅助工具： （1）数轴上两点的距离 两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值； 两点间的距离=右端点表示的数左端点表示的数 例如： a b a，b 两点的距离可表示为ba，也可表示为|ab或者|ba 特别地，|a可以看成 a 和 0 两点的距离，|b可以看成 b 和 0 两点的距离，如果|ab=，那么有ab 或ab
2、（2）点在数轴上运动时，满足左减右加 一个点表示的数为 a，若向左运动 b 个单位后表示的数为ab； 一个点表示的数为 a，若向右运动 b 个单位后所表示的数为ab （3）数轴上线段中点公式： 如图，线段 ab 的中点所表示的数是 ab 模块二：动线段问题模块二：动线段问题 已知数轴上 A、B 两点对应数分别为和 4，P 为数轴上一动点，对应数为 x. （1）若 P 为线段 AB 的三等分点，求 P 对应的数； （2） 数轴上是否存在点 P， 使 P 点到 A 点、 B 点距离和为 10？若存在， 求出 x 值， 若不存在， 请说明理由 （3）若 A、B 点和 P 点（P 点在原点）同时向左运
3、动，它们的运动速度分别为 1、2、1 个单位长度/分，则 第几分钟时，P 为线段 AB 的中点？第几分钟的时候 P 到 A 和 B 的距离相等？ （1）点 P 为线段 AB 的三等分点， APAB 或BPAB 模块一 线段的动点问题 例1 第第 7 讲讲 线段的动态问题线段的动态问题 a b 当APAB 时，得到2= 2x+，得x 当BPAB 时，得到x ，得x P 对应的数为 0 或 2 （2）假设存在点 P，则PAx，PBx， |xx 解得，x 或x （3）设经过 t 分钟后，P 为 AB 的中点 则 A 表示的数为t，B 表示的数为t，P 表示的数为t ， 则由题意得， tt t ，得到
4、t . 设经过 x 分钟后，P 到 A 和 B 的距离相等. 则 A 表示的数为x，B 表示的数为x ，P 表示的数为x， PAxx ，PBxxx |x 解得x 或x 已知数轴上顺次有 A、 B、 C 三点， 分别表示数 a、 b、 c， 并且满足()2a+|b+ |=， b 与 c 互为相反数 两 只电子小蜗牛甲、乙分别从 A，C 两点同时相向而行，甲的速度为 2 个单位/秒，乙的速度为 3 个单位/秒 （1）求 A、B、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示 A、B、C 三点 （2）运动多少秒时，甲、乙到点 B 的距离相等？ （3）当点 B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点 A 以每
5、分钟 5 个单位长度向左运动，点 C 以每分 钟 20 个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 B 点到点 A、点 C 的距离相等？ （1）()2a+|b+ |=， a ，b ， 解得a ，b . 又b 与 c 互为相反数，c=5， A、B、C 三点分别表示的数是，5 表示在数轴上是： ABC 50512 例2 （2）设运动 x 秒时，甲、乙到点 B 的距离相等 则甲所表示的数为x ，乙所表示的数为x 则依题意，得xx -，解得x 或x 答：运动 3s 或者s 时，甲、乙到点 B 的距离相等 （3）设 t 分钟后点 B 到点 A 和点 C 的距离相等 则点 A 所表示的数为t ，点 B
6、所表示的数为t， 点 C 所表示的数为t 则由题意得，tttt 解得：t 或者t 如图，已知 A、B、C 是数轴上三点，O 为原点，点 C 表示的数为 6，BC=4，AB=12. （1）写出数轴上点 A、B 表示的数； （2）动点 P、Q 分别从 A、C 同时出发，点 P 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 Q 以每 秒 3 个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为 AP 的中点，点 N 在线段 CQ 上，且CNCQ ，设运动时 间为()t t 秒.t 为何值时，OM=2BN AOBC （1）CQ表示的数为 6，4BC ，OB ，B 点表示 2. AB Q，AO ，A点表示；
7、（2）由题意得，点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为t， 则点 M 表示的数为 t t ， 又CNCQ ， 点 N 表示的数为t， 由题意可得tt ，即tt ，解得t 或t 如图，A 是数轴上表示的点，B 是数轴上表示 10 的点，C 是数轴上表示 18 的点，点 A、B、C 在数轴 上同时向数轴的正方向运动，点 A 运动的速度是 6 个单位长度每秒，点 B 和 C 运动的速度是 3 个单位长度 每秒. 设三个点运动的时间为 t（秒） （1）当 t 为何值时，线段 AC=6（单位长度）？ （2）t 时，设线段 OA 的中点为 P，线段 OB 的中点为 M，线段 OC 的中点为 N，求PM
