1、题组层级快练题组层级快练(六十九六十九) 1到两定点 A(0,0)，B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是( ) A椭圆 BAB 所在的直线 C线段 AB D无轨迹 答案 C 解析 |AB|5，到 A，B 两点距离之和为 5 的点的轨迹是线段 AB. 2若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y40 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为( ) Ay28x By28x Cx28y Dx28y 答案 C 解析 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y40 的距离小 2，因此 P 到 F(0,2)的距离与到直线 y2 0 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点，y2 为准线的抛物线，
2、所以 P 的轨迹方程为 x28y. 3在ABC 中，已知 A(1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点 B 的轨迹方程是( ) A.x 2 3 y2 41 B.x 2 3 y2 41(x 3) C.x 2 4 y2 31 D.x 2 4 y2 31(x 2) 答案 D 解析 |BC|，|CA|，|AB|成等差数列， |BC|BA|2|CA|4. 点 B 的轨迹是以 A，C 为焦点，半焦距 c1，长轴长 2a4 的椭圆又 B 是三角形的顶点，A，B， C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 2 4 y2 31，且 y0. 4已知点 F(1,0)，直线 l：x1，点
3、 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直 平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 答案 D 解析 连接 MF，由中垂线性质，知|MB|MF|. 即 M 到定点 F 的距离与它到直线 x1 距离相等 点 M 的轨迹是抛物线D 正确 5设椭圆与双曲线有共同的焦点 F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的 2 倍，则椭圆与双 曲线的交点轨迹是( ) A双曲线 B一个圆 C两个圆 D两条抛物线 答案 C 解析 由 |PF1|PF2|4a， |PF1|PF2|2a， 得到|PF1|3|PF2|或|PF2|3|PF1|，
4、所以是两个圆 6经过抛物线 y22px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A抛物线 B椭圆 C双曲线 D直线 答案 A 解析 点差法 kAB 2p y1y2 2p 2ykMF y xp 2 化简得抛物线 7(2015 北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点 D， E 分别在线段 OC，AB 上运动，且|OD|BE|，设 AD 与 OE 交于点 G，则点 G 的轨迹方程是( ) Ayx(1x)(0 x1) Bxy(1y)(0y1) Cyx2(0 x1) Dy1x2(0 x1) 答案 A 解析 设 D(0，)，E(1,1)，01，所以
5、线段 AD 的方程为 xy 1(0 x1)，线段 OE 的方程为 y(1)x(0 x1)， 联立方程组 xy 1，0 x1， y1x，0 x1， ( 为参数)， 消去参数 得点 G 的轨迹方程为 y x(1x)(0 x1)，故 A 正确 8(2015 衡水调研卷)双曲线 M：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)实轴的两个顶点为 A，B，点 P 为双曲线 M 上 除 A，B 外的一个动点，若 QAPA 且 QBPB，则动点 Q 的运动轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案 C 解析 A(a,0)，B(a,0)，设 Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP y0 x0a，kBP y
6、0 x0a，kAQ y xa，kBQ y xa，由 QAPA 且 QBPB，得 kAPkAQ y0 x0a y xa1，kBPkBQ y0 x0a y xa1.两式相乘即得轨迹为双曲线 9长为 3 的线段 AB 的端点 A，B 分别在 x，y 轴上移动，动点 C(x，y)满足AC 2CB ，则动点 C 的轨 迹方程_ 答案 x21 4y 21 解析 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a2b29.又 C(x，y)，则由AC 2CB ，得(xa，y)2(x，by) 即 xa2x， y2b2y， 即 a3x， b3 2y， 代入 a2b29，并整理，得 x21 4y 21. 10若过抛物线 y24
7、x 的焦点作直线与其交于 M，N 两点，作平行四边形 MONP，则点 P 的轨迹方 程为_ 答案 y24(x2) 解析 设直线方程为 yk(x1)，点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM NP ，得(x1，y1)(xx2， yy2)得 x1x2x，y1y2y. 由 ykx1， y24x， 联立得 xx1x22k 24 k2 . yy1y24k k2，消去参数 k，得 y 24(x2) 11已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A 的轨迹方程为_ 答案 (x10)2y236(y0) 解析 方法一：直接法设 A(x，y)，y0，
8、则 D(x 2， y 2) |CD|x 25 2y 2 43. 化简，得(x10)2y236.由于 A，B，C 三点构成三角形，所以 A 不能落在 x 轴上，即 y0. 方法二：定义法如图，设 A(x，y)，D 为 AB 的中点，过 A 作 AECD 交 x 轴于 E. |CD|3， |AE|6， 则 E(10,0)， A 到 E 的距离为常数 6.A 的轨迹为以 E 为圆心， 6 为半径的圆， 即(x10)2y236.又 A，B，C 不共线，故 A 点纵坐标 y0，故 A 点轨迹方程为(x10)2y236(y0) 12已知抛物线 y2nx(n0)与双曲线x 2 8 y 2 m1 有一个相同的
9、焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是 _ 答案 n216(m8)(n0) 解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8mc 2(n 4) 2，n0，即 n216(m8)(n0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； 当 1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)； 当 3. 所以 x02y12y1. 化简，得曲线 的方程为 x24y. (2)同方法一 16(2014 湖北)在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴
10、的距离多 1.记点 M 的 轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程； (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2,1)，求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公 共点时 k 的相应取值范围 答案 (1)y2 4x，x0， 0，x0. (2)略 思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程，注意分 x0，x0 两种 情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线 l 的方程，然后联立直线 l 与抛物线的方程，消去 x， 得到关于 y 的方程，分 k0，k0 两种情况讨论；当 k0 时，设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)进而按 ，x0
11、与 0 的大小关系再分情况讨论 解析 (1)设点 M(x，y)，依题意得|MF|x|1， 即 x12y2|x|1. 化简整理，得 y22(|x|x) 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2 4x，x0， 0，x0. (2)在点 M 的轨迹 C 中，记 C1：y24x，C2：y0(x0) 依题意，可设直线 l 的方程为 y1k(x2) 由方程组 y1kx2， y24x， 可得 ky24y4(2k1)0. 当 k0 时，此时 y1.把 y1 代入轨迹 C 的方程，得 x1 4. 故此时直线 l：y1 与轨迹 C 恰好有一个公共点 1 4，1 . 当 k0 时，方程的判别式为 16(2k2k1) 设直
12、线 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，则 由 y1k(x2)，令 y0，得 x02k1 k . 若 0， x00， 由解得 k1 2. 即当 k(，1) 1 2， 时，直线 l 与 C1没有公共点，与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与 轨迹 C 恰好有一个公共点 若 0， x00， x00， 由解得 k 1，1 2 ，或1 2k0， x00， 由解得1k1 2，或 0k 1 2. 即当 k 1，1 2 0，1 2 时，直线 l 与 C1有两个公共点，与 C2有一个公共点，故此时直线 l 与轨 迹 C 恰好有三个公共点 综上可知， 当 k(， 1) 1 2， 0时， 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点； 当 k 1 2，0 1，1 2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点；当 k 1，1 2 0，1 2 时，直线 l 与轨迹 C 恰好有 三个公共点
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