1、题组层级快练题组层级快练(六十六六十六) 1抛物线 y4x2的焦点到准线的距离是( ) A.1 8 B.1 4 C. 1 16 D1 答案 A 解析 由 x21 4y，知 p 1 8，所以焦点到准线的距离为 p 1 8. 2过点 P(2,3)的抛物线的标准方程是( ) Ay29 2x 或 x 24 3y By29 2x 或 x 24 3y Cy29 2x 或 x 24 3y Dy29 2x 或 x 24 3y 答案 A 解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2,3)，解得 k9 2，m 4 3，y 29 2x 或 x24 3y，选 A. 3 已知点 P 是抛物线 y2
2、2x 上的动点， 点 P 到准线的距离为 d， 且点 P 在 y 轴上的射影是 M， 点 A(7 2， 4)，则|PA|PM|的最小值是( ) A.7 2 B4 C.9 2 D5 答案 C 解析 设抛物线 y22x 的焦点为 F，则 F(1 2，0)又点 A( 7 2，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为 x1 2，则|PM|d 1 2. 又|PA|d|PA|PF|AF|5，所以|PA|PM|9 2. 4等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB| 4 3，则 C 的实轴长为( ) A. 2 B2 2 C4 D8 答案 C 解析
3、 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a21，抛物线的准线为 x4，且|AB|4 3，故可得 A(4,2 3)，B( 4，2 3)，将点 A 的坐标代入双曲线方程得 a24，故 a2.故实轴长为 4. 5(2015 甘肃天水期末)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆 x2y22x6y90 圆心的抛物 线方程是( ) Ay3x2或 y3x2 By3x2 Cy29x 或 y3x2 Dy3x2或 y29x 答案 D 解析 易知圆 x2y22x6y90 的圆心坐标为(1，3)，当抛物线的焦点在 x 轴上时，设抛物线 方程为 y2mx，将(1，3)代入得 m9，所以抛物线方程为 y29x；当抛物线的焦点
4、在 y 轴上时，设抛物 线的方程为 x2ny，将(1，3)代入得 n1 3，所以抛物线方程为 y3x 2.综上知，所求抛物线方程为 y 3x2或 y29x. 6(2015 山东烟台期末)已知直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，交抛物线于 A，B 两点，且点 A，B 到 y 轴的距离分别为 m，n，则 mn2 的最小值为( ) A4 2 B6 2 C4 D6 答案 C 解析 抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，准线方程为 x1，由于直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，交抛 物线于 A，B 两点，且点 A，B 到 y 轴的距离分别为 m，n，所以由抛物线的定义得 mn2|AB|，其
5、最 小值即为通径长 2p4.故选 C. 7(2015 吉林长春调研测试)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( ) A.3 5 5 B2 C.11 5 D3 答案 B 解析 由题可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2的距离 等于|PF|，则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x3y60 的距离， 所以最小值是|406| 5 2，故选 B. 8(2015 湖北武汉调研)已知 O 为坐标原点，F 为抛物线
6、 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF| 4 2，则POF 的面积为( ) A2 B2 2 C2 3 D4 答案 C 解析 设点 P(x0，y0)，则点 P 到准线 x 2的距离为 x0 2.由抛物线定义，得 x0 24 2，x0 3 2，则|y0|2 6.故POF 的面积为1 2 22 62 3. 9点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1的准线的距离为 p，则双曲线 C2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 C 解析 求抛物线 C1：y22px
7、(p0)与双曲线 C2：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线的交点为 y22px， yb ax， 解得 x2pa 2 b2 ， y2pa b ， 所以2pa 2 b2 p 2，c 25a2，e 5，故选 C. 10(2013 新课标全国理)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 答案 C 解析 方法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x0p 25
8、，则 x05 p 2. 又点 F 的坐标为(p 2，0)，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0)(x p 2)(yy0)y0. 将 x0，y2 代入得 px084y00，即y 2 0 24y080，所以 y04. 由 y202px0，得 162p(5p 2)，解之得 p2 或 p8. 所以 C 的方程为 y24x 或 y216x.故选 C. 方法二：由已知得抛物线的焦点 F(p 2，0)，设点 A(0,2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则AF (p 2，2)，AM (y 2 0 2p，y02) 由已知得，AF AM 0，即 y208y0160，因而 y04，M(8 p，4) 由抛物线定义