8、PN 时 t 的值 例3 例4 AOBC （1）A 表示的数为t ，B 表示的数为t，C 表示的数为t |ACt ，解得t 或t （2）P 表示的数为t ，M 表示的数为t ，N 表示的数为t 则PMt ，PNt 由题意得，PMPN|tt 解得，t 或 如图 5-1，已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为、3，点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为 x （1）如果点 P 是 AB 的中点，则x _； （2）如图 5-2，点 P 以 1 个单位长度/s 的速度从点 O 向右运动，同时点 A 以 5 个单位/s 的速度向左运动， 点 B 以 20 个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M、N
9、分别是 AP、OB 的中点，问： ABOP MN 的值是 否发生变化？请说明理由. A O B 13 AOB 13 MP N 5t 1 20t 图 5-1 图 5-2 （1）x ； （2） ABOP MN 的值不发生变化. 由题意，O 为原点，设运动时间为 t 分钟. 则 P 表示的数为 t，A 表示的数为t，B 表示的数为t ， 则 M 表示的数为 t ，N 表示的数为 t 则ABt ，OPt，MNt ，则 ABOP MN 为定值 如图，在射线 OM 上有三点 A、B、C，满足20cmOA，60cmAB ，10cmBC （如图所示） ，点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/s 的
10、速度匀速运动，点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O 匀速运动，两点同时 出发. 例5 例6 O BC M A （1）当2PAPB时，点 Q 运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点，求点 Q 的速度； （2）若点 Q 运动速度为 3cm/秒，经过多长时间 P、Q 两点相距 70cm？ （3）当点 P 运动到线段 AB 上时，取 OP 和 AB 的中点 E，F，求 OBAP EF 的值 （1）设 O 为原点，则 A 表示的数为 20，B 表示的数为 80，C 表示的数为 90， 设经过的时间 t 秒后，PA=2PB. 则 P 表示的数为 t，PAt ，PBt， tt ，可得t 或t 当
11、t 秒时，可得 Q 的速度为 （cm/s）或者 （cm/s） 当t 秒时，可得 Q 的速度为 （cm/s）或者 （cm/s） （2）设经过 t 秒，P、Q 两点相距 70cm， 则 P 表示的数为 t，Q 表示的数为903t， PQt ，解得t 或t t 或t 时，满足 P、Q 两点相距 70cm （3）P 表示的数为 t，E 表示的数为 t ，F 表示的数为 50， EF 的长度为() t t OB ，APt ，所以 OBAP EF 如图，数轴上线段2AB （单位长度） ，4CD （单位长度） ，点 A 在数轴上表示的数是，点 C 在数轴 上表示的数是 16. 若线段 AB 以 6 个单位长
12、度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的 速度向左匀速运动. 0BCA D （1）问运动多少时8BC （单位长度） ； （2）当运动到8BC （单位长度）时，点 B 在数轴上表示的数是_； （3）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式 BDAP PC ，若存在，求线段 PC 的长；若不存在，请说明理由 （1）A 表示的数为t ，B 表示的数为t ， C 表示的数为t ，D 表示的数为t 模块二 动线段问题 例7 由 BC=8 得到ttt 或t . （2）当运动 2 秒时，点 B 在数轴上表示的数是 4； 当运动 4 秒时，点 B 在
13、数轴上表示的数是 16. （3）存在关系式 BDAP PC . 设运动时间为 t 秒，设 P 原来表示的数为 x，A 表示的数为t ， B 表示的数为t ，C 表示的数为t ，D 表示的数为t ， P 表示的数为xt BDt ，APx，PCtx 代入 BDAP PC ，解得xt或者xt ， 所以PCtx 或 已知 A、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为，B 点对应的数为 100. （1）现有一只电子蚂蚁 P 从 B 点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C 点相遇，求 C 点对应的数
14、； （2）若当电子蚂蚁 P 从 B 点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 恰好从 A 点 出发，以 4 个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D 点相遇，求 D 点对应的数 （1）设运动的时间为 t，P 表示的数为t，Q 表示的数为t ， 由题得，tt ，可得 t=12，此时 C 对应的数为 28 （2）设运动的时间为 t，P 表示的数为t，Q 表示的数为t ， 由题得，tt ，可得 t=60s，此时 D 表示的数为 如图 2-1，点 A、B 分别在数轴原点 O 的左右两侧，且OAOB ，点 B 对应数是 90 （1）求 A 点对应的数； （2）如
