1、题组层级快练题组层级快练(八十三八十三) 1下列函数是正态密度函数的是( ) Af(x) 1 2e x2 22 ，、(0)都是实数 Bf(x) 2 2 ex 2 2 Cf(x) 1 2 2e x 4 Df(x) 1 2e x2 2 答案 B 解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零而 C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在 x 轴下方，所以选 B. 2关于正态曲线性质的叙述： 曲线关于直线 x 对称，这个曲线在 x 轴上方； 曲线关于直线 x 对称，这个曲线只有当 x(3，3)时才在 x 轴上方； 曲线关于 y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； 曲线在 x 时处
2、于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； 曲线的对称轴由 确定，曲线的形状由 确定； 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦” 上述说法正确的是( ) A只有 B只有 C只有 D只有 答案 A 3设随机变量 XN(，2)，则随着 的增大，概率 P(|x|3)将会( ) A单调增加 B单调减少 C保持不变 D增减不定 答案 C 解析 P(|x|3)P(3X3)0.997 4 是一个常数 4(2015 广东惠州一模)设随机变量 服从正态分布 N(3,4)，若 P(a2)，则 a( ) A3 B.5 3 C5 D.7 3 答案 D 解析 因为 服从正态分布 N(3,4)，P(a2)，所
3、以 2a3a26，a7 3，故选 D. 5(2015 湖北荆州中学第一次质检)若随机变量 XN(1,4)，P(X0)m，则 P(0X2)( ) A12m B.1m 2 C.12m 2 D1m 答案 A 解析 因为随机变量 XN(1,4)， 所以正态曲线的对称轴为 x1， 因此 P(0x2)1P(x0)P(x2) 12P(x0)12m，故选 A. 6(2015 山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布 N(，2)的随机变量在区间(，)，(2， 2)和(3，3)内取值的概率分别为 68.3%,95.4%和 99.7%.某校为高一年级 1 000 名新生每人定制 一套校服，经统计，学生的身高(单位：c
4、m)服从正态分布(165,52)，则适合身高在 155175 cm 范围内的校 服大约要定制( ) A683 套 B954 套 C972 套 D997 套 答案 B 解析 P(155175)P(1655216552)P(22)0.6，则 P(x6)( ) A0.4 B0.3 C0.2 D0.1 答案 A 解析 因为 P(x2)0.6，所以 P(x6)P(x2)0.4.故选 A. 8(2015 皖南十校联考)在某市 2015 年 1 月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态 分布 N(98,100) 已知参加本次考试的全市理科学生约 9 450 人 某学生在这次考试中的数学成绩是 1
5、08 分， 那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A1 500 B1 700 C4 500 D8 000 答案 A 解析 因为学生的数学成绩 XN(98,100)，所以 P(X108)1 21P(88X108) 1 21P(X )1 2(10.682 6)0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第 0.158 79 4501 500 名，故选 A. 9(2015 南昌调研)某单位 1 000 名青年职员的体重 x(单位：kg)服从正态分布 N(，22)，且正态分布 的密度曲线如图所示，若体重在 58.562.5 kg 属于正常，则这 1 000 名青年职员中体重属于正常的人数约
6、是( ) A683 B841 C341 D667 答案 A 解析 P(58.5X62.5)P(X1)a， a为常数， 则P(10) _. 答案 1 2a 解析 由正态曲线的对称轴为 0， 又 P(1)a， 故 P(1)a.所以 P(10)12a 2 1 2a， 即答案为1 2a. 13(2015 河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布 N(10,0.12)，任取一袋 大米，质量不足 9.8 kg 的概率为_(精确到 0.000 1) 注：P(x)0.682 6， P(2x2)0.954 4， P(3x3)0.997 4 答案 0.022 8 解析 因为袋装大米质量(
7、单位： kg)服从正态分布 N(10,0.12)， 所以 P(9.8)1 21P(9.810.2) 1 21 P(1020.19 的概率，利用概率 来估计样本中满足条件的汽车数量 解析 由题意可知 N(8，2)，故正态分布曲线以 8 为对称轴又因为 P(79)0.7，故 P(79)2P(89)0.7，所以 P(89)0.35.而 P(8)0.5，所以 P(9)0.15.故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 2000.15180 辆 16(2015 湖北武汉模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000 名男生的身高 服从正态分布 N(168,16)现从某学校高三年级男生中
8、随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全 部介于 160 cm 和 184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组160,164)，第 2 组164,168)， 第 6 组180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 (1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况； (2)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数； (3)在这 50 名男生身高在 172 cm以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人， 将该 2 人中身高排名(从高到低) 在全市前 130 名的人数记为 ，求 的数学期望 参考数据： 若 N(，2
9、)，则 P()0.682 6， P(22)0.954 4， P(33)0.997 4. 答案 (1)168 cm (2)10 人 (3)2 5 解析 (1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162 5 100166 7 100 170 8 100174 2 100178 2 100182 1 100)4168.72，高于全市的平均值 168 cm. (2)由频率分布直方图知，后 3 组频率为(0.020.020.01)40.2，人数为 0.25010，即这 50 名 男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10. (3)P(1683416834)0.99
10、7 4， P(180)10.997 4 2 0.001 3. 0.001 3100 000130. 全市前 130 名男生的身高在 180 cm 以上，这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人 随机变量 可取 0,1,2，于是 P(0) C28 C210 28 45，P(1) C18C12 C210 16 45， P(2) C22 C210 1 45， E()025 481 16 452 1 45 2 5. 1已知某种零件的尺寸 (单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，) 上是减函数，且 f(80) 1 8 2. (1)求概率密度函数； (2)估计尺寸在
11、 72 mm88 mm 间的零件大约占总数的百分之几？ 答案 (1)，(x) 1 8 2e x802 128 (2)68.26% 解析 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线 x80 对称，且在 x80 处取得最大值 因此得 80， 1 2 1 8 2，所以 8. 故密度函数解析式是 ，(x) 1 8 2e x802 128 . (2)由 80，8，得 80872，80888. 所以零件尺寸 位于区间(72,88)内的概率是 0.682 6. 因此尺寸在 72 mm88 mm 间的零件大约占总数的 68.26%. 2(2013 湖北理)假设每天
12、从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0. (1)求 p0的值； (参考数据： 若 XN(， 2)， 有 P(X)0.682 6， P(2X2)0.954 4， P(3X 3)0.997 4.) (2)某客运公司用 A，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆公司 拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆若每天要
13、以不小于 p0的概率运 完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车，B 型车各多少辆？ 答案 (1)0.977 2 (2)A 型车 5 辆，B 型车 12 辆 解析 (1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502)，故有 800，50，P(700X900)0.954 4. 由正态分布的对称性，可得 p0P(X900)P(X800)P(800X900)1 2 1 2P(700X900)0.977 2. (2)设 A 型，B 型车辆的数量分别为 x，y 辆，则相应的劳动成本为 1 600 x2 400y. 依题意，x，y 还需满足 xy21，yx7，P(X36x60y)p0. 由(1)知，p0P(X900)，故 P(X36x60y)p0等价于 36x60y900. 于是问题等价于求满足约束条件 xy21， yx7， 36x60y900， x，y0，x，yN， 且使目标函数 z1 600 x2 400y 达到最小的 x，y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6) 由图可知， 当直线 z1 600 x2 400y 经过可行域的点 P 时， 直线 z1 600 x2 400y 在 y 轴上截距 z 2 400 最小，即 z 取得最小值 故应配备 A 型车 5 辆，B 型车 12 辆
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