9、可知：|MF|8 p p 25. 又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C. 11(2015 河南许昌一模)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程为_ 答案 y28x 解析 设抛物线方程为 y22px(p0)，因为准线方程为 x2，p4.故抛物线方程为 y28x. 12(2015 黑龙江大庆一模)已知圆 x2y2mx1 40 与抛物线 y 24x 的准线相切，则 m_. 答案 3 4 解析 圆 x2y2mx1 40 圆心为( m 2，0)，半径 r m21 2 ，抛物线 y24x 的准线为 x1.由| m 21| m21 2 ，得 m3 4. 13.右图是抛物线形拱桥， 当水面
10、在l时， 拱顶离水面2米， 水面宽4米 水位下降1米后， 水面宽_ 米 答案 2 6 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为 x22py(p0)， 由点(2，2)在抛物线上，可得 p1，则抛物线方程为 x22y. 当 y3 时，x 6， 所以水面宽为 2 6 米 14(2015 衡水调研)抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，其准线经过双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左顶 点，点 M 为这两条曲线的一个交点，且|MF|2p，则双曲线的离心率为_ 答案 10 2 解析 设点 M 在第一象限，|MF|2p， M 的坐标为(3 2p， 3p) 又准线经过双曲线的左顶
11、点，ap 2. 双曲线方程为x 2 p2 4 y 2 b21.将点 M 代入可得 b 23 8p 2. e2c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a21 3 8p 2 p2 4 5 2. e 10 2 . 15(2015 北京顺义一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl， 垂足为 A.如果APF 是边长为 4 的正三角形，那么此抛物线的焦点坐标为_，点 P 的横坐标 xP _. 答案 (1,0)，3 解析 如图所示 设 P(y 2 0 2p，y0)，则|PA| y20 2p p 24. 又在 RtAMF 中，AFMFAP60 ， 故 tanAF
12、M|AM| |MF| |y0| p 3. 联立式，得 p2，|y0|2 3. 故焦点坐标为(1,0)，点 P 的横坐标为 xy 2 0 2p3. 16 抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形， 直角顶点是原点， 一条直角边所在直线方程为 y2x， 斜边长为 5 13，求此抛物线方程 答案 y24x 解析 设抛物线 y22px(p0)的内接直角三角形为 AOB， 直角边 OA 所在直线方程为 y2x， 另一直角 边所在直线方程为 y1 2x. 解方程组 y2x， y22px， 可得点 A 的坐标为 p 2，p ； 解方程组 y1 2x， y22px， 可得点 B 的坐标为(8p，4p)
13、|OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5 13， p2 4p 2 (64p216p2)325. p2，所求的抛物线方程为 y24x. 17(2015 河北唐山模拟)已知抛物线 E：y22px(p0)的准线与 x 轴交于点 M，过点 M 作圆 C：(x2)2 y21 的两条切线，切点为 A，B，|AB|4 2 3 . (1)求抛物线 E 的方程； (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若 P，Q，O(O 为原点)三点共线，求 点 N 的坐标 答案 (1)y24x (2)(3 2， 6)或( 3 2， 6) 解析 (1)由已知得 M(p 2，0)，C(2,0
14、) 设 AB 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知，|AR|2 2 3 . 于是|CR| |AC|2|AR|21 3. 所以|CM| |AC| sinAMC |AC| sinCAR |AC| |CR| |AC| 3. 即 2p 23，p2. 故抛物线 E 的方程为 y24x. (2)设 N(s，t) P，Q 是以 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点 圆 D 方程为(xs2 2 )2(yt 2) 2s2 2t2 4 ， 即 x2y2(s2)xty2s0. 又圆 C 方程为 x2y24x30， ，得(s2)xty32s0. P，Q 两点坐标是方程和的解，也是方程的解，从而为直线 PQ 的方
15、程 因为直线 PQ 经过点 O，所以 32s0，s3 2. 故点 N 坐标为(3 2， 6)或( 3 2， 6) 过点 M(2，2p)作抛物线 x22py(p0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB 中点的纵坐标为 6， 求抛物线方程 答案 x22y 或 x24y 解析 x22py 变形为 y 1 2px 2， yx p.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y|xx1x1 p. 切线 AM 方程为 yy1x1 p(xx1) 即 yx1 px x21 2p.同理 BM 方程为 y x2 px x22 2p. 又(2，2p)在两条直线上， 2p2x1 p x 2 1 2p，2p 2x2 p x 2 2 2p. x1，x2是方程x 2 2p 2x p 2p0 的两根 即 x24x4p20.x1x24，x1x24p2. y1y2 1 2p(x 2 1x 2 2) 1 2p(x1x2) 22x 1x2 1 2p(168p 2) 又线段 AB 中点纵坐标为 6， y1y212，即 1 2p(168p 2)12. 解得 p1 或 p2. 抛物线方程为 x22y 或 x24y.
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