15、图 2-2，动点 M、N、P 分别从原点 O、A、B 同时出发，其中 M、N 均向右运动，速度分别为 2 个 单位长度/秒，7 个单位长度/秒，点 P 向左运动，速度为 8 个单位长度/秒，设它们运动时间为 t 秒，问当 t 为何值时，点 M、N 之间的距离等于 P、M 之间的距离； （3）如图 2-3，将（2）中的三动点 M、N、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设 Q 为 线段 MN 的中点，R 为线段 OP 的中点，求RQROPN A O B AOB P N M AOB PNM 图 2-1 图 2-2 图 2-3 模块一模块一 线段的动点问题线段的动点问题 演练1 演练2
16、 （1）A 对应的数为 （2）M 表示的数为 2t，N 表示的数为t ，P 表示的数为t |MNt |PMtts （3）N 表示的数为t，M 表示的数为t， P 表示的数为t ，Q 表示的数为t ，R 表示的数为t (. )()()RQROPNttt 如图 3-1，已知数轴上有三点 A、B、C，ABAC ，点 C 对应的数是 200 （1）若300BC ，求点 A 对应的数； （2）如图 3-2，在（1）的条件下，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从 A 点出 发向右运动，点 P、Q、R 的速度分别为 10 单位长度每秒、5 单位长度每秒、2 单位长度每秒，点
17、M 为线段 PR 的中点， 点 N 为线段 RQ 的中点， 多少秒时恰好满足4MRRN（不考虑点 R 与点 Q 相遇之后的情形） ； （3）如图 3-3，在（1）的条件下，若点 E、D 对应的数分别为、0，动点 P、Q 分别从 E、D 两点同 时出发向左运动，点 P、Q 的速度分别为 10 单位长度每秒、5 单位长度每秒，点 M 为线段 PQ 的中点，点 Q 在从是点 D 运动到点 A 的过程中， QCAM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理 由 ABC PR P R Q Q 200 200800 EADC 0 图 3-1 图 3-2 图 3-3 （1）BCAC AC C 对应的
18、数是 200，则 A 对应的数为 （2）设 t 秒时，MRRN 则 P 表示的数为t， R 表示的数为t ，Q 表示的数为t ， M 为 PR 的中点，M 表示的数为t N 为 RQ 的中点，N 表示的数为t ()MRttt （M 在左，R 在右） ()RNttt （N 在右，R 在左） MRRNttts .经过s时满足MRRN （3）设运动时间为 t 秒，则 P 表示的数为t，Q 表示的数为t. M 为 PQ 的中点，则 M 表示的数为 tt t . ()QCtt ， t AM 演练3 ()QCAMtt 为定值. 如图，P 是定长线段 AB 上一点，C、D 两点同时从 P、B 出发分别以 1
19、cm/s 和 2cm/s 的速度沿直线 AB 向左 运动（C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上） 已知 C、D 运动到任一时刻时，总有PDAC （1）线段 AP 与线段 AB 的数量关系是_； （2）若 Q 是线段 AB 上一点，且AQBQPQ，求证：APPQ； （3）若 C、D 运动 5 秒后，恰好有CDAB ，此时 C 点停止运动，D 点在线段 PB 上继续运动，M、N 分 别是 CD、PD 的中点，问 MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 MN AB 的值 A BC PD （1）根据 C、D 的运动速度知：2BDPC， PDAC Q， ()BDPDPCA
20、C ，即2PBAP， 点 P 在线段 AB 上的 处，即ABAP . 故答案为：ABAP ； （2）证明：如图 1，由题意得AQBQ，AQAPPQ，又AQBQPQQ， AQBQPQ，APBQ.由（1）得，APAB ，PQABAPBQAB . （3）运动 5 秒时，cmPC ，cmBD . 由（1）可知APAB 设APx，则ACAPPCx，PBx ，PDPBBDx . CDAB Q，()xxxx 则 D 仍为动点，设 A 为原点 ABAP Q B 表示的数为 30，设运动了 t 秒（t ） 则 D 表示的数为t ，因为 M 为 CD 的中点，所以 M 表示的数为 t 因为 N 为 PD 的中点，所以 N 表示的数为 t tt MN MN AB 为定值. 模块二模块二 动线段问题动线段问题 演练4
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