1、题组层级快练题组层级快练(六十八六十八) 1若过抛物线 y2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2( ) A2 B1 2 C4 D 1 16 答案 D 解析 由 y2x2，得 x21 2y.其焦点坐标为 F(0， 1 8)，取直线 y 1 8，则其与 y2x 2交于 A(1 4， 1 8)，B( 1 4， 1 8)，x1x2( 1 4) ( 1 4) 1 16. 2设离心率为 e 的双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( ) Ak
2、2e21 Bk2e21 De2k21 答案 C 解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是b ak b a，即 k 21，故 选 C. 3已知椭圆 x22y24，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A3 2 B2 3 C. 30 3 D.3 2 6 答案 C 解析 设 y1k(x1)，ykx1k. 代入椭圆方程，得 x22(kx1k)24. (2k21)x24k(1k)x2(1k)240. 由 x1x24kk1 2k21 2，得 k1 2，x1x2 1 3. (x1x2)2(x1x2)24x1x244 3 8 3. |AB|11 4 2 6 3 30 3 . 4已知抛物线 y2x2上
3、的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxm 对称，且 x1x21 2，那么 m 的 值等于( ) A.3 2 B.5 2 C2 D3 答案 A 解析 因为点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2x2上，所以 y12x21，y22x22，两式相减，得 y1y2 2(x1x2)(x1x2)，不妨设 x10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x242k 2 k2 ， x1x21. 又因为AF BF 0，所以(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k2(x11)(x21)0， (1k2)x1x2(k21)(x1x2)k210.把 x1x242k 2
4、 k2 ， x1x21， 代入并整理，得 k21 2.又 k0，所以 k 2 2 ， 故选 B. 7已知抛物线 y28x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A，B，|AB|8， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 20， 20，b0)的左、右焦点，若双曲线左支上存 在一点 P 与点 F2关于直线 yb ax 对称，则该双曲线的离心率为_ 答案 5 解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 ybx a 对称，则 PF1PF2.又|PF2| |PF1| b a，联 立|PF2|PF1|2a，|PF2|2|PF1|2(2c)2，可得 b3a2b
5、2c2a.所以 b2a，e 5. 10抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点 (1)若AF 2FB ，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值 答案 (1) 2 2 (2)4 解析 (1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 xmy1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x，得 y24my40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以 y1y24m，y1y24. 因为AF 2FB ，所以 y12y2. 联立和，消去 y1，y2，得 m 2 4
6、 . 所以直线 AB 的斜率是 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 因为 2SAOB21 2 |OF| |y1y2| y1y224y1y24 1m2， 所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. 11.(2015 四川成都七中适应性训练)如图所示，设抛物线 C1：y24x 的准线与 x 轴交于点 F1，焦点 F2. 椭圆 C2以 F1和 F2为焦点，离心率 e1 2.设 P 是 C1与 C2的一个交点 (1)求椭圆 C2的方程；
7、(2)直线 l 过 C2的右焦点 F2，交 C1于 A1，A2两点，且|A1A2|等于PF1F2的周长，求直线 l 的方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (2)y 2(x1)或 y 2(x1) 解析 (1)由条件，F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆 C2的两焦点，故半焦距为 1，再由离心率为1 2知长半轴长 为 2，从而 C2的方程为x 2 4 y2 31. (2)由(1)可知PF1F2的周长|PF1|PF2|F1F2|6.又 C1：y24x，而 F2(1,0) 若 l 垂直于 x 轴，易得|A1A2|4，矛盾，故 l 不垂直于 x 轴，可设其方程为 yk(x1)，与 C1方程联 立可
8、得 k2x2(2k24)xk20，从而|A1A2| k21|x1x2| k21 2k2424k4 k2 4k 21 k2 .令|A1A2|6 可解出 k22，故 l 的方程为 y 2(x1)或 y 2(x1) 12 (2014 陕西文)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点(0， 3)， 离心率为 1 2， 左、 右焦点分别为 F1(c,0)， F2(c,0) (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y1 2xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C，D 两点，且满足 |AB| |CD| 5 3 4 ，求直线 l 的方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (
9、2)y1 2x 3 3 或 y1 2x 3 3 思路 (1)构造关于 a，b，c 的方程组；(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|，直线的方程与椭圆方程联 立得方程组，利用根与系数的关系得|AB|，构造关于 m 的方程求 m，进而得出直线 l 的方程 解析 (1)由题设知 b 3， c a 1 2， b2a2c2， 解得 a2， b 3， c1. 椭圆的方程为x 2 4 y2 31. (2)由题设，以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21， 圆心到直线 l 的距离 d2|m| 5 . 由 d1，得|m| 5 2 .(*) |CD|2 1d2214 5m 22 5 54m2. 设 A(x1，y
10、1)，B(x2，y2)， 由 y1 2xm， x2 4 y2 31， 得 x2mxm230. 由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23. |AB| 1 1 2 2 m24m23 15 2 4m2. 由|AB| |CD| 5 3 4 ，得 4m2 54m21，解得 m 3 3 ，满足(*) 直线 l 的方程为 y1 2x 3 3 或 y1 2x 3 3 . 13(2014 辽宁理)圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最 小时，切点为 P(如图)双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21 过点 P 且离心率为 3. (1)求 C1的方程； (2)
11、椭圆 C2过点 P 且与 C1有相同的焦点，直线 l 过 C2的右焦点且与 C2交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程 答案 (1)x2y 2 21 (2)x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30 思路 (1)先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母的值；(2)利用关系设出椭圆方程，再利用直 线与椭圆的位置关系求解 解析 (1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)， 则切线斜率为x0 y0，切线方程为 yy0 x0 y0(xx0)， 即 x0 xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S1 2 4 x0 4 y0
12、 8 x0y0. 由 x20y2042x0y0知当且仅当 x0y0 2时，x0y0有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为( 2， 2) 由题意知 2 a2 2 b21， a2b23a2， 解得 a21， b22. 故 C1的方程为 x2y 2 21. (2)由(1)知 C2的焦点坐标为( 3，0)，( 3，0)， 由此设 C2的方程为 x2 3b21 y2 b211，其中 b10. 由 P( 2， 2)在 C2上，得 2 3b21 2 b211. 解得 b213，因此 C2的方程为x 2 6 y2 31. 显然，l 不是直线 y0. 设 l 的方程为 xmy 3，点 A(x1，y1)
13、，B(x2，y2)， 由 xmy 3， x2 6 y2 31， 得(m22)y22 3my30. 又 y1，y2是方程的根，因此 y1y22 3m m22， y1y2 3 m22. 由 x1my1 3，x2my2 3，得 x1x2my1y22 3 4 3 m22， x1x2m2y1y2 3my1y2366m 2 m22 . 因为AP ( 2x1， 2y1)，BP ( 2x2， 2y2)， 由题意知AP BP 0， 所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40. 将代入整理，得 2m22 6m4 6110. 解得 m3 6 2 1 或 m 6 2 1. 因此直线 l 的方程为 x(3 6 2 1)y 30 或 x( 6 2 1)y 30.
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